Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
|
|
- Marcin Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie. Zbadaj bieżność ciągów ( n ) n N. Dla ciągów bieżnych wynac ich granice. a) n = n+2 n + i 3n 3 n + b) n = ein n c) n = ( i) n d) n = n 2ni n+ e) n = ( ) n 3ni n+ f) n = 2n+ 3n i g) n+ n = (+i) n h) n = ( ) n n i) n = [( i) n +i n ]n 2 j) n = n2 +2in in 2 k) n = 3n+2+ni n+4i l) n = (+ i n )2 (2 i n )2 m) n = ( i n 2 2i + n ) ( i)n Zadanie 2. Zbadaj bieżność i bieżność bewględną następujących seregów: a) + 3+2ni n= b) i3 n n 2 n= c) + 5 n n= g) + 3 n n=0 h) + (+i) n (e i) n n=0 n2 n 2 i) + n= l) + n= ( 4 )n (cos nπ 6 + i sin nπ 6 ) m) + n= d) + n+i n= ein e) + n= 2n+i j) + in 3 + n= 4 n n) + n 2 (π+i) n n= n f) + ( 3+i) n i n n= n 3 2 n e in n n k) + n!(e+ i 2 )n n= (cos nπ + i sin nπ) 3 3 n! o) + sin n+n cos n (ni) n n= n Elementarne funkcje espolone miennej espolonej Pryjmujemy onacenia: Log() - logarytm licby espolonej 0, cyli biór wsystkich w C, takich że e w = log() - logarytm główny licby espolonej. Zadanie 3. Udowodnij, że Log() = {ln + i arg () + 2kπi; k Z}. Zadanie 4. Oblic: a) e 2+2i b) e 2+ π 2 i c) e πi d) cos (i) e) sin ( + i) f) tg π i g) ctg( π + 2i) h) Log(2i) 4 i) log ( 2) j) Log ora log k) Log( i) ora log ( i) Zadanie 5. Uasadnij tożsamości, dla C: a) e + 2 = e e 2 b) sin 2 = 2 sin cos c) cos 2 = cos 2 sin 2 d) sin ( + π 2 ) = cos e) e = e f) sin 2 + cos 2 =
2 Zadanie 6. Wynac cęść recywistą i cęść urojoną funkcji espolonej miennej espolonej f(), jeśli: a) f() = i b) f() = (3 + i) c) f() = Re() f) f() = 2 g) f() = e i h) f() = cos Zadanie 7. Uasadnij, że: a) C : sin = 0 k Z : = kπ d) f() = i +i e) f() = i 2 + b) Log( ) = Log(), gie Log() = { w w Log()} c) Log( ) = Log(), gie Log() = { w w Log()} Zadanie 8. Dla jakich C achoi e R? Zadanie 9. Rowiąż równania (dla C): a) e 2 = 2i b) e = e i c) cos = 2i 3 Granica i ciągłość funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 0. Zbadaj, cy funkcja f() = ( ) ma granicę w punkcie = 0. 2 Zadanie. Oblic następujące granice: a) lim b) lim m, gie m N c) lim i d) lim 0 e) lim e 2 f) lim +i ( ) g) lim +i 2 2i Zadanie 2. Zbadaj ciągłość funkcji f() = a 0 n + a n a n, gie a C, dla i = 0,,..., n. Zadanie 3. Zbadaj cy funkcja f() = { (Re( 2 )) 2 2 dla 0 0 dla = 0 jest ciągła w punkcie = 0. 4 Pochodna funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 4. Sprawdź, że podanej funkcje spełniają równania Cauchy ego-riemanna: a) f() = 2 b) f() = sin Zadanie 5. Uasadnij, że podane funkcje nie mają pochodnej: a) f() = b) f() = Re() c) f() = Zadanie 6. Roważ funkcję f() = Re() Im() i w punkcie 0 = 0, aby prekonać się, że spełnienie równań Cauchy ego-riemanna nie gwarantuje istnienia pochodnej. 2
3 Zadanie 7. Zbadaj, w których punktach podane funkcje mają pochodne i oblic te pochodne w punktach, w których istnieją: a) f() = ( + ) b) f() = e c) f() = Re()Im() Zadanie 8. Zbadaj, w których punktach podane funkcje f() mają pochodne, a w których są holomorficne. Oblic pochodne w punktach, w których one istnieją. a) f() = Re( 2 ) b) f() = e i Zadanie 9. Wynac funkcję holomorficną f() = u(x, y) + iv(x, y) ( i wyraź f() worem ależnym od miennej ) wieąc, że: a) v(x, y) = 2xy + 3x, f(i) = 0 b) u(x, y) = e y cos x 2x, f( π ) = π + 2i 2 c) u(x, y) = xe x cos y e x y sin y ( dokładnością do stałej C) 5 Funkcja espolona miennej recywistej Zadanie 20. Jakie linie (biory punktów na płascyźnie espolonej) predstawiają podane równania? a) (t) = t + + 3it, < t < b) (t) = e t + ie 2t, t [0, ] c) (ϕ) = re iϕ, r > 0 d) (t) = 0 + re it, t ( π, π] gie r > 0, 0 = x 0 + iy 0 e) (t) = 0 + at, t R, gie 0 = x 0 + iy 0, a = α + iβ C, α 2 + β 2 0 f) (t) = t 3 + it 3, t [, ] g) (t) = t + it, t [, ] h) (t) = sin t + i sin t, t [0, 2π] i) (t) = t + i sin t, t R j) (t) = t + i, t R \ {0} k) (t) = cos t, t R t l) (t) = i + ( 2i)t, t R m) (t) = 2e it + e it, t R n) (t) = (3e it + e it ) 2, t (0, π] Zadanie 2. Cy prosta, którą predstawia równanie (t) = 3i+(+2i)t, prechoi pre punkty = + i, 2 = 2 3i? Zadanie 22. Napis w postaci espolonej równanie prostej prechoącej pre punkty = + 3i, 2 = 2 + 5i. Zadanie 23. Znajdź punkty precięcia krywych predstawionych równaniami: a) (t) = (+i)t i, 2 (t) = 3 2i+(i )t b) (t) = i+(+2i)t, 2 (t) = 3 2i (2+4i)t Zadanie 24. Napis równanie parametrycne postaci = (t), t I R następujących krywych: 3
4 a) prostej prechoącej pre punkty = + 3i i 2 = 2 + i b) odcinka łącącego punkty = 2 i 2 = 4 3i c) okręgu o środku 0 = + 3i i promieniu r = 2 d) elipsy o środku 0 = + 2i i półosiach a = 3, b = 2 e) cęści krywej y = x 3 awartej mięy punktami i ora + i Zadanie 25. Oblic granice: a) lim t 0 e t + i cos t b) lim t 0 sin t t + (t 2 + 2t + 3)i c) lim t 5 sin t + ie t Zadanie 26. Cy funkcja (t) = + i + (2 i)te t jest ciągła w punkcie t = 2? Zadanie 27. Oblic pochodne funkcji: a) (t) = 5e it b) (t) = e w(t), gie w : R C różnickowalna c) (t) = t 2 e 4it d) (t) = ( + 2i)t + ( 2i) t e) (t) = 2e it + 3e it 6 Całki funkcji espolonych 6. Całka onacona funkcji espolonej miennej recywistej Zadanie 28. Korystając faktu, że b (t)dt = b u(t)dt + i b v(t)dt, dla (t) = u(t) + iv(t), a a a t [a, b] R, oblic podane całki. Zauważ, że wory do oblicania całek, są takie same jak w pryapdku recywistym. a) π 2 0 (t2 + i sin t)dt b) π 0 e it dt c) π sin (it)dt d) b ( + 0 a ti)2 dt e) (3 + 2it)dt 0 Zadanie 29. Korystając faktu, że b a (t)dt = F (t) b a, gie F (t) to pierwotna funkcji (t), oblic całki: a) π 0 sin tdt b) 2 0 e4it dt c) 0 ( 0 + it) n dt d) β 0 teit dt 6.2 Całka krywoliniowa funkcji espolonej miennej espolonej Zadanie 30. Oblic podane całki krywoliniowe amieniając je na całki onacone: a) C e Im() Re(), gie C jest odcinkiem o pocątku = i końcu 2 = 2 + i b) C Im(2 ), gie C jest leżącą w pierwsej ćwiartce układu współrędnych cęścią okręgu = R, prebieganą od punktu Ri do punktu R c) C, gie C jest fragmentem łuku paraboli y = + x2 o pocątku + i ora końcu e + ei 4
5 d) C e, gie C jest łamaną o wierchołkach kolejno w punktach π 2 i, ( + i) π 2, 0 e) C, gie C jest półokręgiem o równaniu (ϕ) = rei(π ϕ), 0 ϕ π, r > 0 orientowanym godnie ruchem wskaówek egara f) K, gie K jest okręgiem o środku a C i promieniu r > 0 orientowanym dodatnio a g) Re(), gie C jest odcinkiem o pocątku w punkcie 0 i końcu w punkcie + i C h) Re(), gie C jest łamaną o wierchołkach prebieganych w kolejności 0,, + i C i) C ( 0, gie C jest okręgiem ) n 0 = r orientowanym dodatnio, n N, 0 C to punkt ustalony Zadanie 3. Korystając e wiąku f() = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + C C C u(x, y)dy oblic: a), gie C jest odcinkiem o pocątku w punkcie O i końcu w punkcie + i C b), gie K jest cęścią okręgu o promieniu R > 0 i środku w punkcie = 0, leżącą K 2 w pierwsej ćwiartce układu współrędnych i skierowaną preciwnie do ruchu wskaówek egara Zadanie 32. Wykorystując funkcję pierwotną danej funkcji podcałkowej oblic następujące całki krywoliniowe po krywej kawałkami gładkiej C: a) C sin (2i), gie C jest dowolną krywą o pocątku = 0 i końcu 2 = π 2 i b) C e, gie C jest dowolną krywą o pocątku = i końcu 2 = 2 + πi c*), gie C jest fragmentem okręgu = R w pierwsej ćwiartce układu współrędnych C łącącym punkty = R, 2 = Ri Zadanie 33. Niech C bęie krywą Jordana. a) Niech f() ma funkcję pierwotną F () w pewnym obsare D awierającym krywą C. Ile wynosi C f()? b) Cy C, gie a C, równa się ero? a Zadanie 34. Oblic całkę C 2 0 po okręgu C : (t) = re it, t [0, 2π], jeśli punkt 0 : a) leży na ewnątr C b) leży wewnątr C i jest środkiem tego okręgu Zadanie 35. Korystając uogólnienia twierenia całkowego Cauchy ego na obsar wielospójny oblic całkę, gie C jest elipsą o równaniu C 2 + 4x2 + y 2 4 = 0 orientowaną dodatnio. Zadanie 36. Korystając e woru całkowego Cauchy ego i jego uogólnienia oblic całki: 5
6 a) C, gie C jest okręgiem + 2i = orientowanym dodatnio 2 (+2i) b) C sin, po krywej C : x2 + y2 9 4 = orientowanej dodatnio c) C sin ( π 2 ), gie C jest okręgiem = orientowanym dodatnio 2 d) C e) C e π ( 2 +4) 2, gie C jest okręgiem + 2i = 2 orientowanym dodatnio cos, gie C jest okręgiem 3 = orientowanym dodatnio ( π) 3 Zadanie 37. Oblic całkę C a) o promieniu r < 2 i środku w punkcie i a) o promieniu r < 2 i środku w punkcie i, gie C jest dodatnio orientowanym okręgiem: ( 2 +) 2 a) o promieniu r > 2 i środku w punkcie i (skorystaj podpunktów a ora b) Zadanie 38. Oblic całki po podanych krywych amkniętych orientowanych dodatnio: a) C, gie C to okrąg = 4 b) C 2 +2, gie C to okrąg = 4 ( 2 )(+2) Zadanie 39. a) Jaką krywą C opisuje równanie = 0? b) Korystając twierenia Cauchy ego oblic całkę sin. C c) Korystając wrou całkowego Cauchy ego oblic całkę C e (+) 2. 7 Seregi espolone funkcyjne i potęgowe, sereg Taylora Zadanie 40. Korystając kryterium Weierstrassa badaj jednostajną bieżność seregu + (sin ) n n= 5 n w pasie 0 Im(). Zadanie 4. Wynac promienie bieżności podanych seregów potęgowych: a) + n=0 n b) + e in (+i) n (2+i) n n= c) + ( 2+i) n n 2 n= d) + ( ) n 2n n 2 +in n=0 (3 e) + 7i) n n=0 f) + (+i) n n=0 2n g) + n n=0 (2+3i) n e ( π 2 i+)n n Zadanie 42. Zbadaj bieżność następujących seregów na bregu koła bieżności: a) + n=0 n b) + n n= c) + n 2 n= nn Zadanie 43. Oblic dla < sumy następujacych seregów: a) + n= n b) + n= nn c) + n n= n Zadanie 44. Rowiń w sereg Maclaurina funkcję: a) f() = cosh() = e +e 2 b) f() = 0 eζ2 dζ 6 (+i) n 2n n
7 Zadanie 45. Rowiń funkcję f() w sereg Taylora w otoceniu punktu 0 i najdź koło bieżności otrymanego seregu: a) f() = cos ( 2 ), 0 = 0 b) f() = 2+, 0 = i c) f() = e i, 0 = π 2 d) f() = 2 +2, 0 = 2 e) f() = 0 eζ2 dζ, 0 = 0 f) f() = 2 4+3, 0 = 0 g) f() = ln ( + ), 0 = 0 8 Miejsca erowe funkcji Zadanie 46. Znjadź wsystkie era funkcji f() i badaj ich krotność: a) f() = ( 3 ) 2 ( ) b) f() = 2 (cos ) c) f() = (e ) e e 2 d) f() = + 2 e) f() = Seregi Laurenta Zadanie 47. Znajdź rowinięcie funkcji f() w sereg Laurenta w pierścieniu P, jeśli: a) f() =, P = { C : 0 < < 3} b) f() =, P = { C : 3 < 3 < } ( 3) ( 3) c) f() =, P = { C : 2 < + < } 2 d) f() = 2, P = { C : < < 2} (+)( 2) e) f() = ( + ) sin ( i ), P = { C : 0 < < } f) f() = e, P = { C : 0 < < } Zadanie 48. Dana jest funkcja f() = 2. Rowiń ja w sereg Laurenta w pierścieniu: 2 a) P = { : 0 < + < 2} b) P = { : 0 < < 2} c) P = { : < 2 < 3} Zadanie 49. Znajdź wsystkie seregi Laurenta o środku w punkcie 0 bieżne do funkcji f() w pewnych pierscieniach wokół tego punktu, jeśli: a) f() = , 0 = b) f() = i ( )( i), 0 = + i Zadanie 50. Rowiń w sereg Laurenta o środku w punkcie 0 funkcję: a) f() = cos ( 2 ), 0 = 2 b) f() = 22 2i ( 2 +2)( i), w otoceniu pierścieniowym 0 = i c) f() = e πi, 0 = πi d) f() = 2, 0 = 0 7
8 9. Punkty osobliwe i residua funkcji Zadanie 5. Podaj prykłady funkcji f(), dla których punkt 0 = 0 jest: a) punktem poornie osobliwym b) biegunem dwukrotnym c) punktem istotnie osobliwym Zadanie 52. Określ roaj punktów osobliwych odosobnionych funkcji f(). W prypadku biegunów określ ich krotność. Zbadaj achowanie funkcji f() w nieskońconości. a) f() = 2 ( 2 +2) 2 b) f() = c) f() = sin d) f() = sin 4 e) f() = e i f) f() = e g) f() = e h) f() = i) f() = j) f() = e ( ) 3 k) f() = cos cos Zadanie 53. Uasadnij, że jeśli f() = g() h() ora g(), h() są analitycne w otoceniu punktu 0 i ponadto g( 0 ) 0, h( 0 ) = 0, h ( 0 ) 0, to wówcas res 0 f() = g( 0) h ( 0 ). Zadanie 54. Oblic residua podanych funkcji w ich punktach osobliwych (nie bieremy tu pod uwagę = ): a) f() = 2 +π 2 b) f() = e c) f() = e ( 5) 3 d) f() = ctg e) f() = 2 e i f) f() = sin π 2 Zadanie 55. Korystając twierenia całkowego o resiuach oblic podane całki po wskaanych krywych orientowanych dodatnio: a) C b) C c) C, gie C jest okręgiem = π orientowanym dodatnio 2 i+2, gie C jest trójkątem o wierchołkach prebieganych w kolejności i, i, 2i 3 ( 2 +2) 2, gie C : πi = 4 orientowany dodatnio e d) cos, gie C jest okręgiem = orientowanym dodatnio C Zadanie 56. Oblic podane całki niewłaściwe: a) + x 2 dx b) + (x 2 +4) 2 dx c) + x 4 +5x 2 +6 cos x dx (x 2 +) 2 WSKAZÓWKA do prykładu c): Zauważ, że + sin x dx = 0 (bo funkcja podcałkowa jest (x 2 +) 2 nieparysta, a całka bieżna bewględnie), a następnie skorystaj ależności e ix = cos x +i sin x. 8
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoMATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania funkcji espolonych III semestr Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad. 1-11 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad. 12-2 3. Funkcje elementarne Zad. 21-34
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowok i j=1 f(ζ) dζ = f(z). (ζ z) f n (ζ) 1 dζ f(z) = 1
+ Analia Zespolona I, uupełnienie. Zasada argumentu. We wore na licbę er i biegunów mamy calkę formy f d. Zauważmy, e forma ta jest f różnicką d log f. Wprawdie funkcja log f jest niejednonacna, to jej
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008
Funkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008 Czternasta porcja zadań. Uwaga: i) W każdym zadaniu można korzystać z poprzednich jego części i innych zadań, nawet, jeśli się ich nie rozwiązało. ii) Wcześniejsze
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne LISTA
Funkcje analitycne LISTA 0.0.006. Kiedy prekstałcenie R - liniowe na R jest C - liniowe?. Dla f : C C pokaać, że warunkiem koniecnym C - różnickowalności (cyli holomorficności) jest R - różnickowalność.
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko
Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 2. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj
MATEMATYKA 2 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Całka krzywoliniowa nieskierowana 9 1.1 Całka krzywoliniowa
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. Agata Pilitowska. dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza
Funkcje zespolone. Agata Pilitowska 2007 1 Liczby zespolone Definicja 1.1. Liczba zespolona jest to para uporza dkowana (x, y) liczb rzeczywistych x, y R. Dwie liczby zespolone z = (x, y) i w = (u, v)
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowo5. wykładu.) x 2 +2x+5dx. (Wskazówka: wykorzystać to, że sin = Im(exp) na osi rzeczywistej; użyć lematu Jordana.) 3. Obliczyć
FAN: wybór zadań przygotowawczych do egzaminu. styczeń 2014r. Egzamin będzie z całości materiału również i tej jego części, która objęta była poprzednimi zadaniami przygotowawczymi i samym kolokwium. Poniższy
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoZginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoZastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe
4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo4.1. Lecture 4 & 5. Riemann. f(t)dt. a = t 0 <t 1 < <t n 1 <b= t n (4.1) , n [t i 1,t i ] t i t i 1 (i =1,...,n) f(ξ i )(t i t i 1 ) (4.
Lecture 4 & 5 4 4.1 Riemnn t f(t) [, b] (Riemnn ) f(t)dt [, b] n 1 t 1,...,t n 1 t 0
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoPRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowo