BADANIA GRUNTU W APARACIE RC/TS

Transkrypt

1 str. SZZEGÓŁOWE WYPROWADZENA WZORÓW DO PUBLKAJ BADANA GRUNTU W APARAE R/TS Dyk., Srokosz P.E., nŝyniri Morsk i Gotchnik 6/, s Skrętn drgni swobodn z tłuminim Rozprujmy swobodn, tłumion drgni skrętn próbki gruntu po uprzdnim wymuszniu ich mplitudy początkowj [rd] momntm skręcjącym. Prędkość początkow w chwili ustni zwnętrzngo wymuszni t [s], dl mksymlnj mplitudy wynosi [rd/s]. Równni róŝniczkow nlizowngo ruchu (z prw dynmiki Nwton) m postć: + + K, (.) gdzi: momnt bzwłdności ukłdu npędowgo [N m s /rd kg m /rd], stł lpkigo tłumini (w próbc) [N m s/rd], K stł spręŝystości skrętnj próbki [N m/rd]. Z względu n prktyczny wrunk: >, równni (.) moŝn zpisć w postci zrdukownj: + + K (.). (.3) Obi formy równń są jdnorodnymi równnimi róŝniczkowymi, liniowymi, drugigo rzędu o stłych współczynnikch. Rozwiązń szczgólnych szuk się wśród tkich form funkcji lmntrnych, któr są podobn do swoich pochodnych, np. wśród funkcji wykłdniczych []. ZłoŜono, Ŝ rozwiązni m postć:, (.) gdzi: prmtr, t czs [s], zm, w konskwncji:, i równni (.3) przyjmi postć: K + +, (.6) czyli lub + ( ) f, + K (.5) (.7)

2 str. gdzi ( ) f + + PoniwŜ (.8) K. (.9) (,t) R : >, (.) by (.8) było prwdziw, musi być spłnion równość: K f ( ) + +. (.) Równni (.) nzyw się równnim chrktrystycznym. Rozwiązując j otrzymuj się pirwistki : K, (.), K ±. (.3) Aby pirwistki były rzczywist, musi być spłniony wrunk: tzn., (.) K, (.5) K, (.6) K cr, (.7) gdzi cr ozncz tłumini krytyczn. Gdy > cr (.8) zgdnini nosi nzwę tłumini ndkrytyczngo. W fkci nlizy ndkrytycznj, otrzymujmy dw róŝn rozwiązni szczgóln:, t,. (.8) Zkłdjąc postci rozwiązń nlŝy wykzć, Ŝ wyprowdzon rozwiązni tworzą ukłd fundmntlny (podstwowy), tzn. Ŝ są liniowo nizlŝn. Wrunkim liniowj nizlŝności jst: (, ), W (.9) gdzi W ozncz wyzncznik Wrońskigo (wrońskin) []: W ( + ( ) ) t, ( ), t t i (.). (.)

3 str.3 Spłnini wrunku (.) ozncz, Ŝ rozwiąznim ogólnym równni (.) jst kombincj liniow rozwiązń szczgólnych (.8): t t ( ) t b + b b b, (.) + gdzi b i są stłymi wyzncznymi z wrunków początkowych: ( t ) b + b b + b t ( ) t t b + b b + b t Z ukłdu dwóch równń (.) i (.3) uzyskuj się dwi stł:, (.). (.3) b, (.) b. (.5) po ich podstwiniu do (.) uzyskuj się finln rozwiązni zdni:. (.6) ( ) t t + Łwo zuwŝyć, Ŝ tk form rozwiązni ni przdstwi ruchu hrmoniczngo (zobcz rys., w rozwiąznich szczgólnych uwzględniono ).., K.,. cr, [mrd] t [s] Rys.. Przykłdow rozwiązni dl > cr.

4 str. Przypdk tk silngo tłumini występuj wtdy, gdy stł tłumini jst większ lub równ stłj tłumini krytyczngo cr. Zm, jśli rozprzy się przypdk wilokrotngo pirwistk rzczywistgo równni chrktrystyczngo:,, (.7) tzn. dl spłniongo wrunku: K, (.8) z rozwiąznimi szczgólnymi o postcich (zobcz []):, (.9) t, (.3) i rozwiąznim ogólnym w formi: ( t) ( b b t), (.3) + w którj z wrunków początkowych wynikją stł cłkowni: b, (.3) b, (.33) to tŝ ni uzysk się opisu ruchu hrmoniczngo (zobcz rys.., w rozwiąznich szczgólnych uwzględniono ).., K., cr, [mrd] t [s] Rys.. Przykłdow rozwiązni dl cr.

5 str.5 Aby uzyskć opis ruchu hrmoniczngo próbki, nlŝy złoŝyć tłumini podkrytyczn, tzn.: < cr, (.3) tj. <, (.35) którgo fktm są rozwiązni zspolon równni chrktrystyczngo (.). Pirwistki mją nstępującą, ogólną formę:, p ± i (.36) gdzi p, (.36) K K cr (.36b) i tworzą sprzęŝoną prę liczb zspolonych (w dfinicji clowo zminiono mijscmi odjmną i odjmnik, bo w tn sposób liczb uzyskn z pirwistkowni przdstwi moduł części urojonj wyniku). Stosując postć rozwiązni (.), otrzymuj się nstępując rozwiązni szczgóln: ( p i)t +, (.37) ( p i)t, (.37b) któr moŝn przksztłcić w funkcj zminnych rzczywistych, stosując wzór Eulr [,]: ( x) i sin( x) ix cos +, (.38) tzn. ix + i ix ix ix cos ( x) sin( x), (.39). (.) Jśli wprowdzi się nową zminną pomocniczą, będącą kombincją zminnych i : ( p+ i) t ( p i) t it it ~ + + +, (.) ( p+ i) t ( p i) t it it ~, (.) i i i to rozwiązni szczgóln przybiorą poŝądną formę funkcji zminnych rzczywistych: ~ ( t) cos, (.3) ~ ( t) sin, (.) rozwiązni ogóln będzi miło postć:

6 str.6 ( t) ( b cos( t) b sin( t) ). (.5) + Stł wyzncz się z wrunków: i ( t ) ( b cos( t) + b sin( t) ) b t ( t ) p ( b cos( t) + b sin( t) ) + ( b sin( t) + b cos( t) ) t (.6) b p + b, (.7) czyli p. (.8) b Rozwiązni ogóln przyjmuj finlną formę:. (.9) p ( t) cos( t) sin( t) Przykłdow wyniki przdstwiono n rys.3.., K.,.5 cr,. 8 6 [mrd] t [s] Rys.3. Przykłdow wyniki dl.5 cr. zynnik wykłdniczy w (.9) opisuj procs wygszni mplitudy drgń, czynnik z liniową kombincją funkcji trygonomtrycznych opisuj cykliczność zmin mplitudy w czsi (zobcz rys.). Liniową kombincję funkcji trygonomtrycznych z (.5):

7 str.7 ( t) b sin( t) b cos + (.5) moŝn zstąpić pojdynczą funkcją hrmoniczną, stosując przksztłcni []: 8 6., K.,. cr,. () - () (t) [mrd] - Rys.. Przbig tłumionych drgń dl. cr. ( ) ( ) b b b + + ( ) + sin( t) cos t b sin t b b cos t (.5) b + b b + b i nstępując podstwini: b + b A, (.5) b cos( ϕ), (.53) b b + b sin( ϕ), (.5) b b + co prowdzi do postci: ( t) + b sin( t) A( cos( ϕ) cos( t) + sin( ϕ) sin( t) ) Acos( t ϕ) b cos. (.55) A zm, opis drgń gsnących przyjmuj formę: t [s] ( t) A cos( t ϕ) po uwzględniniu stłych z (.6) i (.8):, (.56)

8 str.8 p, (.57) ( t) + cos( t ϕ ) gdzi kąt przsunięci fzowgo: p ϕ rctn. (.58) N rys.5. przdstwiono przykłdowy przbig drgń wg równni (.57) (porównj z rys..) 8., K.,.* cr,. 6 3 [mrd] Rys.5. Przbig tłumionych drgń dl. cr. lm bdni w prci R/TS w trybi gsnących drgń swobodnych (fr dcy) jst wyznczni współczynnik tłumini D n podstwi porównni wrtości mplitud w koljnych okrsch drgń (zobcz rys.5). Okrs drgń jst zdfiniowny formułą: π Τ, (.59) gdyŝ snsm fizycznym jst częstość kołow tłumionych drgń. Koljn mirzon mplitudy,, 3,..., i porównuj się do sibi: 3 i..., (.6) t [s] i co moŝn zpisć wykorzystując rozwiązni (.57):

9 str.9 ( t Τ) ( t Τ) p + pτ ( Τ ϕ) ( π ϕ) ( π ) pτ p cos ϕ pτ + cos( Τ ϕ) cos pτ cos pτ pτ pτ. (.6) Logrytmując uzyskny w (.6) tzw. dkrmnt tłumini, uzyskuj się logrytmiczny dkrmnt tłumini: pτ ( ) p δ ln pτ π. (.6) Uwzględnijąc w (.6) dfinicj p i (.36,b) π π cr δ π (.63) cr cr orz wprowdzjąc dfinicję współczynnik tłumini cr cr D, (.6) uzyskuj się zlŝność: πd δ, (.65) D z którj moŝn wyprowdzić współczynnik tłumini: δ D (.66) π + δ (przyjęto tylko niujmną formę rozwiązni, gdyŝ δ jst zwsz niujmn). Zm, procdur intrprtcji wyników bdni próbki skłd się z nstępujących kroków:. Pomir koljnych wirzchołków mplitud podczs swobodnych drgń skrętnych próbki:,, 3,..., i. Wyznczni dkrmntu tłumini w postci ilorzów wrtości koljno pomirzonych mplitud: i i δ 3. Wyznczni logrytmiczngo dkrmntu tłumini: δ. Wyznczni współczynnik tłumini D z formuły (.66).

10 str. ntrprtcj wilkości i p. Jk stwirdzono wczśnij, wilkość jst częstością kołową tłumionych drgń, dokłdnij: ω d (.67) z czgo po podstwiniu (.36b) wynik: cr ω d. (.68) Z koli snsm fizycznym p jst nstępując funkcj: p Dω, (.69) n z którj po podstwiniu (.36) wynik formuł n częstość kołową drgń włsnych ω n : p K cr K ω n. (.7) D cr Pomiędzy częstościmi ω n i ω d zchodzi związk (wykorzystując związk (.66)): ω d cr ωn K K ωn K ω ω n D n. (.7) cr Dl młych wrtości współczynnik tłumini D (D<.) często w prktycznych oblicznich zkłd się, Ŝ: ωd ω n. (.7) Bibliogrfi []. Gutr R.S., Jnpolski A.R., Równni róŝniczkow, PWN, Wrszw, 989. []. Bronsztjn.N., Simindijw K.A., Musiol G., Mühlig H., Nowoczsn kompndium mmyki, PWN, Wrszw,