Oszacowania dolne dla współczynników Dirichleta odwrotności funkcji z wybranych podklas klasy Selberga

Transkrypt

1 Uwersytet m. Adama Mckewcza w Pozau Karol Gerszewsk Oszacowaa dole dla współczyków Drchleta odwrotośc fukcj z wybraych podklas klasy Selberga Rozprawa doktorska apsaa pod kerukem profesora Jerzego Kaczorowskego (promotor) doktora Maceja Radzejewskego (promotor pomocczy) POZNAŃ V. I. MMXIII

2

3 The author was a studet of the jot PhD programme Środowskowe Studa Doktoracke z Nauk Matematyczych co-faced by the Europe Socal Fud through the Operatoal Programme Huma Captal

4

5 W perwszej kolejośc pragę podzękować mojej Żoe za eoceoe wsparce podczas psae tejże rozprawy, bez którego jej apsae byłoby emożlwe. Następe chcałbym podzękować mojemu Promotorow, profesorow Jerzemu Kaczorowskemu, za zwrócee mojej uwag a problematykę podjętą w ejszej rozprawe oraz za podzelee sę Swom tucjam dotyczącym tych zagadeń. Na końcu chcę podzękować mojemu Promotorow pomocczemu, doktorow Macejow Radzejewskemu, za życzlwość okazaą podczas psaa ejszej rozprawy, za pośwęcoy czas oraz za rozlcze uwag, wskazówk których udzelł m podczas jej psaa.

6

7 Dcebat Berardus Carotess os esse quas aos, ggatum humers sdetes, ut possmus plura es et remotora vdere, o utque propr vsus acume, aut emeta corpors, sed qua altum subvemur et extollmur magtude ggatea. Ja z Salsbury Metalogco, V. I. MCLIX

8

9 Sps treśc WSTĘP XI Rozdzał. PRELIMINARIA Twerdzea pomoccze dotyczące sum całek Klasa A oraz e rezultaty pomoccze Fukcje Bessela Klasa S Γ Fukcja L krzywej elptyczej ad Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE DLA FUNKCJI m(f, w) Rezultaty pomoccze Dowód Twerdzea Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω Twerdzea pomoccze dotyczące sum ważoych fukcj Möbusa Własośc fukcj G Twerdzea typu Ω Bblografa

10

11 WSTĘP K LASYCZN A arytmetyczą fukcję Möbusa µ moża zdefować jako cąg współczyków rozwęca w szereg Drchleta fukcj ζ (σ + t) = = µ(), σ >, σ+ t gdze ζ ozacza fukcję dzeta Remaa. Przyjmjmy poadto klasycze ozaczee fukcj sumacyjej arytmetyczej fukcj Möbusa M(x) := x µ(). W lśce datowaym a dzeń. lpca 885 roku T. J. Steltjes apsał do K. Hermte a [34, p. 6] : Or je trouve que das la somme M() = µ() + µ() + + µ(), les terms ± se compeset assez be pour que M() reste toujours comprse etre deux lmtes fxes, quelque grad que sot (probablemet o peut predre pour ces lmtes + et ). Dalej w tymże lśce Steltjes dowodz, że ograczoość M() po czym stwerdza mplkuje słyą hpotezę Remaa, Cela mote plus claremet la ature de cette proposto sur laqualle je me sus appuyé, que µ() + µ() + + µ() reste comprse etre deux lmtes fxes. Vous voyez que tout déped d ue recherche arthmetque sur cette somme µ()+µ()+ +µ(). Ma demostrato est be péble: je tâchera, lorsque je repredra ces recherches, de la smplfer ecore. Ngdze Steltjes e opublkował, a swojego demostrato péble, a ewetualego dowodu uproszczoego, co węcej, e zachował sę po ch jakkolwek ślad. Jedak wadomość o tym, że Steltjes posada dowód a ograczoość M (), a w kosekwecj dowód hpotezy Remaa, dotarła W stosuku do orygałów [34] oraz [6] zmeoo ozaczea, a używae współcześe, zaś psowę pozostawoo bez zma.

12 XII WSTĘP do klku matematyków. Mędzy ym J. Hadamard w swojej fudametalej pracy [, pp ] psał: Steltjes avat démotsré, coformémet aux prevso de Rema, que ces zéros sot tous de la forme + t (le ombre t état réel); mas sa démostrato a jamas été publée, et l a même pas été établ que la focto ζ at pas de zéros sur la drote R(s) =. Do dzś dokłade wartośc grac α := lmf x M(x) oraz α + M (x) := lmsup x x x pozostają ezae. W pracy [6, pp ] F. Mertes a podstawe daych umeryczych stwerdzł Da de Uglechug M (x) < x, (...), sehr wahrschelch st, so st auch de Rmasche Behauptug sehr wahrschelch, dass de magäre Wurzel der Glechug ζ (z) = 0 alle de reelle Bestadthel habe. Stąd też oszacowae M(x) < x, x >, () azywae jest hpotezą Mertesa. Pocąga oa za sobą, że α oraz α +. Jedakże w 985 roku A. M. Odlyzko H. J. J. te Rele w pracy [8] udowodl, że α <,009 oraz α + >,06 obalając tym samym (). Wcześej A. E. Igham w pracy [3] udowodł, że jeżel dodate częśc urojoe zer etrywalych fukcj ζ są lowo ezależe ad, to wtedy α = oraz α + =, w szczególośc lm sup x M(x) x =. () W pracy [7, (0)] N. Ng przytacza przypuszczee S. Goka, że steje stała B > 0 taka, że lm f x M(x) = B oraz lmsup x (logloglog x) 5/4 x M(x) = B. (3) x (logloglog x) 5/4 Twerdzea udowodoe przez A. E. Ighama oraz A. M. Odlyzko H. J. J. te Rele operają sę a przedstaweu fukcj M(x) w postac sumy dwóch zbeżych szeregów z których perwszy

13 XIII deksoway jest zeram etrywalym fukcj dzeta Remaa ζ, zaś drug jej zeram trywalym. Poeważ szereg deksoway zeram trywalym jest zbeży bezwzględe oraz defowaa przez ego fukcja zmeej x ma rząd wzrostu szacoway przez O x, zatem za asymptotykę fukcj M (x) odpowada szereg deksoway zeram etrywalym. W pracy [] K. Bartz zdefowała fukcję m(ζ, z) przy pomocy szeregu zbeżego deksowaego zeram etrywalym fukcj ζ, który jest pewą modyfkacją szeregu odpowedzalego za fukcję M(x), a astępe udowodła, że fukcja m(ζ, z) posada aaltycze przedłużee do fukcj meromorfczej a oraz zachodz astępujące rówae fukcyje m(ζ, z) + m(ζ, z) = µ() = π cos e z. (4) J. Kaczorowsk w pracy [7] udowodł (4) ym metodam, a poadto w pase Iz < π udowodł formułę dokładą dla fukcj m(ζ, z) [7, Theorem.]. Korzystając z tej formuły dokładej [, Theorem.] udowodł twerdzee [7, Theorem.] = x µ() cos = Ω ± x logloglog x, dla x. Następe z twerdzea tego wycągął astępujący wosek [7, Corollary.] ax M(x) + µ() cos = Ω x logloglog x, x gdze x, zaś a 0 jest dowole wybraą stałą rzeczywstą ezależą od x. Odotujmy, że powyższy rezultat został udowodoy ezależe od hpotezy Remaa. Zauważmy też, że gdyby w powyższej formule moża było przejść do gracy z a 0, to otrzymalbyśmy twerdzee slejsze od () zblżoe do (3). W pracy [5] A. Łydka metodam wypracowaym w [7] udowodł twerdzea aalogcze do (4) [7, Theorem.] w przypadku arytmetyczej fukcj Möbusa krzywej elptyczej ad [5, Theorem.3. & Theorem.4]. W rozdzale ejszej rozprawy stosując metody z [7] dowodzmy Twerdzea.., które jest uogóleem (4) oraz [5, Theorem.3.]. Główym wykam ejszej rozprawy są twerdzea z rozdzału 3. Maowce dla dowolej fukcj g takej, że g jest różczkowala w sposób cągły, mootocze rosąca od pewego mejsca, g(x) = o(logloglog x) dla x oraz g (x) = O x mamy z Twerdzea 3.., że µ E () = Ω x g(x) x lub a 0 x x /4 µ E () cos a x = Ω x g(x) lub ω E x x µ E () = Ω ± x logloglog x, gdy F 0 Ω + x log x, gdy F = 0,

14 XIV WSTĘP gdze ω E = ± jest zakem rówaa fukcyjego fukcj L krzywej elptyczej E, zaś µ E jest arytmetyczą fukcją Möbusa krzywej elptyczej E. Stąd, z Twerdzea 3., otrzymujemy x x µ E () = Ω x g(x) lub a 0 x x /4 µ E () cos a x = Ω x g(x). Twerdzea te są aalogoam [7, Corollary.] w przypadku krzywej elptyczej ad. Zazaczamy jedocześe, że są oe ezależe od zaych hpotez dotyczących rozmeszczea zer etrywalych fukcj L krzywej elptyczej ad, w szczególośc hpotezy Remaa dla tejże fukcj L.

15 Rozdzał PRELIMINARIA Wtym rozdzale przytaczamy fakty, które wykorzystywae są w dowodach lematów twerdzeń w rozdzałach astępych. Poadto będzemy stosowal astępujące kowecje ozaczeń s = σ + t z = x + y w = u + v gdze σ, t, x, y, u oraz v są lczbam rzeczywstym. Zera etrywale fukcj typu L ozaczać będzemy ρ := β + γ. Dla dowolej fukcj zespoloej h kładzemy h(z) := h (z). Aby ukąć koflktu ozaczeń, odstąplśmy od tradycyjego ozaczea stałej Eulera trzecą lterą alfabetu greckego, stosując w zama trzecą lterę alfabetu hebrajskego.ג W całej rozprawe ustalamy gałąź logarytmu w tak sposób, że log z dla z = x > 0... Twerdzea pomoccze dotyczące sum całek Lemat.. [9, Satz.4 p. 37] Nech λ λ... będze dowolym cągem lczb rzeczywstych takm, że lm λ = oraz ech będze fukcją różczkowalą. Mamy wtedy λ λ x b : [λ, x] x a b(λ ) = A(x)b(x) A(ξ )b (ξ )dξ, (.) λ gdze A(ξ ) := a λ λ ξ

16 Rozdzał. PRELIMINARIA oraz gdze a są dowolym lczbam zespoloym. Jeżel w (.) mamy lm x A(x)b(x) = 0 poższe suma lub całka posadają gracę przy x, to wtedy a b(λ ) = A(ξ )b (ξ )dξ. λ λ λ Wosek.. Nech (a ) będze dowolym cągem lczb zespoloych oraz ech b : [, ) będze = fukcją różczkowalą. Nech A(N) := a. x Wtedy x x a b() = A(x)b(x) A(ξ )db(ξ ). Wosek.3. Nech (a ) będze dowolym cągem lczb zespoloych oraz ech b : [, ) będze = fukcją różczkowalą. Nech M ech A(N) := N a. Jeżel oraz całka lm A(N)b(N) = 0 N A(ξ )db(ξ ) jest zbeża, to wtedy a b() = A(M)b(M ) + >M M M A(ξ )db(ξ ). Dowód. Nech N > M. Stosując Wosek.. otrzymujemy a b() = A(M )b(m) M M oraz a b() = A(N)b(N) N N Odejmując stroam (.) od (.3) otrzymujemy M< N M A(ξ )db(ξ ) (.) A(ξ )db(ξ ). (.3) a b() = A(N)b(N) A(M)b(M ) A(ξ )db(ξ ). N

17 .. Twerdzea pomoccze 3 Stąd otrzymujemy tezę. Lemat.4. [9, cf. Satz. p. 370] Nech (a ) = oraz (b ) będą dowolym cągam lczb zespoloych. = Nech N będze lczbą aturalą oraz ech A(N) := a. N Wtedy a b = A(N)b(N) A() b + b. N N Lemat.5. (Kryterum Weerstaßa)[35,.] Nech ( f ) będze cągem fukcj zespoloych określoych w obszarze D. Jeżel dla każdego =,,... steje lczba M taka, = że f (z) M dla każdego z D oraz szereg jest zbeży, to wtedy szereg fukcyjy M = f (z) = jest zbeży bezwzględe jedostaje w obszarze D. Lemat.6. (Kryterum Mertesa)[35,.65] Nech a = będze szeregem lczb zespoloych zbeżym bezwzględe do lczby A, a b = będze szeregem lczb zespoloych zbeżym bezwzględe do lczby B. Wtedy szereg c, = gdze jest zbeży do lczby AB. c = a k b k k=

18 4 Rozdzał. PRELIMINARIA Lemat.7. [35,.6 &.64] Nech a,k będze dowolą eskończoą macerzą zespoloą. Jeżel,k= a,k <, = k= to a,k = a,k. = k= k= = Lemat.8. [35,.7] Nech ( f ) będze cągem fukcj zespoloych cągłych określoych a przedzale = [a, b] takm, że szereg jest zbeży jedostaje a przedzale [a, b]. Wtedy f = b = a f (ξ )dξ = b = a f (ξ )dξ. Lemat.9. [35,.77 p. 45] Nech h będą fukcjam zespoloym cągłym w przedzale [a, ), dla każdego. Przypuśćmy, że b = a h (ξ )dξ = b = a h (ξ )dξ dla każdego b > a oraz, że jedo z poższych wyrażeń jest skończoe a h (ξ ) dξ, = = a h (ξ ) dξ. Wtedy a h (ξ )dξ = h (ξ )dξ. = = a Lemat.0. [35,.84] Nech h będze fukcją zespoloą cągłą w obszarze [a, ) [c, d]. Przypuśćmy, że b d d h(ξ,η)dηdξ = b h(ξ,η)dξ dη a c c a dla każdego b > a oraz, że całka h(ξ,η)dξ a

19 .. Twerdzea pomoccze 5 jest zbeża jedostaje względem η dla c η d. Wtedy d d h(ξ,η)dηdξ = h(ξ,η)dξ dη. a c c a Lemat.. (Nerówość Cauchy ego Schwartza) Nech h oraz h będą fukcjam zespoloym cągłym określoym a przedzale [a, b]. Wtedy zachodz astępująca erówość b a h (ξ )h (ξ )dξ b a h (ξ ) dξ b a h (ξ ) dξ Lemat.. (Twerdzee Cauchy ego o rezduach) Nech U będze obszarem jedospójym a (c k ) N, będze skończoym cągem puktów z U. Nech będze dodato zoretowaą krzywą Jordaa k= zawartą w zborze U \ {c, c,..., c N } taką, że wszystke pukty c k zajdują sę wewątrz obszaru przez ą ograczoego. Jeżel fukcja zespoloa h jest holomorfcza a zborze U \ {c, c,..., c N }, to wtedy. π h(z)dz = N Res h(z). z=c k k=... Własośc fukcj Γ sl Lemat.3. (Formuła Strlga)[9, p. 6] Dla dowolych lczb a < b mamy Γ (σ + t) = e π t t σ (π) + Oa,b t, (.4) gdze t, jedostaje względem a σ b. Lemat.4. (Formuła Strlga)[7, (3) p. 63] Dla dowolego ε > 0 dowolego α mamy logγ (s + α) = s + α log s s + logπ + O s, (.5) gdze s oraz arg(s) π ε. Poadto zachodz róweż astępująca formuła [7, (6) p. 3] Γ (s)γ ( s) = π s(πs). (.6) Stosować róweż będzemy poższe erówośc! e, q q q! e q, (.7) q gdze oraz q są lczbam aturalym.

20 6 Rozdzał. PRELIMINARIA.. Klasa A oraz e rezultaty pomoccze Za [, ] przyjmujemy astępującą defcję: Nech A ozacza zbór fukcj G(z) := a e ω z (Iz > 0), = gdze 0 ω < ω <... są rzeczywste, a współczyk a, są lczbam zespoloym spełającym poższe waruk:. Isteje stała B(G) = B 0 taka, że a <. = ω B. Isteje lczba rzeczywsta L 0 = L 0 (G) taka, że graca P(x) = lm R(G(x + y)) + y 0 steje dla każdego x L 0 przedstawa fukcję ograczoą lokale dla x [L 0, ). 3. Dla każdego ograczoego przedzału I [L 0, ) mamy R(G(x + y)) I, dla x I y > Isteje fukcja malejąca cągła φ: (0,), φ(δ), gdy δ 0 +, oraz steją pukty x, x take, że R G(x + δe θ ) φ(δ) R G(x + δeθ ) φ(δ), gdy δ 0 +, jedostaje dla θ < θ < θ θ < θ < θ odpowedo, gdze 0 < θ < θ < π 0 < θ < θ < π są pewym ustaloym parametram zależym od G. 5. Mamy { ω T } T log T, gdy T. Lemat.5. [, Theorem.] Nech G A. Wtedy steje stała dodata b 0 = b 0 (G) taka, że (loglog x) RG(x) = Ω ± φ b 3 0, dla x log x Lemat.6. [3, cf. p. 80] Przypuśćmy, że fukcja całkowala h : [, ) jest taka, że h(x) x A+ε dla każdego ε > 0. Wtedy zachodz astępujące oszacowae dla jej trasformaty Mella h(x)x s d x ε dla σ A+ ε, dla każdego ε > 0.

21 .3. Fukcje Bessela 7 Lemat.7. [, cf. Corollary 3.] Przypuśćmy, że fukcja merzala ograczoa lokale h : [, ) speła waruek h(x) x a loglog x, dla pewej stałej a wszystkch x x 0 > e. Wtedy jej trasformata Mella jest holomorfcza dla σ > a oraz h(x)x s d x σ a log σ a jedostaje dla a < σ < a + /. Lemat.8. [7, Lemma 4] Nech C (s) := 0 (cos x ) x s dx dla 0 < σ <. Fukcja C posada przedłużee meromorfcze do. Dokłade mamy C (s) = πγ ( (s/)) s s Γ (( + s)/). W szczególośc fukcja C e posada zer w pase 0 < σ <. Poadto mamy C (σ + t) ( t + ) σ emal jedostaje dla 0 < σ <..3. Fukcje Bessela Fukcja Bessela perwszego rodzaju daa jest wzorem [8, () p. 4] J ν (z) = ( ) k k!γ (k + ν + ) z k+ν, gdze ν jest azywaa rzędem tej fukcj. Szereg defujący z ν J ν (z) jest emal jedostaje zbeży względem z oraz ν [8, 7..]. Jeżel ν, to wtedy fukcja J ν jest fukcją holomorfczą [8, cf. (4) p. 6], a jeżel ν /, to ma rozgałęzee w pukce z = 0. Ustalamy gałąź fukcj J ν przyjmując z ν > 0 dla z = x > 0. W przypadku gdy ν = fukcję Γ w powyższej formule moża zastąpć slą otrzymując J (z) = ( ) k k!(k + )! z W przypadku, gdy ν = ±, z [8, (4), (5) p. 79] mamy, że J k+. (.8) (z) = πz cos z oraz J (z) = s z. (.9) πz

22 8 Rozdzał. PRELIMINARIA Fukcję Bessela drugego rodzaju rzędu perwszego moża zdefować wzorem [8, cf. (3) p. 8] z z ג + log π Y (z) = J (z) ( ) k h k + h k+ z k+, (.0) k!(k + )! gdze h k ozacza k. lczbę harmoczą. Fukcję Bessela trzecego rodzaju, zwaą róweż fukcją Hakela, rzędu perwszego defujemy wzorem [8, cf. (6) p. 4] H () (z) := J (z) Y (z). (.) Kładzemy oraz Lemat.9. Mamy ( ) k d k := ג + hk + h πk!(k + )! k+ k+ + log (.) e k := ( ) k π k!(k + )!4. (.3) k d k oraz e (k!) 4 k k, gdy k. (k!) k 4 Szereg d k z k+, e k z k+ (.4) są zbeże emal jedostaje w całej płaszczyźe zespoloej. Dla z 0 fukcja H () speła rówae H () (z) = d k z k+ + π z + log z e k z. k+ (.5) Dowód. Mamy d k k!(k)! k+ ג + h k + h k+ + log k + (k!) 4 k aalogcze e k (k!) 4 k. Na mocy powyższych oszacowań z Lematu.5. otrzymujemy zbeżość jedostają szeregów (.4) w każdym zwartym podzborze. Zatem z (.8), (.0) oraz (.) przez odpowede grupowae wyrazów otrzymujemy (.5). Wosek.0. Fukcja H () jest fukcją welowartoścową z rozgałęzeem typu logarytmczego w pukce z = 0.

23 .3. Fukcje Bessela 9 Wosek.. Mamy d k k + 3 A k k! Ak = exp(a) A, e k k + 3 A k k! Ak = exp(a) A, gdze A > 0 jest dowolą stałą ezależą od k. Uwaga.. Ze względu a wybraą wcześej gałąź logarytmu, dla z = x > 0 mamy H () (z). Zatem w obszarze zadaym erówoścą arg z < π fukcja H () jest holomorfcza. Lemat.3. [3, cf. () p. 98] W obszarze π + δ arg z π δ, gdze δ > 0 mamy (z) = H () 3 πz e (z 4 π) + O δ z, gdy z. (.6) Wosek.4. Dla każdego δ > 0, x 0 > 0 w obszarze arg z π δ, z > x 0 (.7) mamy (z) = H () 3 πz e (z π) 4 + h, () (z) gdze h () jest fukcją holomorfczą w obszarze (.7). Poadto dla z z obszaru (.7) zachodz h () (z) = O δ,x 0 z. (.8) Dowód. Kładzemy πz h () (z) := H() (z) e (z 3 π) 4, gdze dla perwastka wyberamy jego gałąź główą. Zatem z (.6) mamy, że h () (z) = O δ z, gdy z jedostaje w obszarze (.7). Zatem dla z > x 0 > 0 mamy (.8). Z Uwag.. wemy, że dla z > x 0 oraz arg(z) < π, fukcja H () jest holomorfcza. Poeważ ustallśmy gałąź perwastka, fukcja πz e (z 3 π) 4 jest holomorfcza dla arg z < π. W kosekwecj fukcja h () jest holomorfcza w obszarze (.7).

24 0 Rozdzał. PRELIMINARIA Wosek.5. Dla każdego x 0 > 0 w obszarze arg z π, z > x 0 fukcja dh() dz jest holomorfcza speła dh () dz = O x0 z. Dowód. Kładzemy z = r e θ, gdze π θ π. Z Twerdzea Cauchy ego mamy dh () dz = π ξ z = r h () (ξ ) (ξ z) dξ. Poeważ π ξ z = r h () (ξ ) ξ z dξ π h max () ξ z = r (ξ ) ξ z = r ξ z dξ h () max ξ z = r (ξ ) r zatem dh () h dz max () ξ z = r (ξ ) r. Dla każdego θ π dla każdego r > x 0 > 0 okrąg ξ z = r jest całkowce zawarty w obszarze ξ > x 0 > 0 oraz argξ π, zatem z (.8) mamy 3 h () max ξ z = r (ξ ) x0 r w kosekwecj dh () dz x0 r = z..4. Klasa S Γ Mówmy, że F S Γ jeśl speła astępujące pęć aksjomatów. (Szereg Drchleta) F jest szeregem Drchleta zbeżym bezwzględe dla σ > F (s) = = a F () s.. (Przedłużee aaltycze) Dla pewego m 0, fukcja (s ) m F (s) jest fukcją całkowtą skończoego rzędu.

25 .4. Klasa S Γ 3. (Rówae fukcyje) F speła rówae fukcyje poższej postac Φ F (s) = ωφ F ( s), gdze Φ F (s) = Q s Γ (λs + µ)f (s) (.9) z Q > 0, λ > 0, Rµ 0 oraz ω =. 4. (Waruek Ramaujaa) Dla każdego ε > 0, a F () ε ε. 5. (Iloczy Eulera) Dla σ > F (s) = p F p (s), gdze p przebega wszystke lczby perwsze, b(p m ) log F p (s) := oraz b() θ dla pewego θ <. Z powyższej defcj wyka, że klasa S Γ jest podzborem klasy Selberga S [4, 6]. Zae ezmek fukcj z klasy Selberga S: stopeń, ezmek ξ, parzystość oraz przesuęce w przypadku fukcj F S Γ mogą być zapsae jako m= p ms d F = λ, ξ F + = µ, η F + = Rµ oraz θ F = Iµ. Chocaż parametry rówaa fukcyjego fukcj z klasy Selberga S e są w ogólośc jedozacze wyzaczoe, a fakt te został wyczerpująco opsay w [33, 4], [4, 4], [6, 3] oraz [0], są oe jedozacze w przypadku rówaa fukcyjego z S Γ co jest atychmastową kosekwecją prostego opsu podaych ezmeków. Poadto w przypadku fukcj F S Γ możemy oszacować z dołu parzystość przez η F. Przez zera trywale fukcj F S Γ rozumemy mejsca zerowe położoe w puktach s = k + µ, gdze k = 0,,,... (.0) λ Przez zera etrywale fukcj F S Γ rozumemy mejsca zerowe ρ = β + γ, gdze 0 β. Dla F S Γ oraz dla T > 0 ech N F (T ) ozacza lczbę zer etrywalych ρ = β + γ dla których γ T. Zachodz wtedy formuła Remaa vo Magoldta [6, (.) p. 6] N F (T ) = d F π T log T + c F T + O(log T ) dla T. (.)

26 Rozdzał. PRELIMINARIA W kosekwecj wemy, że zer etrywalych jest eskończee wele. Na mocy [9, Theorem ] oraz [, Theorem] wemy, że jeżel F ależy do klasy Selberga S (w szczególośc jeżel ależy do S Γ ) ma dodat stopeń, to albo d F =, albo d F..4.. Przykłady fukcj ależących do S Γ z d F = Fukcja ζ Remaa speła () z a ζ () = w kosekwecj róweż (4). Waruek () jest spełoy z m = [36, cf. Theorem.], zaś waruek (3) jest spełoy z Q = π, λ =, µ = 0 oraz ω = [36, cf..7]. Waruek (5) jest spełoy dla ζ poeważ dla każdej lczby perwszej p oraz dla każdego m zachodz b ( p m ) = [36, cf..]. W kosekwecj fukcja dzeta Remaa ależy do S Γ z d F = η F = klasa S Γ jest epusta. Nech χ będze charakterem Drchleta modulo q. Najmejszą lczbę aturalą f taką, że f q, f q oraz χ = χ 0 χ, gdze χ 0 jest charakterem główym (mod q), χ jest charakterem (mod f ), a możee charakterów rozumae jest jako możee ch wartośc, azywamy przewodkem charakteru χ. Jeżel f = q, to wtedy mówmy, że χ jest charakterem perwotym [4, cf. 3.3]. Fukcja L Drchleta stowarzyszoa z charakterem perwotym χ L(s,χ ) = = χ () s, σ > speła () oraz (4), a poeważ posada przedłużee aaltycze do fukcj meromorfczej skończoego rzędu, z beguem rzędu co ajwyżej perwszego w pukce s =, zatem speła róweż waruek (). Poadto jeżel charakter χ jest egłówy, to wtedy fukcja L(s,χ ) posada przedłużee aaltycze do fukcj całkowtej. Fukcja ta speła róweż waruek (5). Poadto fukcja q s Φ(s,χ ) = Γ π s + a(χ ) L(s,χ ), gdze a(χ ) = 0, gdy χ ( ) =, w przecwym przypadku, speła rówae fukcyje gdze Φ(s,χ ) = ω χ Φ( s,χ ), ω χ = τ(χ ) a(χ ) q, a τ(χ ) ozacza sumę Gaußa. Poeważ τ(χ ) = q zatem ω χ = [6, pp ]. W kosekwecj dla χ będącego charakterem perwotym fukcja L(s,χ ) ależy do S Γ. Jeżel dodatkowo charakter χ jest egłówy, to wtedy dla każdego θ fukcja L(s + θ,χ ) ależy do S Γ. W kosekwecj dla takch fukcj mamy d F =, θ F = θ η F = a(χ ). Poadto z [6, Theorem 3] wemy, że jeżel F S oraz d F =, to wtedy albo F = ζ, gdze ζ ozacza

27 .4. Klasa S Γ 3 fukcję dzeta Remaa, albo steją lczby q, q oraz θ take, że F (s) = L(s + θ,χ ), gdze χ jest perwotym charakterem Drchleta mod q. Zatem jeżel F S d F =, to F S Γ..4.. Przykłady fukcj ależących do S Γ z d F = Zauważmy wperw, że dla dowolych F,G S mamy d F G = d F + d G. Nech χ będze perwotym egłówym charakterem Drchleta takm, że a(χ ) =. Wtedy fukcja ζ (s)l(s,χ ) ma stopeń rówy. Poadto czyk Γ w jej kaoczym rówau fukcyjym mają postać (π) s π (s+)/ Γ q s Γ zatem stosując formułę podwajaa Legedre a dla fukcj Γ Γ (z)γ s + z + = z πγ (z), otrzymujemy (π) s π (s+)/ Γ q s Γ s + = (π) s π (s+)/ s πγ (s). W kosekwecj ζ (s)l(s,χ ) S Γ z η F = oraz θ F = 0. Nech χ χ będą dwoma perwotym egłówym charakteram Drchleta, takm, że a(χ ) = 0 zaś a(χ ) =. Wtedy dla dowolego θ, argumetując aalogcze jak w przypadku ζ (s)l(s,χ ), otrzymujemy, że L(s + θ,χ )L(s + θ,χ ) S Γ z η F = oraz θ F = θ. Nech h będze uormowaą formą perwotą wag k pozomu N, czyl h S e w (N). Wtedy k fukcja L stowarzyszoa z h, ozaczaa L s + k, h, posada przedłużee aaltycze do fukcj całkowtej skończoego rzędu speła rówae fukcyje postac Λ(s, h) = ωλ( s, h), q gdze Λ(s, h) = N π s Γ s + k L s + k, h, ω = [6,.4.4 p. 50]. Jeżel poadto h jest wspólym wektorem własym wszystkch operatorów Heckego T p, to a mocy twerdzea Heckego [34, Satz 4] fukcja L s + k, h ma loczy Eulera. W pracach [5] P. Delge, a w [6] P. Delge wspóle z J.-P. Serrem udowodl, że czyk loczyu Eulera moża zapsać w podaej żej postac [6,.4. pp ] L p s + k, h = a F ( p) p s L p s + k, h = α ( p) p s, gdy p N (.) α ( p) p s, gdy p N,

28 4 Rozdzał. PRELIMINARIA gdze α j ( p) = dla j =,. W szczególośc spełoa jest dla współczyków rozwęca w szereg Drchleta fukcj L s + k, h hpoteza Ramaujaa. Zatem L s + k, h ależy do S Γ z η F = k oraz θ F = Fukcja L krzywej elptyczej ad Fukcja L krzywej elptyczej E ad całem daa jest wzorem L(s, E) = p N E a p p s p N E a p p s + p s, σ >, (.3) gdze a p są lczbam rzeczywstym, zależym od typu redukcj krzywej mod p oraz od lczby puktów a krzywej zredukowaej, zaś lczba aturala N E ozacza przewodk krzywej elptyczej E, przy czym dla p N E mamy a p. Zauważmy, że tak zdefowaa fukcja L przyjmuje wartośc rzeczywste dla s = σ > a w kosekwecj L(s, E) = L(s, E). (.4) C. Breul, B. Corad, F. Damod R. Taylor pokazal [3, Theorem A], metodam wypracowaym przez A. Wlesa [3, Theorem 0.4] R. Taylora wraz z A. Wlesem [30], że dla każdej krzywej elptyczej E ad steje forma modulara h E S e w (N E ) taka, że L s +, E = L s +, h E. W kosekwecj, a mocy faktów przytoczoych w poprzedm paragrafe, L s +, E S Γ. W szczególośc η L(s+,E) = 0 oraz θ L(s+,E) = 0. (.5) Dla fukcj L s +, E przyjmujemy astępujące kowecje: rówae fukcyje zapsywać będzemy w postac Φ E (s) = ω E Φ( s), (.6) gdze Φ E (s) = Q s E Γ s + L s +, E, NE ω E = ± [4, (4.37)], zaś := π. Korzystając z (.0) otrzymujemy, że zera trywale fukcj L s +, E są położoe w puktach s = + k, gdze k = 0,,,... (.7)

29 .5. Fukcja L krzywej elptyczej 5 Z [3, Theorem A] oraz [5, Theorem] wyka, że fukcja L s +, E e posada zer etrywalych dla których β = lub β = 0. W kosekwecj wszystke zera etrywale tejże fukcj są położoe w pase 0 < σ <. Lemat.6. [4, Lemat.5.] Isteje rosący cąg lczb dodatch (T ) =, T tak, że max σ L = O σ + + T, E T A dla pewej stałej dodatej A..5.. Oszacowae wypukłoścowe fukcj L krzywej elptyczej w pase 0 σ Dla fukcj F S Γ kładzemy ℶ F (σ) := f ξ F (σ + t) = O t ξ, t. Lemat.7. [35, 9.4] Nech F S Γ. Fukcja ℶ F jest fukcją wypukłą, erosącą cągłą. Lemat.8. Nech F (s) = L s +, E. Wtedy dla 0 σ mamy oszacowae ℶ F (σ) σ. Dowód. Dla σ + ε, gdze ε > 0, mamy a E () F (s) = = s = a E () σ+ε. Poeważ dla współczyków a E zachodz waruek Ramaujaa mamy zatem a E () = σ+ε ε = σ+ε ε w kosekwecj F (s) ε dla σ >. Zatem dla takch σ mamy ℶ F (σ) = 0. Z rówaa fukcyjego (.6) dla σ < 0 otrzymujemy F (s) = Q σ E Γ 3 s Γ s + F ( s) Γ 3 ε Q σ E s Γ s +. Z formuły Strlga (.4) otrzymujemy Γ 3 s Γ s + = t σ + O σ0 t, t

30 6 Rozdzał. PRELIMINARIA emal jedostaje w każdym pase σ 0 σ < 0. Zatem dla σ < 0 mamy ℶ F (σ) = σ. Na mocy Lematu.7. fukcja ℶ F jest cągła, zatem ℶ F (0) = oraz ℶ F () = 0. Dalej z Lematu.7. mamy, że ℶ F jest fukcją erosącą wypukłą zatem ℶ F (σ) σ dla 0 σ.

31 Rozdzał RÓWNANIE FUNKCYJNE DLA FUNKCJI m(f, w) CELEM ejszego rozdzału jest przedstawee dowodu Twerdzea., który jest opublkoway w pracy semestralej [0] oraz będze opublkoway artykule [9]. A struktura klasy Selberga S, a struktura S Γ e są zae, choć a temat klasy Selberga sformułowaych jest wele przypuszczeń [6, 0]. Zazaczamy jedocześe, że rezultat z tego rozdzału jest od tych przypuszczeń całkowce ezależy. W rozdzale tym ustalamy F S Γ oraz parametry Q, λ, µ, ω w rówau (.9). Przez µ F ozaczamy odwrotość fukcj a F względem splotu Drchleta, tak węc czysto formale możemy apsać Dla prostoty ozaczeń kładzemy κ F := F (σ + t) := η F + d F = µ F (). (.) σ+ t, jeżel η F > d F, jezel η F =. Dla w w górej półpłaszczyźe h := {w I(w) > 0} fukcja m(f, w) jest zdefowaa jako m(f, w) = π e s w (.) ds, (.3) F (s) gdze F S Γ. Droga całkowaa składa sę z półprostej s = κ F + t, > t 0, gładkego łuku a górej półpłaszczyźe łączącego pukty κ F oraz 3 oddzelającego możlwe mejsca zerowe fukcj F F zajdujące sę a prostej rzeczywstej od tych poad ą, oraz półprostej s = 3 + t, 0 t <. Zbeżość (emal jedostają) całk (.3) wykazujemy pożej w Lemace.6. Z lematu tego wyka róweż, że dla w h fukcja m(f, ) jest holomorfcza. Przez δ b a ozaczamy deltę Kroeckera, poadto używamy ozaczea m(f, z) := m(f, z). Twerdzee.. Nech F S Γ. Wtedy m(f, ) posada przedłużee meromorfcze do z beguam pojedyczym w puktach w = log, µ F () 0,, rezduam Res m(f, w) = µ F (). w=log π

32 8 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE Poadto speła oa poższe rówae fukcyje m(f, w) + m(f, w) = Q e w d F J d F +η F ω d F Q + θ F d F e θ F w d F = µ F () + θ F d F Q e w d F δ η F Γ d F R(F, w), (.4) gdze R(F, w) = F (β)=0 0 β β Res s=β e s w F (s) + Res s= e s w F (s) zaś J ν ozacza fukcję Bessela perwszego rodzaju, którą omówlśmy w Prelmarach ejszej rozprawy. W Twerdzeu.. rząd fukcj Bessela zależy w sposób wyraźy od stopa parzystośc fukcj F w astępujący sposób ν = d F + η F, gdze d F > 0 oraz η F, zatem jest wększy od. Poadto w przypadku gdy d F = a mocy [9, Theorem ] mamy η F = 0 lub η F =, zatem rząd fukcj Bessela ν = ±, zaś w przypadku d F rząd oszacoway jest ν 0. W przypadku, gdy d F = formuły (.9) dają prostszą postać rówaa fukcyjego (.4). W szczególośc łatwo otrzymujemy rezultat K. Bartz [] poeważ fukcja dzeta Remaa ależy do S Γ. Zatem Twerdzee.. uogóla te wyk. Uogóla oo róweż wyk A. Łydk [5, Theorem.3] poeważ fukcja L(s +, E) ależy do SΓ... Rezultaty pomoccze Lemat.. [7, Chapter 5.3., pp & (9) p. 05 & (3) p. ] Nech G (z a, b) := π Γ (s + a) Γ (b s) z s ds, gdze jest krzywą gładką poza skończoą lczbą puktów zaczyającą sę kończącą w, obegającą zgode z ruchem wskazówek zegara wszystke beguy fukcj Γ (s +a) dokłade raz, zaś a b są dowolym lczbam zespoloym. Całka ta jest wtedy zbeża dla wszystkch z >. Poadto dla takch z mamy G (z a, b) = z (a b+) J a+b z. Lemat.. [8, Lemma ] Nech F S. Wtedy dla każdego ε > 0 steje M = M (ε) take, że µ F () ε ε dla (, M) =.

33 .. Rezultaty pomoccze 9 Lemat.3. Nech m będze lczbą aturalą. Wtedy wyrażee m, k =,,..., m, (.5) k! k przyjmuje ajwększą wartość dla k = m m. Dowód. Ustalmy m. Zauważmy, że erówość m > m (k + )! k k! k (.6) jest rówoważa dalej k(k + ) > m k m k k > 0. Zatem k = m jest ajwększą lczbą całkowtą k dla której zachodz (.6). W kosekwecj dla k = m wyrażee (.5) osąga maksmum. Lemat.4. Nech F S Γ. Wtedy dla każdego ε > 0 szereg (.) jest zbeży bezwzględe jedostaje w półpłaszczyźe σ + ε. Dowód. Na mocy Lematu.. mamy, że dla każdego ε > 0 szereg µ F () = (,M)= jest zbeży bezwzględe jedostaje dla σ + ε. Stosując aksjomat (5) mamy F p (s) = e m= b(pm ) p ms = k! s k b(p m ) p ms, σ > θ. m= Dla σ θ + ε a mocy oszacowaa b(p m ) p θm wosmy, że Zatem z Lematu.6. mamy b(p m ) p ms p m(θ σ) ε. m= k b(p m ) p ms = m= m= c k ( p m ) p ms, σ > θ, m= gdze c k ( p m ) = ( ) k b(p l )... b(p l k ) l + +l k =m l >0

34 0 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE dla k, c 0 () = c 0 ( p m ) = 0 dla m. W kosekwecj F p (s) = k! c k ( p m ) p ms, dla σ > θ. (.7) m= Na mocy oszacowaa b(p m ) p θm, gdze θ < mamy c k ( p m ) p m θm = p θm, (.8) k l + +l k =m l >0 gdze stała w symbolu Wogradowa e zależy od m. Poeważ a mocy defcj c k mamy c k ( p m ) = 0 dla k > m, zatem dla każdego m mamy c k ( p m ) p s m = k! Na mocy (.8) dla σ > θ otrzymujemy m c k ( p m ) p s m k! k= m k= m c k ( p m ) p s m. (.9) k! k= Stosując erówośc (.7) a mocy Lematu.3. otrzymujemy k= m p m(θ σ). k! k m m p m(θ σ) p m(θ σ) m m k! k m! m e m p m(θ σ) me m = p m(θ σ) e m, (.0) m m gdze stałe w symbolach Wogradowa e zależą od m. W kosekwecj mamy m= c k ( p m ) p s m k! p m(θ σ) e m ε, gdze σ θ + ε. m= Zatem a mocy Lematu.7. w (.7) możemy zameć kolejość sumowaa po k m dla σ > θ. W kosekwecj dla takch σ mamy µ F ( p m ) p ms = p ms m= m= c k ( p m ), k! a przez jedozaczość rozwęca w szereg Drchleta oraz a mocy (.9) mamy µ F ( p m c k ( p m ) ) = = k! m c k ( p m ). k! k=

35 .. Rezultaty pomoccze Na mocy (.0) mamy µ F ( p m ) p ms p m(θ σ) e m ε dla σ θ + ε, m= zatem szereg Drchleta m= F p (s) = µ F ( p m ) p ms jest zbeży bezwzględe emal jedostaje dla σ > θ. Z Lematu.6. wosmy, że szereg m= µ F () s = = (,M)> ( p,m)> m= µ F ( p m ) p ms, a dalej także szereg = µ F () s = µ F () µ F () = s (,M)= = (,M)> s jest zbeży bezwzględe jedostaje dla σ + ε, w kosekwecj otrzymujemy tezę. Wosek.5. Szereg µ F (), = 5 4 są zbeże. W kosekwecj mamy µ F (), oraz = 3 µ F () log = 3 Dla prostoty ozaczeń, dla F S Γ kładzemy F 3 + t µ F () 3. = h F (s) := Q s Γ (λs + µ) Γ (λ( s) + µ). Wtedy rówae fukcyje z aksjomatu (3) przybera postać którą azywać będzemy asymetryczą postacą rówaa fukcyjego. F ( s) F (s) = ω, (.) h F (s) Lemat.6. Dla s = κ F + t mamy F (s) d F t (+ κ F ) gdy t oraz całka (.3) jest zbeża emal jedostaje dla w h. Poadto całka e s w F (s) ds (.)

36 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE jest emal jedostaje zbeża dla w. Dowód. Każdą z trzech częśc koturu w (.3) rozważymy oddzele. Poeważ z Wosku.5. F 3 + t oraz e ( 3 + t)w 3 = e u v t u e v t (przy czym stała w symbolu Wogradowa zależy od u w sposób cągły) całka po poowej półprostej s = 3 + t, 0 t < jest zbeża emal jedostaje dla w h. Dla dowolego w całka jest róweż zbeża a łuku, poeważ fukcja e w /F ( ) jest tam holomorfcza. Aby uzyskać zbeżość emal jedostają całk a półprostej poowej s = κ F + t, gdze > t 0, postępujemy astępująco: ajperw z rówaa fukcyjego (.) otrzymujemy e s w Poeważ R( κ F t) = + κ F mamy zatem F ( κ F t) = = F (s) = ω h F (s)e s w F ( s). µ F () κ F t µ F () κ F. Następe stosując do czyków Γ w h F formułę Strlga (.4) otrzymujemy d F h F (κ F + t) t d F (+ κ F ) =, gdy t. Zatem dla s = κ F + t mamy (.). Poeważ e s w = e κ F u v t u e v t (gdze stała w symbolu Wogradowa zależy od u w sposób cągły), to fukcja podcałkowa w (.3) jest oszacowaa przez e t v, tak węc całka jest zbeża emal jedostaje a półprostej poowej s = κ F + t, gdze > t 0 dla w h. Zatem całka (.3) jest zbeża emal jedostaje dla w h. Lemat.7. [, cf. Lemma.3] Nech F S. Wtedy N F (T ) N F (T + ) = O F (log T ). Lemat.8. Nech F S Γ ech ρ = β + γ przebega zera etrywale fukcj F. Wtedy zachodzą astępujące formuły oraz F F (s) = s ρ + O F (log t ) dla t > (.3) t γ log F (s) = log(s ρ) + O F (log t ), gdy t (.4) t γ jedostaje dla σ, gdze stałe w symbolach Ladaua zależą jedye od F. Dowód. Formuła (.3) wyka atychmast z [, Lemma.4]. Aby zakończyć dowód wystarczy udowodć drugą formułę. Całkując rówae (.3) po odcku łączącym + t s, założywszy, że t

37 .. Rezultaty pomoccze 3 e jest rówe rzędej żadego mejsca zerowego, otrzymujemy log F (s) log F ( + t) = (log(s ρ) log( + t ρ)) + O F (log t). t γ Na mocy aksjomatu (5) mamy log F ( + t) p b(p m ) m(+ t) p p m= m= b(p m ) p m. Poeważ b(p m ) p mθ p m zatem mamy w kosekwecj b(p m ) p m p 3 m log F ( + t) 3. Poeważ t γ, składk log( + t ρ) = log + t ρ + arg( + t ρ) są ograczoe, zaś a mocy Lematu.7. ch lczba jest ograczoa przez O F (log t). Zatem otrzymujemy tezę lematu dla t o module wększym od, e będących rzędą żadego mejsca zerowego fukcj F, a przez cągłość dla wszystkch s w pase σ. = Wosek.9. Dla każdego ε > 0, w pase + ε σ mamy log F (σ + t) ε,f log( t + ), gdy t. (.5) Dowód. Poeważ szereg (.) jest zbeży bezwzględe jedostaje dla σ + ε dla każdego ε > 0, wosmy, że dla σ > fukcja F z S Γ e ma mejsc zerowych (w stoce jest to dobrze zaa własość fukcj z klasy Selberga). Zatem dla każdego ε > 0, w pase + ε σ oszacowae (.5) mplkuje (.4). Dla prostoty ozaczeń kładzemy Mamy wtedy υ F := θ F d F +. (.6) Lemat.0. Nech w h, s = Re φ, Rsφ υ F, R cosφ κ F, gdze π < φ < π oraz ech F SΓ. Wtedy dla R R 0 (u, v) mamy log h F (s) = (d F Rcosφ)log(R) + O(R) (.7) oraz e s w df log F (s) = d F Rlog R cosφ + R f (φ, u, v) + O(log R), (.8)

38 4 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE gdze oraz f (φ, u, v) := (u + logq d F )cosφ + v + d F φ 3 π sφ, e s w F (s) e v R. Dowód. Korzystając z asymetryczej formy rówaa fukcyjego dla F S Γ daego przez (.) otrzymujemy e s w F log F (s) = R(s w) log ( s) + log hf (s). Poeważ R( s) = + R cosφ + κ F a mocy (.5) mamy log F ( s) log R. Poeważ Rsφ υ F, mamy Stosując (.6) otrzymujemy W kosekwecj log s(π (λs + µ)) = d F π Rsφ + O(). (.9) Γ (λs + µ) = π Γ ( λs µ)s(π (λs + µ)). log h F (s) = (σ )logq + logπ log Γ (λ( s) + µ) log Γ ( λs µ) log s(π (λs + µ)). (.0) Stosując formułę Strlga (.5) otrzymujemy log Γ (λ( s) + µ) = R λre φ + λ + µ log λre (φ π) + λre φ + log(π) + O λr = R λre φ log λre (φ π) + λre φ + O(log R) (.) oraz log Γ ( λs µ) = R λre φ + µ log λre (φ π) + λre φ + log(π) + O λr = R λre φ log λre (φ π) + λre φ + O(log R). (.) Poeważ R λre φ log λre (φ π) + λre φ = (λrcosφ)log λr (λrsφ)(φ π) + λrcosφ

39 .. Dowód Twerdzea. 5 w kosekwecj z (.9), (.), (.) oraz (.0) mamy df log h F (s) = (Rcosφ)logQ + (d F Rcosφ)log R a zatem df log h F (s) = (Rcosφ)logQ + (d F Rcosφ)log R + (d F Rsφ)(φ π) d F Rcosφ d F π Rsφ + O(log R), + d F R φ 3 π sφ d F Rcosφ + O(log R), dalej (.7). Jedocześe otrzymujemy róweż (.8). Poeważ f π, u, v = v d F π oraz f φ (φ, u, v) u,v, π < φ < π, mamy dla π < φ π + / log R f (φ, u, v) = v d F π + O u,v log R. Zatem dla takch φ oraz odpowedo dużych R, wobec (.8) cosφ < 0 mamy e s w log F (s) v R. Dla π + / log R φ π mamy cosφ / log R stosując (.8) otrzymujemy dla odpowedo dużych R. e s w df log F (s) = d F Rlog R cosφ + O u,v (R) v R Wosek.. Przez podstawee F F teza Lematu.0. jest prawdzwa róweż wtedy, gdy w h, s = Re φ, Rsφ υ F, R cosφ κ F, gdze π < φ < 3 π oraz F SΓ... Dowód Twerdzea. Rozumowae dzelmy a dwe częśc. Najperw dowodzmy, że fukcja m(f, ) posada przedłużee meromorfcze do całej płaszczyzy zespoloej, a astępe dowodzmy rówaa fukcyjego.

40 6 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE Przez T, T > 0, ozaczamy łuk łączący κ F + υ F + T κ F + υ F T. W obszarze ograczoym przez kotur T składający sę z łuku T oraz odcków [κ F T + υ F,κ F + υ F ], [κ F + υ F,κ F + (υ F + T )], fukcja e w /F ( ) e ma osoblwośc, poeważ zera trywale fukcj F zajdują pożej υ F (cf. (.0) oraz (.6)). Zatem π T e s w ds = 0. F (s) Dla v > 0 oraz T dostatecze dużego, a mocy Lematu.0. mamy π T e s w F (s) ds π T e vt ds T e vt 0 dla T. Możemy zatem przesuąć w (.3) drogę całkowaa z (κ F +,κ F ] do, składającej sę z półprostej s = σ + υ F, < σ κ F oraz odcka poowego [κ F + υ F, κ F ]. Otrzymujemy zatem m(f, w) = π gdze = [ 3, 3 + ). Dla s = Re φ = σ + υ F, gdze σ κ F mamy 3 e s w F (s) ds =: m (F, w) + m (F, w) + m (F, w), (.3) e s w = e σ u υ F v. Korzystając z (.8) otrzymujemy df log F (σ + υ F ) = d F Rlog R cos φ R (logq d F ) cosφ d F φ 3 π sφ + O(log R) = d F Rlog(R) cosφ + O(R). Zatem F (σ + υ F ) e c σ log( σ +), σ κ F dla c > 0 zależego jedye od F. Zatem m (F, ) jest fukcją całkowtą. Z Lematu.6. wemy, że m (F, ) jest róweż całkowta. Nech v > 0. Wtedy z Wosku.5. mamy 0 µ F () e ( 3 + t)w dt = 3 + t 0 e ( 3 + t)w dt u v.

41 .. Dowód Twerdzea. 7 W kosekwecj a mocy Lematów dla każdego T > 0 mamy Z (.3) mamy 3 +T 3 = m (F, w) = π µ F () 3 + t e s w ds = = 3 +T 3 e s w F (s) ds = π µ F () 3 + t e s w ds e s w = µ F () ds. Zatem a mocy Lematu.9. możemy zameć kolejość całkowaa sumowaa m (F, w) = Oblczając całkę otrzymujemy Poeważ v > 0 mamy Zatem otrzymujemy w kosekwecj gdze π = π = s 3 + µ F ()e s w s ds = µ F () e (w log )s ds. π e (w log )s ds = π 3 w log e(w log )s 3 + e (w log )( 3 + t) = e 3 (u log ) t v u, e t v 0, gdy t. π e (w log )s ds = π e 3 w 3 m (F, w) = e 3 w π m 0 (F, w), m 0 (F, w) = = w log 3 µ F () 3/ w log. (.4) Poeważ (.4) jest zbeży emal jedostaje a \{w = log µ F () 0, } otrzymujmy przedłużee meromorfcze m (F, ), a w kosekwecj m(f, ), do całej płaszczyzy zespoloej. Jedyym osoblwoścam są te pochodzące od m 0 (F, ) to zaczy, beguy pojedycze w puktach log,, µ F () 0 z rezduam Res w=log m(f, w) = µ F (). π.

42 8 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE Rozważmy m(f, w), gdze v < 0. Zameając zmeą s s w (.3), otrzymujemy m(f, w) = π e s w F (s) ds, gdze ozacza kotur sprzężoy do, a mus ozacza odwrócoą oretację. Podobe jak w perwszej częśc dowodu, zameamy półprostą [κ F,κ F + ) a kotur składający sę z poowego odcka [κ F,κ F υ F ] oraz półprostej s = σ υ F, 0 σ >. Zatem aalogcze jak w (.3) mamy m(f, w) = π e s w F (s) ds = m (F, w) + m 3 e w (F, w) + π m 0 (F, w) (.5) rówość ta przedłuża sę do w a mocy przedłużea aaltyczego. Z (.3) oraz (.5) otrzymujemy dla w \{log µ F () 0, } rówość m(f, w) + m(f, w) = π e s w F (s) ds + π e s w F (s) ds, gdze jest drogą składającą sę z ( + υ F,κ F + υ F ], [κ F + υ F,κ F υ F ] oraz [κ F υ F, υ F ), a = jest zamkętą pętlą. Poeważ oddzela mejsca zerowe fukcj F F a prostej rzeczywstej od tych poad ą, poza przedzałem [0,] fukcja e w /F ( ) e ma osoblwośc wewątrz pętl. Zważywszy a fakt, że oretacja jest ujema, oblczając rezdua otrzymujemy π e s w ds = F (s) F (β)=0 0 β e s w Res = R(F, w). s=β F (s) Z rówaa fukcyjego (.) oraz rozwęca /F ( s) w szereg Drchleta otrzymujemy π e s w F (s) ds = ω π e s w h F (s) F ( s) ds = ω Q π Γ (λs + µ) Q e w s µ F () ds. (.6) Γ (λ( s) + µ) = s Dla s leżącego a półprostych ( ± υ F,κ F ± υ F ] mamy µ F () s µ F (). (.7) + κ F = =

43 .. Dowód Twerdzea. 9 Na mocy (.7), (.7) oraz Wosku.. dla u > 0 mamy κ F µ F () e h F (σ ± υ F ) (σ±υ F )w dσ = s κ F e c σ e σ u vυf dσ, (.8) gdze c > 0. Nech T jest drogą składającą sę z ( T + υ F,κ F + υ F ], [κ F + υ F,κ F υ F ] oraz [κ F υ F, T υ F ). Na mocy oszacowań (.8), (.7) Lematów.5. oraz.8. dla u > 0 oraz dla każdego T > κ F mamy T e s w F (s) ds = ω T µ F () h F (s)e s w µ F () ds = ω h F (s)e s w ds. = s = T Zatem z Lematu.9. w formule (.6) zameamy kolejość całkowaa sumowaa otrzymując ω Q π e s w F (s) ds = ω Q µ F () = π Do zakończea dowodu wystarczy pokazać, że µ F () = π Γ (λs + µ) Γ (λ( s) + µ) Q e w s ds = Q e w θ F Q d F e w d F Γ (λs + µ) s Γ (λ( s) + µ) d F J d F Q e w s ds. Q e w d F δ η F dla w będącego w zborze posadającym pukt skupea. Podstawając λs s, otrzymujemy π Γ (λs + µ) Γ (λ( s) + µ) Q e w s ds = d F π λ Γ (s + µ) Γ (λ + µ s) Q e w d F s ds. Γ d F Zauważmy, że jeżel η F >, to wszystke beguy Γ (s +µ) są okrążae przez kotur λ przy ujemej oretacj. Poeważ Q e w = Q e u > dla u > log Q, a mocy Lematu.. otrzymujemy dla takch u π Γ (λs + µ) Γ (λ( s) + µ) Q e w s ds = Q e w θ F Q d F e w d F a przez przedłużee aaltycze tezę twerdzea dla wszystkch u. d F J d F +η F Q e w d F, Jeżel η F = wtedy jedyym beguem Γ (s + µ) a prawo od koturu λ jest pukt s = θ F. Przesuwamy zatem kotur λ tak, aby obegł pukt s = θ F ozaczamy tak zmeoy kotur

44 30 Rozdzał. RÓWNANIE FUNKCYJNE przez λ. Na mocy Lematu.. mamy, że π λ Γ (s + µ) Γ (λ + µ s) π Q e w d F s ds = λ Γ (s + µ) Γ (λ + µ s) Q e w s Γ (s + µ) d F ds Res s= θ F Γ (λ + µ s) Q e w d F s. Poeważ zatem z Lematu.. otrzymujemy Γ (s + µ) Q Res e w s d F = s= θ F Γ (λ + µ s) Γ d F Q e w θ F d F, π Γ (λs + µ) Γ (λ( s) + µ) Q e w s ds = Q e w θ F Q d F e w d F d F J d F Q e w d F Γ d F dla u > log Q, a przez przedłużee aaltycze tezę twerdzea dla wszystkch u.

45 Rozdzał 3 TWIERDZENIA TYPU Ω FUNKCJA L krzywej elptyczej E ad jest określoa tak jak w (.3). Przypomamy, że wtedy fukcja F (s) = L s +, E ależy do S Γ (cf..4. ejszej rozprawy). W tym rozdzale ustalamy krzywą elptyczą E ad dla prostoty ozaczeń przyjmujemy L s +, E := F (s) oraz µ F := µ E, gdze µ F jest zdefowae przez (.). Zauważmy jedocześe, że dla takej fukcj F, dla każdego σ > mamy F (σ), zatem w przypadku krzywej elptyczej ad fukcja µ E przyjmuje wartośc rzeczywste. Nech G ozacza klasę fukcj g : >0 >0 różczkowalych jedokrote w sposób cągły, spełających astępujące waruk:. g(x), gdy x, mootocze dla x > x 0 = x 0 (g). dg dx, gdy x. x Lemat 3.. Nech fukcja g G. Wtedy g(x) log x, gdy x. Dla każdego α > 0 mamy mootocze od pewego mejsca. g(x) α x 0, gdy x Dowód. Z. wyka, że fukcja g jest mootocza dla x > x 0, a zatem dg dx > 0 dla x > x 0 w kosekwecj. 0 < dg dx B dla x > x x 0 oraz pewego B > 0. (3.) Całkując erówość (3.) otrzymujemy x 0 < x 0 x dg(ξ ) B x 0 dξ ξ

46 3 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω w kosekwecj czyl 0 < g(x) g(x 0 ) B (log x log x 0 ), g(x) log x, gdy x. Ustalamy α > 0 zaś B x 0 ech będą take jak w (3.). Poeważ fukcja g rośe do eskończoośc, zatem g(x) > α B dla każdego x > x x 0. Mamy zatem αx α g(x) > B x α, a z (3.) dla każdego x > x w kosekwecj dg dx x α B x α αx α g(x) > dg dx x α. Zatem dla x > x d dx g(x) x α = dg dx x α αx α g(x) < 0 w kosekwecj fukcja g(x) x α jest malejąca, dla x > x. 3.. Twerdzea pomoccze dotyczące sum ważoych fukcj Möbusa Dla prostoty ozaczeń kładzemy M E (x) := x µ E (). Będzemy mówl, że spełoe jest oszacowae (3.), gdy dla pewej fukcj g G mamy M E (x) x g(x), gdy x. (3.) Lemat 3.. Nech zachodz (3.). Wtedy dla każdego α < mamy x µ E () α α x α g(x), gdy x.

47 3.. Sumy fukcj Möbusa 33 Dowód. Korzystając z Wosku.. mamy µ E () x α x = M E (x)x α x g(x)x α + x M E (ξ )dξ α ξ g(ξ )dξ α x x α g(x) + α g(x) x x g(x)x α + g(x) ξ dξ α ξ α dξ α x α g(x), gdy x. Lemat 3.3. Jeżel zachodz M E x; := µ E () g(x), gdy x x dla pewej fukcj g G, to wtedy zachodz róweż (3.). Dowód. Korzystając z Wosku.. mamy x µ E () = x µ E () = ME x; x x M E ξ ; d ξ x x g(x) + g(ξ )d ξ x x g(x) + g(x) d ξ x g(x), gdy x. Lemat 3.4. Nech zachodz (3.). Wtedy dla każdego α > szereg µ E () >x α jest zbeży speła µ E () α + >x α α x α g(x), gdy x x 0, (3.3) przy czym x 0 oraz stała w symbolu Wogradowa e zależą od α. Dowód. Dla każdego α > mamy M E (N) N g(n) N α N α = g(n), N α stąd M E (N) lm N N α = 0.

48 34 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω Poadto mamy lm N N x M E (ξ ) ξ α dξ lm N N x N ξ g(ξ )ξ α dξ = lm g(ξ )ξ α dξ, N x x, (3.4) x dla pewego x ezależego od α. Poeważ α > zatem dla δ = α > 0 mamy N N lm g(ξ )ξ α dξ = lm N N x x δ B g(x) lm ξ δ N N = δ x δ x g(ξ ) ξ δ ξ δ dξ lm g(x) N x δ g(x) g(x) δ x δ Zatem wobec bezwzględej zbeżośc całk x δ N x lm N δ = N δ ξ δ dξ = g(x) x = δ α x α g(x). (3.5) M E (ξ )ξ α dξ x a mocy Wosku.3. szereg (3.3) jest zbeży. Mamy poadto, zów z Wosku.3. oraz (3.4) (3.5) >x µ E () α M E (x)x α + α α x α g(x) x α g(x) + α α dla pewego x 0 > x ezależego od α. α + x α g(x) α x α g(x), gdy x x 0, Lemat 3.5. Nech g G. Wtedy dla η odpowedo dużych mamy g() 5/4 η /4 g(η). >η Dowód. Dla η odpowedo dużych mamy >η g() 5/4 η g(ξ ) dξ 5/4 ξ η g(ξ )dξ /4 = g(ξ )ξ /4 η η ξ /4 dg(ξ ) η /4 g(η) lm ξ /4 g(ξ ) + ξ η ξ /4 dg(ξ ). Z Lematu 3.. wosmy, że lm ξ /4 g(ξ ) = 0, ξ

49 3.. Sumy fukcj Möbusa 35 a z () mamy Otrzymujemy zatem η ξ /4 dg(ξ ) η ξ 5/4 dξ. η /4 g(η) + ξ 5/4 dξ η /4 g(η) + η /4 η /4 g(η). η oraz Dla x 0 kładzemy K(, x) := /4 e x J (, x) := RK(, x). Lemat 3.6. Nech x. Wtedy dla każdego x szereg µ E ()J (, x) >x jest zbeży bezwzględe. Jeżel poadto spełoe jest założee (3.), to wtedy dla każdego x oraz dla każdego b > 0 szereg r b (x) := µ E ()K(, b x) >x jest zbeży oraz r b (x) b x /4 g(x), dla x. Dowód. Dla > x mamy J (, x) x 5/4 przy. Zatem µ E () J (, x) x µ E () x >x >x 5/4 = µ E () 5/4 x, poeważ ostat szereg jest zbeży a mocy Wosku.5. Przyjmjmy teraz założee (3.). Kładzemy r (x,η, N) := µ E ()K(, b x), dla η x. η< N Poeważ r (x) = r (x, x, ) oraz r (x,η, ) jest resztą szeregu r b (x), aby wykazać zbeżość r b (x) trzeba wykazać, że r (x, η, ) steje r (x, η, ) 0 dla η. Z Lematu.4. wosmy, że r (x,η, N) M E (N) M E (η) K(N, b x) + M E () M E (η) K(, b x) K( +, b x). (3.6) η< N

50 36 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω Poeważ fukcja g jest mootocze rosąca od pewego mejsca, z założea (3.) otrzymujemy M E (N) M E (η) M E (N) + M E (η) N g (N) oraz M E () M E (η) M E () + M E (η) g (). Dla x N mamy, że b x N, a w kosekwecj K(N, b x) = N /4 e b x N b xn 3/4. Zatem M E (N) M E (η) K(N, x) b xn /4 g (N). Z Lematu 3.. mamy, że, dla ustaloego x, Poadto mamy K(, b x) K( +, b x) = + e b x ξ + lm N /4 g (N) = 0. N dk(ξ, b x) = + + dξ /4 + + b x e ξ dξ /4 e ξ /4 d b x ξ e b x ξ ξ 5/4 dξ + x / = b + b x e ξ ξ 7/4 dξ. Poeważ w powyższej formule mamy x η < ξ +, zatem x ξ b, a w kosekwecj b x e ξ x b ξ + K(, b x) K( +, b x) b x ξ 7/4 dξ + x + + ξ 7/4 dξ b x ξ 7/4 dξ b x 7/4. Zatem M E () M E (η) K(, b x) K( +, b x) b x η< N η< N g() 5/4 x >η g() 5/4,

51 3.. Własośc fukcj G 37 poeważ fukcja g jest rosąca od pewego mejsca. Z Lematu 3.5. mamy, że Ostatecze z (3.6) Lematu 3.. g() x >η 5/4 xη /4 g(η). r (x,η, N) b xη /4 g(η). Stąd cąg (r (x, x, )) =x jest cągem Cauchy ego, węc szereg r b (x) jest zbeży. Mamy też r b (x) = lm r (x, x, N) b x x /4 g(x) = x /4 g(x). N 3.. Własośc fukcj G Dla x kładzemy G (F, x) := e / ω E µ E () = H () gdze drogą całkowaa jest prosty odcek łączący oraz. Lemat 3.7. Nech I(w) < π. Wtedy R e w/ e w/ e w dw, (3.7) π e w/ > 0 oraz I e w/ < e u/, arg e w/ = v. Dowód. Przy powyższych ozaczeach mamy e w/ = e u/ e v. Zatem R e w/ = e u/ v cos > 0 I e w/ = e u/ v s < e u/,

52 38 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω oraz arg e w/ = v. Lemat 3.8. Nech I(w) < π. Wtedy dla każdego zachodz astępująca formuła H () e w/ e w/ = π e w/ k+ e w/ d k + log e w/ k+ e k, (3.8) gdze d k e k są take jak w (.) oraz (.3). W szczególośc lewa stroa jest fukcją całkowtą zmeej w. Dowód. Mamy, że e w/ 0 dla każdego dla każdego w. Z Lematu.9. podstawając z = e w/ otrzymujemy formułę (3.8). Lemat 3.9. [4, cf. pp. 3-3] Szereg µ E () = H () jest zbeży bezwzględe emal jedostaje dla I(w) < π. Lemat 3.0. Zachodz astępująca formuła e w/ e w/ π G (F, x) = G (x) + G (x) + G 3 (x), gdze G (x) := ω E e / e x µ E () log H () a droga całkowaa jest całkowce zawarta w os rzeczywstej, e w/ e w/ e w dw, π G (x) := ω E e / e x µ E () log H () e w/ e w/ e w dw, π gdze droga całkowaa jest prostym odckem łączącym oraz log, G 3 (x) := ω E e / >e x µ E () H () e w/ e w/ e w dw. π

53 3.. Własośc fukcj G 39 Dowód. Na mocy Lematu 3.8. fukcja H () e w/ π e w/ jest holomorfcza. Z Lematu 3.9. wemy, że szereg w formule (3.7) jest zbeży bezwzględe emal jedostaje względem w, zatem zameamy kolejość sumowaa całkowaa otrzymując G (F, x) = ω E e / µ E () = H () e w/ e w/ e w dw. π W powyższej formule rozbjamy sumowae a dwe częśc, e x oraz > e x, otrzymując G (F, x) = G 3 (x)+ Poeważ fukcja e / ω E H () e x µ E () e w/ π e w/ H () e w/ e w/ e w dw. (3.9) π jest holomorfcza, zatem mamy H () e w/ e w/ e w dw = π l (,x) H () e w/ e w/ e w dw, π gdze l (, x) jest złożoe z dwóch odcków, jedego łączącego z puktem log oraz drugego łączącego pukt log z. Suma po w (3.9) jest skończoa. W kosekwecj e / ω E e x µ E () H () e w/ e w/ e w dw = π G (x) + G (x). Lemat 3.. Przy założeu (3.) mamy G 3 (x) = O g(e x ), gdy x.

54 40 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω Dowód. Korzystając z formuły (3.8) otrzymujemy G 3 (x) = ω E e / >e x µ E () e w/ k+ d k + Q E e w/ log e w/ k+ e Q k e w dw. E Na mocy Lematu.9. szereg po k w powyższej formule są zbeże bezwzględe dla każdego w, jedostaje względem emal jedostaje względem w. Kładzemy A (x) := ω E e / >e x µ E () e w/ k+ d k e w dw oraz B (x) := ω E e / >e x µ E () e w/ k+ e k log e w/ e w dw. Jeżel szereg A B są zbeże, to G 3 (x) = A (x) + B (x). Poeważ suma po k w defcj A jest zbeża bezwzględe jedostaje względem w a drodze całkowaa (dla ustaloego x), z Lematu.8. możemy zameć kolejość sumowaa po k całkowaa otrzymując formale Mamy A (x) = ω E e / k+ d k >e x e (k+3/)w dw = µ E () k+ d k e (k+3/)w dw. d k k+ e (k+3/) x (k + 3 ) e (k+3/). Poeważ dla > e x mamy oraz k k 4 < e k x (3.0) >e x µ E () 3/ < Q E µ E () = 3/, (3.)

55 3.. Własośc fukcj G 4 korzystając z Wosku. mamy e / >e x µ E () d k k e 3/ (k + 3 ) (k+3/) e / k d k 4 (k + 3 ) e /, gdy x. (3.) Dla > e x a mocy Wosku (.) oraz (3.0) (3.) mamy e / Zatem oraz >e x µ E () d k k 3/ (k + 3 ) e (k+3/) x e / µ E () d k 4 k 3/ >e x (k + 3 ) Q e k x e (k+3/) x E e x µ E () < e x µ E () < e x, 3/ 3/ gdy x. (3.3) >e x A (x) := ω E e / A (x) := >e x e / ω E >e x µ E () µ E () są zbeże bezwzględe, stąd zbeże jest także A = A + A, Q E = d k k+ (k + 3 ) e (k+3/) x d k k+ (k + 3 ) e (k+3/) a w kosekwecj B poeważ B = G 3 A. Z (3.) mamy A (x) e /, gdy x, zatem aby oszacować A wystarczy oszacować A. Poeważ zachodz (3.3) zatem z Lematu.7. możemy zameć kolejość sumowaa po k w formule a A otrzymując A (x) = ω E e / Poeważ zachodz (3.) zatem a mocy Lematu 3.4. mamy >e x d k k+ (k + 3 ) e (k+3/) x µ E (). k+3/ >e x µ E () k + 5 k+3/ k + g e x e x k g e x e x k, gdy x x0,

56 4 Rozdzał 3. TWIERDZENIA TYPU Ω przy czym x 0 oraz stała w symbolu Wogradowa są ezależe od k. Zatem korzystając z Wosku. otrzymujemy A (x) e / d k k+ k + 3 e (k+3/) x e (k+) x g e x = Q E d k k+ k + 3 g e x 4 exp Q E Q g e x g e x, gdy x. E W kosekwecj otrzymujemy A (x) = A (x) + A (x) g e x + e / g e x, gdy x. Poeważ w B szereg po k jest zbeży bezwzględe dla każdego w, jedostaje względem emal jedostaje względem w, zatem a mocy Lematu.8. zameamy w B kolejość sumowaa po k całkowaa otrzymując Mamy B (x) = ω E e / >e x µ E () k+ e k log e w/ e (k+3/)w dw. log e w/ e (k+3/)w dw = log e (k+3/)w dw log(e w ) e (k+3/)w dw. Kładzemy oraz B (x) := log e / µ E () ω E >e x B (x) := e / 4ω E >e x µ E () k+ e k e (k+3/)w dw k+ e k e (k+3/)w log(e w )dw. Rozumując aalogcze jak w przypadku A otrzymujemy, że B jest zbeże (tz. zbeże są szereg wewętrzy po k zewętrzy po ) oraz B (x) g e x, gdy x. (3.4)