4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

Transkrypt

1 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy wtedy c = f (a = df(z. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pocodnej jest istnienie liczby c C, takiej że f(z f(a c( r(z = 0, z a. Stąd natycmiast wynika, że funkcja olomorficzna w punkcie a jest w tym punkcie ciągła, bo spełnia f(z f(a = (r(z + c (. Przykład. Niec f(z = z, z C. Wtedy czyli f (z =. f(z f(a Przykład. Niec g(z = z, z C. Wówczas więc Weźmy dwa ciągi zbieżne do 0 Mamy n n g(z g(a = = z a, = =, lim z a = lim 0. n = n 0, k n = i n 0. n = = n k n, = i n i = n, n k n n a więc funkcja g(z = z nie jest olomorficzna w żadnym punkcie a C. Przykład. Dla z C jest z = x+iy, gdzie (x, y R 2. Zapiszmy funkcję z poprzedniego przykładu we współrzędnyc rzeczywistyc Oczywiście g : R 2 R 2. Wtedy g(x, y = (x, y = (g (x, y, g 2 (x, y. g (x,y g 2 (x,y g (x,y g 2 (x,y = ( 0 0

2 Funkcja g ma ciągłe pocodne cząstkowe, więc jest różniczkowalna w sensie rzeczywistym. Twierdzenie (Caucy Riemann. Niec f : Ω C, gdzie Ω jest otwartym podzbiorem C. Jeżeli f = u + iv jest olomorficzna w punkcie a Ω, to jest różniczkowalna jako odwzorowanie z Ω w R 2, a macierzą jej pocodnej jest ( u (a u (a ( u (a (a = (a (a (a u (a. Zacodzą zatem równania u (a = (a, u (a = (a. Odwrotnie, jeśli f jest w sensie rzeczywistym różniczkowalna w a i spełnia równania C-R, to jest olomorficzna oraz f (a = u (a + i (a = (a i u (a. Dowód. Przypomnijmy, że odwzorowanie f : Ω R 2, gdzie Ω jest otwartym podzbiorem R 2 jest różniczkowalne w sensie rzeczywistym w punkcie a Ω i ma pocodną A : R 2 R 2 (która jest odwzorowaniem liniowym, jeśli Niec f(a + f(a A 0 0 ( α β A =, α, β, γ, δ R. γ δ Z drugiej strony rózniczkowalność zespolona f, jako funkcji f : Ω C oznacza, że gdzie f(a + f(a c lim 0 c = α + iβ C. = 0, Zauważmy, że odwzorowanie c jest też liniowe nad R i więc jego macierzą jest c = (α + iβ( + i 2 = (α β 2 + i(β + α 2 ( ( ( α β = 2 α β =, β + α 2 β α 2 Stąd natycmiast wynika nasza teza. ( α β C =. β α W dalszym ciągu wykładu będziemy korzystać z rozmaityc oznaczeń dotyczącyc pocodnyc zespolonyc i rzeczywistyc. Aby się w nic nie pogubić, sporządzimy teraz ic listę, do której można będzie zawsze w razie wątpliwości powrócić. 2

3 Niec f = u + iv : Ω C będzie olomorficzna w punkcie z = x + iy Ω. Pocodna zespolona f w punkcie z jest liczbą i oznaczamy ją przez f (z = df(z dz = f(z + i f(z. Owzorowanie liniowe f (z możemy też interpretować jako pocodną rzeczywistą odworowania f = (u, v : Ω R 2 o macierzy ( f u(x, y u(x, y (x, y =. v(x, y v(x, y Jak widać liczby zespolone f(z i f(z są kolumnami tej macierzy. Natomiast jej wiersze to gradienty u i v, które będziemy oznaczać przez u(x, y = v(x, y = ( u(x, y, u(x, y ( v(x, y, v(x, y = u(x, y + i u(x, y, = v(x, y + i v(x, y. Jak łatwo zauważyć, powyższa notacja pozwala zapisać równania Caucy ego-riemanna w zwięzłej postaci: v(z = i u(z. Jeszcze inną postacią tyc równań jest Przykład. Niec f(z = z 2. Wtedy czyli Mamy i Otrzymujemy więc oraz f(z = i f(z. f(z = (x + iy 2 = x 2 y 2 + i(2xy, u(x, y = x 2 y 2, u (z + 2 z 2 = 2x =, u = z2 + 2z + 2 z 2 (z 2 = 2z f (z = 2x + i2y = 2z. v(x, y = 2xy. = 2y = = 2z + 0 2z. Niektóre własności różniczkowania zespolonego są analogiczne do własności różniczkowania w R. 3

4 ( Jeśli f, g są olomorficzne, to olomorficzne są również funkcje f + g, fg, f/g (o ile g 0 i (f + g = f + g, (fg = f g + fg, ( f = f g fg. g g 2 (2 Jeśli Ω f Ω2 g C są olomorficzne, to olomorficzne jest g f i (g f (z = g (f(zf (z, z C. (3 Jeśli f : Ω na U (gdzie U, Ω C są otwarte jest olomorficzna, f (z 0 dla z Ω i f jest ciągła, to f jest olomorficzna oraz czyli (f (f(z = f (z, (f (w = Przykład. z =, (z 2 = 2z, (z n = nz n. f (f (w. z Ω z n a n = ((zn + z n 2 a + z n 3 a a n = (z n + z n 2 a + z n 3 a a n z a na n Przykład. Niec f(z =. Dla każdego a 0 z czyli f(a + = a + = a + = a a f(z = ( n n a n = ( n ( n a n+. ( n n a n+ dla < a, Funkcję f na zbiorze otwartym Ω C nazywamy analityczną, jeśli dla każdego a Ω istnieje r > 0, takie że K(a, r Ω i istnieje ciąg współczynników a n, takic że f(a + = a n n dla < r. Funkcja z jest funkcją analityczną, ponieważ w otoczeniu każdego punktu rozwija z się w szereg potęgowy. Twierdzenie 2. Jeśli f jest analityczna na zbiorze otwartym Ω C, to jest na tym zbiorze olomorficzna. 4

5 Dowód. Niec a Ω, f(a + = a n n, < r oraz a 0 = f(a. Wtedy Zatem f(a + f(a = a 0 f(a + n= a n n = a n n 0 a n= a = f (a. 3. Funkcja zadana szeregiem potęgowym f(z = a n z n, z < r, jest analityczna. = a 0 f(a + n= a n n Dowód. Niec z < r będzie ustalone i niec < r z. Wtedy z + < r i n n f(z + = a n (z + n = a n( z n k k. k=0 k Zauważmy, że szereg podwójny występujący po prawej stronie jest bezwzględnie zbieżny, bo ( n n a n z n k k a n ( z + n <, z + < r, k k=0 i wobec tego wolno zmienić kolejność sumowania, co daje f(z + = α k (z k, gdzie α k (z = n=k k=0 ( n a n z n k. k 4. Jeśli funkcja f zadana jest szeregiem potęgowym f(z = a n z n, z < r, to f (z = α (z = na n z n, z < r. n= Podkreślmy, że promień zbieżności szeregu f (z jest taki sam, jak promień f(z. Widać też, że szereg potęgowy różniczkuje się tak, jak wielomian, czyli wyraz po wyrazie. Widać też, że funkcja a n F (z = n + zn+, z < r, 5

6 jest funkcją pierwotną dla f, bo oczywiście F (z = f(z dla z < r. Szereg definiujący F ma ten sam promień zbieżności. Z tego, co już wiemy, przez łatwą indukcję wynika, że funkcja zadana szeregiem potęgowym jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w sensie zespolonym wewnątrz koła zbieżności i f n (z = n!α n (z, a w szczególności f n (0 = n!a n. To, co wiemy o szeregac potęgowyc, bez trudu przenosimy na funkcje analityczne. Twierdzenie 5. Niec f : Ω C będzie funkcją analityczną w zbiorze otwartym Ω C. Wówczas dla każdego z Ω f n (z f(z + = n, z < r. n! Innymi słowy, funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w sensie zespolonym i rozwija się w szereg Taylora wokół każdego punktu swojej dziedziny. I jeszcze twierdzenie o wartości średniej. Przypomnijmy najpierw twierdzenie Lagrange a: 6. Jeśli ϕ : [α, β] R jest funkcją ciągłą na [α, β] i rózniczkowalną w (α, β, to istnieje punkt t 0 (α, β, taki że ϕ(β ϕ(α = ϕ (t 0 (β α. Niestety twierdzenie Lagrange a nie przenosi się dosłownie na przypadek zespolony. Powodem tego jest, że punkt pośredni dla części rzeczywistej funkcji nie jest na ogół równy punktowi pośredniemu dla części zespolonej. Tym niemniej prawdziwe jest następujące pożyteczne oszacowanie. Twierdzenie 7 (o wartości średniej. Niec Ω C będzie otwarty i niec f = u + iv : Ω C będzie olomorficzna. Jeśli [a, b] Ω, to istnieje c (a, b, takie że Dowód. Niec f(b f(a f (c b a. ϕ(t = u(a + t(b a, ψ(t = v(a + t(b a, 0 t. Na mocy twierdzenia Lagrange a istnieją 0 < t, t 2 <, takie że oraz u(b u(a = ϕ( ϕ(0 = ϕ (t =< u(a + t (b a, b a >=< u(c, b a > v(b v(a = ψ( ψ(0 = ψ (t 2 gdzie c = a + t (b a, c 2 = a + t 2 (b a. 6 =< v(a + t 2 (b a, b a >=< v(c 2, b a >,

7 Mamy więc f(b f(a = u(b u(a 2 + v(b v(a 2 = u(c 2 + v(c 2 2 b a. Pozostaje zauważyć, że skoro v(z = i u(z, to u(z = v(z i jeśli c jest tym punktem c j, gdzie (c j ma większą wartość, to u(c 2 + v(c 2 2 u(c 2 + v(c 2 = f (c. Wniosek 8. Niec f będzie funkcją olomorficzną na obszarze Ω C. Jeśli f (z = 0 dla z Ω, to f jest funkcją stałą. Dowód. Przypuśćmy nie wprost, że f(a f(b dla pewnyc a, b Ω. Połączmy punkty a i b łamaną Γ = [z 0, z, z 2,..., z n ], a = z 0, b = z n. Istnieje 0 k < n, takie że f(z k f(z k+. Ale na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy f(z k+ f(z k f (c z k+ z k, gdzie c (z k, z k+. Skoro jednak f (c = 0, to f(z k+ = f(z k i mamy sprzeczność. 7