Zmienna losowa X ma taki rozkład, jeśli przyjmuje wartości k=0,1,2,...,n z prawdopodobieństwami określonymi wzorem:

Transkrypt

1 . Jaka jest różca mędzy cechą skokową cągłą? podać przykłady każdej z ch. Cecha loścowa : skokowa przyjmująca pewe wartośc lczbowe e przyjmująca wartośc pośredch cecha ta też jest azywaa dyskretą, przykład: lość bakter, pracowków, pasażerów. cągła przyjmująca wartośc z pewego przedzału lczbowego przykład: wzrost, waga, plo.. Wymeć typy cech podać po jedym przykładze. Cechy jakoścowe (opsowe, emerzale) przyjmujące wartośc e będące lczbam, p.: kolor włosów, płeć, smakowtość, pochodzee społecze. Cechy loścowe (merzale): p.: wzrost (w cetymetrach), wek (w latach), zarobek (w złotówkach) Cechy skokowe : p.: lczba studetów w grupe Cechy cągłe : p.: waga 3. Podać przyajmej trzy azwy rozkładów cech jakego typu są to cechy. Rozkłady cech skokowych:. Rozkład zero jedykowy. Rozkład dwumaowy (Beroullego) 3. Rozkład Possoa Rozkłady cech cągłych: 4. Rozkład ormaly jedo dwu wymarowy 5. Rozkład jedostajy 4. Podać zae azwy rozkładu cech jakego typu są to cechy. Rozkład zero-jedykowy: Podstawą do określaa rozkładu zero-jedykowego jest dośwadczee, którego rezultatem mogą być dwa wzajeme wykluczające sę zdarzea losowe. Ozaczyć je możemy jako A zdarzee przecwe A p. strzelając do celu trafamy (A=) lub e (A =0). Zmea losowa X ma tak rozkład, jeśl przyjmuje wartość A z prawdopodobeństwem 0<p< oraz wartość A z prawdopodobeństwem q = -p. Fukcja prawdopodobeństwa zmeej losowej ma postać: P(X=) = p, P(X=0) = p-; p (0,). Dystrybuata zmeej losowej F(X) = {0, dla X<0; -p, dla 0 =< X <;, dla X >=}. Wartość oczekwaa E(X) = 0(-p) + (p) = p. Waracja D (X) = (0-p) (-p)+(-p) p=p(-p). Rozkład dwumaowy : Wykoujemy dośwadczee, którego rezultatem może być zdarzee A z P(A)=p lub A z P(A )=-p. Jedo z ch przujmuje sę za sukces druge jako porażkę. Lczbę sukcesów zaobserwowaych w próbach może być rówa k=,,3,...,. Zdarzee X=k zachodz, gdy w wyku -krotego powtarzaa dośwadczea zaobserwujemy k-razy zdarzee A (węc -k razy zdarzee A ). Prawdopodobeństwo otrzymaa k sukcesów w dośwadczeu powtarzaym razy (suma prawdopodobeństw takch kombacj, że występuje k razy A): PX k k p k ( = ) = ( p ) k. Zmea losowa X ma tak rozkład, jeśl przyjmuje wartośc k=0,,,..., z prawdopodobeństwam określoym wzorem: Fx PX x k p k p k ( ) = ( ) = ( ). Wartość oczekwaa E(X)=p -suma wartośc oczekwaych k x ezależych zmeych losowych o rozkładach zerojedykowych (pojedycze dośwadczea), D (X)=p(-p) Rozkład Possoa : zmea losowa X przyjmująca wartośc k = 0,,,... ma tak rozkład o parametrze λ, jeśl jej k λ λ fukcja prawdopodobeństwa opsaa jest wzorem: PX = k = k = 0,,,..., gdze λ jest dodatą stałą (λ > 0). Dystrybuatę rozkładu Possoa określa wzór: Fx ( ) k! e k ( ) = λ k! e k x λ. Operając sę a defcj wartośc oczekwaej waracj zmeej losowej skokowej, dla rozkładu Possoa otrzymujemy: E(X)= λ, D (X)= λ. Rozkład ormaly: Zmea losowa ma rozkład ormaly N-(µ,σ ) o wartośc średaj µ waracj σ, jeżel jej fukcja gęstośc wyraża sę wzorem (w pytau 4). 5. Podać dwa przykłady cech w rozkładze dwumaowym. 5 prób trafea w tarczę 0 prób wycągęca czarej kul z ury zawerającej kule czare bałe (ze zwracaem) 6. Podać dwa przykłady cech w rozkładze ormalym. Waga oraz wzrost osobków jedorodych populacj ludzkch lub zwerzęcych. Plo a jedakowych poletkach dośwadczalych. Wyk osągay w begu a 00m 7. Podać dwa przykłady cech w rozkładze Possoa. Lczba usterek w produkowaych urządzeach Lczba skaz a określoej powerzch materału Lczba błędów drukarskch a jedej stroe. 8. Zmea losowa X ma rozkład N(0,5). Oblczyć P{ X-0 =<0} Cecha X-(µ,σ ) ma rozkkład ormaly N-(µ,σ ). Z prawa trzech sgm:

2 P{ X- µ < σ}=0,68 P{ X- µ < σ}=0,95 P{ X- µ < 3σ}=0,997 X-N(0,5); µ=0, σ=5 z prawa trzech sgm: P{ X-0 =<0}= P{ X- µ < σ}=0,95 9. Zmea losowa X ma rozkład N(0,5). Oblczyć P{ X-0 =<5} N(0,5), µ=0, σ=5 P{ X-0 =<5}= P{ X- µ < σ}=0,68 0. X ~ N(00,00). Ile wyos P{X є(90,0)}? Dystrybuata F(X) dla stadardowego rozkładu jest stablcowaa. Dla x=<0 zachodz F(x)=-F(-x). Stadaryzacja. Jeżel X- N(µ,σ ), to Z=(X- µ)/ σ-n(0,) a µ b µ P{ X ' } F b µ = F a µ δ δ δ δ.podstawając µ=00, σ=0, a=90, b=0 otrzymujemy P{X (-,)}=F()-F(-)=F()-+F()=F()-=(0,8434)-=0,68=68%. X ~ N(0,64). Ile wyos P{X є(04,36)}? N(0,64); Podstawając µ=0, σ=8, a=04, b=36 do wzoru z pyt. 0 otrzymujemy: P{X (04,36)}= P{X (-,)}=F(+)-F(-)=F()-+F()=F()-=x0,9775-=0,9545=95%. Cecha X ma rozkład N(,6). Bez użyca tablc oblczyć P{X є (8,6)}? µ=, σ=4, P{X (8,6)}=P{ X- =<4}=P{ X-µ =<σ}=68% 3. Cecha X ma rozkład N(,6). Bez użyca tablc oblczyć P{X є (4,0)}? µ=, σ=4, P{X (8,6)}=P{ X- =<8}=P{ X-µ =<σ}=96% 4. W jak sposób moża sprawdzć założee o ormalośc. Zmea losowa X ma rozkład ormaly, jeżle jej fukcja gęstośc wyraża sę wzorem: x µ ( ) σ f ( x) = e, < x < µσ, σ Π 5. W jakm celu stosuje sę w praktyce uśredae wartośc pewej cechy. Dzęk średej możemy sprawdzć, czy daa wartość cechy jest względe wększa czy mejsza ż w reszce populacj tz. Jeżel jakaś wartość jest powyżej średej to jest mej wartośc wększych w populacj, a węcej mejszych. Średa pozwala także przewdzeć ajbardzej prawdopodaby wyk p. jeśl średa lość trafeń a 0 wyos 3, to gdy szacujemy le będze trafeń, ajbardzej prawdopodobą lczbą trafeń jest Wymeć rozkłady pojawające sę we woskowau statystyczym, a zwązae z rozkładem ormalym. Rozkład Pscoa Rozkład Ch kwadrat Rozkład T - Studeta 7. Co to jest populacja? Populacja zbór obektów (fzyczych e tylko) z wyróżoą cechą (-am). Jeśl zbór elemetów populacj jest skończoy to określamy ją jako skończoą p. zborowość meszkańców Polsk, zborowość gospodarstw rolych w daym województwe. Jeśl zbór elemetów populacj jest eskończoy to określamy ją jako eskończoą dotyczy raczej zjawsk ż obektów materalych p. zborowość rzutów moetą, zborowość możlwych wyków pomaru wytrzymałośc materału. 8. Co to jest próba reprezetatywa? Próba wybraa część populacj podlegająca badau (próba), jest reprezetatywa, gdy jej struktura ze względu a teresujące as cechy statystycze jest zblżoa do struktury populacj z której oa pochodz, czyl wosk wycągęte z próby moża uogólć a całą populcje. Próba jest reprezetatywa gdy spełoe są waruk: Elemety populacj są poberae do próby w sposób losowy. Próba jest dostatecze lcza. 9. Co to jest woskowae statystycze? Woskowae statystycze to możlwość uogólea uzyskaych wyków a całą populację elemetów oraz oszacowae welkośc popełoych przy tym błędów. Wyk woskowaa mus być użyteczy. 0. Jake są podstawowe różce mędzy populacją próbą? Próba jest wybraą częścą populacj, a podstawe jej daych woskujemy o populacj, czyl próba pozwala scharakteryzować populację, p.: Spośród wszystkch kobet w Warszawe (Populacja) losujemy jakąś część (Próba) a tej podstawe charakteryzujemy śred wzrost kobet w Warszawe.. Podać przykład próbk ereprezetatywej dla oszacowaa zróżcowaa zarobków w Polsce? Próbę przeprowadzamy wśród rolków.. Podać przykład próbk ereprezetatywej dla oszacowaa średch zarobków ludz w Polsce? Próbę przeprowadzamy wśród ludośc W-wy ustalamy

3 3. Podać przykład próbk ereprezetatywej dla wzrostu wszystkch kobet w Polsce. Próbę przeprowadzamy wśród zawodczek drużyy koszykarskej. 4. Co wpływa a jakość woskowaa statystyczego. Na jakość woskowaa statystyczego wpływa: estymacja (szacowae) ezaych wartośc parametrów rozkładu cechy w populacj. słuszość hpotez dotyczących albo wartośc parametrów rozkładu cechy w populacj albo postac tego rozkładu. jakość próby: lczość, losowy wybór Jake są źródła błędów we woskowau statystyczym? Podać przyajmej dwa źródła błędów we woskowau statystyczym. Źródła błędów: elcze lub elosowo wybrae elemety próby wybór złego rozkładu cechy w populacj, Estymacja : Z uwag a to że estymacj pewego parametru za pomocą określoego jego estymatora Z dokoujemy a podstawe wyków próby losowej, steje możlwość popełea błędu. W celu uzyskaa małego błędu estymacj ależy dbać o prawdłowe losowae próby, jak dobór możlwe ajlepszego estymatora Z. W tym celu wprowadza sę pewe własośc, które powe posadać dobry estymator: zgodość, efektywość, dostateczość eobcążoość Testowae hpotez statystyczych : Z uwag a to, że testowae hpotez statystyczych opera sę a wykach próby losowej, podjęta w wyku zastosowaa daego testu decyzja o przyjęcu lub odrzuceu hpotezy e zawsze jest bezbłęda (występują błędy I II stopa). 7. Co to jest estymator? Estymator jest arzędzem woskowaa statystyczego. Estymator jest to fukcja wyków z próby, czyl statystyka służąca do oszacowaa ezaej wartośc parametru populacj. Wartość estymatora z kokretej próby jest lczbą zwaą oceą parametru. Estymatorem może być zatem każda welkość otrzymaa dla wyków próby, czyl: średa arytmetycza, domata, koleje kwartyle, rozstęp, odchylee stadardowe wele ych. Estymator jako fukcja wyków próby losowej, będących zmeym losowym, jest zmeą losową. Rozkład prawdopodobeństwa estymatora zależy od rozkładu populacj od sposobu losowaa próby (schemat losowaa). Szczególe waże są dwa parametry rozkładu: a)wartość oczekwaa (momety), b)waracja. Jest wele metod zajdowaa estymatora. Najczęścej stosowae to: a)metoda mometów, b)metoda ajwększej warygodośc, c)metoda kwadratów. Mówmy, że estymator T parametru O jest eobcążoy gdy spełoa jest relacja: E(T )=O. Iaczej estymator T jest obcążoy, a parametr E(T )-O=b(T ) azywamy obcążeem estymatora. Asymptotyczy eobcążoy tz. Lm(->8) b(t )=0. Zgody speła relacje Lm(->8) P{ T -O <ε}=, dla dowolego ε>0. 8. Co zaczy, że estymator jest precyzyjy? Przy wzrastającej do eskończoośc lczebośc próby waracj D (Z ) estymatora Z przyjmuje wartośc coraz blższe waracj ajefektywejszego estymatora. Odwrotość waracj estymatora os azwę precyzj. Estymator ajefektywejszy to tak, który ma ajwększą precyzję. 9. Podać przyajmej dwa róże oszacowaa średej wartośc cechy. Na podstawe próby.,., 0.8, 0.9,.,.3,.0, 0.7, 0.8,.0 oszacować wartość średą rozkładu obserwowaej cechy. X sr =( )/0= var x = (..0) +... (.0.0) = 0.36 (suma kwadratów odchyleń) s = 0.36/0- = 0.04 s = 0. pozom ufośc - α = 0,95, czyl α = 0.05 = 5% t (0,05, 9) =,6 t(0.05,9) *s/ =,6 * 0,/ 0 = 0,4 0,4 = 0,86 + 0,4 =,4 ODPOWIEDŹ Średa wartość cechy jest jakąś lczbą z przedzału (0,86;,4) 30. Co to jest przedzał ufośc. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI jest przedzałem o końcach zależych od próby, który z pewym z góry zadaym prawdopodobeństwem pokrywa ezaą wartość parametru Õ P {(Õ (O (x,...x ), Ō (x,...x )} = - α (Pozom ufośc) W wyku pobraa próby losowej z populacj oblczea a tej podstawe wartośc estymatora szacowaego parametru uzyskuje sę tzw. puktową oceę parametru. Prawdopodobeństwo że estymator przyjmuje wartość rówą wartośc szacowaego parametru jest rówa 0. Ozacza to że przy estymacj puktowej z prawdopodobeństwem rówym jede popełamy błąd. Jest to jede ze sposobów dla których stosuje sę estymację przedzałową, polegającą a tym, że zamast jedej ocey wartośc parametru podaje sę pewe przedzał, który z określoym z góry prawdopodobeństwem (>0) pokrywa ezaą wartość szacowaego parametru. 3. Co to jest pozom ufośc. Jest to prawdopodobeństwo mające opsać asze przekoae co do trafośc ocey, ozaczoe przez - α 3. Jaka jest terpretacja pozomu ufośc. Pozom ufośc - α jest zaufaem do wystawoych wosków. 3

4 Od jakch czyków zależy długość przedzału ufość? Na długość przedzału wpływa:. lczebość próby gdy zwększymy lość obserwacj (rośe ), to zwększa sę precyzja ocey, co wyraża sę skróceem przedzału. Prowadzący może meć wpływ a długość przedzału ufośc, poeważ to o decyduje o lośc obserwacj.. pozom ufośc aby zwększyć precyzję oszacowaa ależy zmejszyć pozom ufośc bowem astąp skrócee długośc przedzału. Aby zwększyć dokładość ależy zwększyć współczyk ufośc co spowoduje rozszerzee przedzału. 3. waracja cechy - m wększa tym wększy przedzał 35. Na podstawe badań uzyskao dla średej astępujący przedzał ufośc (,3). Czy moża uzać, że średa w populacj jest rówa 7 dlaczego? Poeważ 7 ależy do przedzału ufośc może być średą populacj(tak jak wszystke lczby z tego przedzału), przy czym zaufae do tego wosku wyos -α. 36. Uzyskao 95% przedzał ufośc dla różcy średch : (.3;7.9). Czy a tej podstawe moża uzać, że badae średe e różą sę? 4. Co to jest hpoteza statystycza. Hpotezą statystyczą azywamy dowole przypuszczee dotyczące rozkładu prawdopodobeństwa cechy. Hpotezy statystycze są formalym zapsem przypuszczeń merytoryczych sformułowaych w trakce rozwązywaa problemów aukowych praktyczych. Testowaą hpotezę statystyczą ozacza sę symbolem H 0 azywa sę hpotezą zerową. Obserwujemy cechę X w pewej populacj. Hpoteza to przypuszczee dotyczące rozkładu prawdopodobeństwa tej cechy. Prawdzwość tego przypuszczea jest oceaa a podstawe wyków próby losowej. Jest to każdy sąd (przypuszczee) dotyczące populacj wyday bez przeprowadzea badaa wyczerpującego. 43. Przykłady hpotezy statystyczej podaj przykład hpotezy estatystyczej..hpoteza H 0 : µ = 50, Hpoteza ta orzeka, że średa wartość cechy w populacj wyos 50..Hpoteza estatystycza w roku 00 będze klęska żywołowa e ma mowy o postac rozkładu jego parametrach. 44. Co to jest błąd perwszego rodzaju. Błędem I rodzaju - błąd we woskowau polegający a odrzuceu hpotezy, gdy w rzeczywstośc jest oa prawdzwa. 45. Co to jest pozom stotośc. Pozomem stotośc Jest to prawdopodobeństwo popełea błędu I rodzaju (). Najczęścej przyjmowaym pozomam stotośc są: 0,; 0,05; 0,0; 0, Iterpretacja pozomu stotośc. (odp. W 45) 47. Co to jest błąd drugego rodzaju. Błędem II rodzaju - błąd we woskowau polegający a e odrzuceu hpotezy, gdy w rzeczywstośc jest oa fałszywa. 48. Co to jest moc testu. Mocą testu azywamy prawdopodobeństwo eodrzucea hpotezy eprawdzwej Moc testu = prawdopodobeństwo popełea błędu II rodzaju 49. Zterpretować wosek: odrzucoo weryfkowaą hpotezę a pozome stotośc 0,05. Na 95% była fałszywa a 5% była prawdzwa. 50. Co merzy współczyk korelacj. Współczyk korelacj jest merkem sły zależośc mędzy badaym zmeym. Przyjmuje wartośc < -; >. 5. Iterpretacja współczyka korelacj. Współczyk korelacj jest lczbą emaowaą, ależy do przedzału < -; >. Iterpretujemy dwa elemety współczyka korelacj:. zak współczyka korelacj;. wartość współczyka korelacj; Jeżel chodz o zak to: jeżel współczyk korelacj > 0, to wększym wartoścom jedej cechy odpowadają wększe wartośc drugej cechy; jest to zależość dodata (rosąca, stymulująca); jeżel współczyk korelacj < 0, to wększym wartoścom jedej cechy odpowadają mejsze wartośc drugej cechy; jest to zależość ujema (malejąca, lmtująca); jeżel współczyk korelacj = 0, to bez względu a wartość przyjmowae przez jeda z cech, średa wartość drugej cechy jest taka sama; są to cechy eskolerowae Jeżel g= +, to steją take lczby a b, że Y = ax + b zależość mędzy cecham jest ścśle lowa. Jeżel g=, to a > 0, oraz jeżel g = - to a <0. W zwązku z tym współczyk korelacj traktoway jest jako merk lowej zależośc mędzy cecham X oraz Y. Wartość współczyka korelacj terpretowaa jest ; że m g jest blższe, tym bardzej lowa jest zależość mędzy cecham. Korelację mędzy X Y oblczamy ze wzoru r kawaracja- suma loczyów odchyleń od średej. 4 = COV ( X, Y) var X var Y, gdze COV(X,Y) to

5 5. Jake wartośc może przyjmować współczyk korelacj. Współczyk korelacj przyjmuje wartośc z przedzału < -; > Im korelacja jest slejsza (blższe jedyk), tym le regresj są położoe blżej sebe. r= r=- r=0 53. Co to zaczy, ze współczyk korelacj mędzy zmeym X Y wyos 0. Jeżel współczyk korelacj mędzy dwema zmeym wyos zero, to zaczy, że są to zmee eskorelowae. Wartość jedej zmeej e zależy od drugej. 54. Jaką postać ma lowa fukcja regresj, gdy współczyk korelacj mędzy zmeym X Y wyos 0. Jeżel współczyk korelacj wyos 0 to e ma zależośc pomędzy dwoma zmeym, a wykresem fukcj regresj są wszystke pukty układu współrzędych. 55. Na podstawe oblczeń uzyskao współczyk korelacj rówy Jak moża zterpretować tę wartość? Współczyk korelacj rówy 0,97, ozacza, że wększym wartoścom jedej cech odpowadają średo mejsze wartośc drugej cechy. Taką zależość azywamy ujemą lub malejącą. 56. Na podstawe oblczeń uzyskao współczyk korelacj rówy.09. Jak moża zterpretować tę wartość? Współczyk korelacj e może przyjąć wartośc powyżej. 57.W badau wpływu długośc czasu (w latach) pracy (X) pewego urządzea a przcęty czas (w mesacach) bezawaryjej pracy (Y) tego urządzea a podstawe obserwacj dzesęcu maszy uzyskao współczyk korleacj r=-0,9983. Czy moża a tej podstawe przyjąć, że steje zależość mędzy długoścą czasu pracy przecętego czasu pracy bezawaryjej. Jeśl próba zaostała dobraa poprawe (zapewoo reprezetatywość) to moża uzać, że steje taka zależość, że m dłuższy czas pracy w latach tym krótszy okres (w m-cach) bezawaryjej pracy. Wyka to z tego, że korelacja jest rówa prawe W dwudzestu gospodarstwach wejskch badao zależość mędzy spożycem zemaków (cecha X) artykułów zbożowych (cecha Y). Uzyskao współczyk korelacj r=-0,9983. Czy moża a tej podstawe przyjąć, że steje zalezość mędzy spożycem zemaków artykułów zbożowych? Tak jak w Co to jest deks Fshera zma ce? Ideks Fshera zma ce jest średą geometryczą z deksów wyzaczoych przez Laspeyersa Paaschego. Moża go uważać za dobre przyblżee deksu poprawe merzącego zmay ce ( z dwóch różych okresów ), jeśl przyjąć, że deksy Laspeyersa Paaschego określają grace przedzału, w którym zawarta jest prawdzwa wartość deksu. 60. Co to jest deks Fshera zma lośc? Jeśl przyjąć, że deksy Laspeyersa Paaschego poprawe określają grace przedzału, w którym zawarta jest prawdzwa wartość deksu, to : Ideks Fshera zma lośc uważa sę za dobre przyblżee deksu właścwe merzącego zmay lośc ( rozmarów fzyczych ) 6. Co to jest deks Laspayresa zma ce? Dyamka zjawsk Numer Ilość Cea artykuł jedostkowa u Rok0 Rok Rok0 Rok q 0 q p 0 p k q k0 q k p k0 p k Numer Wartość Wartość w,00 =p 0 q 0 w, =p q k w k,00 =p k0 q k0 w k, =p k q k Razem w 00 w Ideks Laspayersa zma ce to deks określający wpływ zma ce a dyamkę wartośc; formuje o tym, jak zmeałaby sę łącza wartość wszystkch towarów w momece badaym w stosuku do mometu podstawowego, gdyby lośc poszczególych towarów były w obu porówywalych mometach jedakowe oraz take jak w momece podstawowym, a zmaa wartośc astąpłaby tylko a skutek zma ce. LI pq =(w 0 /w 00 ), gdze W j =p q j. 6. Co to jest deks Laspayresa zama lośc? Ideks Laspayersa zma lośc mów jak zmeałaby sę całoścowo wartość wszystkch towarów w momece badaym w stosuku do mometu podstawowego, gdyby w obu porówywalych mometach cey były ezmee 5

6 take jak w momece podstawowym, a zmaa wartośc astąpłaby tylko wyłącze a skutek zma lośc poszczególych towarów; co węcej formuje o przecętych zmaach lośc poszczególych towarów w obu porówywalych mometach. LI qp =(w 0 /w 00 ) 63. Co to jest deks Paaschego zma ce? Ideks Paaschego zma ce to średa harmocza z dywdualych deksów ce, a której wagam są wartośc towarów w momece badaym; Iformuje o tym,jak zmeałaby sę łącza wartość wszystkch towarów w momece badaym w stosuku do mometu podstawowego, gdyby lośc poszczególych towarów były w obu porówywalych mometach jedakowe oraz take, jak w momece badaym, a zmaa wartośc astąpłaby wyłącze a skutek zma ce. PI pq =(w /w 0 ) 64. Co to jest deks Paaschego zma lośc? Ideks Paaschego zma lośc to średa harmocza dywdualych deksów lośc; formuje, jak zmeałaby sę globala wartość wszystkch towarów w momece badaym w stosuku do mometu podstawowego, gdyby w obu porówywalych mometach cey były ezmee take jak w momece badaym, a zmaa wartośc astąpłaby tylko wyłącze a skutek zma lośc poszczególych towarów. PI qp =(w /w 0 ) 65. Co to jest deks zma wartośc. Ideks zma wartośc to deks, który formuje o łączych zmaach wartośc daych produktów (rówocześe) w momece badaym w stosuku do mometu podstawowego. Zmay te wykają zarówo ze zma lośc, jak ce tych produktów. I w =(w /w 00 ) 66. Jaka jest zależość mędzy deksam zma wartośc, lośc oraz ce. Wartośc, cey lośc są welkoścam, które mają szczególe zaczee w badau zjawsk ekoomczych. Ideksy zma tych welkośc są badae razem w tzw. deksach agregatowych ( zespołowych ), które w odpowed sposób wyrażają łącze zmay zachodzące w czase w całej zróżcowaej zborowośc. I w =LI pq xpi qp =PI pq xli qp =FI p xfi q 67. W jak sposób moża oszacować przecęte tempo zma a przestrze klku lat. Cza s Zjaws ko Ideksy łańcuchowe absolute względe t/t- t 0 y 0 t y y -y 0 (y -y 0 )/y 0 y /y 0 t y y -y (y -y )/ y y /y t k y k y k -y k- (y k -y k- )/ y k- y k /y k- Średe tempo zma -I g jest średą geometryczą z deksów łańcuchowych t/t ( t T ) ; metoda ta zawodz, gdy duże są eregularośc w obserwowaej dyamce zjawsk. t/t- jest stopą roczego wzrostu, czyl jeżel wartość w roku wyos, a wartość w roku 3-,5, to 3/ =,5. Średm tempem zma w okrese 0-t azywamy średą geometryczą z t/t Co to jest deks łańcuchowy. Ideks łańcuchowy ależy do obszerej klasy merków dyamk zjawsk wartośc y, gdze y ozacza t t* podstawę porówaa dla wartośc zjawska y w kolejych momemtach czasu t T. Jeśl ta podstawą jest zawsze t momet poprzed do badaego to deksy dyamk są azwae deksam łańcuchowym. Wartość deks łańcuchowego w czase t/: t/t- =(y t /y t- ) 69. Co to jest deks jedopodstawowy. Ideks jedopodstawowy jest merkem dyamk zjawsk; występuje wtedy, gdy podstawa porówaa jest stała dla wszystkch wartośc y t, tz. y t* = cost. Czyl wartość deksu w czase t: t =(y t /y 0 ). 70. Co to jest tred? Tred składk szeregu czasowego wyrażający ogólą tedecję systematyczych zma pozomu daej zmeej; (tedecja rozwojowa ) fukcja opsująca geeraly przebeg zjawska, zmay średego zjawska w czase. Metody wyzaczaa tredu: Tedecję rozwojową moża wyodrębć dwema metodam: -Metodą mechaczą która polega a wygładzeu szeregu czasowego, poprzez oczyszczee go z wszelkego typu wahań. Wygładzea dokouje sę przy użycu średch ruchomych lub metody ajmejszych kwadratów. -Metoda aaltycza która polega a wyzaczeu postac fukcj tredu. Metoda aaltycza wyodrębaa tedecj rozwojowej polega a ustaleu takej postac fukcj matematyczej, która ajlepej przyblża tred zjawska. 7. Co to są wahaa okresowe (sezoowe )? Powtarzające sę regulare zmay pozomu zjawska. Najczęstszym okresem wahań jest rok Do czego służy metoda średch ruchomych. Na czym polega metoda średch ruchomych. Szereg czasowe ze zaczym udzałem wahań okresowych przypadkowych poddaje sę zwykle wyrówau którego rezultatem jest owy szereg ekspoujący tred rozwojowy środowska. Najprostszą metodą elmacj wahań z szeregu czasowego jest oblczee tzw. średch ruchomych zastąpee m perwotych wyrazów szeregu czasowego. Średe oblcza sę zwykle z eparzystej (parzystej) lczby sąsadujących ze sobą wyrazów szeregu, tak aby uzyskay wyk móc podporządkować całkowtej wartośc t zajdującej sę w środku uwzględoego w oblczeach przedzału. a) r(długość cyklu wahań)-eparzyste 6

7 y m = ( r y + + y + + y m r m m+ r ), m=(r-)/,...,k-(r-)/ b) r - parzyste y m = ( y y y ) r m r m m+ r, m=r/,...,k-r/ 73. Jak moża oszacować welkość wahań okresowych? W zależośc od tego jak charakter mają wahaa sezoowe, rachuek wskaźków, opsujących zakres dzałaa czyków sezoowych,przebega aczej. Jeżel rezultatem dzałaa czyków sezoowych jest zmea ampltuda wahań to zakres dzałaa sezoowośc opsują relatywe wskaźk sezoowośc. Jeżel zaś rezultatem dzałaa czyków sezoowych jest stała ampltuda odchyleń od tredu, to zakres dzałaa tych czyków opsują absolute wskaźk sezoowośc. W perwszej kolejośc wyzacza sę tz. surowe wskaźk sezoowośc, które określają przecęte odchylea od tredu w kolejych podokresach cyklu sezoowośc O fukcja tredu Następe wyzaczamy wskaźk korygujący. k = r O + O O s s sr 7 s Y =,Y =y +y r+ +y r+..., Y =y +y r+ +y r+ ; y t =dopasowaa Y Poprawy wskaźk sezoowośc wyos O = Os * k, =0,,...,r- Wskaźk te określa zakres względych, czyl zależych od pozomu tredu, odchyleń spowodowaych dzałaem czyków sezoowośc. Na koec oblczamy absoluty wskaźk okresowośc g. g = (O )*y, =0,,...,r-, y = ( y )/ Wskaźk te określa stałe ezależe od pozomu tredu, odchylea pozomu zjawska od tredu spowodowae dzałaem czyków sezoowych. 74. Jak wykouje sę progozę w szeregu czasowym w którym występuje zjawsko wahań okresowych? Oblczamy tak samo jak w 73 do g. Potem musmy oszacować odchylee stadartowe. S = j= 0 ( y y g ), gdze t jest resztą dzelea j/r j j t Oblczamy progozę w chwl m>, y m =y m(sr) +g t +/-S, (gdze t jest resztą z dzelea m/r). 75. Jaką metodą moża wyzaczyć Tred? Wyzaczae tredu:. Metoda emprycza (średch ruchomych)- w pyt. 7.. Metoda aaltycza (ajmejszych kwadratów)- metoda aproksymacj fukcj określoego typu, do zboru puktów empryczych. Metoda ta polega a takm doborze parametrów aproksymowaej fukcj, by suma kwadratów odchyleń rzędych puktów empryczych od wykresu tej fukcj była mejsza. Sprowadza se oa do rozwązaa odpowedego dla daego typu aproksymowaej fukcj układu rówań. Metodą ajmejszych kwadratów wyzacz sę ajczęścej w staystyce fukcję regresj II rodzaju. 78. Co to jest szereg rozdzelczy. Jede z szeregów statystyczych przedstawający budowę (strukturę ) zborowośc, czyl jej podzał a częśc z określoego, rzeczowego puku wdzea. Cecha statystycza a podstawe której dokouje sę podzału zborowośc a mejsze częśc, może być cechą emerzalą lub merzalą. W szeregu rozdzelczym w jedej kolume w sposób uporządkoway przedstawoy jest wykaz klasyfkacyjy, czyl waraty badaej cechy, a w drugej kolume przedstawoe są lczebośc odpowadające poszczególym klasom z wykazu. Jest to węc uporządkoway pogrupoway zbór formacj dotyczących badaej cechy określoej zborowośc. W zależośc od rodzaju cechy według której podzeloo zborowość szereg dzelmy a dwe grupy:!" szereg oparte a cesze emerzalej: Pozom wykształce a Lczba pracowkó w podst. Zasadcz e zawodowe śred e wyżs ze ogół em Np. Szereg rozdzelcze cechy emerzalej uzyskuje sę grupując budyk wg dzelc masta. Jeśl przedmotem badaa statystyczego są p. budyk meszkale oddae do użytku to puktowy szereg rozdzelczy uzyskuje sę grupując budyk wg lczby kodygacj, atomast przedzałowy szereg rozdzelczy moża uzyskać grupując te same budyk wg trwaa budowy.!" Szereg oparte a cesze merzalej p. czas pozostawaa bez pracy... j= 0 j

8 Pyt. 79. Co to jest hstogram? Rodzaj wykresu słupkowego oparty a prostokątym układze współrzędych; Hstogram składa sę z poowych przylegających do sebe prostokątów (słupków). Długośc podstaw tych prostokątów są proporcjoale do rozpętośc przedzałów klasowych, a wysokość do ch lczebośc a jedostkę rozpętośc. Zwykle hstogram służy do przedstawaa struktury szeregów rozdzelczych o rówych przedzałach klasowych wówczas wysokość prostokąta jest proporcjoala do lczebośc. Budując hstogram a podstawe szeregu o erówych przedzałach klasowych, ależy uprzedo oblczyć lczebośc przypadające w daym przedzale a jedostkę jego rozpętośc. Hstogram umożlwa pozae typu rozkładu zborowośc statystyczych wg badaej cechy. 80. Wymeń merk położea próby: Średa, Medaa, Doly kwartyl, Góry kwartyl, Domata, Mmum, Maksmum 8. Pyt. 8. Co to jest doly kwartyl. Co to jest góry kwartyl. Do ajczęścej zalczaych kwartyl zalczamy kwartyle: Kwartyl doly- dzel o zborowość uporządkowaą a dwe częśc, w te sposób że 5% jedostek ma wartość cechy ższe, a 75% wyższe od kwartyla dolego. Kwartyl góry dzel zborowość uporządkowaą a dwe częśc w te sposób, że 75% jedostek ma wartośc cechy ższe a 5% wyższe od kwartyla górego. 83. Co to jest MEDIANA? Me wartość wyrazu środkowego w uporządkowaym szeregu statystyczym; to tak pukt (lczba) która loścowo rozdzela dae a dwe rówe częśc. Sposób oblczaa meday zależy od rodzaju szeregu statystyczego, w którym przedstawoo formacje o wartośc cechy statystyczej, a także od tego czy lczba jedostek statystyczych jest parzysta czy eparzysta. h05, Me = X 05, + 05, 05, 84. Co to jest DOMINANTA? ( moda, wartość typowa, wartość modala) jest to wartość cechy, która ajczęścej występuje w daej zborowośc. W zależośc od formy w której przedstawoe są formacje o wartośc cechy jedostek statyst. Stosuje sę róże techk ustalaa domaty. W przypadku dywdualego szeregu wartośc cechy wartość domaty ależy jedye wskazać jest to wartość cechy która ajczęścej występuje w badaej zborowośc statystyczej. W szeregach z cechą merzalą ze zmeoścą skokową wartość domaty jest to ta wartość dla której lczebość cząstkowa jest ajwększa. W szeregu z cechą merzalą ze zmeoścą cągłą wartość domaty lczoa jest wg wzoru: Dx = Xd + Hd ( Nd Nd-) / Nd Nd+ Nd-) gdze Xd początek przedzału w którym zajduje sę domata Hd szerokość przedzału, Nd lość daych w przedzale, Nd lość daych w przedzale poprzedzającym przedzał z domatą, Nd+ lość daych po przedzale zawerającym domatę. 85. Jaka jest wzajema relacja mędzy średą, medaą a domatą? Średa = medaa = domata czyl wszystke tedecje mają taką samą wartość-że lczba jedostek statystyczych która posada wartość cechy wyższe ż średa arytmetycza jest taka sama jak lczba jedostek, która posada wartośc cechy ższe ż średa arytmetycza. Tak rozkład wartośc cechy w zborowośc określay jest - rozkładem symetryczym. Wartość średej jest wększa ż wartość meday wartość meday jest wększa od wartośc domaty tj. x>me >D- ozacza że wartość cechy wększośc jedostek statystyczych jest ższa od średej arytmetyczej. Tak rozkład os azwę rozkładu o asymetr prawostroej. Wartość średej jest mejsza ż wartość meday wartość meday jest mejsza od wartośc domaty tj. x< Me<D- ozacza że wartość cechy wększośc jedostek statystyczych jest wyższa od średej arytmetyczej. Jest to rozkład o asymetr lewostroej. 86. Wymeń merk rozproszea cechy: -Odchylee stadardowe ( δx) jest to perwastek kwadratowy z sumy kwadratów odchyleń poszczególych wartośc zmeej x od średej arytmetyczej, podzeloej przez lczebość szeregu X+/- S -typowy obszar zmeośc ma ses jeśl układ jest symetryczy wokół średej. S = = = ( X X) ( X! X) -Współczyk zmeośc jest to stosuek bezwzględej mary odchylea do średej arytmetyczej, wyrażoy w procetach. V = (S/X sr ) 00%. Jeżel współczyk jest mały to dae są mej zróżcowae. -Rozstęp mara ta obrazuje różce mędzy wartoścą ajwększą a ajmejszą w badaej zborowośc, wyzaczamy węc jej wartość odejmując od ajwyższej, ajższą wartość cechy: R = Max M. 8

9 -Odchylee przecęte jest to średa arytmetycza bezwzględych wartośc (modułów) odchyleń wartośc faktyczych szeregu od średej arytmetyczej. d = = = X X X! X Odchylee ćwartkowe Q=(Q 3 -Q )/; gdze Q 3 odpowedo góry doly kwartyl. 87. Co merzy rozstęp? Określa ajwększą rozbeżość, jaką zaobserwowao wśród wartośc badaej cechy. Mara ta określa zróżcowae jedostek a podstawe ocey wartośc skrajych cechy statystyczej. Wartoścom tym mogą odpowadać ewelke lub wręcz zkome lczebośc. Dlatego też e jest to precyzyja mara zróżcowaa służy jedye wstępej ocee zmeośc zjawska. Iformuje oa jak bardzo różą sę wartośc cechy statystyczej w ogóle. 88. Co merzy odchylee stadardowe? Odchylee jest marą która podobe jak odchylee przecęte, charakteryzuje przecęty pozom odchyleń faktyczych wartośc cechy od średej arytmetyczej. Jest to mara bardzej precyzyja ż odchylee przecęte. 89. Co merzy waracja? Waracja DX zmeej losowej jest lczbą charakteryzującą rozrzut zboru jej wartośc wokół wartośc EX. Charakteryzuje zróżcowae cechy. 90. Co merzy współczyk zmeośc?- W przypadku koeczośc porówaa rozproszea dwóch różych zjawsk ależy posłużyć sę współczykem zmeośc. Współczyk zmeośc to loraz odchylea stadardowego średej w daym rozkładze V=(s/X sr ). Im wyższy jest te procet, tym wększe jest względe zróżcowae cechy w rozkładze. o loraz odchylea stadardowego średej w daym rozkładze V=(s/X sr ). Współczyk zmeośc wyraża sę często procetowo, aby określć, jak procet pozomu średej stao odchylea stadardowe w rozkładze. Tego typu badaa są szczególe przydate w porówywau zróżcowaa takch welkośc jak dochody, wydajość pracy, absecja w pracy w różych przedsęborstwach lub dzałach jedego przedsęborstwa. 9. Co to jest typowy obszar zmeośc? zwykle przedzał w którym leżą wszystke wartośc, cechy merzalej jedostk, zborowośc statystyczej. Obszar zmeośc wyzaczay jest przez ajmejszą ajwększą wartość cechy. Zawera o podstawowe formacje o zmeośc badaej cechy. Średa arytmetycza odchylee stadardowe pozwalają a określee obszaru wartośc typowych dla określoej zborowośc statystyczej. Te obszar wyzaczay jest jako przedzał lczbowy, którego dolą gracą jest wartość średej arytmetyczej pomejszoa o odchylee stadardowe, a górą gracą jest wartość średej arytmetyczej powększoa o odchylee stadardowe. Obszar typowych wartośc cechy moża zapsać: (X sr - S, X sr + S) 94. Jak procet populacj zawera sę mędzy kwartylam. Poeważ doly kwartyl odca 5% daych z dołu a góry 5% z góry, to pomędzy m pozostaje 50% daych. 96. Co moża powedzeć o asymetr cechy, jeżel medaa jest średą z pozostałych kwartyl. Jeżel medaa jest średą z pozostałych kwartyl, to środkowe 50% daych jest symetryczych. 98. Co moża powedzeć o skośośc cechy, jeżel medaa jest wększa od średej. Jeżel medaa jest wększa od średej to mamy doczyea z asymetrą lewostroą Jak jest zakres zmeośc współczyka kocetracj Loretza? Kocetracje ocea sę poprzez porówae lczby jedostek o określoych wartoścach cechy, jaką łącze jedostk te posadają. Mała lczebość klasy wartośc cechy statystyczej oraz zacza suma wartośc cechy, którą jedostk te łącze posadają śwadczą o slej kocetracj rozkładu cechy statystyczej. W przecwym wypadku astępuje rozdrobee rozkładu. Współczyk przyjmuje wartośc z przedzału <0,0 ;,0> m wększa jest jego wartość tym kocetracje rozkładu uzaje sę za slejszą. Współczyk te przyjmuje wartość 0, gdy rozdzał ogólej sumy wartośc cechy przebega według l rówomerego rozdzału, zaś,0 gdy krzywa Loreza pokrywa sę z osą OX. 9