Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Transkrypt

1 Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj acych funkcji: a) f(x) = x 4 + 3x x Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a sumy otrzymujemy (x 4 + 3x x) = (x 4 ) + (3x 3 ) + (2 ) + (x) = 4x x + 1 = 4x x + 1. b)f(x) = x 1/2 + 1/x Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a sumy otrzymujemy ( x + 1/x) = ( x) + (1/x) = 2 x 1 1 gdyż ( x) = 1 2 x oraz (1/x) = 1. c) f(x) = 3x log x. Przypominamy, że logx oznacza logarytm naturalny z liczby x. Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a iloczynu funkcji otrzymujemy (3x log x) = (3x) (logx) + (3x) logx = 3x 1 x + 3logx, gdyż (logx) = 1/x oraz (3x) = 3. d) f(x) = 3x e x Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a iloczynu funkcji otrzymujemy (3x e x ) = 3x (e x ) + (3x) e x = 3xe x + 3 e x, ponieważ (e x ) = e x. e) f(x) = 3 x 3 Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a ilorazu funkcji otrzymujemy ( 3 x 3 ) = (3) (x 3) 3 (x 3) (x 3) 2 = 3 (x 3) 2 f) f(x) = x Rozwi azanie: Korzystaj ac z wzoru na pochodn a ilorazu funkcji otrzymujemy ( x ) = = (x2 1) (2 + 1) ( 1)(2 + 1) (2 + 1) 2 = 2x(2x2 + 1) 4x( 1) (2 + 1) 2 = 1 6x (2 + 1) 2

2 g) f(x) = ( + 1) 1/2. Niech g(x) = x oraz h(x) = + 1 Wiadomo, że ( x) = 1 2 x oraz (x2 + 1) = 2x. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = x. h) f(x) = ln(3 + x 4) Niech g(x) = log x oraz h(x) = 3 + x 4 Wiadomo, że (log x) = 1 x oraz (3x2 + x 4) = 6x + 1. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) 1 = (6x + 1). 3 +x 4 i) f(x) = log 3 ( + x + 1) Niech g(x) = log 3 x oraz h(x) = + x + 1 Wiadomo, że (ln 3 x) = 1 x log3 oraz (x2 + x + 1) = 2x + 1. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) 1 = (2x + 1). ( +x+1) log3 j) f(x) = (2/3) 1 3x2 Niech g(x) = (2/3) x oraz h(x) = 1 3 Wiadomo, że ((2/3) x ) = (2/3) x log(2/3) oraz (1 3 ) = 6x. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = (2/3) 1 3x2 ( 6x) log(2/3). k) f(x) = (3x 4 + x 3 + x) 5 Niech g(x) = x 5 oraz h(x) = 3x 4 + x 3 + x Wiadomo, że (x 5 ) = 5x 4 oraz (3x 4 + x 3 + x) = 12x Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = 5(3x 4 + x 3 + x) 4 (12x ). Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) jeśli f(x) = 3x + 2 oraz x 0 = 2 Rozwiazanie: Rownanie prostej l ma postac y = ax + b Jeśli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) to z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że a = f (x 0 ). Styczna oraz wykres funkcji f maj a wspólny punkt (x 0, f(x 0 )) co daje f(x 0 ) = a x 0 + b czyli b = f(x 0 ) a x 0. Podstawiajac wartości liczbowe otrzymujemy: f (x) = 2x 3 czyli f (2) = 1 oraz b = f(2) 1 2 = 2. Równanie stycznej ma postać y = x 2. 2

3 Zadanie 3. Jaki k at z osi a Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = 3x + 8 w punkcie (2, 6)? Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że tangens k ata α miȩdzy styczn a a osi a Ox wynosi f (2) czyli f (x) = 2x 3 oraz f (2) = 1 co daje α = Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x 3 3 9x + 2 jest równoleg la do osi Ox? Rozwiazanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) jest równoleg la do osi Ox gdy f (x 0 ) = 0. Zatem f (x 0 ) = 3 0 6x 0 9 = 0. Rozwi azuj ac to równanie kwadratowe otrzymujemy odpowiednio = 144 oraz pierwiastki x 1 = 3 lub = 1. W punktach (3, f(3)) oraz ( 1, f( 1)) styczne s a równoleg le do osi Ox. Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji f(x) = + 5x + 3 dla x 0 = 3. Rozwiazanie: Z definicji elastyczność E x f funkcji f w punkcie x dana jest wzorem E x f = f (x) f(x) x. Zatem f (x) = 2x + 5, f (3) = 11 oraz f(3) = 27, co daje E 3 f = = 11/9. Zadanie 6. Korzystaj ac z regu ly de l Hospitala oblicz granice: a) lim x 1 x b) lim x 0 e x 1 x Rozwiazanie: a) Funkcje f(x) = x 3 1 oraz g(x) = 1 s a określone na R oraz różniczkowalne w dowolnym punkcie x R, zatem z regu ly de l Hospitala otrzymujemy: x 3 1 lim x 1 1 = lim (x 3 1) 3 x 1 ( 1) = lim x 1 2x = 3/2. b) Funkcje f(x) = e x 1 oraz g(x) = x spe lniaj a za lożenia tw. de l Hospitala, mamy wiȩc: e x 1 (e x 1) lim = lim x 0 x x 0 (x) = lim x 0 e x 1 = 1. 1 Dodatkowe zadania z odpowiedziami Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nastepuj acych funkcji: a) f(x) = x 4 + 6x x 4x x + 1 b)f(x) = x 1/3 3 3 (x) 2/3 c) f(x) = 3x log(x 1) 3x x log(x 1) 3

4 d) f(x) = 3(x + 2) e x 2 3(x + 2) e x e x 2 e) f(x) = x+3 x 3 f) f(x) = x (x 3) 2 10x ( +2) 2 g) f(x) = ( + x + 1) 1/2 2x+1 2 +x+1 h) f(x) = log(3 + 8) 6x 3 +8 i) f(x) = log 3 ( + 4x + 7) 2x+4 ( +4x+7)log3 j) f(x) = 3 x4 4x 3 3 x4 log3 k) f(x) = 5 x3 7x+2 5 x3 7x+2 (3 7) log5 l) f(x) = (2 + 2x)(3x 4 + x) (2 + 2x)(12x 3 + 1) + (4x + 2)(3x 4 + x) m) f(x) = (3x x) 5 5(3x x) 4 (9 + 2x + 1) Zadanie 2. Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) jeśli a) f(x) = x + 2 oraz x 0 = 2 b) f(x) = x oraz x 0 = 1 Odpowiedź: a) y = 3x 2 b) y=x+1 Zadanie 3. Jaki k at z osi a Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = 3x + 8 w punkcie x = 1.5? Odpowiedź: K at 0 0 Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x 3 9x + 2 jest równoleg la do osi Ox? Odpowiedź: Dla x 0 = 3 lub x 0 = 3. Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji 4

5 a) f(x) = + 5x + 3 dla x 0 = 3. b) f(x) = e x + 1 dla x 0 = 2 Odpowiedź: a) 27/17 b) 2e2 e 2 +1 Zadanie 6. Korzystaj ac z regu ly de l Hospitala oblicz granice: a) lim x 1 x b) lim x e x x c) lim x log(x+1) x d) lim x 0 e x x 1 e) lim x 5 x 1 Odpowiedź: a) 9/2, b), c) 0, d) 1/2, e). 5