Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Transkrypt

1 Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, STATYSTYKA OPISOWA, cz. II WSTĘP DO STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

2 Pla a dzsaj. Statystyka opsowa, cz. II: mary położea dokończee mary zróżcowaa mary asymetr wykres pudełkowy. Wstęp do statystyk matematyczej model statystyczy

3 Moda Moda(domata, wartość modala) wartość ajczęścej pojawająca sę w próbe dla szeregu rozdzelczego puktowego: Mo wartość ajczęstsza dla szeregu rozdzelczego przedzałowego Mo c L + Mo ) + ( Mo gdze Mo lczebość klasy domaty, c L, b dla domaty aalogcze do meday ( Mo Mo Mo Mo+ b )

4 Przykład cd. Ocea Lczebość Częstość 7 0, ,50 3,5 3 0,90 4 0,065 4,5 7 0, ,04 Razem 68,000 Moda przykłady Kwartyle przykłady Waracja przykłady

5 Przykład 3 cd. Przedzał Środek przedzału Lczebość Częstość Lczebość skumulowaa Częstość skumulowaa (30,40] 35 0, 0, (40,50] ,3 34 0,34 (50,60] , ,67 (60,70] 65 0, 79 0,79 (70,80] , ,85 (80,90] , ,93 (90,00] , ,96 (00,0] 05 0,0 98 0,98 (0,0] 5 0,0 00 Razem 00 Moda przykłady Kwartyle przykłady Waracja przykłady

6 Moda przykłady Przykład : Mo Przykład 3: Przykład cd. Przykład3 cd. przedzał domaty to (50,60], o lczebośc 33 Mo 33, c L 50, b 0, Mo- 3, Mo+ Mo (33 3) + (33 ) 53,3

7 Którą marę stosować? Średa arytmetycza: do szeregów typowych (jedo max, częstośc mootocze) Domata: do szeregów typowych, daych pogrupowaych, długośc przedzału domaty sąsedch powy być rówe Medaa: e ma ograczeń. Najbardzej odpora a zaburzea, edokładośc pomaru, zmay, wartośc odstające

8 Kwatyle, kwartyle p-ty kwatyl (kwatyl rzędu p): odsetek wartośc e wększych ż o wyos co ajmej p, a wartośc e mejszych co ajmej -p Q : Perwszy kwartyl kwatyl rzędu ¼ Drug kwartyl medaa kwatyl rzędu ½ Q 3 : Trzec kwartyl kwatyl rzędu ¾

9 Kwatyle cd. Kwatyl próbkowy rzędu p: Q p p : + [ p] + : p+ : p p Z Z

10 Kwartyle cd. Kwatyle dla p ¼ p ¾. Dla szeregu rozdzelczego przedzałowego: wzór jak dla meday Q k c dla k lub 3, odpowedo gdze M, M 3 umer klasy kwartyla b szerokość klasy kwartyla L c L doly koec klasy kwartyla + b M k k 4 Mk

11 Q Kwartyle przykłady Przykład : a węc Przykład 3: ( ) +, Q ( + ) 3, 5 4:68 43:68 3 6:68 7: 68 M, M3 4 a węc Q 40+ (5 ) 40,09 Q3 60+ (75 67) 3 Przykład cd. 66,67 Przykład3 cd.

12 Rozproszee, zmeość, dyspersja duże małe

13 Mary rozproszea Mary klasycze waracja, odchylee stadardowe odchylee przecęte współczyk zmeośc (klas.) Mary pozycyje rozstęp rozstęp mędzykwartylowy odchylee ćwartkowe współczyk zmeośc (poz.)

14 Mary pozycyje Rozstęp ajprostsza mara, e berze pod uwagę żadych wartośc oprócz skrajych r : : Rozstęp mędzykwartylowy bardzej odpory a obserwacje etypowe ż zwykły rozstęp IQR Q 3 Q długość przedzału, w którym meśc sę 50% środkowych obserwacj a jego podstawe odchylee ćwartkowe Q IQR/, oraz pozycyje współczyk zmeośc V Q Q/Medalbo V QQ3 IQR/(Q 3 +Q ) także typowy przedzał zmeośc cechy: [Med Q, Med + Q]

15 Rozstęp, rozstęp mędzykwartylowy przykłady Przykład : r 5 3, IQR 3,5,5 Przykład 3: r (w rzeczywstośc89, -345, 86,45) IQR 66,67 46,09 0,58

16 Mary klasycze Waracja dae surowe szereg rozdzelczy puktowy szereg rozdzelczy przedzałowy + ew. poprawka Shepparda lub ogólej ) ( ) ( ˆ S ) ( ) ( ˆ k k S ) ( ) ( ˆ k k c c S ˆ c S S cdługość przedzału klasy (jeśl rówe) ) ( ˆ k c c S S

17 Waracja przykłady Przykład : Sˆ ((,84) 7+ (3,84) 4+ (3,5,84) 3+ (4,84) + (4,5,84) 7+ (5,84) 4) 68 0,706 Przykład 3: Sˆ 00 ((35 58,7) + (75 58,7) + (45 58,7) 6+ (85 58,7) 3+ (55 58,7) 8+ (95 58,7) 33+ (65 58,7) 3+ (05 58,7) Przykład cd. Przykład 3 cd. + (5 58,7) ) S 33,3 33,3 0 w rzeczywstośc 3,98 Sˆ 333,85 rozkład e jest ormaly, za mała próba a poprawkę Shepparda wększe błędy wykają z małej próby ż z podzału a klasy

18 Odchylee stadardowe W tych samych jedostkach, co wyjścowy szereg ˆ Przykład : Przykład 3: S S ˆ, S Sˆ 0, 840[ocey] ˆ S 8,[ m ] S

19 Odchylee przecęte średe odchylee bezwzględe obece rzadko stosowae, choć łatwejsze w oblczeach, wyrażoe w jedostkach aturalych dla daych surowych td... d Mamy: d<s

20 Współczyk zmeośc (klasycze) Do porówywaa tej samej cechy w różych populacjach lub różych cech jedej populacj V S lubv Sˆ d ( 00%), d ( 00%)

21 Asymetra lewostroa symetra prawostroa (ujema) (dodata) < Med < Mo Med Mo > Med > Mo (typowe układy)

22 Mary asymetr Współczyk asymetr A M Ŝ 3 3 Współczyk skośośc A lub ˆ S Mo gdze M 3 jest trzecm mometem cetralym Med Sˆ Pozycyjy współczyk asymetr A Q 3 Med Q Q 3 + Q A merzy asymetrę tylko dla obserwacj drugej trzecej ćwartk

23 Iterpretacja Wskaźk dodate asymetra dodata (prawostroa) Wskaźk ujeme asymetra ujema (lewostroa) Dla współczyka skośośc (z medaą) pozycyjego wsp. asymetr ocea sły asymetr (co do modułu): 0-0,33: słaba 0,34-0,66: średa 0,67 : sla

24 Asymetra przykłady Przykład : Przykład 3: 0,5 46,09 66,67 46,09 54,85 66,67 ) 0,4( 8, 54,85 58,7 )lub 0,3( 8, 53,3 58,7,5, + A Med A Mo A A 0,33 3,5 3 3,5,00 0,840,84 0,8 0,840 3,84 0,55 + A (Mo) A (Med) A A

25 Wykres pudełkowy ( pudełko z wąsam ) Pozwala porówać grafcze dwe populacje (lub węcej) x max m{ max{ (ewetuale) : : [ Q [ Q, Q obserwacje odstające: 3 3 x < lubx > 3 IQRQ, + 3 ]} IQR]} obs. odstające * Q 3 Med Q * obs. odstające x m

26 Wykres pudełkowy przykład porówaa

27 Przyklady zestaweń statystyczych () Źródło: GUS, Cey w gospodarce arodowej 009

28 Przyklady zestaweń statystyczych () Źródło: GUS, Zużyce eerg w gospodarstwach domowych 009

29 Przyklady zestaweń statystyczych (3) satka cetylowa masy chłopców w W-we Źródło: IMD, 999

30 Przykłady zestaweń statystyczych (4) Względe rozstępy mędzykwartylowe Rozstęp mędzykwartylowy pozomu emerytury wg płc Źródło:Komsja Europejska 03

31 Przykłady zestaweń statystyczych (5) Zróżcowae pozomów bezroboca Zróżcowae pozomów bezroboca w ujęcu regoalym (merzoe współczykem zmeośc), 006 Źródło: Komsja Europejska

32 Przykłady zestaweń statystyczych (6) Godzowe wyagrodzea brutto, 00 Źródło: komsja Europejska 005

33 STATYSTYKA MATEMATYCZNA

34 Założea statystyk matematyczej Dae dośwadczale są wykem dzałaa pewego mechazmu losowego. A zatem: mamy do czyea ze zmeym losowym określoym a pewej przestrze probablstyczej, których realzacjam (wartoścam) są zebrae dae. Problem: e zamy (dokładego) rozkładu tych zmeych losowych...

35 Różca w podejścach RP SM:. RP, przykład: Sformułowae: w procese produkcyjym każdy kokrety wyrób może być wadlwy. Dzeje sę tak z prawdopodobeństwem 0%. Wady poszczególych sztuk są ezależe. Problemy: Jaka jest szasa, że w part 50 sztuk dokłade 6 będze wadlwych? Ile średo sztuk będze wadlwych? Jaka jest ajbardzej prawdopodoba lczba sztuk wadlwych? Rozwązae: budujemy model probablstyczy, tu: Schemat Beroullego dla 50, p0, Ewetuale, jeśl teresują as też e pytaa (p. jaka jest szasa, że perwsze 5 sztuk wadlwych), model dla cągów

36 Różca w podejścach RP SM cd.. SM, przykład: Sformułowae: Kotroler przebadał partę 50 sztuk towaru. Wyk są astępujące ( towar wadlwy, 0 bez wad): Problemy: jake jest prawdopodobeństwo, że produkt jest wadlwy (oszacowae)? Czy prawdą może być deklaracja produceta, że wadlwość to 0%? Rozwązae: budujemy model statystyczy, czyl model probablstyczy z ezaym() parametrem(am) rozkładu

37 Model Statystyczy Model statystyczy: (, F, P) gdze: przestrzeń wartośc obserwowaej zmeej losowej (często -wymarowa, jeśl mamy -wymarową próbkę zmeych,..., ) F σ-cało a P rodza rozkładów prawdopodobeństw P θ, deksowaa parametrem θ Θ w RP było: ( Ω, F, P) W mej formalym opse zwykle podaje sę:, P, Θ

38 Model statystyczy przykład {0,} przestrzeń próbkowa Łączy rozkład prawdopodobeństwa: P θ ( dla θ [0,] x, x,..., x ) θ θ (u as 50 oraz , pozostałe 0) Σx x ( θ) ( θ) Σx x

39 Model statystyczy przykład cd. Alteratywe sformułowae (jeśl otujemy tylko lczbęwadlwych elemetów w próbe): {0,,,..., } przestrzeń próbkowa Łączy rozkład prawdopodobeństwa: P θ dla θ [0,] ( x θ x (u as 50 oraz 6) x x ) θ ( )

40 Model statystyczy przykład cd. (): pytaa Mamy kokrete dae (próbkę): Jaka jest wartość parametru θ? teresuje as kokreta wartość teresuje as przedzał (ufośc) zagadee estymacj Weryfkacja hpotezy, że θ 0, testowae hpotez statystyczych ew. predykcje

41 Statystyk Estymację parametrów (puktową, przedzałową) czy testowae hpotez statystyczych przeprowadza sę a podstawe tzw. statystyk: Statystyka dowola fukcja obserwacj, czyl zmea losowa postac T T(,,..., Rozkład statystyk Tzależy od rozkładu zmeej, alestatystyka jako taka e może zależeć od parametru θ, p. + -θ )

42 Statystyk przykład są statystykam dla perwszego sformułowaa; są statystykam dla drugego sformułowaa Wybór statystyk zależy od pytaa, a które mamy odpowedzeć. 0,,, 3 T T T 0,,, 3 T T T

43 Model Statystyczy: Przykład f Wzrosty a gełdze. Aaltyk bada długość okresów wzrostowych a gełdze. Iteresuje go czas wzrostu kursu (do perwszego spadku), w dach. Załóżmy, że czasy wzrostu,,..., są próbką z rozkładu wykładczego Exp(λ). λ ezay parametr (0, ) przestrzeń próbkowa Łączy rozkład prawdopodobeństwa: P λ λ ( ( x λx x, x,..., x) ( e ) λσx x x,,..., ) λ e dlaλ> 0

44 Model Statystyczy: Przykład 3 Pomar z błędem losowym: powtarzamy pomar welkośc µ, wyk poszczególych pomarów są ezależym zmeym los.,,...,, bo maszya do pomaru edoskoała. Każdy z pomarów ma jedakowy rozkład ormaly N(µ, σ ). µ, σ ezae parametry (a węc θ (µ, σ)) R przestrzeń próbkowa Łączy rozkład prawdopodobeństwa: P ( ) x µ µσ, ( x, x,..., x) Φ σ fµσ, ( x, x,..., x ) exp ( x µ ) πσ σ lub ( ) ( ) dla µ R, σ >0

45