Funkcje analityczne LISTA
|
|
- Amelia Rybak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje analitycne LISTA Kiedy prekstałcenie R - liniowe na R jest C - liniowe?. Dla f : C C pokaać, że warunkiem koniecnym C - różnickowalności (cyli holomorficności) jest R - różnickowalność. Znaleźć warunek wystarcający używając maciery różnicki. Cym jest różnicka w punkcie 0 jako prekstałcenie C w C? Uwaga: Jeśli f jest funkcją, to f t ora t f będie onacać f 3. Policyć definicji pochodne funkcji 4 ora. Cy wory dotycące pochodnej sumy, ilocynu, ilorau pokrywają się e worami dla funkcji recywistych? 4. Zbadać C - różnickowalność następujących funkcji f : C C tam, gdie są określone: (a) Re() (b) n (c) e x cos y + ie x sin y (d) e x cos y + ie y x y sin x (e) i (f) x +y x +y (g) 7x + y + 3iy (h). 5. Niech f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Pokaać, że równania na u i v otrymane w adaniu są równoważne równaniu f = 0. Zauważyć, że w takim raie pytanie o holomorficność funkcji 4 a,b,f,h jest trywialne. 6. Pokaać, że jeśli f = u + iv jest różnickowalna, to u i v są harmonicne (funkcje harmonicne sprężone). 7. Mając daną funkcję u(x, y) naleźć wsystkie funkcje harmonicne do niej sprężone ora odpowiednie funkcje analitycne. (a) xy (b) x y y + xy (c) (d) log x +y (e) e x (x cos y y sin x). 8. Używając adania pokaać, że jeśli pochodna (espolona) f w 0 jest nieerowa, to f achowuje kąty w 0. Dokładniej: Dwie krywe precinają się w 0 pod tym samym kątem, co ich obray w f( 0 ). 9. Pokaać, że warunkiem koniecnym i dostatecnym na to, żeby funkcja u(x, y) harmonicna w obsare D miała harmonicną sprężoną, jest istnienie w obsare D funkcji pierwotnej do funkcji f() = u x iu y. 0. Zbadać, gdie funkcja f() = + jest holomorficna (tn. C - różnickowalna). Jaki jest obra koła K(0,) ora kostki [0, ] [0, ] (napisać równania bregów obrau)?. Zrobić poprednie adanie dla funkcji i.. Sprawdić, że ϕ( ) = (0, 0, ) i ϕ(re iθ r cos θ r sin θ ) = (,, r ) adaje homeomorfim r + r + r + jednopunktowego uwarcenia R = C e sferą S (tw. sfera Riemanna). Zbadać obray okręgów C(0, r) i prostych y = ax. 3. Zbadać, cy następujące funkcje : C C predłużają się do odworowań ciągłych sfery Riemanna C = C { } w siebie. Jeśli tak, opisać ich diałanie: (a) n (b) ( ) a b (c) e (definiowane pre sereg) (d) a+b, gdie det 0. c+d c d Karol Palka t.
2 Funkcje analitycne LISTA Używając woru na promień bieżności seregu potęgowego pokaać, że jeśli f() = i=0 c i x i jest analitycna w kole K(0,r), to jest w nim holomorficna, a pochodna jest funkcją analitycną. Znaleźć i uasadnić wór na funkcję pochodną. Zauważyć, że biór funkcji holomorficnych na biore otwartym U twory pierścień.. Wylicyć Re ora Im dla poniżsych funkcji i policyć ( ich) pochodne: (a) exp (b) a b sin (c) cos (d) tg (e)h A () = a+b, gdie A = i det(a) 0. c+d c d Uwaga: Funkcje takie jak w (e) naywamy homografiami i traktujemy najcęściej jako prekstałcenia sfery Riemanna C. 3. Udowodnić, że homografie tworą grupę diałaniem składania, że achowują kąty orientowane ora że grupa ta jest generowana pre prekstałcenia liniowe i inwolucję ( ). Uwaga: Okręgiem uogólnionym naywamy okrąg na sfere Riemanna, cyli okrąg lub prostą na płascyźnie. 4. Pokaać, że homografie prekstałcają okręgi uogólnione na okręgi uogólnione. 5. Pokaać, że każdy okrąg uogólniony można preprowadić homografią na oś OX. 6. Co można powiedieć o macierach A i B, jeśli w trech różnych punktach i (i =,, 3) achodi h A ( i ) = h B ( i )? (Wsk. Wystarcy pokaać, że rowiąanie odpowiedniego układu równań istnieje.) 7. Pokaać, że try różne punkty na C można preprowadić homografią na 0,, ora że istnieje dokładnie jedna homografia prekstałcająca dowolnie adane try różne punkty na dowolnie adane try różne punkty. 8. Znaleźć ogólną postać homografii achowujących okrąg C(0,). Które nich achowują koło K(0,)? 9. Opisać diałanie poniżsych funkcji jako prekstałceń płascyny. Na co prechodą K(0, ), K(, ), [0, ] [0, ]? (a) exp (b) Pokaać, że każdy wielomian recywisty rokłada się na cynniki stopnia co najwyżej drugiego. Uwaga: Punkty i w są symetrycne wględem C(a, r), gdy ( a)(w a) = r. Łatwo obacyć, co to onaca geometrycnie.. Pokaać, że homografie prekstałcają punkty symetrycne wględem okręgu uogólnionego C na punkty symetrycne wględem obrau tego okręgu. (Wsk.: Wykaać, że okrąg uogólniony O prechodi pre punkty symetrycne wględem C wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadły do C.). Prekstałcić konforemnie dopełnienie sumy kół o środkach w punktach 5 i -5 i promieniach 4 na pierścień, którego jednym bregiem jest C(0,), a drugim bregiem jest C(0,r). Podać możliwe wartości r.
3 Uwaga: Prekstałcenie holomorficne jest biholomorfimem, jeśli odwrotne też jest holomorficne. 3. Obsar P jest cęścią wspólną dwóch kół: K(.5 + i, 3) ora K( + 5i, 4). Opisać dokładnie jakich funkcji treba użyć, żeby prekstałcić go biholomorficnie na K(0,) (nie treba podawać worów tylko sposób). Z cego wynika konforemność użytego prekstałcenia? 4. Niech U będie biorem spójnym i otwartym. Dowieść, że każde dwa punkty można połącyć łamaną w U. 5. Podać ogólną postać homografii achowujących pierwsą ćwiartkę układu współrędnych. 6. Obsar X powstaje górnej półpłascyny popre wycięcie koła K(0,) ora półprostej pionowej [i, i ). Prekstałcić biholomorficnie X na koło jednostkowe. Karol Palka 3
4 Funkcje analitycne LISTA Definicje i onacenia: K x := { C : Re() = x}, L y := { C : Im() = y}, P α := { C : Arg() = α}, H(U) onaca pierścień funkcji holomorficnych na U.. Pokaać, że homografie achowują dwustosunek: (,, 3, 4 ) := Znaleźć homografie h spełniające: (a) h[c(0, )] = C(0, ), h(4) = 0, h[c(0, )] ir, (b) h[c(0, )] = C(0, ), h(0) =, h(3i) R, (c) obraem obsaru międy C(0, ) i C(, ) jest pas równoległy do ir, (d) h( ) =. 3. Opisać, na co prechodą podane biory pry podanych prekstałceniach g : (a) okręgi C(0, r), r i półproste P α ; g() = ( + ) (Wsk. = reiα ), (b) proste K x, x π i odcinki [ π + iy 0, π + iy 0]; g() = sin, (c) K(0, ); g() = arc tg. (d) półproste P α, 0 α π ; g() = Log() Znaleźć prybliżone rowiąanie lub policyć: (a) sin = 5, (b) Log() = iπ +, (c) ( 3i) 3i, (d) arc tg i 5. Odworować bijektywnie i konforemnie obsar A na obsar B: (a) A = { : Im() > 0}\K(0, ), B = { : Im() > 0}, (b) A = { : α < Arg() < α + β}, β (0, π), B = { : < i Im() > 0}, (c) A = K(0, )\[, t], < t < 0, B = { : 0 < Re() < }, (d) A = C\[ + i, 3 i], B = K(, ) K(, ), 6. Pokaać, że na obsare wypukłym, który nie awiera era, można definiować gałąź logarytmu. 7. Obsar U powstaje koła K(0, 9) popre wycięcie seściokąta foremnego o średnicy 3 i środku w. Znaleźć na U funkcje pierwotne do podanych lub wykaać, że nie istnieją: (a), (b). i ( i) 3 8. Używając definicji całki espolonej scałkować funkcję po krywych T + i T, gdie T to górny łuk okręgu C(0,), a T to odcinek [, ]. 9. Scałkować definicji 0 po bregu kwadratu o wierchołkach 0 ± a ± ia, a R Policyć całkę funkcji po okręgu C(, ). Udowodnić, że całka po okręgu C(0, ) daje ero. Nie licąc podać ile będie wynosić całka po C(, ) i dokładnie to uasadnić.. Pokaać, że jeśli f H(K(0, R)\0), to π 0 f(re it )dt dla 0 < r < R nie ależy od r. Ile wynosi ta całka, jeśli f jest dodatkowo holomorficna w 0?.* Dla f C (Γ) policyć Γ fd. Wywnioskować twierdenie Cauchy ego. Karol Palka 4
5 Funkcje analitycne LISTA Poniżej pryjmujemy, że funkcje są holomorficne, krywe różnickowalne i nie prechodą pre punkty osobliwe funkcji. P (a, r, R) := int(k(a, R)\K(a, r)), a Aut(U) to holomorficne automorfimy U.. Pokaać, że jeśli f (n) ( 0 ) = 0 dla n = k, k +,..., to f jest wielomianem.. Dla krywej γ : [α, β] C\{a} definiujmy h(t) = t γ (s) α ds. Badając funkcję γ(s) a e h(t) (γ(t) a) wykaać, że Ind γ (a) jest całkowity. 3. Policyć E 3 + d, gdie E ma równanie x + 4y = Policyć C(0,r) d dla dużych r Niech f() = i= 5 p i ( a) i. Ile wynosi C(a,r) f() ( a) k d dla k = i k = 3? 6. Ile maksymalnie wartości może pryjmować całka C d P n() gdie P n jest wielomianem o n różnych pierwiastkach, a C jest homeomorficne okręgiem? 7. Policyć f() C(0,r) d. Pokaać, że oblicenie to implikuje twierdenie Liouville a. ( a)( b) 8. Ile wynosi f(0) i f (0), jeśli dla n N + : (a) f( n ) = n3 (sin n n )? (b) f(n+) = +n+3n? 3n 4+n+9n 9. (a) Wykaać, że na obsare U istnieje gałąź logarytmu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej krywej Γ U achodi Ind Γ (0) = 0. (b ) Pokaać, że jeśli istnieje gałąź pierwiastka, to istnieje gałąź logarytmu. 0. Rowinąć poniżse funkcje na wsystkich maksymalnie serokich pierścieniach postaci P (0, r, R), R i opisać typ osobliwości: (a) ( +)( ), (b) ( ), (c) Log( ), (d). (+)(+3). Policyć dla a = 0 i a = (a) C(a, ) e ( ) 3 d, (b) c(a, ) sin d. ( ). Udowodnić, że jeśli f Hol(P (a, 0, R)) i lim a ( a)f() = A, to C(a, R ) f = πia. 3. Policyć: (a) R x x+ dx, (b) x 4 +0x+9 0 (c) π 0 sin t dt, (d) +cos t 0 cos x dx, (e) π 0 cos x dx dla a > 0 (Wsk. Pokaać, że π x +a dx dla a >, (f) sin x+a 0 e d sin t dt < π), d dx. (x ) cos 5x x x+5 5
6 4. Pokaać, że jeśli f Hol(C) predłuża się do f Hol( C), to f( ) = lub f jest stała. Pokaać, że f jest wielomianem. (Wsk. Zbadać f( ) wokół era.) 5. Używając lematu Schwara pokaać, że jeśli f Aut(K(0, )), to f jest homografią. (Wsk. Pokaać, że jeśli f(0) = 0, to f() =.) 6. Zbadać rodaj osobliwości i policyć residua, także w : (a) + ( cos +e π ), (b) / sin + + sin, (c) tg + e(+) 3 i 3(+) 3 + sinh +πi. 7. Funkcja f Hol(C\{0}) jest stała na okręgach x + y = ax dla a R. Pokaać, że f jest postaci e g() + C i naleźć możliwe g. 8. Znaleźć Aut(U) dla U = {x + iy : x + iy <, x > 0, y > 0}. 9. Prekstałcić C\(K(, ) K(, ) [ i, i]) na kółko i na trójkąt. Karol Palka 6
7 Funkcje analitycne LISTA Litery popredają ćwicenia do samodielnego rowiąania. A. Zdefiniować Arcsinh a pomocą Log i badać obra pierwsej ćwiartki (On. : (+,+)). B. Niech g, h Hol(U) ora Re g = x+3y xy ora Re h = sinh(ay) cos x dla a R. Znaleźć Im g, Im h. Znaleźć g(), h() odwołując się tylko do asady identycności. C. Pokaać, że jeśli ζ Hol(C \ S) ora S < ℵ 0 to suma residuów ζ wynosi ero. D. Cy funkcja wymierna która jest w C musi być homografią? E. Jeśli g Hol(K(0, R)), to M(r) := sup =r g() jest ściśle rosnąca lub stała.. Niech f() = Zbadać lim f(). Pokaać, że dla każdego n N + i 0 k n istnieje ciąg { j } j= bieżny do exp( kπı ), taki że n f( j ). (Wsk. Wylicyć f( n ) f()).. Jeśli > R, to φ() = W () + A + ϕ() gdie W () jest wielomianem a ϕ() jest holomorficna ora ogranicona w. Pokaać, że res φ() = A. Policyć : (a) res Log( a) (b) res b ( a)( b) (c) res 3 cos. 3. Jaka musi być postać funkcji f Hol(U) spełniającej (Ref) 5 (Imf) =? 4. Pokaać, że równanie sin = ma tylko pierwiastki recywiste (Wsk. badać rowiąania w prostokącie Re < nπ + π, Im < n). 5. Niech f() będie meromorficna w C biegunami w,..., m / Z. Pokaać, że jeśli lim f() = 0 to: lim N N i= N f(i) = m i= res( i, πf() ) ora lim tg π N N i= N ( ) i f(i) = m i= res( i, πf() sin π ). (Wsk. Całkować πf() ctg π po bregu kwadratu o wierchołkach (N + )(± ± ı).) 6. Ile pierwiastków w K(0, ) mają równania: (a) 3e = 0 (b) 0e cos + 8 = 0? (c) cos (d) e =? 7. Wyprowadić rowinięcia: (a) π tg π = n+0, + / Z (b) π = (n+/) cosh π ( ) n (n+/) n=0, + ı / Z, (c*) (n+/) + 0 e t t dt = ( ) n n=0 dla Re > 0. n!(+n) 7
8 8. Pokaać, że: (a) ı + 3 ma w (+, +) jedno ero (b) ma w (+, +) dwa era (c) ma jedno ero w pasie 0 < Im < (d) 4 + i + ma jedno ero w (+, +) i ctery w kole K(0, 3 ). 9. Dla a / Z oblicyć: (a) + n= (n a), (b) + n= n +n+, (c) + n= ( ) n n a. 0. Podać postać automorfimów C \ A i, gdie A = {0}, A = {0, }, A 3 = {0,, i}.. Dla a > wykaać: π π x sin xdx +a a cos x = π a log +a a. (Wsk. a e i na [ π, π] [0, in]).. Jaka jest ogólna postać automorfimów: (a) (+, +) (b) { : < i Im > 0}? Karol Palka 8
9 Funkcje analitycne LISTA Rołożyć na ułamki proste funkcje (a) + ( ), (b) (+) 3 (+3) 4.. Gdie są normalne poniżse rodiny funkcji? (a) {g() = a : a C} (b) {( ı +ı )n, n N} (c) {, n N} (d) {g Hol(K(0, )) : f(0) = 0, f (0) = } n 3. Jeśli ψ odworowuje konforemnie P (0,, r) na P (0,, R), jest ciągła na bregu i f() =, to ψ = id. 4. Dla f Hol(K(0, ) \ {0}) wyraić res f a pomocą res 0 g dla pewnej funkcji g(). 5. Niech η będie meromorficna na K(0, ) i f() = na C(0, ). Pokaać, że η jest wymierna. 6. Funkcja całkowita spełnia f () < f(). Jaka jest jej postać? 7. Policyć π 0 log re ıθ dθ dla małych r. 8. Wykaać: (a) 0 log xdx = x 4 π (Wsk. P (0, r, R) (+, +)) (b) 0 dx n x n = π/n. sin(π/n) 9. Niech f odworowuje {x + iy C : x + y < i y > 0} na {x + iy C : y < 0} ora niech prekstałca, 0, odpowiednio na,,. Wynacyć postać f. 0. Niech P n () będie wielomianem stopnia n > 0. Pokaać, że każdego poniżsych wynika, że P n eruje się w C: (a) twierdenie Liouville a (b) asada maksimum (c) oblicenie Ind Pn[C(0,r)](0) (d) twierdenie Rouchégo.. Niech U będie obsarem jednospójnym ograniconym. Pokaać, że nie jest on biholomorficny C.. Wykaać, że jeśli f odworowuje konforemnie prostokąt domknięty na prostokąt, to f jest liniowe. 3. Niech U będie wnętrem cterolistnej konicynki (breg jest krywą Jordana) i niech a, b U. Jaka jest licba automorfimów U, które a preprowadają w b? 4. Policyć f (0) dla f() = sin n n=, określić obsar bieżności seregu. e n 5. Pokaać, że f Hol(P (0,, )) predłuża się do F Hol(K(0, )) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg wielomianów bieżny niemal jednostajnie do f na P (0,, ). 6. Znaleźć funkcje całkowite spełniające f() < Pokaać, że h() = e pryjmuje każdą wartość skońconą. 9 Karol Palka
10 Sprawdian alicający ćwicenia FA Na alicenie treba robić co najmniej try adania, w tym adanie 5 lub 6 ora odpowiedieć na pytania w adaniu 7.. (a) W których poniżsych obsarów istnieje ciągła gałąź Log? Odpowiedź uasadnić: (i) C \ { C : Im = Re, Re 0}, (ii) { C : < < 3}, (iii) { C : Re + Im > 0}; (iv) { C : < < 3} (b) W każdym prypadku, gdy taka gałąź istnieje, oblicyć jej wartości dla ora dla ı.. Funkcja f jest holomorficna w prawej półpłascyźnie i f() = d = 0 dla ( ) n każdego n. Znaleźć postać f. 3. Oblicyć x + x 4 + dx 4. Rowinąć w sereg Laurenta funkcję f() = na wsystkich możliwych maksymalnych pierścieniach o środku w 0. Oblicyć res f. 5. Znaleźć obra kwadratu o wierchołkach ± ± ı pry funkcji h() = ı ++ı 6. Znaleźć prekstałcenie biholomorficne pasa < Re < na koło jednostkowe. 7.O Odpowiedieć TAK lub NIE i krótko uasadnić: (i) Niech 0 będie osobliwością iolowaną dla f ora lim 0 f() C. Stwierdić, cy 0 może być osobliwością istotną f. (i) Załóżmy że funkcja holomorficna g jest ogranicona. Nawet jeśli U jest obsarem jednospójnym i ograniconym, to g nie musi być stała. (i) Cy obraem < pry funkcji holomorficnej może być Re 0? (i) Jeśli γ jest gładką krywą amkniętą be samoprecięć ora istnieje taki obsar U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. 0
11 Egamin Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna WERSJA A Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Funkcje analitycne to predmiot bardo prydatny w GFED T N. Jeśli g : C C jest meromorficna i ogranicona, to jest stała. T N. Jeśli dla f : U C, U spójny, f pryjmuje min. w U, to f jest stała. T N 3. Nie istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne pierścienia o promieniach i na prostokąt. T N 5. Istnieje prekstałcenie biholomorficne C wyciętymi rołącnymi kołami domkniętymi na pierścień. T N 6. (0-5p); Wyprowadź twierdenie Liouville a nierówności Cauchy ego. Sformułuj twierdenie i nierówność. 7. Funkcja sin ma w nieskońconości osobliwość iolowaną. T N 8. Jeśli oba residua mają sens, to res f() = res 0 f( ). T N 9. Istnieje na { C : Re < 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln + ı 9π 4 T N 0. Automorfim holomorficny ćwiartki achowuje biór {0, }. T N. Jeśli γ jest gładką krywą be samoprecięć ora istnieje takie U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. T N. Funkcja exp prekstałca górną półpłascynę na siebie. T N 3. Funkcja recywista log : R \ {(0, 0)} R jest harmonicna. T N 4. Homografie achowują kąty na całym C. T N
12 5. Funkcja na C jest meromorficna wtedy i tylko wtedy, gdy jest wymierna. T N 6. Jeśli f spełnia f U 0, to f ma na U funkcję odwrotną. T N 7. Każdy automorfim K(, ) jest homografią. T N 8. (0-p) Na co funkcja Żukowskiego ( + ) prekstałca górną półpłascynę wyciętym K(0, )? 9. Punkty i w są symetrycne wględem okręgu C(a, r) wtedy i tylko wtedy, gdy ( a)(w a) = r. T N 0. Jeśli w pewnym obsare funkcja nie ma funkcji pierwotnej, to musi istnieć awarty w nim kontur, po którym całka tej funkcji nie nika. T N. Niech α : R R będie różnickowalna. Funkcja f spełniająca Imf = α(ref) jest stała. T N. Obraem { C : > 5} pry funkcji holomorficnej może być { C : Re 3}. T N 3. Jeśli dwie funkcje całkowite pokrywają się na ograniconym biore prelicalnym, to są równe. T N 4. Jeśli funkcja określona na jednospójnym obsare nieograniconym jest ogranicona to jest stała. T N 5. Funkcja całkowita, która na kole jednostkowym opisana jest worem 7 + może mieć w C nieskońcenie wiele er. T N 6. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 3, to nie jest możliwe, żeby f( ) = ı. 4 T N 7. (0-5p) Wyprowadź asadnice twierdenie algebry tw. Rouche go. 8. Jeśli funkcja całkowita ma nieerową, ale skońconą licbę er, to jest wielomianem. T N
13 Egamin Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna WERSJA B Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Funkcje analitycne to predmiot bardo prydatny w GFED T N. Funkcja recywista log : R \ {(0, 0)} R jest harmonicna. T N. Nie istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C. T N 3. Funkcja na C jest meromorficna wtedy i tylko wtedy, gdy jest wymierna. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne pierścienia o promieniach i na prostokąt. T N 5. (0-5p); Wyprowadź twierdenie Liouville a nierówności Cauchy ego. Sformułuj twierdenie i nierówność. 6. Funkcja sin ma w nieskońconości osobliwość iolowaną. T N 7. Istnieje na { C : Re < 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln + ı 9π 4 T N 8. Automorfim holomorficny ćwiartki achowuje biór {0, }. T N 9. (0-5p) Wyprowadź asadnice twierdenie algebry tw. Rouche go. 0. Jeśli γ jest gładką krywą be samoprecięć ora istnieje takie U, że γ U ora f Hol(U), to γ f()d = 0. T N. Jeśli g : C C jest meromorficna i ogranicona, to jest stała. T N. Jeśli oba residua mają sens, to res f() = res 0 f( ). T N 3. Homografie achowują kąty na całym C. T N 4. Istnieje prekstałcenie biholomorficne C wyciętymi rołącnymi kołami domkniętymi na pierścień. T N 3
14 5. Każdy automorfim K(, ) jest homografią. T N 6. Jeśli f spełnia f U 0, to f ma na U funkcję odwrotną. T N 7. (0-p) Na co funkcja Żukowskiego ( + ) prekstałca górną półpłascynę wyciętym K(0, )? 8. Punkty i w są symetrycne wględem okręgu C(a, r) wtedy i tylko wtedy, gdy ( a)(w a) = r. T N 9. Jeśli dla f : U C, U spójny, f pryjmuje min. w U, to f jest stała. T N 0. Jeśli dwie funkcje całkowite pokrywają się na ograniconym biore prelicalnym, to są równe. T N. Niech α : R R będie różnickowalna. Funkcja f spełniająca Imf = α(ref) jest stała. T N. Jeśli w pewnym obsare funkcja nie ma funkcji pierwotnej, to musi istnieć awarty w nim kontur, po którym całka tej funkcji nie nika. T N 3. Funkcja exp prekstałca górną półpłascynę na siebie. T N 4. Obraem { C : > 5} pry funkcji holomorficnej może być { C : Re 3}. T N 5. Jeśli funkcja określona na jednospójnym obsare nieograniconym jest ogranicona to jest stała. T N 6. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 3, to nie jest możliwe, żeby f( ) = ı. 4 T N 7. Jeśli funkcja całkowita ma nieerową, ale skońconą licbę er, to jest wielomianem. T N 8. Funkcja całkowita, która na kole jednostkowym opisana jest worem 7 + może mieć w C nieskońcenie wiele er. T N 4
15 Egamin poprawkowy Funkcji analitycnych. Cęść teoretycna WERSJA A Poniżej, jeśli nie anacono inacej, należy pryjmować domyślnie, że funkcje są holomorficne, a biory są otwarte. Należy anacyć poprawną odpowiedź jak na prykładie. Za poprawną/żadną/niepoprawną odpowiedź otrymacie Państwo odpowiednio +/0/- punkt. Zadania, których nie dotycy tryb T/N, są punktowane w skali podanej pred treścią adania. PRZYKŁAD : Teorii strun można się naucyć na muykologii. GFED N. Niech f Hol(intK(0, )). Dla prawie wsystkich x C(0, ) istnieje biór otwarty U, taki że x U i f ma holomorficne predłużenie na U. T N. Jeśli f Hol(cl(U)) ora V = f[u], to f( U) V. T N 3. Jeśli f Hol(cl(U)) ora V = f[u], to f( U) V. T N 4. Niech U = K(0, ) \ {, } i niech γ : C(0, ) Γ U będie dyfeomorfimem. Dla g Hol(U) całka γ g()d może pryjmować co najwyżej 7 różnych wartości. T N 5. Jeśli breg jednospójnego ograniconego obsaru U nie jest krywą Jordana, to U nie musi być biholomorficne K(0, ). T N 6. Jeśli funkcja holomorficna nigdie nie nika, to jest kwadratem innej funkcji holomorficnej. T N 7. Jeśli f jest całkowita, to co najmniej jedna funkcji f, f predłuża się do funkcji holomorficnej na C. T N 8. Funkcja e e nie pryjmuje dokładnie dwóch wartości espolonych. T N 9. Funkcja cos prekstałca pas [ π, π ] (, ) na półelipsę. T N 0. W obsare wypukłym nie awierającym era istnieje gałąź logarytmu. T N. Jeśli lim f() = 0, to res f = 0. T N. Jeśli prostokąt domknięty P jest prekstałcany holomorficnie na prostokąt domknięty P, to środek P prechodi na środek P. T N 3. Jeśli f Hol(K(0, ) \ {0}) i r <, to π 0 f(re ıt )dt nie ależy od r. T N 5
16 4. Dla krywej amkniętej Γ achodi πı Ind f(γ) (0) = f Γ d. T N f 5. Niech (u, v) = (Ref, Imf) Jeśli na biore otwartym achodi 3u 4 ı v 3 u + vu 3 = 0, to f jest ogranicona. T N 6. Automorfim holomorficny prostokąta achowuje biór wierchołków. T N 7. Obsar C \ {0, } ma skońcenie wiele automorfimów. T N 8. Funkcja sin ma w istotną osobliwość. T N 9. (0-5p) Niech U będie obsarem o gładkim bregu. Pokaać, że jeśli każda nienikająca funkcja na U ma gałąź logarytmu to U jest jednospójny. 0. Granica niemal jednostajnie bieżnego ciągu funkcji holomorficnych jest funkcją holomorficną. T N. (0-5p) Sformułować i udowodnić twierdenie Casorattiego-Sochockiego -Weierstrassa charakteryujące punkty istotnie osobliwe.. Istnieje prekstałcenie biholomorficne K(0, ) na C \ {e ıθ : θ < }. T N 3. Istnieje prekstałcenie holomorficne R (, ) na pierścień. T N 4. Pomiędy dowolnymi dwoma trójkątami istnieje nieskońcenie wiele prekstałceń biholomorficnych które achowują środek ciężkości. T N 5. Jeśli oba residua mają sens, to res f( ) = res 0 f(). T N 6. Istnieje na { C : Im + Re > 0} gałąź logarytmu, dla której Log( + ı) = ln ı 3π T N 7. Jeśli 0 U to funkcja f : U \ { 0 } C \ K(0, ) ma w 0 biegun lub osobliwość poorną. T N 8. Jeśli funkcja określona na K(0, ) spełnia f(0) = 0 i f() < 5, to nie jest możliwe, żeby f( ) = + 3ı 6. T N 9. Jeśli dla f Hol(K(0, ) \ {0}) granica lim f( ) nie istnieje, to dla prawie wsystkich n N + achodi f() C(0,) d 0. T N n 30. Dla pewnego a < 0 achodi e a cos a Im( + ı) +ı. T N 6
17 Egamin FA (wykład M.Korasa, sem. letni 005/006). Skice rowiąań.. Znaleźć prekstałenie biholomorficne ϕ bioru { C : Im > 0} na biór { C : < } takie, że ϕ(i) = 0 i arg ϕ (i) = π. Rowiąanie: Posukamy odpowiedniej homografii h. Homografia spełniająca h(ı) = 0 prekstałca prostą recywistą na okrąg o środku w ere wtedy i tylko wtedy, gdy punkt symetrycny do ı wględem tej prostej prechodi na punkty symetrycny wględem 0 do okręgu. Cyli h() = k ı. Wystarcy dobrać odpowiednie k. +ı Uwaga: Napisanie woru (lub wynacenie go warunków koniecnych) to ocywiście a mało, należy sprawdić jesce, że odpowiednia homografia faktycnie spełnia warunki adania.. Wynacyć wsystkie funkcje holomorficne f takie, że (a) f : C C. (b) f : C C, C = C \ {0, }. (c) f : C C i f różnowartościowe. Rowiąanie: a. Pierwsym prykładem prekstałcenia f : C C, który powinien pryjść na myśl jest e, ale skoro e, równie dobre e g(), dla dowolnej całkowitej funkcji g. Poostaje pytanie dlacego nie ma innych możliwości? Treba po prostu definiować g jako Logf. Tu natrafiamy na chwilową trudność, bo precież obra f leży właściwie dowolnie w C, a tam nie da się definiować Log, bo nie da się definiować arg. Intuicyjnie jest jednak jasne, że skoro f ma diedinę topologicnie ściągalną (C), to musi to C nawijać wokół 0, co powinno powolić definiować arg w ależności od ilości nawinięć. Żeby ucciwie definiować g, treba sobie uświadomić, że musiałoby achodić g = f, atem definiujemy f g jako funkcję pierwotną do f. Tak można, bo na obsare jednospójnym każda funkcja f holomorficna ma pierwotną. Dla pełności wywodu prypomnijmy dowód ostatniego faktu. Definiujemy funkcję pierwotną do funkcji holomorficnej h jako H() = γ h(w)dw, gdie γ jest dowolną krywą łącącą 0 i. Nieależność całki od wyboru γ wynika właśnie jednospójności. b. Tylko stałe, godnie małym twierdeniem Picarda. c. Zgodnie faktem wykładu f jest homografią (meromorficność wynika tw. Sochockiego- Weierstrassa), stąd f() = k lub k dla k C. 3. Predstawić funkcję f() = w postaci sumy seregu Laurenta w każdym możliwym pierścieniu o środku w 0. Znaleźć res ( )( + ) f. 7
18 Rowiąanie: Rokład na ułamki proste f() = ( + ) uyskuje się najsybciej metodą Cauchy ego (badając cęści główne wokół biegunów). Tera (podobnie 4 (+) + ) rowijamy jako 3... lub jako = ( o tego, cy diediną jest K(0, ) cy P (0,, ). Rowinięcia (+) różnickując rowinięcia. Ostatecnie: + na K(0, ): f() = , na P (0,, ): f() = ) w ależności = ( + ) uyskujemy Drugie rowinięcie można też uyskać prościej, jeśli auważymy, że f() = f( ). Ponieważ res można policyć jako -(współcynnik pry w rowinięciu wokół ), to widać od rau, że res f = Ile er ma wielomian i + w pierwsej ćwiartce? Rowiąanie: Typowe rowiąanie używa ocywiście asady argumentu. Licymy jego pryrost na odcinkach [0, R], [ır, 0] ora na dodatnio orientowanym łuku okręgu o promieniu R, onacmy go γ R. Łatwo auważyć, że wielomian P () = ı + nie eruje się na wybranych odcinkach, dla dużych R nie eruje się też na γ R. Po pierwse należy sobie uświadomić, że licenie pryrostu argumentu na krywej NIE sprowada się do licenia argumentu w granicach. Treba uasadnić najpierw, że krywa nie obiega era. Zauważamy więc, że na odcinku [0, R] mamy ImP () 0, cyli P ([0, R]) nie obiega era. Podobnie na [ır, 0], ponieważ = ıy, mamy P () = ıy 9 ıy 3 y +, cyli ImP () 0. Licymy : argp (R) = argr 9 + arg( R 6 + Podobnie : argp (ır) = arg( ır 9 ) + arg( + R 6 ı R + 8 R ) 9 argr9 + arg = 0. ı R + ı 8 R ) 9 arg( ır9 ) = π. (Może być też 3 π, jeśli ktoś wybrał gałąź argumentu, dla której arg na osi recywistej jest równy π.) Skoro argp (0) = 0, to pryrost argumentu na [0, ] wynosi 0, a na [ı, 0] wynosi π. Na krywej γ R mamy = Re ıt dla t [0, π ], więc arg = 4 arg(r 9 e ı9t ) + arg( R 6 e + ı ı6t R 8 e + ı8t R 9 e ) ı9t arg(r9 e ı9t ) = 9 π. Otrymujemy licbę er w pierwsej ćwiartce równą (0 + π + 9 π) = 5. π 5. Funkcja f jest całkowita i prekstałca okrąg = w oś recywistą. Wykaać, że f jest stała. Rowiąanie: Funkcja f obcięta do K(0, ) prekstałca K(0, ) na pewien obsar U, którego breg awarty jest w osi recywistej. Zgodnie asadą odbicia Schwara wór 8
19 f() = f() dla K(0, ) ora f() = f( ) dla C \ K(0, ) definiuje funkcję holomorficną. Ponieważ f i f pokrywają się na K(0, ), to są równe. Wewnętrna gwiadka to symetria wględem C(0, ), a ewnętrna wględem R, cyli druga cęść definicji to po prostu f() = f( ), atem f prekstałca C w U U. Ostatni biór jest ogranicony, bo U jest, cyli twierdenie Liouville a daje teę adania. Uwaga: Chwila astanowienia nad tym, jak może wyglądać obsar U = f(k(0, )) prowadi do innego dowodu. Załóżmy, że f nie jest stała. Z twierdenia o odworowaniu otwartym wynika, że żaden punkt U nie może być obraem punktu K(0, ). Wnioskujemy, że U jest ograniconym (bo f(k(0, )) jest warty) obsarem o bregu awartym w R. Takich obsarów ocywiście nie ma (łatwe ćwicenie topologii I). 6. Cy istnieje funkcja f holomorficna w otoceniu 0 taka, że (a) f( ) = n f( ) =. n n (b) f( ) = n f( ) =. n n 3 (c) f( n )3 = nf( ) n in f( ) + n in3 Jeśli istnieje to wynacyć wsystkie takie funkcje. Rowiąanie: Punkt (a) spełnia funkcja, a skoro f i pokrywają się na biore mającym punkt skupienia, to są równe. Cęść warunku (b) (f( ) = ) spełnia funkcja n n 3 3, więc nów f i 3 musiałyby być równe, jednak druga cęść warunku daje sprecność. Jeśli w warunku (c) podielimy obie strony pre n 3 i korystając tego, że f jest ciągła w ere, policymy granicę pry n dostaniemy równość 0 = ı, cyli sprecność. 7. Sklasyfikować iolowane punkty osobliwe (łącnie ) funkcji f() = 7 ( 4) cos( ). Rowiąanie: Punkty, które mogą być iolowanymi osobliwościami to,, + (n+ )π,. Ponieważ punkty + są, jak łatwo sprawdić, jednokrotnymi erami cos, to są (n+ )π one biegunami rędu pierwsego dla funkcji f. Wobec tego punkt, jako punkt skupienia biegunów, nie jest osobliwością iolowaną. Punkt - jest biegunem rędu drugiego. Pisąc f() = 3 4 ( +4) cos widimy, że drugi cynnik dąży w nieskońconości do, cyli jest holomorficny. Stąd typ osobliwości f w nieskońconości jest taki, jak typ 3 : biegun stopnia treciego. 9
20 8. Oblicyć całkę 0 x sin x x 4 + dx Rowiąanie: Powinno być jasne, że należy użyć twierdenia o residuach. Okauje się, sin że nie jest dobrym pomysłem całkowanie funkcji po krywej amkniętej (kto nie 4 + spróbuje i nie sprawdi dlacego, nie wpadnie na to następnym raem). Decydujemy się więc całkować F () = eı, której cęścią urojoną na osi recywistej jest nasa funkcja. 4 + Stosujemy typowe podejście, mianowicie całkujemy F po krywej [ R, R] + γ R, gdie γ R jest dodatnio orientowanym półokręgiem. Weźmy najpierw całkę po γ R : = Re it dla t [0, π]. Sacujemy: π F ()d = γ R 0 Re ıt e ıreıt π R 4 e 4ıt + Rıeıt dt 0 R R sin t e R 4 e 4ıt + dt = π R 0 R sin t e e 4ıt + dt. R Łatwo widać, że w licnik jest ogranicony góry pre, a mianownik dołu np. pre (dąży do dla dużych R), stąd ostatnia całka jest ogranicona, więc całość biega do 0. Ponieważ wybrana krywa otaca tylko dwa cterech punktów osobliwych funkcji F, twierdenia o residuach otrymujemy J = x sin x 0 dx = Im x 4 + F ()d = Im πı(res A F +res B F ), gdie A = e ı π 4, B = e ı 3π 4. Zauważając, że A i B są biegunami rędu pierwsego dla F wylica się: J = π Re(res A F +res B F ) = π Re( ı 4 eb + ı 4 e A ) = π sin / exp /. Uwaga: Ostatnie wylicenie ma ocywiście najmniejsy wpływ na ocenę adania. Karol Palka 0
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoFunkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Wyiał Matematyki Stosowanej Zestaw adań nr 8 Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, II rok Elżbieta Adamus grudnia 206r. Funkcje espolone Ciągi i seregi licb espolonych Zadanie.
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania funkcji espolonych III semestr Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad. 1-11 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad. 12-2 3. Funkcje elementarne Zad. 21-34
Bardziej szczegółowoMATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowok i j=1 f(ζ) dζ = f(z). (ζ z) f n (ζ) 1 dζ f(z) = 1
+ Analia Zespolona I, uupełnienie. Zasada argumentu. We wore na licbę er i biegunów mamy calkę formy f d. Zauważmy, e forma ta jest f różnicką d log f. Wprawdie funkcja log f jest niejednonacna, to jej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej. Paweł Mleczko
Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008
Funkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008 Czternasta porcja zadań. Uwaga: i) W każdym zadaniu można korzystać z poprzednich jego części i innych zadań, nawet, jeśli się ich nie rozwiązało. ii) Wcześniejsze
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo5. wykładu.) x 2 +2x+5dx. (Wskazówka: wykorzystać to, że sin = Im(exp) na osi rzeczywistej; użyć lematu Jordana.) 3. Obliczyć
FAN: wybór zadań przygotowawczych do egzaminu. styczeń 2014r. Egzamin będzie z całości materiału również i tej jego części, która objęta była poprzednimi zadaniami przygotowawczymi i samym kolokwium. Poniższy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZginanie Proste Równomierne Belki
Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFraktale - wprowadzenie
Fraktale - wprowadenie Próba definici fraktala Jak określamy biory naywane fraktalami? Prykłady procedur konstrukci fraktali W aki sposób b diała aą algorytmy generaci nabardie nanych fraktali? Jakie własnow
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe
4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoKatedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Maurski Mechanika Gruntów dr inż. Ireneus Dyka http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka e-mail: i.dyka@uwm.edu.pl
Bardziej szczegółowoZastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoMES W ANALIZIE SPRĘŻYSTEJ UKŁADÓW PRĘTOWYCH
MES W ANALIZIE SPRĘŻYS UKŁADÓW PRĘOWYCH Prykłady obliceń Belki Lidia FEDOROWICZ Jan FEDOROWICZ Magdalena MROZEK Dawid MROZEK Gliwice 7r. 6-4 Lidia Fedorowic, Jan Fedorowic, Magdalena Mroek, Dawid Mroek
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie
3. Zapas stabilności układów regulacji 3.. Wprowadenie Dla scharakteryowania apasu stabilności roważymy stabilny układ regulacji o nanym schemacie blokowym: Ws () Gs () Ys () Hs () Rys. 3.. Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoZadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowoORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE
P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym
Bardziej szczegółowo3. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOREKCYJNY)
Cęść 1. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY) 1.. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY).1. Wstęp Współcynnik κ naywany współcynnikiem ścinania jest wielkością ewymiarową, ależną od kstałtu prekroju. Występuje
Bardziej szczegółowo>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu
Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo1. Pojęcie równania różniczkowego jest to pewne równanie funkcyjne, które zapisać można w postaci ogólnej
1 Równania różnickowe pojęcie 1 Pojęcie równania różnickowego jest to pewne równanie funkcyjne, które apisać można w postaci ogólnej "! (1) lub w postaci normalnej #%$ & ' () (2) Rąd najwyżsej pochodnej
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoWykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne
Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoPrzedmowa 5. Rozdział 1 Przekształcenie Laplace a 7
Spis treści Predmowa 5 Rodiał 1 Prekstałcenie Laplace a 7 Rodiał 2 Wyprowadenie prekstałcenia Z 9 1. Prykładowe adania......................... 10 2. Zadania do samodielnego rowiąania............... 16
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Księgarnia PWN: Andrzej Ganczar - Analiza zespolona w zadaniach. Wstęp... Oznaczenia... Zadania. 1. Liczby zespolone...
Księgarnia PWN: Andrzej Ganczar - Analiza zespolona w zadaniach Wstęp... Oznaczenia... XI XIII Zadania 1. Liczby zespolone... 3 1.1. Własności liczb zespolonych... 3 1.1.A. Zadania łatwe... 4 1.1.B. Zadania
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na
Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na www.swiatmatematyki.pl 1. Wypiszmy początkowe potęgi liczby Zestaw podstawowy
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoPLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH
Matematyka plusem dla gimnajum PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowo