Matematyczne Metody Fizyki II
|
|
- Bożena Włodarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16
2 Literatura Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, AGH, Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki. Rozwiązane problemy. A. Lenda, B. Spisak, AGH, Complex Variables with Applications, S. Ponnusamy, H. Silverman, Birkhauser, Mathematical Methods for Physics and Engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge, Advanced Engineering Mathemathics, A. Jeffrey, Academic Press, Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide, G.B. Arfken, H.J. Weber, F.E. Harris, Academic Press, Advanced Modern Engineering Mathematics, G. James, Pearson, Physical Mathematics, K. Cahill, Cambridge, Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields, S. Hassani, Springer, Fundamentals of Differential Equations, R.K. Nagle, E.B. Saff, A.D. Snider, Pearson, M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 2 / 16
3 Funkcja zmiennej zespolonej Definicja: z = x + iy nazywamy zmienną zespoloną gdy jej części rzeczywista oraz urojona są zmiennymi rzeczywistymi. Definicja: Funkcją zmiennej zespolonej nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb zespolonych i o wartościach z tego zbioru: f(z) u(x, y) + iv(x, y) Definicja: Mówimy, że lim f(z) = w 0 jeśli dla każdej z z 0 dodatniej liczby ɛ istnieje taka dodatnie liczba δ, że z0 z f(z) w 0 < ɛ gdy 0 < z z 0 < δ O x y v w ε w0 O u Uwaga: Jeśli granica funkcji f(z) istnieje w z 0, to jest ona jednoznaczna. Twierdzenie: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną natomiast z 0 = x 0 + iy 0 oraz w 0 = u 0 + iv 0, wtedy: lim f(z) = w 0 lim u(x, y) = u 0 oraz lim v(x, y) = v 0 z z 0 (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) Twierdzenie: Niech lim z z 0 f 1 (z) = w 1 oraz lim z z 0 f 2 (z) = w 2, wtedy lim f 1(z) + f 2(z) = w 1+w 2, z z 0 lim f 1(z)f 2(z) = w 1w 2, z z 0 f 1(z) lim z z 0 f = w1, gdy w 2 0 2(z) w 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 3 / 16
4 Granica funkcji zmiennej zespolonej w nieskończoności Definicja: Rzutem stereograficznym nazywamy odwzorowanie płaszczyzny zespolonej na sferę Riemana o jednostkowym promieniu. Płaszczyzna zespolona leży w płaszczyźnie równikowej sfery, a środek sfery pokrywa się z początkiem układu. W szczególności wszystkie punkty leżące na zewnątrz okręgu z > 1/ε odpowiadają punktom na sferze leżącym w pobliżu bieguna północnego, N. Zbiór z > 1/ε nazywamy otoczeniem nieskończoności. Jeśli więc z 0 lub w 0 w definicji granicy lim f(z) = w 0 zastąpimy punktem w z z 0 nieskończoności, to odpowienie otoczenia punktów z 0 i/lub w 0 należy zastąpić otoczeniami nieskończoności. Twierdzenie: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną, a z 0 i w 0 punktami na płaszczyznach zespolonych, odpowiednio, z i w, wtedy: 1 lim f(z) = lim z z 0 z z 0 f(z) = 0 Dowód: Punkt w = f(z) leży w otoczeniu tzn. w = f(z) > 1/ε zawsze gdy punkt z leży w otoczeniu z 0, 0 < z z 0 < δ, co można inaczej zapisać 1 f(z) 0 < ε zawsze gdy 0 < z z0 < δ M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 4 / 16 O N P z
5 Ciągłość funkcji zespolonej Twierdzenie cd: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną, a z 0 i w 0 punktami na płaszczyznach zespolonych, odpowiednio, z i w, wtedy: lim f(z) = w 0 lim z lim f(z) = lim z z 0 Dowody przebiegają analogicznie jak wyżej. f(1/z) = w 0 z 0 1 f(1/z) = 0 Definicja: Funkcja f(z) jest ciągła w punkcie z 0 gdy lim z z 0 f(z) = f(z 0 ), tzn. gdy dla każdej dodatniej liczby ε istnieje taka dodatnia liczba δ, że f(z) f(z 0 ) < ε zawsze gdy z z 0 < δ Funkcja zespolona jest ciągła w obszarze R jeśli jest ciągła w każdym punkcie należącym do R. Twierdzenie: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. D: g[f(z)] g[f(z 0 )] < ε gdy f(z) f(z 0 ) < γ gdy z z 0 < δ Twierdzenie: Jeśli funkcja f(z) jest ciągła i niezerowa w punkcie z 0, wtedy f(z) 0 w pewnym otoczeniu tego punktu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 5 / 16
6 Pochodna funkcji zmiennej zespolonej Pochodna funkcji zespolonej ( z = z z 0 ): df dz lim F z 0 z = lim F (z + z) F (z) z 0 z Przykład: Oblicz, korzystając z definicji, pochodną funkcji: F (x + x, y + y) F (x, y) = lim x 0 x + i y y 0 f(z) = z 2 df dz = lim (z + z) 2 z 2 = lim (2z + z) = 2z z 0 z z 0 f(z) = z f z = (z + z) z = ( z) z z Jeśli granica istnieje, to powinna być niezależna od sposobu w jaki z dąży do zera. W szczególności jeśli dążymy do 0 wzdłuż osi x lub y wtedy: ( x, 0) 0 ( z) = ( x + i0) = x i0 = x + i0 = z (0, y) 0 ( z) = (0 + i y) = 0 i y = (0 + i y) = z A więc granica, a w konsekwencji pochodna funkcji f(z) = z, nie istnieje. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 6 / 16
7 Warunki Cauchy-Riemanna Niech F (z) u(x, y) + iv(x, y). Aby pochodna df/dz była jednoznaczna, granica musi być niezależna od sposobu w jaki z dąży do zera, czyli granice [ ] F (x + x, y + y) F (x, y) lim lim = F x 0 y 0 x + i y = u + i v lim y 0 [ lim x 0 F (x + x, y + y) F (x, y) x + i y ] = i F = v i u muszą istnieć i być sobie równe. Warunek Cauchy-Riemanna (istnienia pochodnej funkcji F (z)): F = i F co można zapisać za pomocą funkcji u(x, y) i v(x, y) w postaci: u + i v = i u + v u = v oraz Przykład: Warunki CR dla funkcji f(z) = z 2 = x 2 y 2 + i2xy u = v u x = 2x = v y, u y = 2y = v x f (z) = 2x + i2y = 2(x + iy) = 2z Przykład: Pochodna funkcji f(z) = z 2 = x 2 + y 2 + i0: CR: u x = 2x = 0 = v y, u y = 2y = 0 = v x A więc pochodna funkcji f(z) = z 2 istnieje tylko w punkcie z 0 = (0, 0). M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 7 / 16
8 Warunki CR we współrzędnych biegunowych Znane relacje: x = r cos θ, y = r sin θ, r = x 2 + y 2, tg θ = y x Obliczamy pochodne cząstkowe: F (r, θ) = F r r + F θ θ oraz Warunki Cauchy-Riemanna przyjmują postać: F (r, θ) = F r r + F θ θ F r = i1 F r θ, lub u r = 1 v v oraz r θ r = 1 u r θ Jeśli F (z) spełnia warunki CR w pewnym obszarze zawierającym punkt z, to jej pochodna może być wyrażona przez df dz = F = u + i v lub We współrzędnych biegunowych dostajemy: df dz = F F = cos θ r 1 F sin θ r θ lub za pomocą funkcji u(x, y) i v(x, y): [ ] df u dz = e iθ r + i v = ie iθ 1 r r df dz = i F = i u + v F = e iθ r = 1 F ie iθ r θ [ ] u θ + i v θ M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 8 / 16
9 Warunki C-R we współrzędnych biegunowych Przykład: Rozważmy funkcję f(z) = 1 z = 1 r e iθ = 1 (cos θ i sin θ), z 0 r Warunki Cauchy-Riemanna są spełnione: ru r = cos θ = v θ oraz u θ = sin θ = rv r r r Pochodna funkcji f(z) dla z 0 jest równa: ( f iθ f (z) = e r = e iθ cos θ r 2 + i sin θ r 2 ) iθ e iθ = e r 2 = 1 (re iθ ) 2 = 1 z 2 Uwaga: Relacje C-R stanowią warunek konieczny istnienia pochodnej funkcji. Twierdzenie (warunenk wystarczający istnienia pochodnej): Niech funkcja f(z) = u + iv będzie zdefiniowana w pewnym otoczeniu ε punktu z 0 = x 0 + iy 0 oraz niech w tym otoczeniu istnieją pochodne funkcji u i v spęłniające warunki C-R i będące ciągłe w z 0. Wówczas istnieje pochodna funkcji f (z 0 ). Dowód: ( u df = + i v ) ( u = + i v ( u dx + + i v ) (dx + idy) = ) ( u dy = ( u + i v + i v ) dz ) ( dx + v ) + i u dy M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 9 / 16
10 Postać zespolona warunków C-R Przykład: Pochodna funkcji f(z) = { (z ) 2 /z dla z 0 0 dla z = 0 w z 0 = (0, 0) f(z) = x3 3xy 2 + i y3 3x 2 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 Warunki C-R w z = (0, 0) są spełnione u x = 1 = v y, u y = 2 = v y. Granice f z w punkcie z 0 = (0, 0) wzdłuż osi układu są obie równe 1. Ale granica dla ( x, y) (0, 0) wzdłuż prostej y = x wynosi -1. Postać zespolona warunków Cauchy-Riemanna: Dla dowolnego z mamy: x = 1 2 (z + z ) oraz y = 1 2i (z z ) F Stąd wynika, że: z = F z + F z = 1 ( ) F 2 + i F Dla dowolnej funkcji f(z) = u(x, y) + iv(x, y) której części rzeczywista i urojona spełniaja warunki C-R otrzymujemy: f z = 1 2 [u x + iv x + i(u y + iv y )] = 1 2 [(u x v y ) + i(v x + u y )] = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 10 / 16
11 Widać, że z n jest funkcją analityczną dla n 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 11 / 16 Funkcje analityczne Definicja: Funkcję F (z) nazywamy analityczną w punkcie z 0 jeśli F (z) oraz wszystkie jej pochodne spełniają warunki Cauchy-Riemanna w pewnym otoczeniu punktu z 0. Przykład: F (z) = e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y) Funkcja e z spełnia warunki C-R: F = ( e x e iy) = e x e iy = e z =... = i F a więc d dz ez = e z i widać, że e z jest funkcją analityczną. Przykład: F (z) = z n = r n e inθ = r n [cos (nθ) + i sin (nθ)] Funkcja F (z) spełnia warunki C-R dla n 0: u(r, θ) = r n cos (nθ) u r = nrn 1 cos (nθ) = 1 v r θ v(r, θ) = r n sin (nθ) v r = nrn 1 sin (nθ) = 1 u r θ a więc d [ dz zn = e iθ r (rn cos (nθ)) + i ] r (rn sin (nθ)) = nz n 1
12 Funkcje analityczne Definicja: Funkcję F (z) która jest analityczna dla wszystkich skończonych wartości zmiennej z nazywamy funkcją całkowitą. Uwaga: Pochodną funkcji F (z) w punkcie z 0, która jest analityczna w pewnym obszarze zawierającym ten punkt, obliczamy analogicznie jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Uzasadnienie: jeśli F (z) jest analityczna z to spełnione są relacje: F = df dz oraz F = idf dz Różniczka F (z) jest efektywnie różniczką funkcji pojedynczej zmiennej: df = F F df df dx + dy = (dx + idy) = dz dz dz Przykład: Funkcja F (z) = z 3/2 = (x + iy) 3/2 nie jest analityczna w z = 0. Warunki C-R są spełnione dla F (z), bo F = 3 2 (x + iy)1/2 = i F Stosując warunki C-R do df/dz otrzymujemy wyrażenie [ 3 2 (x + iy)1/2 ] = (x + iy) 1/2 = i [ 3 2 (x + iy)1/2 ] które nie jest określone dla z = 0, więc funkcja z 3/2 nie jest analityczna w z = 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 12 / 16
13 Równanie Laplace a dla funkcji analitycznych Jeśli F (z) jest analityczna w obszarze R zawierającym punkt z, czyli spełnione są warunki C-R: u = v u oraz = v to wówczas: 2 u u 2 = 2 v 2 v = 0 2 u = 0 2 v v 2 = 2 u 2 u = 0 2 v = 0 czyli funkcje u(x, y) oraz v(x, y) spełniają równanie Laplace a w obszarze R. Taką parę funkcji nazywamy funkcjami harmonicznymi. Jeśli funkcja f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) jest analityczna w pewnym obszarze D nie zawierającym początku układu, to funkcje u oraz v spełniają równanie Laplace a we współrzędnych biegunowych: ( 2 2 u(r, θ) r r r r 2 θ 2 ) u(r, θ) = 0 oraz 2 v(r, θ) = 0 Jeśli tylko część u(x, y) lub v(x, y) funkcji analitycznej F (z) jest znana, to warunki C-R można wykorzystać do znalezienia nieznanej części: v Np. gdy znane jest u(x, y) wtedy: = u u v(x, y) = dy + A(x) M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 13 / 16
14 Znajdowanie funkcji analitycznych v = u da dx = u [ ] 2 u u 2 dy A(x) = 2 + u dy dx+c 2 v(x, y) = [ u u 2 ] dy + u 2 dy dx + C Przykład: Znajdź funkcję analityczną, której część rzeczywista u(x, y) = x 2 y 2 [ u 2 ] A(x) = dy + u 2 dy dx = [2x 2 y + 23 ] y3 dx Ponieważ A(x) zależy bezpośrednio także od y, więc oznacza to, że nie istnieje funkcja analityczna, której część rzeczywista ma postać u(x, y) = x 2 y 2. Przykład: Znajdź funkcję analityczną w której u(x, y) = sin x cosh y [ u 2 ] Ponieważ A(x) = + u 2 dy dx = 0 więc v(x, y) = cos x sinh y + C i ostatecznie znajdujemy funkcję F (z) która jest analityczna: F (z) = sin x cosh y + i cos x sinh y + C = sinh z + C M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 14 / 16
15 Całkowanie funkcji analitycznych Rozważmy całkę funkcji F (z) wzdłuż pewnego konturu C na płaszczyźnie zespolonej: F (z)dz C C 1 z 1 z 2 C 2 Istnieje nieskończenie wiele dróg całkowania pomiędzy zadanymi punktami z 1 i z 2. W ogólności wynik całki zależy od drogi całkowania. W przypadku gdy wartość całki jednak nie zależy od drogi całkowania, wtedy: z2 z2 z2 z1 F (z)dz F (z)dz = 0 F (z)dz + F (z)dz = 0 z 1, C 1 z 1, C 2 z 1, C 1 z 2, C 2 Jeśli więc wartość całki nie zależy od drogi całkowania, wtedy: F (z)dz = 0 Jakie warunki musi spełniać funkcja F (z) w obszarze ograniczonym konturem C aby spełniony był powyższy warunek? Aby znaleźć odpowiedź, skorzystamy z twierdzenia Greena: ( H (Gdx + Hdy) = G ) dxdy C R C M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 15 / 16
16 Całkowanie funkcji analitycznych F (z)dz = (udx vdy) + i (vdx + udy) = 0 C C C ( (udx vdy) = v C R u ) dxdy = 0 v = u ( u (vdx + udy) = C R v ) dxdy = 0 u = v A więc całka po konturze zamkniętym z funkcji analitycznej w obszarze objętym konturem, jest równa zero. Przykład: Oblicz całkę I a = I b = I c = x 2 dx + 1+i 0 1 (iy) 2 idy z 2 dz = 1 3 z3 1+i 0 = 1 (1 + i)3 3 (1 + iy) 2 idy = 1 (1 + i)3 3 0 (x + i) 2 dx = 1 (1 + i)3 3 (1 + i) 2 x 2 (1 + i)dx = 1 (1 + i)3 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 16 / i 1+ i 1+ i
Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.
Lecture 4 & 5 4 4.1 Riemnn t f(t) [, b] (Riemnn ) f(t)dt [, b] n 1 t 1,...,t n 1 t 0
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowo4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że
4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza zespolona (03-MO2S-12-AZes) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo