x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

Transkrypt

1 3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego m. Najpierw jednak wprowadźmy nową zmienną x cos θ. 3.3) W zmiennej x równanie 3.9) przyjmuje postać d ) x dp x) + λ m P x) ) x Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać d 3 r r dr sin θdθ dϕ r dr dϕ. Wieomiany Legendre a. Choć da interesujących nas przypadków fizycznych zmienna x zawarta jest w przedziae x, to równanie 3.4) rozwiążemy przy pomocy technik z dziedziny funkcji zespoonych. Naszym podstawowym żądaniem będzie, aby rozwiązania w obszarze fizycznym, t.j. da rzeczywistych z z odcinka, nie miały żadnych osobiwości. Łatwo przekonać się, że da m 0 równanie 3.4) d ) z dp z) + λ P z) 0 3.5) dz dz ma reguarne punkty osobiwe w punktach z 0 ±. Zatem zgodnie z teorią równań różniczkowych powinniśmy szukać rozwiązania w postaci szeregu potęgowego P z) a n z z 0 ) n+α. 3.6) n0 Podstawiając powyższy szereg do 3.5) znajdujemy, że ub w ogónym przypadku α 0, α m /4. 3.7) Oznacza to, że drugie rozwiązanie równania 3.5) zawiera nz z 0 ), a zatem jest rozbieżne w z 0 i musimy go odrzucić. Podobnie da m 0 drugie rozwiązanie jest rozbieżne jak /z z 0 ) m /. Szereg 3.6) ma promień zbieżności, a zatem jeśi da ustaenia uwagi z 0 to rozwiązanie to byłoby rozbieżne w punkcie z. Datego, aby uzyskać pełne rozwiązanie w interesującym nas obszarze fizycznym, musimy rozwiązanie to przedłużyć anaitycznie do obszaru zawierającego punkt z. Oznacza to, że w jakimś pośrednim 77

2 punkcie, np. w z 0, który eży w obszarze zbieżności rozwiązań wokół z 0 i z 0, szereg 3.6) musimy przedstawić jako kombinację iniową rozwiązania typu 3.6) wokół z 0 oraz drugiego, iniowo niezaeżnego, rozwązania zawierającego nz + ). A to oznacza, że rozwiązanie skończone wokół z 0 zostało przedłużone anaitycznie w rozwiązanie nieskończone da z. Takie rozwiązanie musimy jednak odrzucić jako niefizyczne. Jedynym wyjściem z tej sytuacji, podobnie jak to miało miejsce da oscyatora harmonicznego, jest takie dobranie stałej λ, aby nieskończony szereg 3.6) urywał się da pewnego n max. Wówczas nie mieibyśmy probemów ze zbieżnością szeregu, a otrzymany w ten sposób wieomian byłby dobrym rozwiązaniem w całym obszarze fizycznym. W praktyce program ten reaizuje się szukając rozwiązania w postaci szeregu 3.6) wokó z 0 0. Podstawiając 3.6) do równania 3.5) otrzymujemy formułę rekurencyjną nn + ) λ a n+ n + )n + ) a n. 3.8) Widzimy, że rozwiązania wieomianowe otrzymuje się jedynie gdy λ + ), 3.9) gdzie 0,,,.... Ponadto widać, że ze wzgędu na rekurencję, która łączy co drugi wyraz szeregu 3.6), mamy dwa typy rozwiązań: parzyste i nieparzyste. Wyrazy a 0 i a dobieramy tak, aby otrzymane przez nas wieomiany były unormowane w następujący sposób P x)p k x) + δ k. 3.0) Tak unormowane wieomiany ortogonane na odcinku, nazywamy wieomianami Legendre a. Podamy teraz wygodny wzór, który pozwaa wyiczyć wieomian Legendre a dowonego stopnia: P x) d x ). 3.)! Kika najniższych wieomianów Legendre a ma następującą postać: P 0 x), P x) x, P x) 3x ), P 3 x) 5x 3 3x ). 3.) Warto zapamiętać, że wieomiany Legendre a, dzięki przyjętej normaizacji 3.0) mają na brzegach przedziału fizycznego wartości ub : zgodnie z parzystością wieomianu. P ), P ) ) 3.3) 78

3 Ponieważ wieomiany Legendre a tworzą zupełny układ funkcji na odcinku,, można za ich pomocą przedstawić operator jednostkowy: + ) P x)p x ) δx x ). 3.4) 0 Na koniec podamy jeszcze, podobnie jak to zrobiiśmy w przypadku wieomianów Hermite a, funkcję tworzącą da wieomianów Legendre a: F u, x) P x) u. 3.5) ux + u Aby udowodnić, że występujące w rozwinięciu 3.5) współczynniki P x) są rzeczywiście wieomianami Legendre a, wystarczy wykazać, że są to wieomiany ortonormane na odcinku, z normą zgodną z równaniem 3.0). W tym ceu pomnóżmy dwie funkcje tworzące od różnych zmiennych i scałkujmy po : 0 F u, x) F v, x) ux + u vx + v ) ) n + uv n uv uv uv ) k ) k+ + uv k + 0 k0 + uv), 3.6) gdzie w ostatnim wzorze podstawiiśmy k. Z koei, wyiczając tę samą całkę przy użyciu prawej strony wzoru 3.5) otrzymujemy F u, x) F v, x) u v k,k0 P x) P k x). 3.7) Aby prawa strona 3.7) była równa prawej stronie 3.6) musi zachodzić równość 3.0). A zatem współczynniki P x) są rzeczywiście wieomianami Legendre a. Stowarzyszone wieomiany Legendre a. Aby rozwiązać równanie 3.4) da dowonego, całkowitego m, zauważmy najpierw, że rozumowanie, które doprowadziło nas do wniosku, że rozwiązaniami da przypadku m 0 są wieomiany, a nie nieskończone szeregi pozostaje w mocy. A zatem będziemy szukać rozwiązania równania d ) x dp x) + + ) m P x) 0 3.8) x 79

4 w postaci P x) x) m / + x) m / Rx) x ) m / Rx), 3.9) gdzie zgodnie z równaniem 3.7) wyseparowaiśmy potęgę z 0 ) α, natomiast Rx) są wieomianami. Podstawiając 3.9) do równania 3.8) otrzymujemy równanie na Rx): x ) R x) m + ) x R x) + + ) m m + ) Rx) ) Przypomnijmy teraz równanie na wieomian Legendre a stopnia : ) x P x) x P x) + + ) P x) ) Łatwo się przekonać, że różniczkując m -krotnie równanie 3.3) otrzymamy równanie 3.30), przy czym Rx) d m m P x). 3.3) Wieomiany Rx) można wyiczyć korzystając z równania 3.) d + m Rx) x ). 3.33)! + m Zauważmy, że najwyższa potęga x rozwinięciu wyrażenia x ) wynosi x. Zatem każde różniczkowanie dwumianu x ) powyżej -tego daje zero. Wynika stąd, że: czyi, że da danego, m może przyjmować + wartości: m, 3.34) m, +,..., 0,...,,. 3.35) Pełne rozwiązania równania 3.8) nazywamy stowarzyszonymi wieomianami Legendre a choć tak na prawdę da nieparzystych m zawierają one pierwiastek z x )) i oznaczamy jako P m x): P m x) x ) m / d + m x ). 3.36)! + m Funkcje te są są znormaizowane w następujący sposób P m + m )! x) m )! ) 80

5 3..3 Funkcje kuiste Spróbujmy podsumować naszą dotychczasową dyskusję dotyczącą zaeżności kątowej rozwiązań równania Schrödingera z potencjałem o symetrii sferycznej. Rozwiązaniami równania 3.5) są funkcje Y m θ, ϕ) przyjmujące postać: + Y m m )! θ, ϕ) ɛ m + m )! P m cos θ) e imϕ, 3.38) π gdzie faza ɛ m ) m da m > 0 i ɛ m da m 0. Warto wspomnieć, że istnieją w iteraturze inne wybory faz funkcji kuistych np. Landau, Lifszyc). Jednak najważniejszym wynikiem naszej dotychczasowej dyskusji jest nie tye wzór 3.38), co zakres zmienności indeksów i m dany przez równania 3.) i 3.35): 0,,,..., m, +,..., 0,...,,. Oznacza to, że wartości własne operatora momentu pędu są skwantowane, podobnie jak wartości własne ˆL z, których spektrum jest ograniczone przez reację 3.34). Funkcje kuiste, będące funkcjami własnymi ˆL i ˆL z układają się w mutipety o okreśonym. Podajmy przykładowo kika pierwszych funkcji kuistych: 0 Y 0 0 4π, Y 0 3 cos θ, 4π Y ± 3 sin θ 8π e±iϕ, Y π cos θ ), Y ± ± Y ± 5 sin θ cos θ 8π e±iϕ, 5 3π sin θ e ±iϕ. 3.39) 3.3 Część radiana równania Schrödingera Radiane równanie Schrödingera 3.), po zdiagonaizowaniu ˆL przyjmuje postać r ) + m + ) r V r) E) + ur) ) r r h r Warto go przepisać podstawiając za ur) χr)/r. W tym ceu wyiczmy r ) χ r r r r r r rχ χ) r χ, 3.4) 8

6 gdzie w ostatnim kroku skasował się człon zawierający pierwszą pochodną χ. Ostatecznie, po przemnożeniu przez h /m równanie radiane przyjmuje postać h d χ V m dr + r) + h m + ) χr) E χr). 3.4) r Zatem ruch radiany przypomina ruch jednowymiarowy w zmodyfikowanym potencjae V r) + h + ). 3.43) m r Człon proporcjonany do + ) nazywa się barierą centryfuganą. Znika ona tyko da stanów o zerowym momencie pędu. Kształt radianej funkcji faowej i wartości energii E zaeżą od konkretnego potencjału i będą omówione w jednym z następnych rozdziałów. 8