Definicja Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład gamma, jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem

Transkrypt

1 .. Pewne rozłady zmiennej osowej ciągłej 5 Rozład gamma Definicja.7. Mówimy, że zmienna osowa X ma rozład gamma, jeśi jej funcja gęstości jest oreśona wzorem gdzie b > 0 i p > 0 oznaczają pewne stałe. Przypomnijmy, że funcją gamma nazywamy całę Euera drugiego rodzaju daną wzorem Mamy przy tym oraz gdy wartość n jest iczbą naturaną. Przyład.7. Zmienna osowa X podega rozładowi gamma da b = i p =. Obiczyć prawdopodobieństwo, że zmienna ta przyjmie wartość nie więszą od oraz wyznaczyć dystrybuantę. Zgodnie z definicją.7 funcja gęstości ma postać Ponieważ '() =, więc oraz 0 da x 0, p = b p x p e bx da ( ) x > 0, Γ p Γ( p) = x e dx, p> 0. 0 Szczegónym przypadiem rozładu gamma jest rozład wyładniczy, tóry otrzymujemy da b = 8 i p =. Wówczas x Γ( p+ ) = p Γ( p) Γ( n+ ) = n!, 0 da x 0, = x xe da x > 0. Γ( ) x x x e P( X ) = x e dx = ( x e + e ) = 06, 0 e 0 0 da x 0, F( x) = x ( x+ ) e da x > 0. 0 da x 0, = λx λ e da x > 0.

2 5 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Rozład beta Definicja.8. Zmienna osowa X ma rozład beta, jeżei jej gęstość jest oreśona wzorem 0 da x < 0, f x B p q x p x q ( ) = ( ) da 0 (, ) x, 0 da x >, gdzie p > 0 i q > 0 oznaczają pewne stałe. Przypomnijmy, że funcją beta nazywamy całę Euera pierwszego rodzaju, tórą oreśa wzór oraz że zachodzą następujące zaeżności: gdzie m i n oznaczają iczby naturane. Przyład.8. Zmienna osowa X podega rozładowi beta da p = i q =. Obiczyć prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość mniejszą od 0,. Na podstawie definicji.8 funcja gęstości dana jest wzorem Ponieważ więc p q B( p, q) = x ( x) dx, p> 0, q > 0 0 q B( p, q) = B( p, q ), p+ q Γ( p) Γ( q) B( p, q) =, Γ( p+ q) ( n )! B( p, n) = p ( p+ ) K ( p+ n ), ( n )!( m )! Bmn (, ) =. ( m+ n )! 0 da x < 0 ub x >, = x ( x) da 0 x. B(, ) ( + )! 4! = = =, B(, )!! 0, 0, P( X < 0, ) = x ( x) dx = 4 x x = 0,

3 .. Pewne rozłady zmiennej osowej ciągłej 5 Rozład Cauchy ego Definicja.9. Mówimy, że zmienna osowa X ma rozład Cauchy ego, gdy jej gęstość jest oreśona wzorem = π α + ( x a) gdzie " > 0, a a oznacza dowoną iczbę rzeczywistą,!4 < x < +4.. W przypadu a = 0 i " = wyres gęstości jej następujący: α, Da a = 0 dystrybuanta tego rozładu ma postać Rozład Lapace a α dt t x F( x) = = arctg = + arctg. π t + α π α π α Definicja.0. Mówimy, e zmienna osowa X podega rozładowi Lapace a, jeśi jej gęstość prawdopodobieństwa jest oreśona wzorem gdzie 8 > 0 i!4 < x < +4. Wyres tej funcji jest następujący: x x = exp( x ), λ λ

4 54 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Rozład Maxwea Definicja.. Mówimy, że zmienna osowa X ma rozład Maxwea, gdy jej gęstość prawdopodobieństwa dana jest wzorem przy czym 8 > 0. 0 da x 0, / = 4λ x exp( λx ) da x > 0, π Wyres powyższej funcji gęstości da 8 = / jest następujący: Zadania. Zmienna osowa X ma rozład według gęstości danej wzorem A. Obiczyć stałą C. B. Podać dystrybuantę. C. Obiczyć P(B/6 X B/4). 0 da x < 0, π = C sin x da 0 x, π 0 da x >.. Zmienna osowa X podega rozładowi według gęstości danej wzorem A. Obiczyć stałą a. B. Podać dystrybuantę. C. Obiczyć P( X e). 0 da x <, = n x da x a, 0 da x > a.

5 .4. Funcje zmiennych osowych 55. Strzała minutowa zegara eetrycznego zmienia położenie w ońcu ażdej minuty. Jeżei strzała wsazuje a minut, to rzeczywisty czas t jest zmienną osową przyjmującą wartości z przedziału [a, a + ]. Znaeźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej t. 4. Zmienna osowa przyjmuje wartości z przedziału [, 7], przy czym prawdopodobieństwo przyjęcia przez nią wartości z wycina przedziału [, 4] jest pięć razy więsze od prawdopodobieństwa przyjęcia wartości z wycina o tej samej długości z przedziału [, ), a taże z przedziału (4, 7]. Podać gęstość, dystrybuantę i obiczyć P(,6 X 4,7). 5. Zmienna osowa X podega rozładowi według trójąta utworzonego przez oś Ox oraz proste y = ax + a i y =!x + 4. Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej. 6. Zmienna osowa podega rozładowi według trójąta utworzonego przez oś Ox oraz proste y = ax (a > 0) i y = a x Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdo- podobieństwa tej zmiennej. 7. Zmienna osowa X podega rozładowi według gęstości danej wzorem 0 da x <, x = da x, 4 0 da x >. Wyznaczyć dystrybuantę oraz obiczyć P(,4 X ). Wyonać wyresy gęstości i dystrybuanty. Zaznaczyć wartość obiczonego prawdopodobieństwa na wyonanych wyresach. 8. Zmienna osowa podega rozładowi według trapezu równoramiennego o podstawie x i ącie nachyenia " = B/6, przy czym a x b. Napisać równanie gęstości. 9. Zmienna osowa podega rozładowi według trójąta równoramiennego o podstawie a x a. Napisać równanie gęstości. 0. Zmienna osowa X przyjmuje wartości x =, x = i x = 4 z prawdopodobieństwami odpowiednio /, /4 i 5/. Wyznaczyć wartości dystrybuanty F(), F(,5), F(4) i F(6).. Pewna gra poega na rzucie trzema monetami i otrzymaniu wygranej 0 zł w przypadu wyrzucenia trzech orłów i przegraniu 6 zł w pozostałych przypadach. Tratując wygraną jao zmienną osową podać jej funcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę..4. Funcje zmiennych osowych Ograniczymy się do podania twierdzenia. Twierdzenie.. Jeżei zmienna X jest zmienną osową, a funcja g(x) jest funcją B-mierzaną, to zmienna Y=g(X) jest też zmienną osową. Dowód pomijamy.

6 56 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Funcję g(x) nazywa się funcją B-mierzaną, gdy oreśony przez nierówność g(x) < y zbiór argumentów x jest zbiorem boreowsim da ażdej wartości y. W szczegóności ażda funcja ciągła jest B-mierzana..5. Oreśenia momentów Momenty są charaterystyami iczbowymi rozładów zmiennych osowych, tóre umożiwiają szybie porównanie rozładów między sobą. Definicja.. Momentem rzędu ( =,,...) wzgędem iczby c zmiennej osowej X nazywamy da zmiennej osowej soowej sumę a da zmiennej osowej ciągłej całę jeśi odpowiednio szereg ub cała są bezwzgędnie zbieżne, gdzie p oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną osową X wartości x, a f(x) gęstość prawdopodobieństwa. Uwagi. Jeśi zmienna osowa X jest soowa o sończonej iczbie puntów soowych x ub ciągła o gęstości ograniczonej i więszej od zera na przedziae sończonym [a, b], to warune bezwzgędnej zbieżności odpada, bo w pierwszym przypadu mamy do czynienia z sumą sończoną, a w drugim z całą oznaczoną.. Z definicji wynia, że moment zaeży tyo od rozładu. Jeśi zatem X i X oznaczają dwie zmienne osowe o tym samym rozładzie, to momenty tych zmiennych są równe. Może jedna zdarzyć się, że rozład nie ma momentów. Definicja.. Jeżei c = 0, to moment nazywamy zwyłym i oznaczamy przez m, tj. m = x p da zmiennej osowej soowej, m x = + x dx da zmiennej osowej ciągłej. Definicja.4. Moment zwyły rzędu pierwszego nazywamy wartością przeciętną (wartością oczeiwaną, nadzieją matematyczną) i oznaczamy symboem E(X), tj. E( X) = x p µ = ( x c) p, + µ = ( x c) dx, da zmiennej osowej soowej,

7 .5. Oreśenia momentów 57 + E( X) = x dx da zmiennej osowej ciągłej. Przyład.9. Zmienna osowa X podega rozładowi P(X = x ) = p, =,,..., gdzie p = ( x = ),. Zbadać istnienie momentu rzędu pierwszego. Na podstawie definicji.4 naeży obiczyć sumę ioczynów wartości zmiennej osowej przez odpowiadające im prawdopodobieństwa. Mamy x p ( ) ( ) = = = = = = n. Poprzestanie na tych obiczeniach prowadzi do błędnego wniosu, że wartość oczeiwana istnieje. Mamy jedna co oznacza, że szereg nie jest bezwzgędnie zbieżny (jest to szereg harmoniczny rzędu pierwszego). Przyład.0. Zmienna osowa X ma rozład Cauchy ego postaci Zbadać istnienie wartości oczeiwanej w tym rozładzie. Mamy co oznacza, że rozład Cauchy ego nie ma momentu rzędu pierwszego. Wynia z tego, że rozład ten nie ma żadnego momentu. Definicja.5. Jeśi w definicji. przyjmiemy c = m = E(X), to tai moment nazywamy momentem centranym rzędu i oznaczamy przez :, czyi µ = ( ) x m p + µ = x ( x m ) dx p = =, = = =, < x <+. π + x + + xx π dx x π x dx π x = = + = n( ), 0 da zmiennej osowej soowej, da zmiennej osowej ciągłej.

8 58 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Definicja.6. Moment centrany rzędu drugiego : nazywamy wariancją, a pierwiaste z niego odchyeniem standardowym. Wariancję oznaczamy przez F ub D (X), a odchyenie standardowe przez F ub D(X), tj. D ( X) = [ x E( X)] p + D ( X) = [ x E( X)] dx da zmiennej osowej soowej, da zmiennej osowej ciągłej. Moment centrany można przedstawić za pomocą wartości oczeiwanej: µ = E X E X W przypadu zmiennej osowej soowej mamy bowiem (( ( )) ). µ = ( x m ) p = ξ p = E( ξ) = E(( X m ) ) = E(( X E( X)) ), gdzie przyjęto oznaczenie ( x m ) = ξ. W przypadu zmiennej osowej ciągłej uzasadnienie jest podobne. Przyład.0. Wyrazić trzy pierwsze momenty centrane poprzez momenty zwyłe. Rozważymy przypade zmiennej osowej soowej (da zmiennej osowej ciągłej rozumowanie jest podobne). Mamy: µ = E( X E( X)) = ( x m ) p = x p m p = m m = 0, = x p m xp + m p = m m + m = m m = xp m x p + m xp m p m mm m m m mm m = + = +. µ = E(( X E( X)) ) = ( x m ) p µ = E(( X E( X)) ) = ( x m ) p Momenty m = E(X) (wartość oczeiwana) i : = D (X) (wariancja) odgrywają dużą roę w rachunu prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej i datego ich własności rozważymy w oejnych puntach.,.6. Własności wartości oczeiwanej Definicja.7. Wartością oczeiwaną funcji g zmiennej osowej X (funcji g(x), gdzie X oznacza zmienną osową) nazywamy wyrażenie E( g( x)) = g( x) p,

9 .6. Własności wartości oczeiwanej 59 gdy zmienna osowa X jest soowa o puntach soowych x i soach p oraz wyrażenie E( g( x)) = g( x) dx, gdy zmienna osowa X jest ciągła i ma gęstość f(x). Uwaga: W powyższej definicji szereg i cała powinny być bezwzgędnie zbieżne. Podstawowe własności wartości oczeiwanej podamy w iu twierdzeniach. Twierdzenie.4. Jeśi g (X) i g (X) oznaczają dwie jednoznaczne funcje zmiennej osowej X oraz jeśi istnieją wartości oczeiwane E(g (X)) i E(g (X)), to Dowód. Rozpatrzymy przypade zmiennej osowej soowej (da zmiennej osowej ciągłej dowód jest podobny). Zauważmy przede wszystim, że wartość oczeiwana sumy istnieje, bo szereg z prawej strony jest bezwzgędnie zbieżny, co wynia z nierówności i fatu, że z założenia oba szeregi po prawej stronie tej nierówności są bezwzgędnie zbieżne. Z bezwzgędnej zbieżności szeregów wynia ich zbieżność, a więc Twierdzenie.5. Wartość oczeiwana stałej a równa się tej stałej, tj. + E( g( X) + g( X)) = E( g( X)) + E( g( X)). E( g ( X) + g ( X)) = ( g ( x ) + g ( x )) p g ( x ) + g ( x ) p g ( x ) p + g ( x ) p ( g ( x ) + g ( x )) = g ( x ) + g ( x ) = E( g ( X)) + E( g ( X)). Ea ( ) = a. Dowód jest oczywisty. Twierdzenie.6. Zachodzi równość n n n E(( ax) ) = a E( X ), gdzie a oznacza pewną stałą, a n iczbę naturaną. Dowód (da zmiennej osowej soowej). Mamy n n n n n n n E(( ax) ) = ( ax ) p = a ( x p ) = a E( X ).

10 60 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Bezpośrednią onsewencją twierdzeń.4.6 jest Twierdzenie.7. Wartość oczeiwana przeształcenia iniowego zmiennej osowej X jest równa przeształceniu iniowemu wartości oczeiwanej tej zmiennej, tj. EaX ( + b) = aex ( ) + b, gdzie a i b oznaczają pewne stałe. Twierdzenie.8. Jeżei zmienna osowa Y ma postać Y = X!E(X), to E(Y) = 0. Dowód. Wartość oczeiwana jest stałą, a więc wartość oczeiwana z tej wartości jest niej równa (na podstawie twierdzenia.5), czyi E(E(X)) = E(X). Uwzgędniając twierdzenie.7 mamy E( Y) = E( X E( X)) = E( X) E( E( X)) = E( X) E( X) = 0. Twierdzenie.9 (nierówność Schwarza). Jeśi X i Y oznaczają zmienne osowe o rozładach, da tórych istnieją momenty zwyłe rzędu pierwszego i drugiego, to E( X Y) E( X ) E( Y ). Dowód. Niech Z = (X!aY) oznacza zmienną osową z parametrem a, tóry jest iczbą rzeczywistą. Na podstawie twierdzeń.4 i.6 wartość oczeiwana tej zmiennej osowej jest równa EZ ( ) = E(( X ay) ) = EX ( ) + E( a XY ) + EaY ( ) = E( X ) ae( X Y) + a E( Y ). Wartość oczeiwana E(Z) jest nieujemna, bo zmienna osowa Z jest nieujemna. Rozwiążmy nierówność E( X ) ae( X Y) + a E( Y ) 0. Aby ta nierówność była prawdziwa, wyróżni ) tego trójmianu wadratowego (z uwagi na wartość a) musi być niedodatni, czyi 4 = ( E( X Y)) E( X ) E( Y ) 0. Z nierówności tej wynia nierówność podana w twierdzeniu. Przyład.. Zmienna osowa X przyjmuje wartości x, x,..., x n, ażdą z jednaowym prawdopodobieństwem p. Obiczyć wartość oczeiwaną tej zmiennej osowej. Jeżei zmienna osowa X przyjmuje ażdą z n wartości z jednaowym prawdopodobieństwem p, to p =, sąd p = /n. Wówczas n E( X) = x p = px = x, n = = = czyi wartość oczeiwana podanej zmiennej osowej jest średnią arytmetyczną. Przyład.. Zmienna osowa X przyjmuje wartości x, x,..., x i z prawdopodobieństwami odpowiednio n p, n p,..., n i p. Obiczyć wartość oczeiwaną tej zmiennej. n n

11 .6. Własności wartości oczeiwanej 6 Zadania Suma wszystich prawdopodobieństw musi być równa, tj. sąd n p+ n p+ K + n p=, i p =. n + n + K + n i Jeśi oznaczymy n = n + n n i, to otrzymamy p = /n. Poszczegóne prawdopodobieństwa będą zatem równe tóre można interpretować jao częstości wzgędne sucesów w n doświadczeniach. Da wartości oczeiwanej otrzymujemy Oazuje się, że w tym przypadu wartość oczeiwana jest tzw. średnią arytmetyczną ważoną.. Rzucamy sześcienną ostą do gry. Obiczyć wartość oczeiwaną iczby wyrzuconych ocze.. Rzucamy dwiema sześciennymi ostami do gry. Jaa jest wartość oczeiwana sumy otrzymanej iczby ocze na obu ostach?. Zorganizowano dwa turnieje: I i II. Gracz może wybrać tyo jeden z nich. Orientuje się, że w turnieju I ma szansę wygrania pierwszej nagrody w wysoości 00 zł, drugiej 800 zł i trzeciej 00 zł z prawdopodobieństwami odpowiednio 0,, 0,6 i 0,, a w turnieju II nagrody o tej samej wysoości ma szansę wygrać z prawdopodobieństwami odpowiednio 0,, 0, i 0,4. W tórym turnieju jest orzystniej uczestniczyć graczowi? 4. Zorganizowano następującą oterię: rzucamy trzema ostami i w przypadu trzech szóste wygrywamy 00 zł pus stawę, a w przypadu dwóch szóste wygrywamy 0 zł pus stawę. Ie powinna wynosić stawa, aby gra była sprawiediwa? Uwaga: Gra jest sprawiediwa, gdy wartość oczeiwana zmiennej osowej opisującej grę jest równa zero. 5. W urnie mamy 6 u białych i 4 czarne. Ciągniemy z urny ue ze zwrotem, a ż do otrzymania ui białej, ecz co najwyżej trzy razy. Obiczyć w tych warunach wartość oczeiwaną iczby ciągnięć. 6. Obiczyć wartość oczeiwaną da rozładu jednostajnego. n n n ni,, K,, n n i n E( X) = x = xn. n n = = 7. Zmienna osowa X podega rozładowi Bernouiego. Obiczyć wartość oczeiwaną tej zmiennej. i

12 6 III. Zmienne osowe jednowymiarowe 8. Zmienna osowa X podega rozładowi Poissona. Obiczyć wartość oczeiwaną tej zmiennej..7. Wsaźnii rozrzutu Znajomość tzw. wsaźniów rozrzutu jest onieczna, gdy przy rozpatrywaniu dwu ub więcej rozładów zmiennej osowej stwierdza się, że wartości oczeiwane w tych rozładach są taie same, a trzeba rozstrzygnąć, tóry rozład jest w danych warunach epszy. Na przyład otrzymanie tych samych średnich trafień przy strzeaniu do tarczy nie rozstrzyga, tóry ze strzeców jest epszy. Decyzję można podjąć po zbadaniu rozrzutów, czyi supień trafień woół ceu. Jednym ze wsaźniów rozrzutu jest odchyenie standardowe, czyi pierwiaste z wariancji. W oejnych twierdzeniach podano podstawowe własności wariancji i odchyenia standardowego. Twierdzenie.0. Da ażdej wartości c m zachodzi nierówność Dowód. Mamy D ( X) < E(( X c) ). E(( X c) ) = E(( X m + m c) ) = E(( X m ) ) + ( m c) E( X m ) + E(( m c) ). Ae E(( X m ) ) = E(( X E( X)) ) = D ( X), na podstawie twierdzenia.8 a na podstawie twierdzenia.5 E( X m ) = E( X E( X)) =, 0 E(( m c) ) = ( m c). Zatem da c m. E(( X c) ) = D ( X) + ( m c) > D ( X) Twierdzenie.. Dodanie stałej do wartości zmiennej osowej nie zmienia jej wariancji, tj. Dowód. Mamy D ( X + b) = D ( X). D ( X + b) = E(( X + b E( X + b)) ) = E(( X + b E( X) E( b)) ) = E(( X + b E( X) b) ) = E(( X E( X)) ) = D ( X). Twierdzenie.. Jeżei Y = ax, to D ( Y) = a D ( X),

13 .7. Wsaźnii rozrzutu 6 czyi σ = DY ( ) = a D( X). Dowód. Mamy D ( Y) = D ( ax ) = E(( ax E( ax )) ) = E(( ax ) axe( ax ) + ( E( ax )) ) = E(( ax ) ) E( ax E( ax )) + ( E( ax )) = E(( ax ) ) E( ax ) E( ax ) + ( E( ax )) = E(( ax ) ) ( E( ax )) = a E( X ) a ( E( X)) = a ( E( X ) E ( X)) = a D ( X), co ończy dowód. Twierdzenie.. Wariancja dowonej stałej b jest równa zeru, tj. D ( b) = 0. Dowód wynia bezpośrednio z twierdzenia.5 i definicji wariancji. Przyład.. Sep ma do wyboru zaup z hurtowni jednej z dwóch partii onserw A i B po 00 sztu, ażda o jednaowej cenie i jaości. Dane są ciężary (w g) pusze partii A i B (odpowiednio A i B ) oraz iczby pusze n o wadze A i m o wadze B : A 0,7 0,8 0,9,0,,, n B 0,7 0,8 0,9,0,,, n Którą partię naeży poecić do wyboru? Zmienna osowa da upujących z partii A przyjmuje wartości A z prawdopodobieństwami n /00, a z partii B wartości B z prawdopodobieństwami m /00 (ciężary obu partii są jednaowe i wynoszą 00). Mamy E(A) = E(B) = (w g), tzn naeżałoby sprzedać puszę jao ważącą g. Mogłoby wydawać się, że partie A i B są równoważne. Lepsza jest jedna ta paria, tórej ciężary pusze są bardziej zbiżone do nominanych ( g). Lepsza jest zatem paria, tóra przy jednaowych wartościach oczeiwanych ma mniejszy rozrzut. Obiczamy zatem wariancje: D oraz ( A) = [( 07, ) + ( 08, ) + ( 09, ) (, 0 ) + (, ) 8+ (, ) 9 + (, ) ] = 0, 044

14 64 III. Zmienne osowe jednowymiarowe Ponieważ D (A) < D (B), więc naeży wybrać partię A. Przyład.4. Obiczyć wariancję rozładu jednostajnego. Ponieważ Zadania m D a na podstawie zadania 6 po p..6 wiemy, że więc wystarczy obiczyć m. Mamy Zatem. Rzucamy sześcienną ostą do gry. Obiczyć wariancję iczby wyrzuconych ocze na ostce.. Rzucamy dwiema sześciennymi ostami do gry. Obiczyć wariancję sumy iczb ocze otrzymanych na ostach.. Obiczyć wariancję rozładu Bernouiego. 4. Obiczyć wariancję rozładu Poissona. ( B) = [( 07, ) 0+ ( 08, ) 0+ ( 09, ) 00 + (, 0 ) 8+ (, ) 5+ (, ) + (, ) 4] = 0, D ( X) = E( X ) ( E( X)) = m m, m b a b = E( X) = +, x f x b a x dx b a x b a ab b = ( ) = = = ( a + + ). a ( a b) D ( X) = ( a + ab+ b ) ( a + ab+ b ) = 4 5. Rzucamy dwie ości do gry. Oznaczmy przez X zmienną osową przyjmującą wartości równe iczbie ocze na pierwszej ostce, a przez X zmienną osową przyjmującą wartość, o ie na pierwszej ostce jest piąta i na drugiej ostce jest piąta, natomiast wartość 0 w pozostałych przypadach. A. Znaeźć rozład zmiennej osowej X = X + X. B. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej osowej X i wyonać jej wyres. C. Obiczyć P(4 X < 6) oraz zaznaczyć obiczone prawdopodobieństwo na wyresie dystrybuanty. D. Obiczyć wartość oczeiwaną i odchyenie standardowe zmiennej osowej X..

15 .7. Wsaźnii rozrzutu Myśiwy ma trzy naboje i strzea do chwii trafienia do ceu ub do chwii wystrzeenia wszystich naboi. Liczba naboi jest zmienną osową. A. Podać rozład tej zmiennej wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia ceu przy ażdym strzae jest równe 0,8. B. Obiczyć wartość oczeiwaną i odchyenie standardowe. 7. A. Da jaiej wartości C funcja Cx da 0 x, = 0 da x < 0 i x > jest gęstością prawdopodobieństwa? B. Znaeźć dystrybuantę wyznaczonego rozładu i wyonać jej wyres. C. Obiczyć P( X < 4) i zaznaczyć wartość obiczonego prawdopodobieństwa na wyresie dystrybuanty. D. Obiczyć wartość oczeiwaną i odchyenie standardowe. 8. Zmienna osowa X przyjmuje wartości!, i z prawdopodobieństwami odpowiednio 0,5, 0,5 i 0,5. A. Znaeźć rozład zmiennej osowej Y = X. B. Obiczyć E(Y) i D(Y).