k i j=1 f(ζ) dζ = f(z). (ζ z) f n (ζ) 1 dζ f(z) = 1
|
|
- Bogdan Sobczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 + Analia Zespolona I, uupełnienie. Zasada argumentu. We wore na licbę er i biegunów mamy calkę formy f d. Zauważmy, e forma ta jest f różnicką d log f. Wprawdie funkcja log f jest niejednonacna, to jej różnicka już jest. Z definicji logarytmu mamy log f( = log f( +i arg f( i stąd d log f = d log f +id arg f. Całka pierwsego składnika po konture amkniętym nika, a całka drugiego jest równa pryrostowi argumentu f( wdłuż konturu. Stąd wór na licbę er i biegunów możemy interpretowaś jako Zasada argumentu. Niech f M(Ω będie różna od funkcji erowej i niech Ω będie obsarem spójnym. Jeżeli D Ω jest wartym obsarem bregiem takim, że D nie awiera er ani biegunów funkcji f, to różnica sumy krotności er funkcji f leżących w D i sumy rędów biegunów N p funkcji f leżących w D, jest równa mianie argumentu f( wdłuż D.. Problemy Cousina. Wiemy, że każdy wielomian w można predstawić jako ilocyn dwumianów ( a i, gdie a i jest pierwiastkiem w, ora stałej. Na stałą należy patreć jak na wielomian, który nigdie nie jest równy ero. Z drugiej strony, każda funkcja wymierna da się predstawić jako suma wielomianu i ułamków prostych. Zwróćmy uwagę, że w rokładie funkcji wymiernej na ułamki proste (wersja espolona α ij (x a i P (x Q(x = W (x + i k i j= α ij (x a i skladnik k i j= jest jest cęścia główną rowinięcia Laurenta wokół a i - poostałe składniki są holomorficne w a i i otoceniu. Zajmiemy się tera podobnymi rokładami dla funkcji holomorficnych i meromorficnych. Ponieważ będą występowały sumy i ilocyny nieskońcone, treba najpierw uupełnić nasą wiedę dotycącą prestreni funkcji analitycnych i meromorficnych... Zupełność prestreni funkcji analitycnych. Twierdenie Weierstrassa. Twierdenie (Weierstrass. Niech Ω będie obsarem w C, a D Ω wartym obsarem bregiem D. Jeżeli ciąg f n A(Ω jest bieżny jednostajnie na D, to jest też bieżny jednostajnie na D i granica jest funkcją holomorficną wewnątr D. Dowód: Niech f n f jednostajnie na D. Funkcja f n f m jest holomorficna w Ω, więc sup D f n ( f m ( jest osiągane na bregu D. Zatem (f n jest ciągiem Cauchy ego w metryce jednostajnej, więc bieżnym do funcji ciągłej f. Ocywiście f = f na D. Weźmy Int D. Z woru całkowego Cauchy ego i e bieżności jednostajnej (f n, f n ( = πi D f n (ζ dζ (ζ πi D Funkcja f jest więc, wewnątr D, adana worem f( = f(ζ πi D (ζ dζ, f(ζ dζ = f(. (ζ a atem (różnickowanie pod nakiem całki holomorficna. Korystając jesce ra woru całkowego (dla pochodnych dostajemy, że f (k n f (k niemal jednostajnie we wnętru D.
2 Wniosek. Jeżeli ciąg funkcji holomorficnych w Ω jest bieżny niemal jednostajnie do f, to funkcja f jest holomorficna w Ω i bieżność jest niemal jednostajna wra e wsystkimi pochodnymi. Z twierdenia o wartości średniej mamy nawet więcej: wystarcy bieżność w sensie całki np. Lebesgue a. Podsumowanie: ( Prestreń A(Ω jest upełna e wględu na bieżność niemal jednostajną. ( Zbieżność niemal jednostajna jest równoważna bieżności niemal jednostajnej e wsystkimi pochodnymi. Dla Ω = C funkcja holomorficna ma rowinięcie Taylora w ere, więc jest granicą niemal jednostajną wielomianów. Dla jednospójnego Ω mamy twierdenie Rungego. Twierdenie (Runge. Niech Ω będie obsarem jednospójnym i niech f A(Ω. Dla każdego bioru wartego K Ω i każdego ε > istnieje wielomian P taki, że sup f( P ( < ε. K Uwaga! Twierdenia Rungego nie należy mylić Twierdeniem Stone a. W twierdeniu Stone a (wersja dla funkcji o wartościach espolonych mamy prybliżanie funkcji ciągłych (więc i holomorficnych wielomianami, ale od i!.. Rokład na ułamki proste. Pierwsy problem Cousina. Ropatrmy najpierw taki problem (Pierwsy problem Cousina: Niech Ω będie obsarem w C i (a i ciągiem różnych punktów w Ω, be punktu skupienia w Ω. Cy istnieje funkcja meromorficna w Ω biegunami w (a i (i tylko tam, o adanych cęściach głównych n i P i ( = c k,i ( a i k k= rowinięć Laurenta. Poytywną odpowiedź daje twierdenie Mittag-Lefflera..3. Dowód twierdenia Mittag-Lefflera. Dowód: Dowód preprowadimy w prypadku Ω = C. Dla dowolnego obsary dowód jest ideowo taki sam, ale technicnie nacnie bardiej skomplikowany. Prypadek ciągu skońconego jest trywialny: wystarcy wiąć sumę P i. Niech więc (a i będie ciągiem nieskońconym. Możemy też ałożyć, że a i+ a i ora a =. W odróżnieniu od prypadku ciągu skońconego, suma P i może być robieżna, będiemy więc jej składniki renormaliować wielomianami by otrymać sereg bieżny. Funkcja P i jest holomorficna poa a i, więc w kole a i ma rowinięcie Taylora. Istnieje atem wielomian W i taki, że sup W i ( P i ( < a i i. Pokażemy, że sereg (P i W i jest bieżny niemal jednostajnie w C \ (a i. Niech K C \ (a i będie biorem wartym. Ponieważ a i, to istnieje N takie, że dla i > N i biór K jest awarty w kole a i, więc dla i > N sup W i ( P i ( < K i. Stąd jednostajna bieżność seregu. Onacmy f( = i (P i( W i (. Z twierdenia Weierstrassa o upełności prestreni funkcji holomorficnych f jest funkcją holomorficną poa ciągiem (a i. Dla każdego a i funkcja f k i (P i W i jest holomorficna w a i, więc cęść główna rowinięcia Laurenta funkcji f w a i jest równa P i.
3 Wniosek (Rokład Mittag-Lefflera. Każdą funkcję meromorficną f M(C można predstawić w postaci sumy f = g + i (P i W i, gdie P i są cęściami głównym rowinięć f, W i są wielomianami a g funkcją całkowitą. Dowód: Uporądkujmy bieguny f według rosnącego modułu i niech P i będie cęścią główną rowinięcia w a i. Punkt = możemy unać a regularny, bo jeśli f ma biegun w =, to astąpimy f funkcją f P, gdie P jest cęścią główną rowinięcia Laurenta w ere. Z dowodu twierdenia Mittag Lefflera istnieją wielomiany W i takie, że sereg i (P i W i jest bieżny i że funkcja g = f i (P i W i jest całkowita..4. Prykłady. Prykład. Niech f( =. Jest to funkcja meromorficna biegunami drugiego (sin rędu w punktach = nπ, n Z. Cęścią główną rowinięcia Laurenta w nπ jest ( nπ. Suma cęści głównych jest bieżna, więc g( = n Z jest funkcją meromorficną ( nπ cęściami głównym rowinięć Laurenta takimi samymi jak dla funkcji f. Funkcja f g jest atem całkowita i okresowa o okresie π. Weźmy = x + iy, gdie x [, π]. Dla n =,, 3,... mamy nπ = y + (x nπ π(n a dla n =,, 3,... Stąd g( m m nπ n π. nπ + Pierwsy składnik dąży do era pry y,więc m+ (n π. lim g( y (n π m m+ jako resta sumy seregu bieżnego. Z drugiej strony, sin = sin x + sinh y, więc sin ora f( g(, y y jednostajnie e wględu na x [, π]. f g jest więc funkcją całkowitą, ograniconą, atem stałą równą ero. (sin = n Z ( nπ. ( Prykład. Funkcja meromorficna f( = ctg ma bieguny w punktach = nπ cęściami głównymi. Sereg cęści głównych jest robieżny, ale można go renormaliować (opróc n = wielomianami stopnia erowego nπ. nπ Funkcja g( = ctg n Z\{} 3 ( nπ + nπ
4 jest funkcją całkowitą, a różnickując wyra po wyraie widimy (Prykład, że jej pochodna jest równa ero. Jest to atem funkcja stała w ere równa ero, ctg = + ( nπ +. ( nπ n Z\{}.5. Rokład na cynniki pierwse. Drugi problem Cousina. Niech Ω będie obsarem w C i (a i ciągiem różnych punktów w Ω, be punktu skupienia w Ω. Niech (p i będie ciągiem licb naturalnych. Drugi problem Cousina: cy istnieje funkcja holomorficna w Ω taka, że w punktach a i (i tylko tam ma era krotności p i. Poytywną odpowiedź daje twierdenie Weierstrassa, ale najpierw trochę o ilocynach nieskońconych..6. Ilocyny nieskońcone. Ilocyn nieskońcony n= ( + c n naywamy bieżnym, jeżeli wsystkie jego cynniki są różne od era i ciąg ilocynów cęściowych P n = n k= ( + c k jest bieżny do granicy P. Pisemy P = n= ( + c n. Stwierdenie. Ilocyn n= ( + c n jest bieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki dobór gałęi logarytmu, że sereg n= log( + c n jest bieżny. Dowód: Jeżeli sereg n= log( + c n jest bieżny do S, to ciąg exp( n k= log( + c k = n k= ( + c k jest bieżny do e S. Jeżeli ilocyn nieskońcony jest bieżny, to P n = n k= ( + c k P i możemy wybrać (i wybieramy gałąź logarytmu tak, by log P n był bieżny do log P. Kładiemy log(+c = log P, gałąź log(+c dobieramy tak, by log(+c +log(+c = log P i.t.d. Dostajemy n k= log( + c k = log P n n log P. Ze stwierdenia wynika, że warynkiem koniecnym bieżności ilocynu jest bieżność do era ciągu (c n. Jeżeli c n, to dla dużych n mamy sacowanie log( + c n c n. Istotnie, niech w. Z definicji logarytmu (jesteśmy na gałęi głównej logarytmu log( + w = +w ζ dζ = w + tw dt i stąd log( + w w dt w. w Zatem e bieżności seregu n= c n wynika bieżność bewględna seregu n= log(+ c n..7. Dowód twierdenia Weierstrassa. Dowód: Z twierdenia Mittag-Lefflera istnieje funkcja meromorficna h M(Ω taka, że w a i ma biegun pierwsego rędu residuum p i. Definiujemy nową funkcję H( = h(ζdζ, gdie droga całkowania łący ustalony punkt. Funkcja H jest niejednonacną funkcją, holomorficną poa (a i. Ponieważ residua funkcji h w punktach (a i są licbami naturalnymi, wartości H( na różnych gałęiach różnią się o wielokrotność πi. Zatem funkcja f( = e H( jest jednonacną funkcją holomorficną poa (a i i jest tam różna od era. 4
5 Co się dieje w punkcie a i? Mamy w otoceniu a i, h( = p i a i + g i (, gdie g i jest holomorficna w otoceniu a i. Całka więc p i ζ a i dζ = p i (log( a i log( a i = p i log a i a i, f( = exp(p i log a i a i exp G i ( = ( a i p i ( a i p i exp G i(, gdie G i ( = g(. Funkcja ( a i p exp G i( jest różna od era w a i i i holomorficna w otoceniu a i, więc f ma w a i ero rędu p i. Niech Ω = C. Konstruując h jak w dowodie twierdenia Mittag-Lefflera mamy h( = i Onacając pre R i całkę W i warunkiem R i ( =, mamy f( = ( pi W i (. (3 a i (( ai i= a i pi e Ri(. (4 Wniosek 3. Każda funkcja meromorficna f M(C jest iloraem funkcji całkowitych. Dowód: Niech (b i będą biegunami funkcji f a (q i ich rędami. Z twierdenia Weierstrassa istnieje funkcja całkowita h erami rędu q i w b i. Funkcja g = fh jest funkcją całkowitą, atem f = g jest iloraem funkcji całkowitych. h Wniosek 4. Niech Ω będie obsarem w C. Istnieje funkcja f A(Ω nie mająca predłużenia analitycnego poa Ω. Dowód: Wybiermy ciąg a i Ω taki, by nie miał on punktów skupienia w Ω, ale żeby każdy punkt bregu Ω był jego punktem skupienia. Z twierdenia Weierstrassa istnieje funkcja holomorficna w Ω erami w punktach a i. Gdyby funkcja f miała predłużenie analitycne f, to pewien punkt b Ω byłby w diedinie holomorficności f. Punkt ten byłby też punktem skupienia er f, atem f byłaby równa tożsamościowo eru. Jeżeli f A(Ω nia ma predłużenia holomorficnego poa Ω, to mówimy że Ω jest obsarem holomorficności funkcji f. Ostatni wniosek można więc sformułować tak: każdy obsar w C jest obsarem holomorficności pewnej funkcji..8. Prykład. Funkcja f( = sin jest funkcją całkowitą erami w a n = nπ, n Z \ {} i każde ero ma krotność jeden. Jak w dowodie twierdenia Weierstrassa konstruujemy ( funkcję całkowitą g( erami jak w funkcji f. W rokładie (4 wybiermy =, więc pn an =. W ilocynie (4 występuje też + a n nπ nπ, więc g( = (( n= 5 (nπ e R n(.
6 Sereg (nπ jest bieżny bewględnie, więc można pryjąć R n =. Zatem f( = e h( g( = e h( n= ( (nπ, (5 : gdie h jest funkcją całkowitą. Weźmy pochodne logarytmicne stron równości (5 : ale rokładu ( ( d sin d log = ctg = h ( + (nπ, (6 ctg = n Z\{} ( nπ + = nπ (nπ (7, więc porównując (6 i (7 dostajemy h =. Ale f( = = e h (, więc h =. Ostatecnie 3. Funkcja gamma Eulera. Ropatrmy całkę Dla = x + iy mamy Γ( = sin = ( n= e t t dt = (nπ t = e ( log t = e iy log t e x log t = e iy log t t x,. (8 e t t dt. (9 więc całka jest bieżna niemal jednostajnie na obsare x >. Z różnickowaniem możemy wejść pod nak całki, więc Γ jest w obsare x > holomorficna. Całkując pre cęści dostajemy, dla x >, Γ( + = e t t = e t t + e t t dt = Γ(, ( Relacja Γ( = Γ( + powala definiować Γ w obsare x >, i, indukcyjnie, w C\{,,,... }. Otrymana funkcja jest holomorficna, więc jest jedynym predłużeniem analitycnym Φ obsaru x >. Pry okaji, Γ( = e t dt =, Γ( = Γ( =, Γ(3 = Γ( =,..., Γ(n = (n! co powoduje, że funkcja Γ, wana funkcją gamma Eulera, bywa uważana a uogólnienie silni. Jaką osobliwość ma Γ w k? Prybliżając funkcję wykładnicą wielomianami na odcinku [, ] mamy, pry Re > Γ( = = e t t dt + e t t dt ( n e t ( k t k t dt + 6 ( n ( k t k t dt + e t t dt.
7 Ostatnia całka adaje funkcję całkowitą, pierwsa funkcję holomorficną w obsare x > n, a środkowa jest rosereniem ( n ( k n t k t ( k dt = + k. Zatem Γ ma tam takie same osobliwości jak n ( k + k, cyli bieguny pierwsego rędu residuum ( k w k. Prechodąc do granicy n dostajemy, że Γ jest funkcją meromorficną na C biegunami pierwsego rędu w,,,... i Res k Γ = ( k. W obsare < x < funkcja Γ ma repreentację całkową, analogicną do (9: Γ( = Γ(+ = e t t dt = (e t t i ogólniej, w obsare n < x < n, ( Γ( = 3.. Tożsamości dla funkcji gamma. e t + n ( k t dt. Stwierdenie. Dla Re v > i Re u > mamy tożsamość Γ(uΓ(v Γ(u + v = e t t dt = (e t t dt t u ( t v dt. ( Dowód: Korystając drugiej całki w definicji (9 mamy, używając współrędnych biegunowych, Γ(uΓ(v = 4 = 4 = Γ(u + v = Γ(u + v e t t u dt e r r u+v dr π e s s v ds π (cos ϕ u (sin ϕ v dϕ (cos ϕ u (sin ϕ v dϕ pry cym ostatnią równość dostaliśmy podstawiając t = cos ϕ. Stwierdenie 3. Zachodi tożsamość Γ(Γ( = t u ( t v dt, ( π sin(π, w scególności Γ( = π. (3 Dowód: Wystarcy wykaać pierwsą równość na obsare > Re >. Z popredniego stwierdenia, mamy w tym obsare równość ( t Γ(Γ( = Γ( t ( t dt = Γ( t t dt. 7
8 Całką po prawej stronie może być oblicona ( metodą standardową (kontur diurki od kluca. Jeżeli na górnej kładce mamy pry wybore gałęi głównej logarytmu, to t ( t ( t t na dolnej mamy e πi, a granica pry t jest równa e πi. Granica funkcji podcałkowej w jest równa eru, więc jej residuum w jest równe granicy t t funkcji wymnożonej pre t, atem jest równe e πi. Stąd ( e πi t ( t dt = πie πi, cyli t ( t dt = π sin(π. Stwierdenie 4 (Wór Legendre a o podwajaniu. Dowód: Ze Stwierdenia Γ(Γ( Γ( = Γ(Γ( + = πγ(. (4 Podstawiamy s = 4t( t i otrymujemy Γ(Γ( Γ( t ( t dt = = a stąd dowodony wór, bo Γ( = π. t ( t dt. s ( s ds = Γ(Γ( Γ( + Funkcja gamma nie ma er, więc jej odwrotność jest funkcją całkowitą erami pierwsego rędu w,,,.... Można więc (Twierdenie Weierstrassa, wór (4 predstawić Γ w postaci ilocynu e g( n= ( + n exp( n. Okauje się, że funkcja g jest funkcją liniową. Stwierdenie 5 (Wór Weierstrassa. gdie 4. Funkcje i całki eliptycne. Γ( = eγ γ = lim n ( + n exp( n, n= ( n k= k log n. 4.. Okresy funkcji espolonej. Funkcję f na C naywamy okresową o okresie ω C, jeżeli f( + ω = f( dla każdego. Jeżeli ω jest okresem, to wielokrotność ω też jest okresem. Ogólniej: kombinacja liniowa okresów, o współcynnikach całkowitych, też jest okresem. Z kolei suma, ilora, ilocyn i pochodna funkcji o okresie ω są też funkcjami o okresie ω. Funkcja wykładnica i pochodące od niej funkcje trygonometrycne, hiperbolicne są prykładami holomorficnych funkcji okresowych na C. Uwaga! W dalsym ciągu słowo funkcja onacać będie funkcją holomorficną iolowanymi punktami osobliwymi. 8
9 Stwierdenie 6. Jeżeli okresy funkcji f mają punkt skupienia, to f jest funkcją stałą. Dowód: Jeżeli ω n są okresami f i ω n ω, to ω też jest okresem f: f( + ω = lim n f( + ω n = f(, więc ero też jest punktem skupienia okresów ω n ω. Pryjmijmy atem, że ω n. Jeżeli jest punktem regularnym, to funkcja f( f( jest równa ero na ciągu + ω n. Zera tej funkcji mają punkt skupienia, więc funkcja jest równa ero. Okres ω funkcji f naywamy fundamentalnym jeżeli każdy okres f jest wielokrotnością ω lub ω. Funkcje posiadające okres fundamentalny naywamy jednookresowymi. Prykładem funkcji jednookresowej jest funkcja wykładnica. Układ okresów (ω,..., ω n funkcji f naywamy fundamentalnym, jeżeli ( każdy okres funkcji f jest całkowitolicbową kombinacją (ω,..., ω n, ( układ ten jest minimalny, to nacy żaden właściwy pobiór (ω,..., ω n nie spełnia warunku (. Wybór okresów fundamentalnych nie jest jednonacny. Dla funkcji jednookresowej, jeżeli ω jest okresem fundamentalnym, to również ω jest okresem fundamentalnym. Z kolei, jeżeli para (ω, ω jest fundamentalnym układem okresów, to jest nim również para (aω+bω, cω+ dω, gdie a, b, c, d są licbami całkowitymi i ad bc = ±. Twierdenie 3 (Jacobiego. Warunkiem koniecnym, by układ (ω,..., ω n był fundamentalnym układem ukresów jest ( n = lub n =, ( dla n = ilora ω ω nie jest licbą recywistą. Dowód: Niech P C będie biorem okresów funkcji f i niech ω P. Wielokrotności ω leżą na pewnej prostej L i mamy dwie możliwości: ( wsystkie okresy funkcji f leżą na prostej L, ( nie wsystkie okresy funkcji f leżą na prostej L. W pierwsym prypadku wsystkie okresy są postaci tω, gdie t R. Ponieważ okresy nie mają punktu skupienia, istnieje okres o najmniejsym module. Możemy pryjąć, że ω jest takim okresem, cyli t. Prypuśćmy, że (m + rω, gdie m jest licbą całkowitą i r <, jest okresem. Zatem okresem jest też (m + rω mω = rω. Ale rω < ω, więc r =. w jest jedynym okresem fundamentalnym, funkcja jest jednookresowa. Niech tera ω, ω będą okresami i ω / L. W trójkącie o wierchołkach w, ω, ω mamy skońconą licbę okresów. Jeżeli są to tylko w i w, to tworą one fundamentalny układ okresów. Niech więc ω będie różnym od ω, ω okresem. Możemy pryjąć, że ω L (w preciwnym raie amieniami rolami ω i w. W trójkącie, ω, ω mamy mniej okresów niż w trójkącie, ω, ω. Powtaramy powyżsą procedurę dla trójkąta, ω, ω itd. Po skońconej licbie kroków dostajemy trójkąt, w którym jedynymi okresami są wierchołki. Tworą one fundamentalny układ okresów. Funkcje nietrywialnym okresem mogą więc być albo jednookresowe albo dwuokresowe. Meromorficne funkcje dwuokresowe naywane są funkcjami eliptycnymi. Funkcja dwuokresowa jest wynacona jednonacnie pre swoje wartości w dowolnym równoległoboku okresowym, tj. równoległoboku postaci Twierdenie 4 (Liouville a. ( Funkcja eliptycna ma bieguny. { : = + tω + sω, s, t < }. 9
10 ( Funkcja eliptycna ma era. (3 Niech f będie funkcją eliptycną i D domknięciem jej równoległoboku okresowego, be biegunów na D. Wówcas fd =. D (4 W każdym równoległoboku okresowym licba er (liconych krotnościami jest równa licbie biegunów (liconych krotnościami. (5 Suma residuów funkcji eliptycnej w dowolnym równoległoboku okresowym jest równa ero. (6 Niech f ma w punkcie rąd m, tn. m jest rędem era (bieguna w punkcie. Wówcas m P, gdie sumowanie jest po punktach równoległoboku okresowego. Dowód: ( Dwuokresowa funkcja całkowita jest ogranicona, więc stała. ( Odwrotność funkcji eliptycnej jest funkcją eliptycną, więc ma bieguny. (3 Z okresowości f całki po preciwległych bokach erują się. (4 Wybiermy równoległobok okresowy D tak, by na jego bregu nie było er i biegunów. Z woru na licbę er i biegunów, w obsare D πi(n N p = f f d, ale funkcja f jest też eliptycna o okresach takich jak f, więc na mocy poprednigo f punktu całka jest równa ero. (5 Całka fd po D jest, jednej strony, równa ero, a drugiej strony sumie residuów w D. (6 Zauwąmy, że funkcja f ma bieguny pierwsego rędu tam, gdie f ma era i bieguny f i residuum w jest równe m.zatem m = f πi f d, ale okresowości f +ω f +ω+ω f d f d = ω +ω f D +ω f f d = ω +ω d log f = πikω, gdie k jest licbą całkowitą, bo f( = f( + ω, więc wartości logarytmu różnią się o wielokrotność πi. Podobnie mamy dla drugiej pary boków równoległoboku i stąd tea. Z punktu (3 wynika natychmiast, że w obsare D nie może być pojedyńcego bieguna rędu pierwsego. Licba biegunów, licona rędami, musi być więksa od. 4.. Pryklady funkcji eliptycnych. Niech ω, ω będą takie, że ω nie jest licbą recywistą. Onacmy pre P biór wsystkich całkowitolicbowych kombinacji ω i ω. Funkcja ω Weierstrassa definiowana jest worem ( = + w P ( ( w w. (5 Stwierdenie 7. Funkcja Weierstrassa jest funkcją eliptycną fundamentalnym układem okresów (ω, ω.
11 Dowód: Mamy dla w > nierówność w w w i stąd ( w w = (w w ( w 4 ( + w w 4 w 3. Sereg w P w jest bieżny. Istotnie, ponieważ, ω, ω nie są współliniowe, to istnieje 3 a > takie, że nω+n ω a( n + n dla wsystkich n, n. Par (n, n takich, że n + n = m jest 4m, więc 4a 3 n <. w 3 w P Zatem sereg (5 jest bieżny bewględnie i niemal jednostajnie e wględu na. Funkcja jest dobre określona i, jak łatwo auważyć, parysta: ( = (. Poostaje wykaać jej okresowość. Mamy ( = 3 w P ( w 3 = w P ( w 3, a suma po prawej stronie jest ocywiście funkcją dwuokresową okresami ω, ω. Zatem ( + ω ( ora ( + ω ( są równe ero, cyli funkcje ( + ω π( i ( + ω ( są stałe. Z parystości pierwsa funkcja w ω ω, a druga w pryjmują wartość ero.
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoMATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne LISTA
Funkcje analitycne LISTA 0.0.006. Kiedy prekstałcenie R - liniowe na R jest C - liniowe?. Dla f : C C pokaać, że warunkiem koniecnym C - różnickowalności (cyli holomorficności) jest R - różnickowalność.
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania funkcji espolonych III semestr Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad. 1-11 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad. 12-2 3. Funkcje elementarne Zad. 21-34
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe
4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko
Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoZastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowoWykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoFraktale - wprowadzenie
Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoc n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume
Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny
Bardziej szczegółowo2015-01-15. Edycja pierwsza 2014/1015. dla kierunku fizyka medyczna, I rok, studia magisterskie
05-0-5. Opis różnicę pomiędy błędem pierwsego rodaju a błędem drugiego rodaju Wyniki eksperymentu składamy w dwie hipotey statystycne: H0 versus H, tak, by H0 odrucić i pryjąć H. Jeśli decydujemy, że pryjmujemy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoMetody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Analiza zespolona Complex Analysis Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Bardziej szczegółowoPrzedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7
Spis treści Predmowa 5 Rodiał 1 Prekstałcenie Laplace a 7 Rodiał 2 Wyprowadenie prekstałcenia Z 9 1. Prykładowe adania......................... 10 2. Zadania do samodielnego rowiąania............... 16
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoZginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo5. wykładu.) x 2 +2x+5dx. (Wskazówka: wykorzystać to, że sin = Im(exp) na osi rzeczywistej; użyć lematu Jordana.) 3. Obliczyć
FAN: wybór zadań przygotowawczych do egzaminu. styczeń 2014r. Egzamin będzie z całości materiału również i tej jego części, która objęta była poprzednimi zadaniami przygotowawczymi i samym kolokwium. Poniższy
Bardziej szczegółowo>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu
Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008
Funkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008 Czternasta porcja zadań. Uwaga: i) W każdym zadaniu można korzystać z poprzednich jego części i innych zadań, nawet, jeśli się ich nie rozwiązało. ii) Wcześniejsze
Bardziej szczegółowoORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoDWUCZĘŚCIOWE ŁOŻYSKO POROWATE
PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź, 1 14 maja 1999 r. Karol Kremiński Politechnika Warsawska DWUCZĘŚCIOWE ŁOŻYSKO POROWATE SŁOWA KLUCZOWE: łożysko śligowe, tuleja porowata, prepuscalność
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowozane (warunkowe), mnożniki Lagrange a
Analia matematycna, ce ść cwarta Ekstrema wia ane warunkowe, mnożniki Lagrange a Posukuja c ekstremów lokalnych i globalnych funkcji pomijaliśmy do tej pory jeden bardo ważny prypadek. W wielu agadnieniach
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo1. Pojęcie równania różniczkowego jest to pewne równanie funkcyjne, które zapisać można w postaci ogólnej
1 Równania różnickowe pojęcie 1 Pojęcie równania różnickowego jest to pewne równanie funkcyjne, które apisać można w postaci ogólnej "! (1) lub w postaci normalnej #%$ & ' () (2) Rąd najwyżsej pochodnej
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoMIESZANY PROBLEM POCZĄTKOWO-BRZEGOWY W TEORII TERMOKONSOLIDACJI. ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE
Górnictwo i Geoinżynieria ok 33 Zesyt 1 9 Jan Gasyński* MIESZANY POBLEM POCZĄKOWO-BZEGOWY W EOII EMOKONSOLIDACJI. ZAGADNIENIE POCZĄKOWE 1. Wstęp Analia stanów naprężenia i odkstałcenia w gruncie poostaje
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 10. Wyznaczanie współczynnika rozpraszania zwrotnego promieniowania beta.
Ćwicenie 1 Wynacanie współcynnika roprasania wrotnego promieniowania beta. Płytki roprasające Ustawienie licnika Geigera-Műllera w ołowianym domku Student winien wykaać się najomością następujących agadnień:
Bardziej szczegółowoR Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )
5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoW siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0
Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu posępowym. Zasada pędu i popędu ma posać: p p S gdie: p m v pęd bryły w ruchu posępowym S c W d popęd siły diałającej na bryłę w ruchu posępowym aś: v c prędkość środka
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowo