Eugeniusz Rosołowski. Komputerowe metody analizy elektromagnetycznych stanów przejściowych

Transkrypt

1 Eugenusz Rosołowsk Komputerowe metody analzy elektromagnetycznych stanów przejścowych Ocyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej Wrocław 9

2 Opnodawcy Jan IŻYKOWSKI Paweł SOWA Opracowane redakcyjne Mara IZBIKA Korekta Agneszka ŚIEPURO Projekt okładk Zoa Darusz GODEWSY Skład komputerowy Eugenusz ROSOŁOWSKI Wszelke prawa zastrzeżone. Żadna część nnejszej ksążk, zarówno w całośc, jak we ragmentach, ne może być reprodukowana w sposób elektronczny, otograczny nny bez zgody wydawcy właśccela praw autorskch. OFIYNA WYDAWNIZA POITEHNIKI WROŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańskego 7, 5-37 Wrocław e-mal: ocwyd@pwr.wroc.pl ISBN Drukarna Ocyny Wydawnczej Poltechnk Wrocławskej. Zam. nr /9.

3 SPIS TREŚI OD AUTORA DYSKRETNE INIOWE MODEE SIEI EEKTRYZNEJ..... Wprowadzene..... Dyskretna reprezentacja równań różnczkowych Wybrane algorytmy Dokładność stablność rozwązana Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego Rezystancja Indukcyjność Pojemność Gałęze złożone Źródła sterowane na długa Właścwośc częstotlwoścowe model cyrowych Metoda potencjałów węzłowych Tworzene równań Rozwązywane równań potencjałów węzłowych Algorytm symulacj Określane warunków początkowych Stablność model cyrowych Numeryczne oscylacje podczas symulacj stanu przejścowego Tłumene oscylacj za pomocą dodatkowej rezystancj Tłumene oscylacj przez zmanę metody całkowana Metoda dopasowana transmtancj Zadana MODEE EEMENTÓW NIEINIOWYH I ZAEŻNYH OD ZASU Metody rozwązywana równań nelnowych Metoda teracj prostej Metoda Newtona Metoda secznych Metoda Atkena Metoda Newtona Raphsona Modele elementów nelnowych obwodu elektrycznego Rezystancja Indukcyjność Pojemność... 96

4 4 Sps treśc.3. Model sec nelnowej zależnej od czasu Obwód z elementam nelnowym zależnym od czasu Metoda kompensacj Metoda odcnkowo-lnowej aproksymacj charakterystyk nelnowej... 7 Zadana METODA ZMIENNYH STANU Wprowadzene Formułowane równań stanu Rozwązywane równań stanu Układy lnowe Układy nelnowe Podsumowane... Zadana MODE INII EEKTROENERGETYZNEJ na jednoazowa Parametry ln Uwzględnene zależnośc parametrów od częstotlwośc na weloazowa Model o parametrach skuponych Model o parametrach rozłożonych Zadana MODE TRANSFORMATORA Wprowadzene Transormator jednoazowy Schemat zastępczy Model transormatora dwuuzwojenowego Model transormatora trójuzwojenowego Model autotransormatora Modele obwodu magnetycznego Transormator trójazowy Transormator dwuuzwojenowy Transormator welouzwojenowy Transormatory z uzwojenem Z... 9 Zadana MODEOWANIE WIRUJĄYH MASZYN EEKTRYZNYH Maszyna synchronczna Model w składowych dq Model w składowych azowych Maszyna ndukcyjna Uwag ogólne Model matematyczny Model elektromechanczny Modele cyrowe Model wektorowy... 54

5 Sps treśc Maszyna unwersalna Zadana UWAGI KOŃOWE DODATEK A. ATP EMTP: STRUKTURA PROGRAMU A.. Wprowadzene A.. Struktura paketu ATP EMTP... 7 A... Edytor danych wejścowych... 7 A... Struktura programu ATP EMTP... 7 A..3. Procesor wynków symulacj DODATEK B. PRZYGOTOWANIE DANYH B.. Wprowadzene B.. Edytor tekstowy B... Struktura plku danych wejścowych B... Nagłówek zboru danych... 8 B..3. Dane o modelach układu sterowana B..4. Dane o gałęzach modelu sec B..5. Dane o wyłącznkach B..6. Dane o źródłach... 9 B.3. Edytor graczny ATPDraw... 9 DODATEK. PRZYKŁADY Tworzene modułów danych Struktura modułu Tworzene modułów w trybe wsadowym Tworzene modułów w edytorze gracznym ATPDraw Zastosowane modułów w edytorze gracznym ATPDraw Transormator trójazowy do symulacj zwarć wewnętrznych Model analogowego ltru odcnającego Model zabezpeczena różncowego transormatora Wprowadzene Zabezpeczene różncowe transormatora Model przekaźnka różncowego Badane zabezpeczena Analza rozruchu slnka ndukcyjnego Wprowadzene Model matematyczny slnka ndukcyjnego Analza rozruchu slnka Analza rozruchu zmany obcążena slnka Modelowane generatora ndukcyjnego dwustronne zaslanego Wprowadzene Struktura elektrown watrowej Model matematyczny generatora z układem sterującym Model ATP EMTP Warunk początkowe Wynk symulacj

6 6 Sps treśc.6.7. Podsumowane Symulacyjna analza zwarć łukowych w ln elektroenergetycznej Wprowadzene Model matematyczny łuku zwarcowego Model ATP EMTP Wynk symulacj Podsumowane Statyczna kompensacja mocy bernej Wprowadzene Statyczny kompensator mocy bernej ITERATURA SKOROWIDZ

7 OD AUTORA Modelowane komputerowe zrobło w ostatnch latach zawrotną karerę. Złożyło sę na to wele czynnków, wśród których stotną rolę odgrywają, z jednej strony, gwałtowny rozwój technolog komputerowych, a z drugej cągle nezaspokojona potrzeba lepszego zrozumena otaczającego nas śwata. Włączene technk komputerowych do modelowana symulacj zjawsk dynamcznych pozwala na bardzo elastyczne podglądane, często nedostępnych w nny sposób zależnośc. Jest to welce pomocne także w technce zarówno do analzy zjawsk, jak do werykacj pomysłów konstrukcyjnych. Zachowane systemów dynamcznych może być śledzone poprzez analzę ch opsów (model) matematycznych. W klasycznym podejścu, model matematyczny zjawska jest zazwyczaj ormułowany w odnesenu do czasu cągłego (model cągły). W przypadku komputerowej symulacj, cągły model należy zamenć na model dyskretny. Ta transormacja ne jest jednoznaczna, gdyż różnczkowane lub całkowane może być w różny sposób przedstawane w modelu dyskretnym. Wybór określonej metody numerycznej w stotny sposób wpływa na właścwośc modelu cyrowego. Należy pamętać, że właścwośc cyrowego modelu określonego zjawska w ogólnym przypadku różną sę od właścwośc jego modelu cągłego. Zasadncza różnca jest wdoczna w dzedzne częstotlwośc: wdmo sygnału dyskretnego powtarza sę z okresem zależnym od wybranego kroku modelowana. Jego cągły w czase orygnał może być zatem w marę werne reprezentowany przez numeryczną replkę w ogranczonym przedzale częstotlwośc. Ponadto, porzucene gładkej, na ogół, przestrzen czasu cągłego na rzecz, z natury chropowatej, dzedzny czasu dyskretnego sprawa, że naslają sę problemy zwązane z uzyskanem stablnego rozwązana. Pojawające sę w takch przypadkach nenaturalne oscylacje w wynkach symulacj stanów dynamcznych stanową znany problem. Do tego dochodzą także neuchronne błędy zaokrągleń arytmetycznych, wynkające z ogranczonej długośc słowa w komputerach cyrowych. Na szczęśce, ten ostatn problem został w znacznej merze usunęty we współczesnych komputerach. Analzując wymenone trudnośc łączące sę z zastosowanem komputerów do symulacj procesów dynamcznych można zapytać, jak jest sens stosowana takch rozwązań w praktyce. Gwałtowny wzrost zanteresowana komputerowym technkam symulacj jest dowodem na to, że z pewnoścą wskazane trudnośc można pokonać.

8 8 Od autora W ksążce przedstawono metody zmerzające do komputerowej symulacj stanów przejścowych w secach elektrycznych. Zagadnene to stało sę aktualne z chwlą pojawena sę łatwo dostępnych dostateczne zaawansowanych komputerów w połowe lat 6. ubegłego weku. Dzałana w tym kerunku zostały wymuszone przez koneczność analzowana szybkozmennych procesów przejścowych zwązanych z różnym zakłócenam w złożonych secach elektroenergetycznych. Gromadzene normacj na temat przebegu takch zakłóceń w naturalnym obekce jest droge nezmerne utrudnone ze względu na losowy charakter zachodzących zdarzeń. Sprawny warygodny symulator dawał nadzeję na postęp w tej dzedzne. Klasyczna praca z zakresu cyrowych metod modelowana stanów przejścowych w secach elektrycznych z obektam reprezentowanym za pomocą model o parametrach skuponych rozłożonych, autorstwa pro. H. Dommela, została opublkowana w 969 r. [8]. Utworzona przez nego grupa badawcza, złożona ze specjalstów z zakresu elektroenergetyk, metod numerycznych technk komputerowych, stworzyła podwalny pod dobrze znany paket programowy ElectroMagnetc Transents Program (EMTP) [3]. Na podstawe sormułowanych wówczas metod powstało wele różnych wersj programu. Wększość z nch, to obecne proesjonalne programy komercyjne z rozbudowanym nterejsem użytkownka, co ułatwa ch obsługę oraz analzę uzyskanych wynków. Na baze tego podejśca powstały równeż symulatory pracujące w czase rzeczywstym, które pozwalają analzować zjawska elektromagnetyczne w sec, odtwarzając je w tempe zachodzącego procesu zycznego wymagają one jednak zastosowana specjalstycznego, drogego sprzętu komputerowego. Materał ksążk jest podzelony na dwe częśc. W perwszej z nch znajduje sę omówene podstawowych metod, które mają zastosowane w modelowanu elementów obwodów elektrycznych, oraz omówene sposobów modelowane podstawowych elementów trójazowej sec elektroenergetycznej: ln, transormatorów oraz wrujących maszyn elektrycznych. Drugą część stanową Dodatk, gdze zameszczono podstawowe normacje na temat struktury obsług programu w wersj ATP EMTP oraz wele przykładów praktycznego wykorzystana tego programu. Program ten jest wcąż rozbudowywany przez mędzynarodową społeczność specjalstów, którzy są zorganzowan w Regonalne Grupy Użytkownków. Jest to w pełn proesjonalny program, którego lcencję można otrzymać za symbolczną, drobną opłatę. Dzęk temu jest on szczególne rozpowszechnony w środowsku akademckm, chocaż jest także stosowany w proesjonalnym zakrese. Przykłady zameszczone w Dodatku mają na celu pogłęboną lustrację materału prezentowanego w perwszej częśc ksążk. Pełną one także unkcję praktycznego przewodnka w zakrese posługwana sę programem, zwłaszcza przy tworzenu własnych model. Realzacja tego ostatnego zadana wymagała zameszczena zaawansowanych model samych obektów, jak równeż model odpowednch układów automatyk. Analza tych przykładów wymaga nekedy od zytelnka posadana

9 Od autora 9 bardzej zaawansowanej wedzy w zakrese omawanych zagadneń. Mam jednak nadzeję, że zytelnk ne będze sę tym zrażał tego typu programy są w końcu przeznaczone dla proesjonalstów. Każdy ma szansę nm zostać po pokonanu wstępnych trudnośc. Dokonany przeze mne wybór bazy programowej w postac paketu ATP EMTP aworyzuje użytkownków tego właśne programu. Mam jednak nadzeję, że równeż zwolenncy nnych wersj programu z rodzny EMTP znajdą w tej ksążce wele pożytecznych normacj. Wadomo bowem, że wększość dostępnego obecne oprogramowana do analzy omawanych tu zagadneń ma wspólną bazę, a kody danych wejścowych do symulacj różną sę w newelkm stopnu. Pomocny tu może być wykaz stron nternetowych podstawowych producentów ważnejszych grup użytkownków tego oprogramowana, który zameścłem w końcowej częśc spsu lteratury. Ksążkę tę psałem przede wszystkm z myślą o moch studentach doktorantach z kerunków: elektrotechnka oraz automatyka robotyka. Mam nadzeję, że publkacja ta będze także pomocna dla szerokego grona specjalstów zajmujących sę projektowanem eksploatacją urządzeń automatyk pomarów w elektrotechnce. Uzupełnenem ksążk są programy komputerowe z numerycznym oblczenam zwązanym z wybranym przykładam z głównego tekstu w wększośc są to procedury napsane w programe MATAB [85] oraz programy do wszystkch przykładów zameszczonych w Dodatku. Te ostatne zostały opracowane w programe ATP- -EMTP z edytorem gracznym ATPDraw w wersj 5.5 [8, 3, 4]. Są one dostępne na strone nternetowej: Mam nadzeję, że ten dodatkowy materał będze dobrym wprowadzenem do poruszanych zagadneń zachęc zytelnków do samodzelnego doskonalena umejętnośc w tym zakrese. Materał zawarty w tej ksążce ulega szybkemu starzenu, co jest zwązane z powstawanem nowych pomysłów w zakrese metod numerycznych, rozwojem technk programowana komputerowego, a w konsekwencj nowych wersj omawanych tu programów do symulacj komputerowej. Zwłaszcza w tym ostatnm zakrese zmany mają szybke tempo. Sądzę jednak, że nawet po klku latach zameszczony tu materał będze można z pożytkem wykorzystać. Będę wdzęczny za wszelke uwag dotyczące proponowanego w tej ksążce materału. Można je przesyłać na mój adres e-malowy: eugenusz.rosolowsk@pwr.wroc.pl. Na zakończene mam przyjemność podzękować recenzentom: pro. Janow Iżykowskemu z Poltechnk Wrocławskej oraz pro. Pawłow Sowe z Poltechnk Śląskej za życzlwość ważne uwag merytoryczne. Mam także dług wdzęcznośc w stosunku do welu osób z zespołu redakcyjnego Ocyny Wydawnczej PWr, których pomoc cenne podpowedz doprowadzły tę pracę do ostatecznego kształtu. Wrocław, wrzeseń 9 Autor

10

11 . DYSKRETNE INIOWE MODEE SIEI EEKTRYZNEJ.. Wprowadzene elem analzy obwodu elektrycznego mogą być różne szczegółowe zagadnena, jak rozpływ prądów w stane ustalonym, symulacja stanu dynamcznego, określene charakterystyk częstotlwoścowych w wybranych punktach sec nne. W przypadku badana stanów przejścowych, dynamka sec jest określana za pomocą układu równań algebraczno-różnczkowych, odzwercedlających zwązk pomędzy prądam napęcam w poszczególnych elementach sec oraz stan równowag całego układu (zgodne z prawam Krchhoa). Reprezentacja rzeczywstej sec elektrycznej za pomocą schematu zastępczego pocąga za sobą znane nekedy stotne uproszczena. Najczęścej zakłada sę, że rozmary geometryczne poszczególnych ragmentów sec są do pomnęca, co sprawa, że skomplkowane zależnośc wynkające z teor pola elektromagnetycznego w układze przestrzennym redukują sę do znanych zwązków różnczkowych w elementach o parametrach skuponych. Jeśl dodatkowo przyjąć, że rozpatrywany jest lnowy zakres pracy tych elementów, to mamy do czynena z obwodem elektrycznym lnowym o parametrach skuponych. Nekedy, spośród trzech wymarów przestrzennych przewodnka, trudno jest zrezygnować z jego długośc decyduje o tym czas przejśca al elektromagnetycznej mędzy obu końcam przewodnka. Wówczas odpowedn ops zjawsk zapewna model o parametrach rozłożonych. W tym rozdzale rozpatrywane są sec jednoazowe z elementam lnowym o parametrach skuponych oraz rozłożonych. W klasycznej teor obwodów zwązk zachodzące mędzy prądem napęcem w oddzelnych elementach sec są przedstawane za pomocą unkcj cągłych w czase. Jeśl analza obwodu ma być prowadzona za pomocą komputera, to należy zapewnć możlwość numerycznego rozwązana zagadnena. Możlwe są dwa przecwstawne podejśca do tego problemu: przekształcene cągłych w czase zależnośc różnczkowych dla poszczególnych elementów sec w odpowedne zależnośc dyskretne, a następne ormowane na ch podstawe równań sec ch rozwązywane z uwzględnenem równań obwodowych (metoda modelowana cyrowego);

12 . Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej ormowane cągłych równań obwodu elektrycznego ch rozwązywane za pomocą metod numerycznych (metoda zmennych stanu). W tym rozdzale prezentowane jest perwsze z tych podejść. Poneważ poszczególne elementy obwodu elektrycznego są tu zastępowane odpowednm modelam dyskretnym, węc można w tym przypadku mówć o dyskretnej teor obwodów []. Przejśce od czasu cągłego do dyskretnego powoduje znane konsekwencje w dzedzne częstotlwośc (charakterystyka częstotlwoścowa układu staje sę okresowa), jak równeż może rodzć problemy w zakrese stablnośc numerycznej. Tworzene cyrowych model elementów obwodu elektrycznego jest bezpośredno zwązane ze znanym matematycznym modelam tych elementów, odnoszącym sę do czasu cągłego. W przypadku elementów o parametrach skuponych, modele te są wyrażone za pomocą równań różnczkowych zwyczajnych. Problematykę tę rozpoczynamy od krótkego wprowadzena do zagadneń numerycznego rozwązywana takch właśne równań. Prezentowane tu metody są bezpośredno zwązane z algorytmam tworzena cyrowych model elementów obwodu elektrycznego. Do kwest numerycznego rozwązywana równań różnczkowych w bardzej ogólnym sense powrócmy jeszcze w rozdz. 3. W przypadku ln długch, model matematyczny stanu przejścowego jest określony za pomocą równań różnczkowych cząstkowych. Stosowane powszechne modele dyskretne tych obektów wywodzą sę z metody charakterystyk rozwązywana równań ln bezstratnej. Prowadz to do bardzo eektywnego numeryczne algorytmu, w którym można łatwo uwzględnć także rezystancję ln oraz eekt naskórkowośc, który objawa sę w postac zależnośc parametrów od częstotlwośc. Bardzej szczegółowa analza model ln elektroenergetycznej jest kontynuowana w rozdz. 4. Zastąpene cągłych model elementów sec przez ch modele dyskretne (dyskretne w czase) powoduje, że zmena sę sposób reprezentacj dynamk sec: w oddzelnych krokach symulacj analzowany system jest traktowany jak seć prądu stałego, natomast jej dynamka zostaje odwzorowana dzęk stosownej zmane warunków początkowych w kolejnych krokach symulacj komputerowej. W takch warunkach uzyskane eektywnych algorytmów numerycznych wymaga uważnego podejśca do ormowana równań sec. Problem ten jest analzowany w kolejnych częścach rozdzału. W ostatnej częśc rozdzału rozważane są zagadnena zwązane z błędam numerycznych algorytmów modelowana sec, które mogą prowadzć do nekontrolowanych oscylacj w trakce oblczeń. Omówone zostały źródła tych oscylacj oraz podstawowe sposoby ch lkwdacj. Wnosk płynące z tej analzy mogą meć zastosowane do poprawnego projektowana dyskretnych model rozważanych elementów, a także złożonych sec elektrycznych.

13 .. Dyskretna reprezentacja równań różnczkowych 3.. Dyskretna reprezentacja równań różnczkowych... Wybrane algorytmy W systemach dynamcznych o parametrach skuponych (dotyczy to także dużej częśc obwodów elektrycznych), spotykamy sę z równanam różnczkowym o następującej orme: dy( t) ( y, t) (.) dt gdze: t czas; y, unkcje (zmenne) reprezentujące różne welkośc zyczne. Zmenna y może być określona w wynku całkowana równana (.): t y( t) y() + ( y, τ ) d τ (.) W algorytmach numerycznego wyznaczana rozwązana (.) poszukuje sę wartośc przyblżonych y ( k) y( tk ) dla dyskretnych wartośc zmennej nezależnej t k, k,,.... Można wówczas zagadnene (.) zapsać w następującej orme: t k y( t ) y( k) y( k ) + ( y, τ) d τ (.3) k zęsto sę przyjmuje, że przedzał całkowana ma stałą długość T wówczas: t t + T,,,..., k. Różne metody numerycznego rozwązywana równań różnczkowych (.) wywodzą sę z odpowednch sposobów aproksymacj całk w (.3). Są to metody jednokrokowe oraz metody welokrokowe [, 3]. W perwszym przypadku całka ta jest określana na podstawe normacj o wartośc unkcj (y, t) w przedzale (t k, t k ), natomast w metodach welokrokowych nterpolacja unkcj (y, t) odbywa sę także z wykorzystanem normacj z wcześnejszych etapów oblczeń, to znaczy w punktach t k m, t k m+,..., t k, t k (m lczba uwzględnanych poprzednch kroków). W algorytmach modelowana cyrowego stosowane są zazwyczaj proste jednokrokowe metody całkowana równań różnczkowych. Ważnejsze z nch są prezentowane dalej. Problem numerycznego wyznaczana całk w (.3) jest pokazany na rys... Pole określone przez unkcję (y, t) w przedzale (t k, t k ) może być aproksymowane prostokątem o bokach równych T oraz (y, t k ). Równane (.3) przyjmuje wówczas następującą postać: t k

14 4. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej ( y( k ), t ) y (.4) ( k) y( k ) + T k Zależność ta jest znana jako jawna (ekstrapolacyjna) metoda prostokątów (Eulera). Jeśl sę pole prostokąta określ na podstawe beżącej wartośc unkcj (y, t k ), to odpowedn algorytm przyjme następującą ormę: ( y( k ) y ( k) y( k ) + T ), (.5) t k (y,t) 3 (y(t k )) (y(t k )) t k 4 t k 3 t k t k Τ t k t Rys... ałkowane numeryczne: jawna metoda Eulera, nejawna metoda Eulera, 3 metoda trapezów Formuła (.5) jest znana jako nejawna (nterpolacyjna) metoda prostokątów (Eulera). Łatwo zauważyć (rys..), że błędy wynkające ze stosowana obu powyższych algorytmów mają przecwne znak. Dokładność oszacowana całk można zatem poprawć przez uśrednene obu wynków. Prowadz to do znanej metody trapezów: T y ( k) y( k ) + ( ( y( k ), tk ) + ( y( k), t k )) (.6) Uwzględnając (.), zależnośc (.4) (.6) można także zapsać, odpowedno, w następującej orme: ( y, t) d y( k) y( k ) + T dt y y( k ) (.7) Określena: metoda jawna oraz metoda nejawna są zwązane z możlwoścą bezpośrednego określena poszukwanej zmennej. W metodze nejawnej zmenna wyznaczana w k-tym kroku występuje po obu stronach równana (jak y(k) w (.5)).

15 .. Dyskretna reprezentacja równań różnczkowych 5 ( y, t) d y( k) y( k ) + T dt y y( k) (.8) T d y( k) y( k ) + dt ( y, t) d ( y, t) + dt y y( k ) y y( k) (.9) Należy zauważyć, że metody jednokrokowe można stosować do rozwązywana układów równań różnczkowych z wykorzystanem tylko warunków początkowych (algorytm samostartujący). Przykładem metody welokrokowej jest algorytm Geara drugego rzędu: ( 4y( k ) y( k ) T ( y( k), t ))/ 3 y ( k) + k (.) Metody Geara należą do grupy tzw. metod sztywnych (ang. st methods), co oznacza, że są stablne w przypadku, gdy w złożonym systeme występują stałe czasowe o bardzo różnących sę wartoścach [3]. W celu oblczena wartośc unkcj y (k) w perwszym kroku symulacj ( k ) na podstawe (.), należy znać ne tylko wartość początkową y (), ale równeż wartość pośredną y (). To sprawa, że metody welokrokowe ne są samostartujące do rozpoczęca oblczeń stosuje sę zazwyczaj algorytm jednokrokowy [4].... Dokładność stablność rozwązana Do analzy dokładnośc stablnośc rozwązana równana różnczkowego metodą numeryczną można posłużyć sę wzorcowym równanem, którego rozwązane analtyczne jest znane. Wybera sę tu zazwyczaj równane o postac [3]: dy( t) λy( t) (.) dt Dokładne rozwązane dane jest zależnoścą: y λt ( t) y e (.) gdze: y y() warunek początkowy, λ >. Stosując w odnesenu do (.) algorytmy (.4) (.6), otrzymamy: y( k) ( Tλ ) y( k ) jawna metoda Eulera, (.3) y( k ) y( k) nejawna metoda Eulera, (.4) ( + Tλ)

16 6. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej ( Tλ) y( k) y( k ) metoda trapezów. (.5) ( + Tλ) Aby ocenć błędy pojawające sę podczas jednego kroku całkowana (błędów lokalnych), można porównać te welkośc z wynkem dokładnym, który w tym przypadku określony jest następująco: y λt d( k) y( k ) e (.6) Błąd lokalny określa sę jako różncę: ( k) y ( k) y( k) (.7) d którą łatwo wyznaczyć dla konkretnych algorytmów. Na przykład dla jawnej metody Eulera równane (.7) przyjmuje następującą postać: λt ( e Tλ) λt ( k) y( k )e ( Tλ) y( k ) y( k ) + (.8) Po zapsanu unkcj wykładnczej w postac szeregu Taylora otrzymujemy następujące oszacowane błędu: ( k) y( k ) 3 3 p+ ( T T λ +...) O( T ) O( T ) λ (.9) gdze: p jest rzędem metody (w danym przypadku p ). Błąd globalny jest odchyłką mędzy rozwązanem dokładnym uzyskanym w wynku stosowana określonej ormuły przyblżonej, która merzona jest w pewnym przedzale czasowym, zaczynając od perwszego kroku. W rozważanym przypadku rozwązane dokładne jest określone zależnoścą: y λkt dg( k) y e (.) natomast rezultaty algorytmów numerycznych są następujące: k y( k) ( Tλ) y jawna metoda Eulera, (.) y y( k) k ( + Tλ) nejawna metoda Eulera, (.) k ( Tλ) y( k) y ( T ) metoda trapezów. (.3) + λ Wdać, że w przypadku jawnej metody Eulera, ogranczoną odpowedź uzyskuje sę dla T λ <, a węc w celu zapewnena stablnośc rozwązana (nezależne od

17 .. Dyskretna reprezentacja równań różnczkowych 7 wartośc błędu lokalnego) należy wybrać krok całkowana zgodne z warunkem: T < / λ. W pozostałych dwóch algorytmach stablność numeryczna metody jest zachowana nezależne od wyboru długośc kroku całkowana. Ilustracja przebegu omówonych błędów jest pokazana na rys... Przyjęto: λ oraz y (rys.a), T, 98 (rys.b). Wdać, że przy założonych warunkach błąd globalny jawnej metody Eulera wykazuje słabo tłumone oscylacje o dużej ampltudze, co wskazuje, że algorytm jest blsk grancy stablnośc. Pozostałe dwe metody, nawet przy dużym kroku całkowana, dają stablne rezultaty (chocaż z dużym błędem lokalnym). Powyższą analzę można równeż powtórzyć dla układów równań różnczkowych. Zaps skalarny należy wówczas odpowedno zastąpć zapsem wektorowym. W podobny sposób można określć dokładność warunk stablnośc nnych metod całkowana numerycznego [, 4, 3]. Przy wyborze odpowednej metody należy uwzględnć akt, że zazwyczaj algorytmy dokładnejsze (wyższych rzędów) wykazują gorsze warunk stablnośc, co wymaga stosowana krótszych kroków całkowana w przypadku dużych wymuszeń. Stosując natomast metody nższych rzędów (a węc mnej skomplkowane oblczenowo), można zapewnć wymaganą dokładność wyberając odpowedno krótk krok całkowana. a) b) G T, s k Rys... Przebeg błędów a) lokalnych oraz b) globalnych: metoda trapezów, nejawna oraz 3 jawna metoda Eulera Dobrym rozwązanem tego dylematu jest stosowane zmodykowanych algorytmów o zmennym kroku całkowana [7, 4], jednak wówczas znaczne wzrasta stopeń złożonośc algorytmu. W praktycznych zastosowanach metod całkowana numerycznego do symulacj zjawsk elektromagnetycznych w secach (jak w przypadku EMTP) stosuje sę dość proste metody (Eulera lub trapezów) ze stałym krokem całkowana [7, 8, 79]. 3

18 8. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego.3.. Rezystancja Rezystancja lnowa R, jako element obwodu elektrycznego, jest reprezentowana w modelu matematycznym przez stały współczynnk, określający zależność mędzy napęcem prądem. Odpowedne relacje pozostają nezmenne równeż dla czasu dyskretnego: ( k) u( k) Gu( k) (.4) R.3.. Indukcyjność ągły model ndukcyjnośc jest określony znaną zależnoścą: d ( t) u( t) (.5) dt Po prostym przekształcenu uzyskuje sę klasyczną postać równana różnczkowego: d ( t)/ dt u( t) /. Model cyrowy można otrzymać stosując ogólny schemat numerycznego rozwązana tego równana (.3): t k k ( tk) u ( τ)dτ ( tk ) + u ( τ) dτ (.6) t Poszczególne modele cyrowe ndukcyjnośc uzyskuje sę przez zastosowane różnych metod całkowana w (.6). Na przykład stosując nejawną metodę prostokątów otrzymuje sę ( t k Tk ): T ( k) ( k ) + u( k) (.7) z warunkem początkowym: ( ). Zauważmy, że parametr T / ma wymar przewodnośc, zatem: ( k) Gu( k) + ( k ), t t k T G (.8) Zastosowane metody trapezów do (.6) prowadz do następującego zwązku:

19 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 9 T ( k) ( k ) + ( u( k ) + u( k) ) (.9) co, po uporządkowanu, daje następujący algorytm: T ( k) Gu( k) + ( k ) + Gu( k ), G (.3) Można zauważyć, że w trakce oblczana wartośc prądu w kolejnym kroku (k,,... ), wszystke składnk odnoszące sę do poprzednch kroków są zmennym nezależnym. Poneważ w (.3) mają one wymar prądu, węc można je rozpatrywać jako źródła prądowe. W ten sposób algorytm ten przyjmuje następującą ormę: T ( k) Gu( k) + j( k ), j ( k ) ( k ) + Gu( k ), G (.3) Na podstawe (.8) (.3) można podać ogólny schemat zastępczy numerycznego modelu ndukcyjnośc (rys..3). Wartośc przewodnośc G oraz prądu j ( k ) zależą od wybranej metody rozwązywana równana (.5), przez co mów sę o modelach stowarzyszonych odpowednch elementów elektrycznych [3, ]. a) b) (k) (t) u(k) G j(k ) u(t) Rys..3. Model cyrowy ndukcyjnośc: a) symbol oraz b) schemat zastępczy.3.3. Pojemność Zupełne podobne wyprowadza sę model cyrowy pojemnośc. Wychodząc ze znanej zależnośc pomędzy prądem napęcem: d u( t) ( t) (.3) dt uzyskuje sę równane różnczkowe: d u ( t)/ dt ( t) /. Wynk całkowana tego równana można zapsać następująco (.3): t t k k u( tk) ( τ) dτ u( tk ) + ( τ) dτ (.33) t t k

20 . Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej Odpowedno stowarzyszone modele cyrowe pojemnośc uzyskuje sę za pomocą różnych metod całkowana w (.33). Na przykład stosując nejawną metodę prostokątów otrzymuje sę ( t k Tk ): T u ( k) u( k ) + ( k) (.34) z warunkem początkowym: u ( ) u. Podobne jak w (.7), równane to można także zapsać w postac prądowoprzewodnoścowej ( k) u( k) u( k ) (.35) T T Parametr / T ma wymar przewodnośc, a zatem: ( k) Gu( k) + j( k ), j ( k ) Gu( k ), G (.36) T Można zauważyć symetrę mędzy zależnoścam (.8) (.36). W przypadku modelu pojemnośc źródło prądowe zwązane z hstorą procesu ma znak ujemny. Zastosowane metody trapezów do (.33) prowadz do następującego zwązku: T u ( k) u( k ) + ( ( k ) + ( k) ) (.37) co, po przekształcenu względem prądu, daje następujący algorytm: ( k) Gu( k) + j( k ), j ( k ) ( ( k ) + Gu( k ) ), G (.38) T Podobne algorytmy można utworzyć dla nnych metod rozwązywana równań różnczkowych. Struktura modelu cyrowego pojemnośc jest pokazana na rys..4. a) b) (k) (t) u(k) G j(k-) u(t) Rys..4. Model cyrowy pojemnośc: a) symbol oraz b) schemat zastępczy W tabel. podane są parametry schematów zastępczych cyrowych model ndukcyjnośc pojemnośc dla nektórych metod całkowana. Model prądowo-przewodnoścowy (zwany też schematem zastępczym Nortona) jest zwązany z przyjętą dalej metodą potencjałów węzłowych rozwązywana równań sec.

21 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego Tabela.. Algorytmy cyrowych model ndukcyjnośc pojemnośc Metoda całkowana nejawna Eulera (prostokątów) trapezów Geara II rzędu Model ndukcyjnośc j( k ) ( k ) T G j( k ) ( k ) + Gu( k ) T G j( k ) 4( k ) ( k 3 T G 3 ( ) ) Model pojemnośc j( k ) Gu( k ) G T j( k ) ( k ) + Gu( k ( ) ) G T j( k ) G u( k ) + u( k ) 3 3 G T Ogólny algorytm numeryczny: ( k) Gu( k) + j( k ).3.4. Gałęze złożone W secach elektrycznych gałęze są najczęścej utworzone z odpowednej kombnacj elementów R,,. W programach do symulacj sec powszechne stosuje sę model gałęz R, która odpowada szeregowemu połączenu tych elementów. Zerowe wartośc poszczególnych parametrów tego modelu decydują o aktualnej konguracj gałęz. Sposób tworzena zastępczego modelu takej gałęz jest zlustrowany na rys..5. Modele poszczególnych elementów są przedstawone w orme prądowo-przewodnoścowej (rys..5b), jak w powyższej prezentacj, przy czym, dla wększej przejrzystośc, w oznaczenach dodano ndeksy, wskazujące na odpowedne elementy gałęz. Redukcja schematu z rys..5b do postac ekwwalentnej, jak na rys..5c, może być przeprowadzona na podstawe następującego równana napęcowego: u( k) u ( k) + u ( k) u ( k) (.39) R + przy czym poszczególne napęca składowe są określone przez odpowedne równana model elementów R,, : u( k) G ur( k) ( k) G G ( ( k) j ( k ) ), u ( k) ( ( k) j ( k ) ) R (.4)

22 . Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej a) b) (t) (k) u R (t) R u R (k) G R c) (k) u(t) u (t) u (k) G j (k ) u(k) G j(k ) u (t) u (k) G j (k ) Rys..5. Modele gałęz R: a) schemat modelu cągłego, b) modele cyrowe elementów, c) schemat zastępczy Po podstawenu (.4) do (.39) uporządkowanu otrzymamy równane modelu zastępczego (rys..5c): gdze: dla metody trapezów: G G G T G R G G + G G + G G 4 + RT + T, R R ( k) Gu( k) + j( k ) (.4) GR G j( k ) + GRG j ( k ) G G j( k ) j( k ) + j ( k ), GRG + GRG + GG G G przy czym: T G R, G, G. R T Wdać, że jeśl gałąź jest pozbawona pojemnośc, to do powyższych równań należy wstawć, natomast w celu pomnęca rezystancj lub ndukcyjnośc należy wsta-wć zerowe wartośc tych parametrów, co jest zgodne z nterpretacją zyczną. Na przy-kład model gałęz R jest określony równanem (.4), gdze (dla metody trapezów):

23 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 3 T RG G, j( k ) j ( k ) ( k ) + Gu( k ) (.4) + RT + RT + RG.3.5. Źródła sterowane Modele nektórych elementów elektroncznych, a także obwodów sterowana, są przedstawone za pomocą schematów zastępczych, w których występują źródła sterowane. W ogólnym przypadku można wyróżnć cztery rodzaje takch źródeł (rys..6): ) sterowane napęcem źródło prądowe o wartośc j k x u x, gdze: u x, napęce występujące na wybranej parze zacsków w obwodze (napęce sterujące), k x współczynnk proporcjonalnośc (sterowana); ) sterowane prądem źródło prądowe o wartośc j k x x, gdze x, prąd na wybranej parze zacsków w obwodze (prąd sterujący); 3) sterowane prądem źródło napęcowe o wartośc u k x x ; 4) sterowane napęcem źródło napęcowe o wartośc u k x u x. a) b) x u x jku x jk x x c) d) uk x u x uku x Rys..6. Schematy zastępcze źródeł sterowanych: a) źródło prądowe sterowane napęcem, b) źródło prądowe sterowane prądem, c) źródło napęcowe sterowane prądem oraz d) źródło napęcowe sterowane napęcem Modele źródeł sterowanych są proste, natomast ch uwzględnene w równanach sec może łączyć sę z pewnym trudnoścam. Zależy to od przyjętego sposobu zapsu równań powązań sec: równana gałęzowe lub oczkowe [3, 98, 4] na długa W systemach elektroenergetycznych występują zazwyczaj lne weloazowe, jednak model ln jednoazowej w układze przewód zema lub przewód przewód (bez

24 4. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej uwzględnena udzału zem) jest ważnym przypadkem, który może być rozszerzony na lnę weloazową. Przy rozważanu sposobu opsu zjawsk elektromagnetycznych w ln, ze szczególną ostroścą stawany jest problem wyboru modelu matematycznego: model o parametrach skuponych, czy rozłożonych? Rozróżnene mędzy tym dwema kategoram model elektrycznych zależy od relacj, jake zachodzą pomędzy trzema parametram rozpatrywanego środowska: przewodnoścą właścwą γ, przenkalnoścą magnetyczną µ oraz przenkalnoścą elektryczną ε. W przypadku model elementów obwodu skuponego zakłada sę, że spośród tych trzech welkośc tylko jedna jest domnująca, a pozostałe można pomnąć. W ten sposób mamy do czynena z rezystancją ( µ ε ), ndukcyjnoścą ( γ ε ) oraz pojemnoścą ( γ µ ). Ponadto, spełnony jest warunek stacjonarnośc lub quas-stacjonarnośc pola elektromagnetycznego, co oznacza, że w każdym punkce rozpatrywanego elementu parametry zmennego w czase pola różną sę w pomjalne małym zakrese. W przypadku elementów obwodu elektrycznego, z uwag na warunk quasstacjonarnośc pola [94], jedyne długość przewodnka jest stotna. W charakterze grancznej wartośc przyjmuje sę taką długość przewodnka, na której odkłada sę ¼ długośc al elektromagnetycznej zwązanej z analzowanym zjawskem. Jeśl zatem rozpatrywany jest przebeg harmonczny o częstotlwośc, to granczną długość przewodnka, który może być przedstawony w postac modelu o parametrach skuponych, można oszacować następująco [97]: c lgr λ (.43) 4 4 c gdze: c prędkość śwatła w próżn, λ długość rozpatrywanej al elektromagnetycznej. Jeśl zachodz zwązek l<<l gr, to eekt zwązany z długoścą przewodnka można pomnąć. W przecwnym raze (l l gr ) w równanach modelu danego elementu należy uwzględnć wzajemny wpływ pola magnetycznego elektrycznego. Na przykład jeśl w ln elektroenergetycznej analzowane są przebeg zwarcowe o częstotlwośc do. harmoncznej ( Hz), to granczna długość tej ln może być oszacowana jako l gr c/(4 ) 5 /(4 ) 75 km. W przypadku badana zjawsk występujących podczas rozchodzena sę al elektromagnetycznej wywołanej uderzenem poruna, należy rozpatrywać znaczne wększe częstotlwośc już klkumetrowe odcnk ln mogą wymagać zastosowana modelu o parametrach rozłożonych. Podobne jest w przypadku obwodów telekomunkacyjnych. Przy wyprowadzanu równań modelu ln długej można skorzystać ze schematu zastępczego ragmentu ln, reprezentowanego czwórnkem, jak na rys..7. Umowna długość tego odcnka wynos x. Zakłada sę, że odcnek x jest na tyle mały, że

25 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 5 w odnesenu do nego można stosować zależnośc właścwe dla obwodu skuponego. Blans napęć w oczku prądów w węźle prowadz do następujących zależnośc: ( x, t) u( x, t) R' x ( x, t) + ' x + u( x + x, t) t u( x + x, t) ( x, t) G' x u( x + x, t) + ' x + ( x + x, t) t (.44) gdze: R', ', G', ' oznaczają, odpowedno, jednostkową (w odnesenu do jednostk długośc) rezystancję, ndukcyjność, przewodność pojemność ln. (x,t) R' x ' x (x+ x,t) u(x,t) G' x ' x u(x+ x,t) x x+ x Rys..7. Schemat odcnka ln długej Po podzelenu obu równań (.44) przez otrzymamy znane równana: u( x, t) ( x, t) R'( x, t) + ' x t ( x, t) u( x, t) G'u( x, t) + ' x t x przejścu do grancy ( x ) (.45) Przy założenu, że lna jest jednorodna (parametry wzdłuż ln ne zmenają sę), można te równana rozdzelć względem prądu napęca. Różnczkując równana (.45) względem odległośc x otrzymamy ( u u( x, t), ( x, t) ): u u R'G'u R'' + ' x t x t W ostatnm składnku można uwzględnć wynk różnczkowana drugego równana (.45) względem czasu, w wynku czego, po uproszczenu, uzyskuje sę: u x R'G'u + u t u t ( R'' + G'' ) + '' (.46)

26 6. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej Analogczne przekształcena drugego równana w (.45) prowadzą do następującej zależnośc dla prądu: R'G' + ( R'' + G'' ) + '' (.47) x t t Są to hperbolczne (dla '' ) równana różnczkowe cząstkowe drugego rzędu, znane jako równana telegraczne [65, 99]. a) na bezstratna Bardzo ważnym przypadkem jest założene, że R' oraz G', co prowadz do równań ln długej bezstratnej: u x x u v t v t (.48) przy czym: v. '' Ogólne rozwązane równań typu (.48) zostało podane przez d Alemberta [49, 65]. W warunkach brzegowych: u( x, t) u( x, t) ϕ( t), ψ ( t) x x x rozwązane równana napęcowego ma następującą postać: v t ( + + ) + + x/ v u( x, t) ϕ ( t x / v) ϕ( t x / v) ψ ( α)dα (.49) t x/ v Zbory punktów ( t x / v) const. oraz ( t + x / v) const., zwane charakterystykam powyższego równana, wyznaczają trajektore al reprezentowanych przez unkcję ϕ ( x, t) (rys..8). W ln bezstratnej ale te ne podlegają tłumenu, natomast zmenają azę. harakterystyk odpowadają argumentom unkcj ϕ ( x, t) o stałej aze. Jeśl grance ln oznaczyć przez x (początek) x (konec), to ala poruszająca sę od początku ln po czase t p osągne punkt x p (rys..8), przy czym zwększającej sę odległośc towarzyszy narastane czasu tak, że zależność ( t x / v) constans jest zachowana. Podobny zwązek można prześledzć dla przypadku al poruszającej sę w przecwnym kerunku. Przedstawona tu reprezentacja w lteraturze nos nazwę metody charakterystyk [8, 36].

27 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 7 Warunk brzegowe tego procesu można wyrazć za pomocą napęca prądu na początku ln u ( t), ( t). Uwzględnając perwsze równane w (.45) (lna bez strat, R' ), otrzymamy: u(, t) (, t) d ( t) ϕ ( t ) u(, t) u( t), ψ ( t) ' ' x t dt Podstawene tych zależnośc do (.49) daje następujące równane: gdze: t ( + + ) + x/ v u( x, t) u ( t x / v) u( t x / v) Z d ( t) (.5) t x/ v ' Z mpedancja alowa ln. ' t t+x/vconst. t x/vconst. t p x x p x x Rys..8. harakterystyk równań ln bezstratnej Równane (.5) dla końca ln ( x l ), l długość ln, przybera następującą postać: u( t) ( u( t + τ ) + u( t τ )) Z ( ( t + τ ) ( t τ )) (.5) gdze: τ l / v czas propagacj al wzdłuż ln. Powtórzene powyższego wywodu dla równana prądowego w (.48) daje podobny zwązek dla prądu na końcu ln: t) t Z ( ( t + τ ) + ( t τ )) + ( u ( t + τ ) u ( )) ( τ (.5) przy czym przyjęto, że prąd ten ma znak przecwny do prądu ( t) (rys..9). Odejmując stronam równana (.5) (.5), po uporządkowanu otrzymujemy model ln długej bezstratnej:

28 8. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej gdze G. Z ( τ t) G u( t) G u( t τ ) ( t ) (.53) u u x Rys..9. Oznaczene zmennych w modelu ln Przyjęce warunków brzegowych dla dwóch punktów zwązanych z końcam ln daje w konsekwencj rozwązane tylko dla tych mejsc, bez możlwośc śledzena przebegu procesu wewnątrz ln. Jeśl jednak lna jest ragmentem złożonej sec, to można ogranczyć sę tylko do welkośc występujących na jej grancach, bez potrzeby odtwarzana zjawsk dla dowolnej wartośc zmennej x. W takm przypadku, w równanach charakterystyk występują tylko dwe wartośc zmennej x: x (początek ln) oraz x l (konec ln). Jak wdać, to założene prowadz do bardzo prostych równań dyskretnego modelu ln długej bezstratnej. Podejśce to jest znane jako metoda Bergerona [36, 49]. Równane (.53) przedstawa model cągły ln długej bez strat, określający zależność pomędzy prądam napęcam na obu jej końcach. Model dyskretny otrzymamy po uwzględnenu określonej długośc kroku modelowana T. zas przejśca al elektromagnetycznej wzdłuż ln wyraz sę wówczas lczbą m kroków modelowana: l m τ (.54) T vt a równane (.53) przyjme postać dyskretną: k) G u ( k) G u ( k m) ( k ) (.55) ( m Analogczną zależność można napsać dla prądu na początku ln. Ostateczne, dyskretny model ln bez strat jest określony następującym równanam: ( k) G ( k) G u ( k) + j ( k m) u ( k) + j ( k m) (.56)

29 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 9 gdze: j ( k m) G u( k m) ( k m) (.57) j( k m) G u( k m) ( k m) przy czym: m >. Przy mnej restrykcyjnym wyprowadzenu powyższego modelu zakłada sę, że równana (.48) opsują proces rozchodzena sę dwóch al wzdłuż ln, które mają przecwne kerunk. Napęce w dowolnym punkce ln można wówczas przedstawć w postac sumy tych al: u( x, t) ua ( x vt) + ub( x + vt) (.58) z których u a ( x vt) ma kerunek dodatn, a u b ( x + vt) kerunek ujemny, zgodne z przyjętym zwrotem os x. Podobne równane otrzymuje sę także dla prądów po podstawenu (.58) do (.48) wykonanu nezbędnych przekształceń: ( x, t) ( ua ( x vt) ub( x + vt) ) (.59) Z Jeśl ala u a pojawa sę w momence t τ na początku ln (ndeks na rys..9), to osąga ona konec ln (ndeks ) w chwl t, co prowadz do równośc (lna bezstratna): u v( t τ ) u ( l vt (.6) a ( ) ) Welkość u a może być wyrażona w postac ogólnej przez wyelmnowane z równań (.58) (.59) welkośc u b. Po dodanu obu stron tych równań wykonanu nezbędnych przekształceń otrzymuje sę: a ( u( x, t) Z ( x, )) ua ( x vt) + t (.6) Równane to dla obu końców ln może być zapsane następująco: u a ( v( t τ )) ( u ( t τ ) + Z ( t τ )) ua ( l vt) ( u ( t) Z ( t) ) (znak mnus w drugm równanu wynka z przyjętego kerunku prądu na końcu ln). Po podstawenu (.6) do (.6) otrzymamy: ( t) u( t) u( t τ ) ( t τ ) Z Z co jest równoważne zależnośc (.53). (.6) (.63)

30 3. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej Schemat zastępczy ln zgodny z modelem (.56) jest pokazany na rys... (k) (k) u (k) j (k m) G G u (k) j (k m) Rys... Schemat zastępczy dyskretnego modelu ln długej Należy zauważyć, że schematy zastępcze umeszczone na obu końcach ln mają taką samą strukturę jak modele nnych elementów lnowych. Do określana źródeł prądowych j( k m), j( k m) można wykorzystać odpowedne pamęc w rejestrach przesuwnych o długośc m komórek. b) Uwzględnene rezystancj ln Przy rozbudowe przedstawonego powyżej modelu ln długej dąży sę do zachowana jego korzystnych cech wynkających z prostoty oblczeń. W przypadku uwzględnena eektu tłumena, zwązanego z obecnoścą rezystancj, można wykorzystać akt, że udzał rezystancj w mpedancj podłużnej ln jest newelk, zatem wprowadzane uproszczena ne pownny w dużym stopnu wpływać na werność odtworzena analzowanego procesu. W mejsce rozłożonej wzdłuż ln rezystancj można przyjąć model w postac dwóch rezystancj o parametrach skuponych, umeszczonych na obu końcach ln (rys..a). W takm przypadku równana (.56) (.57) odnoszą sę do węzłów,, przy czym: R u' ( k) u( k) ( k) R u' ( k) u( k) ( k) (.64) gdze R lr'. Uwzględnene powyższych zależnośc w (.56) (.57) zmena jedyne wartość przewodnośc G oraz sposób oblczana hstor procesu: j ( k m) G j ( k m) G u ( k m) h u ( k m) h ( k m) ( k m) (.65)

31 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 3 gdze: G, Z + R / h Z Z R. + R a) (k) R/ ' ' R/ (k) u (k) u' (k) u' (k) u (k) b) (k) R/4 R/4 R/4 R/4 (k) u (k) R/ u (k) Rys... Uwzględnene rezystancj w modelu ln długej Dokładnejsze odwzorowane rozłożonej rezystancj daje dwukrotne zastosowane przedstawonego modelu. Dzęk temu, skupone rezystancje o wartośc jednej czwartej całej rezystancj ln zostają umeszczone na końcach w środku ln (rys..b). Po napsanu równań modelu (.56) (.65) dla obu połówek rozpatrywanej ln wszystke parametry odnoszące sę do środkowego węzła można wyelmnować [3]. Uzyskuje sę w ten sposób następujące równana: ( k) G ( k) G u ( k) + h u ( k) + h a a j ( k m) + h j ( k m) + h b j ( k m) b j ( k m) (.66) gdze: R oraz 4 h a Z G, hb G G. Z + R / 4 W ogólnym przypadku równana modelu ln mają zatem następującą postać: ( k) G ( k) u( k) h + G u( k) h a b h h b a j( k m) j( k m) (.67) przy czym macerze G {G }, h {h } są określane w zależnośc od przyjętego sposobu reprezentacj skuponej rezystancj (lub jej pomnęca).

32 3. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej na jest bardzo ważnym elementem ze względu na odtworzene zjawsk elektromagnetycznych w systeme elektroenergetycznym podczas stanów przejścowych. Do problemu modelowana ln weloazowych powrócmy w rozdz Właścwośc częstotlwoścowe model cyrowych Stosowane metod numerycznych w modelowanu cyrowym łączy sę z zamaną czasu cągłego na czas dyskretny. Powstaje zatem pytane, jak długość kroku modelowana wpływa na dokładność odtworzena analzowanego procesu w modelu cyrowym. Dobrym narzędzem analzy jest w tym przypadku badane stanu ustalonego dla wybranej częstotlwośc wymuszeń w sec (analza częstotlwoścowa). W stane ustalonym cągły model ndukcyjnośc jest określony następującym zwązkem: I π j jα YU Ye Ue (.68) gdze: Y /ω; podkreślena oznaczają, że odpowedne welkośc są zespolone (są to ampltudy zespolone). Jest oczywste, że admtancja Y jest unkcją częstotlwośc. Jeśl w (.68) uwzględn sę czas (odpowedne welkośc zespolone reprezentują wówczas obracające sę wektory), to otrzymamy następującą ogólną zależność: π j ωt + α π j ωt + α I ( jω, t) Y ( jω) U ( jω, t) YUe Ie (.69). Rozpatrzmy teraz cyrowy model ndukcyjnośc stowarzyszony z metodą trapezów (.3). W celu porównana go z przedstawonym modelem cągłym załóżmy, że wymuszene napęcowe w obu przypadkach jest jednakowe. Dla składowej rzeczywstej otrzymamy zatem: r ( k) Gur ( k) + jr ( k ) (.7) T gdze: G, jr ( k ) r ( k ) + Gur ( k ), u r ( k) U cos( ωtk) ; przesunęce o jedną próbkę oznacza zmanę kąta o wartość ωt. Podobne równane można napsać równeż dla składowej urojonej. Tworząc z obu tych składowych odpowedne welkośc zespolone otrzymamy: jωt przy czym U (jω, t) Ue U ( cosωt + jsnωt) I d ( k) GU GU d d ( k) + I ( k) + I d d ( k ) + GU ( k)e gdze ndeks d wskazuje na postać dyskretną. ( k ) d jωt jωt + GU d ( k)e (.7)

33 .3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu elektrycznego 33 Po uporządkowanu uzyskujemy wyrażene o strukturze, jak (.69): gdze po uproszczenu: Y d jωt + e I d ( k) G U ( k) Y U j T d ω d e d ( k) (.7) ωt ωt T Y (.73) ωt ωt jω ωt jtg tg tg Można zauważyć, że admtancja modelu dyskretnego stotne różn sę od admtancj modelu cągłego. Współczynnk proporcjonalnośc jest unkcją częstotlwośc. Przebeg tej unkcj dla zman pulsacj ω od zera do wartośc ω π / T jest pokazany na rys... Wdać, że jest to wartość granczna, przy której admtancja zastępcza modelu dyskretnego ndukcyjnośc jest równa zero. Y d Y,9,8,7,6,5,4,3,,,,,3,4,5 ωt π Rys... harakterystyka częstotlwoścowa admtancj modelu cyrowego ndukcyjnośc W teor układów dyskretnych, punkt ten znany jest jako częstotlwość Nyqusta (Shannona) zwązany jest z twerdzenem o próbkowanu [5]. Wynka z nego, że sygnał o częstotlwośc pownen być próbkowany przynajmnej dwa razy w okrese, aby można było poprawne odtworzyć o nm normację. Z przebegu charakterystyk na rys.. wdać równeż, że w marę wzrostu częstotlwośc (w stosunku do założo-

34 34. Dyskretne lnowe modele sec elektrycznej nego kroku modelowana T) relacje mędzy admtancją modelu dyskretnego cągłego pogarszają sę: admtancja modelu ndukcyjnośc staje sę relatywne mnejsza. W podobny sposób można analzować właścwośc częstotlwoścowe modelu pojemnośc. Łatwo pokazać, że w tym przypadku admtancja (przewodność) modelu wzrasta ze wzrostem względnej częstotlwośc. Krzywa z rys.. odnos sę tym razem do lorazu mpedancj modelu dyskretnego cągłego. Wypływa stąd wnosek, że w celu zapewnena poprawnego odwzorowana w modelu cyrowym stanów dynamcznych (które charakteryzują sę występowanem składowych o wysokch częstotlwoścach) należy przyjmować odpowedno mały krok modelowana: T << (.74) gdze: mx granczna częstotlwość w spodzewanym wdme sygnałów prądowych lub napęcowych. mx.4. Metoda potencjałów węzłowych Metoda potencjałów węzłowych jest bardzo często stosowana do ormułowana równań secowych ze względu na łatwość ch tworzena na podstawe danych parametrów gałęz oraz znane szybke algorytmy rozwązywana tych równań. Ponżej przedstawona jest podstawowa metoda węzłowa, której zastosowane jest ogranczone do sec o gałęzach prądowo-przewodnoścowych, w których mogą także występować sterowane napęcem źródła prądu. Jej rozszerzene na gałęze napęcowe sterowane prądem źródła prądowe jest znane pod nazwą zmodykowanej metody potencjałów węzłowych. Metoda zmodykowana ma zastosowane do symulacj stanów przejścowych w obwodach elektroncznych ne będze tu omawana [94, 4]..4.. Tworzene równań Schemat zastępczy gałęz akceptowalnej w metodze potencjałów węzłowych jest pokazana na rys..3. Model tej gałęz jest określony następującym równanem: G u + G u + j G ( u u ) + G ( u u ) + j (.75) a a a ba b a a gdze u b jest napęcem sterującym źródłem prądowym o współczynnku sterowana G ba, które znajduje sę w nnej gałęz sec. Należy zauważyć, że źródło prądowe j a może odnosć sę do prądu zwązanego z hstorą w schemace zastępczym modelu gałęz lub być nezależnym źródłem prądowym. k l ba m n a

35 .4. Metoda potencjałów węzłowych 35 Załóżmy, że w rozpatrywanej sec znajduje sę n g gałęz oraz n w + węzłów, przy czym jeden z węzłów został wybrany jako węzeł odnesena. Równana o postac (.75) zapsane dla wszystkch n g gałęz sec można wyrazć w następującym zapse macerzowym: T g G ga u + j (.76) gdze: G g ( n g n g ) jest macerzą przewodnośc gałęzowych zawerającą przewodnośc poszczególnych gałęz G a (na przekątnej) oraz ewentualne przewodnośc źródeł sterowanych G (poza przekątną macerzy); n w n g ba A {a j } jest macerzą ncydencj, której elementy przyjmują następujące wartośc: a j jeśl gałąź j ma połączene z węzłem oraz jest skerowana od tego węzła, a j jeśl kerunek gałęz jest przecwny, a j jeśl gałąź j ne ma połączena z węzłem ; u jest wektorem potencjałów w n w nezależnych węzłach sec (wektorem różncy napęć pomędzy poszczególnym węzłam węzłem odnesena); j g jest wektorem gałęzowych źródeł prądowych. g u a k a G l j a G ba u b Rys..3. Schemat zastępczy gałęz do tworzena równań potencjałów węzłowych Pomnożene równana (.75) przez macerz ncydencj A przekształca prądy gałęzowe w prądy węzłowe. Jest oczywste, że suma prądów gałęzowych w węźle jest równa zero (perwsze prawo Krchhoa): oraz (na podstawe prawej strony (.75)): A (.77) g Gu (.78)