Entropia w układach dynamicznych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Entropia w układach dynamicznych"

Transkrypt

1 Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku. Zadajemy komuś pytaie, a które możliwa jest pewa skończoa liczba l odpowiedzi. Na przykład. Jak masz a imię? Możliwe odpowiedzi, to l- elemetowe rozbicie przestrzei wszystkiego, co się może potem wydarzyć. Jak wiemy, etropia tego rozbicia (średia ilość iformacji z otrzymaej odpowiedzi) zależy od rozkładu prawdopodobieństwa a przestrzei i ie przekracza log l w przypadku, gdy wszystkie odpowiedzi są jedakowo prawdopodobe. Wiemy też jedak, że rozkład prawdopodobieństwa jest sprawą subiektywą, zależą od wiedzy obserwatora o sytuacji. Tak aprawdę w praktyce prawie igdy ie jest oo a priori dokładie zdefiiowae. Jeśli lekarz mówi, po badaiu USG ciężarej kobiecie, że a 80% będzie to dziewczyka, to poday procet jest czystą spekulacją, oszacowaiem a oko, tym co się lekarzowi zdaje a podstwie iewyraźego obrazka. Rówie dobrze mógłby o powiedzieć 70% lub 90%. Jeśli późiej okaże się, że to jedak chłopiec, prawdopodobie będzie starał się przekoać pacjetkę, że mówił 50%. A zatem dobrze byłoby w praktyce ie opierać się a bliżej ieokreśloym prawdopodobieństwie lecz a czymś bardziej pewym. Jedyą rzeczą, którą możemy ustalić a pewo jest liczba możliwych odpowiedzi l. Moża więc przyjąc log l jako rodzaj kombiatoryczej etropii rozbicia. Zaletą takiego parametru jest to, że ie zależy oa od rozkładu prawdopodobieńtwa, a mimo to coś am mówi o ich etropiach jest o bowiem rówy maksimum etropii przy różych rozkładach. H comb () = max{h µ () : µ miara probabilistycza a X}. Otóż, tę samą zależość będziemy próbowali przeieść a topologicze układy dyamicze w odiesieiu do etropii dyamiczej. Zależości tego typu oszą wspóle miao zasad wariacyjych. ewie problem, a jaki się przy tym atkiemy, to występowaie w układach topologiczych efektu tzw. logiki rozmytej. Na przykład gdy ktoś robi sobie test ciążowy, to ma co prawda tylko dwie możliwości, które powiy być rozpozawale przy pomocy kolorów próbika: biały brak ciąży, czerwoy ciąża. Ale zdarza się (i to zapewe ader często), że kolor próbika jest różowy. Jak obliczyć ilość uzyskaej wtedy iformacji?

2 2 Etropia Kołmogorowa Siaia uzupełieie Musimy ajpierw uzupełić aszą wiedzę a temat etropii dyamiczej w układach teorio-miarowych. rzypomijmy, że teorio-miarowym układem dyamiczym azywamy czwórkę (X, A, µ, T ), gdzie (X, A, µ) jest stadardową przestrzeią probabilistyczą, a T : X trasformacją mierzalą zachowującą miarę. Jeśli w przestrzei X wprowadzimy skończoe rozbicie mierzale = {A,..., A l }, to dostaiemy faktor symboliczy aszego ukladu zway procesem geerowaym przez. Dla takich procesów zdefiiowaliśmy etropię dyamiczą h(µ, T, ) = lim H(µ, ), gdzie przez ozaczaliśmy połączeie i=0 T i (). Dla takiej etropii udowodiliśmy Twierdzeie Shaoa McMillaa Breimaa. Chcemy teraz uiezależić się od rozbicia i określić etropię układu dyamiczego. Rolę tę spełia tzw. etropia Kołmogorowa Siaia zdefiiowaa astępująco Defiicja 4.. Etropią Kołmogorowa Siaja układu dyamiczego (X, A, µ, T ) azywamy liczbę h(µ, T ) = sup h(µ, T, ), gdzie przebiega wszystkie A-mierzale rozbicia skończoe (lub, co daję rówoważą defiicję, rozbicia przeliczale o skończoej etropii statyczej). Jeśli trasformacja lub miara, lub obie te rzeczy są ustaloe, to będziemy używać alteratywmych ozaczeń h(µ), h(t ), h(a). Jako iterpretację tego pojęcia możemy powiedzieć, że jeśli traktujemy rozbicie jako rodzaj rozdzielczości teorio-miarowej aszej obserwacji układu, i jeśli już rozumiemy etropię procesu przy ustaloym rozbiciu, to etropia Kołmogorowa Siaja określa maksymalą etropię procesu, jaką możemy uzyskać w układzie dyamiczym zmieiając dowolie tę rozdzielczość. Okazuje się bowiem, że chociaż etropie statycze rozbić skończoych ie są ograiczoe, to jedak ich etropie dyamicze mogą okazać się ograiczoe. Tak więc h(µ, T ) to maksymala średia ilość iformacji po przestrzei i czasie, jaką dostacza am układ iezależie od tego z jaką rozdzielczością go obserwujemy. Jeśli teraz B jest podiezmieiczym sigma-ciałem, to możemy zdefiiować etropię warukową układu względem faktora: Defiicja 4..5 Etropią warukową układu dyamiczego (X, A, µ, T ) względem faktora (czyli sigma ciała podiezmieiczego) B azywamy liczbę h(µ, T B) = sup h(µ, T, B). Alteratywe ozaczeia, to h(µ ν), h(t S), h(a B), gdzie ν i S ozaczają odpowiedio miarę i trasformację a faktor-przestrzei atomów sigma-ciała B. 2

3 Fakt 4..6 h(a B) + h(b) = h(a). Dowód: Rówość jest trywiala, gdy h(b) =, gdyż jest oczywiste z defiicji, że h(a) h(b). W pozostałych przypadkach mamy udowodić wzór substraktywy h(a B) = h(a) h(b). Niech i Q przebiegają wszystkie rozbicia skończoe odpowiedio A- i B-mierzale. Wtedy h(a) h(b) = sup h() sup h(q) = if Q sup (h() h(q)) = Q if sup (h( Q) h(q)) sup if(h( Q) h(q)) = Q Q sup if Q Z drugiej stroy, mamy też h(a B) = sup if Q (h( Q)) = sup h( B) = h(a B). (h( Q) h(q)) sup if(h() h(q)) = h(a) h(b). Q odamy teraz listę własości etropii Kołmogorowa Siaja (bez dowodów, które są atychmiastowymi kosekwecjami aalogiczych własości dla etropii procesów). oiżej, B, C i D są poiezmieiczymi pod-sigma-ciałami A. Fakt 4..7 h(b C D) = h(b C D) + h(c D), B C = h(b D) h(c D) C D = h(b C) h(b D) h(b C D) h(b D) + h(c D), h(b D) h(b C) + h(c D). Mamy też zasadę potęgową (tu rówież dowód wyika atychmiast z aalogiczej zasady dla procesów). Fakt 4..4 Dla każdego 0 (a dla działań odwracalych rówież dla ujemych) mamy h(t ) = h(t ). Dowód wyika atychmiast z Faktu przez ałożeie supremum po rozbiciach. Twierdzeie (Kołmogorowa Siaja) Jeśli jest geeratorem (tz. N0 = A), to h(µ, T ) = h(µ, T, ). Dowód wyika atychmiast z Faktu

4 3 Rozdzielczość topologicza rzechodzimy do części topologiczej aszych rozważań. rzez topologiczy układ dyamiczy będziemy rozumieć parę (X, T ), gdzie X jest przestrzeią metryczą zwartą, a T : X X jest trasformacją ciągłą. rzede wszystkim, trzeba wiedzieć, że a mocy twierdzeia o pukcie stałym Bogolubowa Kryłowa w takim układzie zawsze istieje przyajmiej jeda miara (borelowska, probabilistycza) T -iezmieicza. Wtedy układ (X, A µ, µ, T ) jest teorio-miarowym układem dyamiczym (A µ ozacza sigma-ciało zbiorów borelowskich uzupełioe dla miary µ). Miar iezmieiczych może być wiele (awet ieprzeliczalie wiele), tak więc jede układ topologiczy ajczęściej itegruje w sobie wiele układów teorio-miarowych. W zasadzie chcielibyśmy wprowadzić topologiczą fukcję iformacji i etropię topologiczą w oparciu o wcześiej zasygalizowaą ideę etropii kobiatoryczej, opartej a liczeiu (iepustych) elemetów rozbicia odpowiadającego odpowiedziom a jakieś pytaie (wyiki jakiegoś pomiaru). W pewych przypadkach rzeczywiście moża tak zrobić i my wrócimy do tego prostego pomysłu przy omawiaiu etropii ukladów zero-wymiarowych. Jedak w ogólym przypadku przestrzei metryczej zwartej patrzeie a rozbicia mierzale kłóci się ze strukturą topologiczą przestrzei po prostu fukcje charakterystycze elemetów rozbicia a ogół ie są ciągłe, tak więc rozbicie rozrywa przestrzeń zmieiając iejako jej topologię. Mówiąc ściślej, odwzorowaie faktorujące z aszego układu w układ symboliczy uzyskay przy pomocy rozbicia ie jest wtedy ciągłe. Aby lepiej zrozumieć ideę fukcji iformacji i etropii topologiczej musimy omówić dokładiej iterpretację pojęcia rozdzielczości topologiczej. rzypuśćmy, że dokoujemy pomiaru jakiejś wielkości, która może przyjmować wartości z odcika [0, ]. Nasze zdolości rozdzielcze są ograiczoe, dlatego ie będziemy odróżiać wyików mało od siebie odległych, powiedzmy bliższych sobie iż pewie ɛ. Wtedy klasą ierozróżialości wyiku x będzie odciek otwarty (x ɛ, x + ɛ). Zauważmy, że klasy różych wyików ie są rozłącze relacja ierozróżialości, choć jest zwrota i symetrycza, ie jest przechodia, a więc ie jest relacją rówoważości. W związku z tym propoowae są dwa sposoby obliczaia fukcji iformacji z takiego pomiaru. ierwszy to policzyć ile maksymalie wyików możemy rozróżić i uzać logarytm z tej liczby jako (stałą a całej przestrzei) fukcję iformacji. Ia możliwość, to policzyć ile miimalie klas ierozróżialości wystarczy, aby pokryć całą przestrzeń (i przyjąć logarytm tej liczby jaką aszą stałą fukcję iformacji). Oba sposoby różią się iezaczie (a przykład jeśli ɛ jest ieco większy od 2 to maksymalie możemy rozróżić dwa elemety p. 0 i, ale już jeda klasa p. puktu 2 pokrywa cały odciek). Iy sposób liczeia, ktory jast jakby ekstraktem z powyższych dwóch sposobów, pozamy za chwilę. 4

5 4 okrycia otwarte rzez pokrycie będziemy rozmumieć rodzię zbiorów otwartych, których suma jest całą przestrzeią X. Na przykład U (,ɛ) ozaczać będzie pokrycie wszystkimi kulami o promieiu ɛ. Formalie ie ma przeszkód, aby elemetem pokrycia był zbiór pusty. odpokryciem pokrycia U azwiemy każdą podrodzię V U, która jest pokryciem. Ze zwartości wyika, że każde pokrycie posiada podpokrycie skończoe, dlatego moża zdefiiować parametr skończoy N(U) jako miimalą liczość podpokrycia skończoego. odpokrycie V o tej liczości spełia N(U) = N(V) = #V. okrycie spełiające ostatią rówość N(V) = #V azwiemy optymalym. okrycie V jest optymale wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego V V istieje pukt pokryty wyłączie przez V (oczywiście zbiór pusty ie może być elemetem pokrycia optymalego). owiemy, że pokrycie V jest wpisae w pokrycie U (co zapiszemy przez V U, jeśli każdy elemet rozbicia V jest zawarty w pewym elemecie rozbicia U. Natomiast połączeie rozbić U, V zdefiiowae jest tak samo jak dla rozbić: U V = {U V : U U, V V}. Zwróćmy uwagę a istote różice pomiędzy relacją i operacją dla rozbić dla pokryć. o pierwsze jeśli V U, to wcale ie musi być tak, że każdy elemet U jest sumą elemetów V. Co prawda zawsze jest U V U, ale aby zachodziła tu rówość ie wystarczy, żeby V U (potrzeby jest o wiele mociejszy waruek); a przykład U U a ogół ie rówa się U. o drugie liczość V może być miejsza ić liczość U; a przykład każde popokrycie pokrycia U jest weń wpisae. Mamy jedak astępujące zależości dotyczące paramertu N(U): Fakt 6..2 U V = N(U) N(V), N(U V) N(U)N(V), N(U U) = N(U), N(T (U)) N(U). W ostatim pukcie mamy a myśli trasformację ciągłą T : X X. Zauważmy, że przeciwobraz pokrycia jest pokryciem. oadto, jeśli T jest surjekcją, to N(T (U)) = N(U). Dowody są elemetare. W kotekście układu dyamiczego zadaego przez trasformację T jak wyżej będziemy pisać, podobie jak dla rozbić U = T i (U). i=0 Z pokryciem U zwiążemy jeszcze dwa parametry: średicę i liczbę Lebesgue a: 5

6 Defiicja Średicą pokrycia U ozaczoą diam(u) azwiemy supremum średic jego elemetów. Jego liczba Lebesgue a, ozaczaa Leb(U), to maksymala δ > 0, taki że każda kula o promieiu δ mieści się w całości w którymś elemecie pokrycia U (ietrudo wykazać, że w przestrzei zwartej taka liczba dodatia istieje). Oczywiście Leb(U) diam(u) oraz U (,Leb(U)) U U (,diam(u)). 5 Iformacja i etropia topologicza defiicje W układzie dyamiczym (X, T ) wprowadzamy ciąg metryk d wzorem d (x, y) = max d(t i x, T i y) i=0,..., Oczywiście d = d i metryki te rosą wraz, jedak wszystkie są sobie rówoważe. Kule w tej metryce ozaczać będziemy przez B (x, ɛ) i azywać (, ɛ)- kulami (Bowea). okrycie wszystkimi (, ɛ)-kulami ozaczymy przez U (,ɛ). odamy teraz dwie defiicje iformacji i etropii topologiczej (Diaburg 970, Bowe 97): Zbiór E azwiemy (, ɛ)-rozdzieloym, jeśli d (x, y) ɛ dla dowolych x, y F, x y. Ze zwartości wyika łatwo, że przy ustaloych i ɛ, liczości zbiorów (, ɛ)-rozdzieloych są wspólie ograiczoe przez pewą liczbę skończoą, którą ozaczymy przez s(, ɛ). Zbiór (, ɛ)-rozdzieloy o tej liczości azwiemy maksymalym. Defiicja 6.. Defiiujemy kolejo H (, ɛ) = log s(, ɛ) h (T, ɛ) = lim sup H (, ɛ), h (T ) = lim ɛ 0 h (T, ɛ). Iterpretujemy to astępująco: liczba s(, ɛ) to maksymala ilość orbit, jaką jesteśmy w staie rozróżić posługując się urządzeiem obserwacyjym o rozdzielczości ɛ. Zatem możemy przyjąć logarytm tej liczby jako (stałą a całej przestrzei) fukcję iformacji uzyskaej w krokach. Dalej już postępujemy dokładie tak samo jak w przypadku miarowym: H (, ɛ) jest średią iformacją w krokach (teraz ie mamy ustaloej miary, ale do uśredieia stałej ie trzeba jej ustalać po prostu jest to ta sam stała), h (T, ɛ) to średi przyrost etropii w jedym kroku (ie mamy jedak zagwaratowaego istieia graicy) jest to odległy aalog etropii dyamiczej procesu przy ustaloym rozbiciu, wreszcie h (T ) to supremum tego, co moża uzyskać dowolie poprawiając rozdzielczość, a więc aalog etropii Kołmogorowa Siaja. 6

7 Koleja deficja (rówież tych samych autorów) korzysta z pojęcia rozpiaia. Zbiór E azwiemy (, ɛ)-rozpiającym, jeśli staowi o ɛ-sieć w metryce d, czyli jeśli dla dowolego x X istieje y E, taki że d(x, y) < ɛ. Iymi słowy (, ɛ)-kule wokól elemetów E pokrywają X (są podpokryciem U (,ɛ) ). Rzecz jasa, istieją skończoe zbiory (, ɛ)-rozpiające i ich miimalą liczość ozaczymy przez r(, ɛ). Zbiór rozpiający o tej liczości azwiemy miimalym. Defiicja 6..2 Defiiujemy kolejo H 2 (, ɛ) = log r(, ɛ) h 2 (T, ɛ) = lim sup H 2(, ɛ), h 2 (T ) = lim ɛ 0 h 2 (T, ɛ). Iterpretacja jest iemal idetycza, jak poprzedio, z tą tylko różicą, że liczba r(, ɛ) to miimala ilość -orbit, jaka wystarcza, aby zakwalifikować dowolą ią -orbitę jako ierozróżialą z jedą z ich. To też jest w pewym sesie liczba rozróżialych -orbit w układzie. odamy teraz trzecią defiicję, która jest ajogóliejsza, ie korzysta bowiem z pojęcia metryki (a zatem moża ją stosować awet w przestrzeiach iemetryzowalych). Historyczie rzecz ujmując pojawia się oa ajwcześiej (Adler Koheim McAdrew 965), jedak dobrze jest widzieć ją jako uogólieie deficji poprzediej. Defiicja 6..3 Defiiujemy kolejo H 3 (, U) = log N(U ) h 3 (T, U) = lim H 3(, U), h 3 (T ) = sup h 3 (T, U). U Tym razem możemy apisać graicę, gdyż ciąg H 3 (U ) jest podaddytywy, co wyika łatwo z wcześiejszych zależości: N(U V) N(U)N(V) oraz N(T (U)) N(U). Iterpretacja jest astępująca: elemety pokrycia U to klasy ierozróżialości. Liczba N(U ) to, jak poprzedio, miimala liczba orbit, jaka wystarcza, aby zakwalifikować dowolą ią -orbitę jako ierozróżialą z jedą z ich. oprzedia deficja jest prawie szczególym przypadkiem tej pokryciowej, jeśli U zastąpimy przez U (,ɛ). Nie jest to ściśle szczególy przypadek, gdyż pokrycie U (,ɛ) jest jedyie podpokryciem, a ie tym samym co U (,ɛ). Uwaga. W przestrzei metryczej zawsze moża zaleźć ciąg pokryć U k, taki że dla każdego iego pokrycia U dostateczie dalekie U k jest weń wpisae. Dodatkowo możemy żądać, aby U k+ U k. Mówimy wtedy o rozdrabiającym 7

8 ciągu pokryć. W takim przypadku supremum po U w ostatiej defiicji moża zastąpić graicą wstępującą po U k. Etropię topologiczą defiiuje się w oparciu o astępujące twierdzeie, jako wspólą wartość liczb h (T ), h 2 (T ) i h 3 (T ) i ozacza przez h(t ). Twierdzeie 6..8 rówości W topologiczym układzie dyamiczym zachodzą h (T ) = h 2 (T ) = h 3 (T ). Dowód: Jak wiemy, zbiór E jest (, ɛ)-rozpiający, wtedy i tylko wtedy, gdy (, ɛ)-kule wokół jego elemetów staowią podpokrycie U (,ɛ), które z kolei jest wpisae (jako podpokrycie) w U (,ɛ). Zatem r(, ɛ) = N(U (,ɛ) ) N (U (,ɛ) ). Dalej, jeśli dla jakiegoś pokrycia ɛ Leb(U), to U (,ɛ) U, więc N (U (,ɛ) ) N(U ). Następie zauważmy, że maksymaly zbiór (, ɛ)-rozdzieloy musi być (, ɛ)- rozpiający, zatem s(, ɛ) r(, ɛ). Wreszcie, jeśli diam(v) < ɛ, to elemety V zawierają po co ajwyżej jedym elemecie ze zbioru (, ɛ)-rozdzieloego, co implikuje, że Z powyższych ierówości wyika, że N(V ) s(, ɛ). h 3 (T, V) h (T, ɛ) h 2 (T, ɛ) h 3 (T, U). Teraz wystarczy ałożyć w suprema: ajpierw po V, potem po ɛ, a końcu po U, i dostajemy tezę. Uwaga: Teraz widać, że jeśli w defiicjach h (T, ɛ) i h 2 (T, ɛ) w miejsce lim sup zastosujemy lim if, to wartości etropii h (T, ) i h 2 (T ) ie ulegą zmiaie. 6 Własości etropii topologiczej odukładem układu (X, T ) azywamy ddowly podzbiór domkięty Y X taki, że T (Y ) Y (czyli podiezmieiczy). Wtedy (Y, T ) (formalie powio się pisać T Y ) jest układem dyamiczym. Z kolei faktorem (topologiczym) układu (X, T ) azywamy dowoly iy układ (Y, S) jeśli istieje odwzorowaie faktorujące ciągłe z X a Y (deficja odwzorowaia faktorującego jest taka sama jak w przypadku teorio-miarowym). 8

9 Fakt 6.2., Etropia podukładu i etropia faktora są ie większe od etropii daego układu. Dowód: Maksymaly zbiór (, ɛ)-rodzieloy w podukładzie jest (, ɛ)-rodzieloy w całym układzie (być może tu już ie jest maksymaly). rzeciwobraz pokrycia optymalego w faktorze jest pokryciem optymalym w rozszerzeiu i ma tę samą liczość (bo odwzorowaie faktorujące jest surjekcją). Supremum w defiicji etropii w rozszerzeiu uwzględia między iymi pokrycia podiesioe z faktora (ale ie tylko te). To już implikuje żądaą ierówość. Fakt h(t ) = h(t ). Dowód przebiega idetyczie jak dla etropii miarowej. Fakt h(t, U ) = h(t, U). Dowód. Co prawda ie zachodzi rówość pokryć (U ) m i U +m, ale pokrycia te mają tą samą liczbę N( ) (a tego samego powodu, co N(U U) = N(U)). Tak więc dzieląc ich logarytm przez m i przechodząc z m do ieskończoości otrzymamy tą samą graicę co dla U m. Wiosek (Aalog tw. Kołmogorowa Siaja): Jeśli U jest geeratorem topologiczym (tz. ciąg U jest rozdrabiający), to h(t ) = h(t, U). 7 Miary iezmieicze Twierdzeie (Bogolubov Kryłow 937) W każdym topologiczym układzie dyamiczym (X, T ) istieje przyajmiej jeda (borelowska probabilistycza) miara T -iezmieicza (tz., taka że µ(t (A)) = µ(a) dla każdego zbioru borelowskiego A). Dowód: Z twierdzeia Riesza możemy traktować miary probabilistycze jako fukcjoały ieujeme uormowae a C(X). Z twierdzeia Baacha-Alaoglu, zbiór miar probabilistyczych (X) jest zwarty w *-słabej topologii. Jest o rówież wypukły, a T działający a miarach przeprowadza (X) w siebie i jest w tej topologii ciągły. Wybieramy dowolą miarę ν (X) i patrzymy a ciąg średich µ = T i ν. Są to elemety (X). Zauważmy, że i=0 µ T µ ) = ν + T ν 2, Niech µ będzie dowolym puktem skupieia (w *-słabej topologii) ciągu µ. Ze zwartości (X), taka miara probabilistycza istieje. Wtedy, dla dowolej 9

10 uormowaej fukcji f C(X) i dowolego ɛ > 0 istieje > ɛ, takie że f dµ f dµ < ɛ oraz f T dµ f T dµ < ɛ. rzypomijmy też, jak działa operator T a miarach: f dt µ = f T dµ. Zatem, mamy f dµ f dµ f dt µ f dµ + f dµ f dt µ + f dt µ f dt µ ɛ + f µ T µ + ɛ 2ɛ + 2 < 4ɛ. oieważ ɛ jest dowoly, wykazaliśmy, że f dµ f dt µ = 0. To ozacza, że µ T µ jest fukcjoałem zerowym a C(X), co implikuje, że jest to po prostu miara zerowa, zatem µ = T µ, czyli wskazaliśmy miarę T -iezmieiczą. Zbiór miar iezmieiczych będziemy ozaczać przez T (X). Jest o rówież wypukły i *-słabo zwarty (i oczywiście iepusty). Metrykę w tym zbiorze (rówoważą z *-słabą topologią) moża zadać w astępujący sposób. Trzeba wybrać i ustalić ciąg fukcji uormowaych (f ) o tej własości, że zbiór {f T k :, k 0} jest liiowo gęsty w C(X). Następie ustalić ciąg sumowaly liczb dodatich (c ). I wtedy możemy położyć d (µ, ν) = c = f dµ f dν. De facto waruek sumowalości moża osłabić. Wystaczy, żeby szereg fukcyjy c f był zbieży puktowo i wspólie ograiczoy. Szczegóły uzasadieia tego stwierdzeia pomiiemy. Uwaga: Jeśli π : (X, T ) (Y, S) jest odwzorowaiem faktorującym między topologiczymi układami dyamiczymi (czyli ciągłą surjekcją z X a Y spełiającą π T = S π, to odwzorowaie idukowae a miarach (rówież ozaczmy je przez π i przypomijmy, że (πµ)(a) = µ(π (A)) dla zbioru A borelowskiego w Y ) jest ciągłą afiiczą surjekcją z T (X) a S (Y ). Dowód: Niech µ T (X). Weźmy zbiór A borelowski w Y. Mamy S(πµ)(A) = µ(π S (A)) = µ(t π (A)) = µ(π (A)) = (πµ)(a), czyli πµ jest S-iezmieicza. Ciągłość w *-słabych topologiach: Niech µ zbiegają słabo do µ. Wtedy dla dowolej f C(Y ) mamy f d(πµ ) = f π dµ f π dµ = f d(πµ). 0

11 Afiiczość jest oczywista. Nietrywiala jest tylko surjektywość. Niech ν S (Y ). Istieje miara (iekoieczie iezmieicza) µ (X), taka że πµ = ν. Wyika to wprost z twierdzeia Haha Baacha o przedłużaiu fukcjoału: ν zadaje a podprzestrzei {f π : f C(Y )} C(X) fukcjoał F ν (f π) = f dν. Te fukcjoał po przedłużeiu do miary ieujemej uormowaej a C(X) będzie szukaą miarą µ. Teraz postępujemy tak, jak w dowodzie twierdzeia Bogolubova Kryłowa; średie µ = i=0 T i µ mają pukt skupieia µ 0 będący miarą iezmieiczą. oieważ πµ jest miarą S-iezmieiczą ν, więc πµ = πt i µ = S i πµ = S i ν = ν = ν i=0 i=0 (dla każdego ), a z ciągłości π a miarach, rówież πµ 0 = ν, co kończy dowód. i=0 i=0 Jeśli µ jest miarą iezmieiczą w topologiczym układzie dyamiczym (X, T ), to otrzymujemy teorio-miarowy układ dyamiczy (X, A µ, µ, T ), gdzie A µ jest sigma-ciałem zbiorów borelowskich uzupełioym względem miary µ (uzupełieie stosujemy tylko po to, żeby otrzymać stadardową przestrzeń probabilistyczą). Układ te posiada swoją etropię Kołmogorowa Siaja h(µ, T ). amiętajmy, że a ogół układ topologiczy może posiadać wiele miar iezmieiczych. Związek pomiędzy etropią topologiczą układu, a etropiami Kołmogorowa Siaja jego miar iezmieiczych ustala poiższe twierdzeie, uważae za jedo z kluczowych (obok twierdzeia Shaoa McMillaa Breimaa) w teorii etropii układów dyamiczych. Twierdzeie (Zasada wariacyja) h(t ) = sup{h(µ, T ) : µ T (X)}. Dowód podamy w kolejych rozdziałach, ale ograiczymy się do przypadku, gdy X jest przestrzeią zero-wymiarową. 8 Dyamika i miary iezmieicze w wymiarze zero Aby zrozumieć dyamikę w przestrzeich zero-wymiarowych trzeba przede wszystkim zrozumieć dyamikę symboliczą. Defiicja Układem symboliczym azwiemy dowoly układ (X, T ), gdzie X Λ N0 jest domkiętym zbiorem podiezmieiczym a trasformację przesuięcie (ag. shift) σ((x ) N0 ) = (x + ) N0, Λ jest zbiorem skończoym (zwaym alfabetem), a T jest właśie tą trasformacją (obciętą do X). owyżej, w zbiór Λ traktujemy jako przestrzeń dyskretą (jest oa zwarta), a w Λ N0 stosujemy topolgię produktową (która, a mocy tw Tichoowa, też jest zwarta).

12 Zauważmy, że w tzw. pełym układzie symboliczym (w którym X Λ = Λ N0 ) rozbicie a cylidry ad współrzędą zerową {[a] : a Λ} (które rówież ozaczymy przez Λ) jest rozbiciem a zbiory otwarto-domkięte, w szczególości jest to więc pokrycie otwarte. okrycie to jest geeratorem topologiczym. Jeśli teraz ograiczymy się do podukładu X (a więc dowolego układu symboliczego), to rozbicie Λ X (Λ zrelatywizowae do X dalszej części będziemy pomijać pisaie X ) jest adal jego rozbiciem. To samo dotyczy (zrelatywizowaych) pokryć Λ. Zatem każde z takich pokryć ma jedye podpokrycie optymale otrzymae poprzez odrzuceie zbiorów pustych. Czyli parametr N(Λ ) (a X) liczy ile cylidrów z Λ kroi się iepusto z X. Dlatego wprowadzimy ozaczeie Λ (X) = {B Λ : [B] X }. Iterpretacja tego zbioru jest taka, że są to bloki długości ad alfabetem Λ które występują w X (wystarczy aby wystąpił o w co ajmiej jedym elemecie (x ) N0 X a jakiejkowliek pozycji wtedy stosując wielokrotie shift zobaczymy go w jakimś elemecie X a pozycjach od zera do, czyli właśie [B] X ). Jak już powiedzieliśmy, zbiór Λ (X) staowi optymale podpokrycie X pokrycia Λ, a poieważ Λ jest geeratorem topologiczym (rówież w X), więc mamy poiższy iezwykle prosty wzór a etropię topologiczą: h(x, T ) = h(x, T, Λ) = lim log #Λ (X). odobie, jeśli ustalimy dowolą miarę iezmieiczą µ T (X), to miara ta jest rówież miarą iezmieiczą pełego układu symboliczego (X Λ, σ), i Λ traktowaa teraz jako rozbicie mierzale jest geeratorem (teorio-miarowym). Zatem mamy wzór h(µ, T ) = h(µ, σ) = h(µ, σ, Λ). Tak więc licząc etropię czy to topologiczą, czy to Kołmogorowa Siaja jakiejś miary iezmieiczej, wystarczy patrzeć a pokrycio-rozbicie Λ. Jeśli teraz mamy dowoly układ zero-wymiarowy, to co prawda ie musi o być układem symboliczym (do tegu musiałby jeszcze być o ekspaywy), ale zawsze istieje w im ciąg rozbić (pokryć) otwarto-domkiętych, które łączie geerują zarówo topologię jak i sigma-ciało zbiorów borelowskich. Aby odróżić te rozbicia od zwykłych rozbić (które są tylko mierzale) ozaczymy je przez Λ k. Każde takie rozbicie geeruje proces, a zarazem układ symboliczy, w którym Λ k staje się alfabetem. rzez Λ k (X) ozaczymy, jak poprzedio, zbiór bloków, które wstępują w tym układzie symboliczym. Mamy wtedy podobe wzory a etropie, jak dla układów symboliczych, z tym tylko, że we wzorach pojawi się rozsąca graica po k: h(x, T ) = lim k h(x, T, Λ k ) = lim k lim log #Λ k(x), oraz, dla każdej miary iezmieiczej µ a X, h(µ, T ) = lim k h(µ, T, Λ k ). 2

13 rzyjrzyjmy się jeszcze miarom iezmieiczym w układzie symboliczym. oieważ są to miary iezmieicze rówież w pełym układzie symboliczym ad daym alfabetem, moża od razu założyć, że patrzymy a układ (Λ N0, σ). Każda miara iezmieicza przypisuje wartości cylidrom ad blokami skończoymi i wartości te ie zależą od miejsca zaczepieia cylidra. Zatem miara jest zdetermiowaa poprzez swoje wartości a cylidrach zaczeopiych a współrzędeej zerowej. Zgodie z kowecją, zbiór takich cylidrów długości będziemy po prostu ozaczać przez Λ. Topologię *-słabą w zbiorze miar iezmieiczych układu symboliczego moża zmetryzować przy pomocy takiej oto metryki: d (µ, ν) = lim µ(b) ν(b) B Λ (graica istieje, gdyż powyższy ciąg jest ograiczoy przez 2 i ietrudo przekoać się, że jest iemalejący). Wyika z tego astępująca iterpretacja bliskości miar: dwie miary µ i ν są blisko jeśli wszystkim dostateczie długim cylidrom adają podobe wartości: oraz ɛ>0,δ ( B Λ µ(b) ν(b) < δ) = d (µ, ν) < ɛ ɛ>0,δ d (µ, ν) < ɛ = ( B Λ µ(b) ν(b) < δ) (jedak dobór i δ do ɛ może być w obu przypadkach iy, dlatego ie piszemy jedego zdaia logiczego z rówoważością). Udowodimy teraz astępujący prosty fakt Fakt Fukcja etropii Kołmogorowa Siaja µ h(µ, σ) jest górie półciągła w topolgii *-słabej a zbiorze wszystkich miar iezmieiczych pełego układu symboliczego (Λ N0, σ). Dowód: Mamy h(µ, σ) = h(µ, σ, Λ) = lim η(µ(b)). B Λ Dla każdego cylidra B fukcja µ µ(b) jest ciągła (gdyż B jest ciągła jako fukcja charakterystycza zbioru otwarto-domkiętego, a µ(b) to całka z tej fukcji). Fukcja η jest ciągła. Dalej mamy sumę skończoą i dzieleie przez stałą. Zatem mamy tu graicę malejącą ciągu fukcji ciągłych, a to jest fuckja górie półciągła. 9 Zasada wariacyja w wymiarze zero odamy teraz dowód zasady wariacyjej w układach zero-wymiarowych. Dowód w przypadku ogólym jest o wiele bardziej skomplikoway. Istieje też 3

14 sposób aby twierdzeie to uogólić z przypadku zero-wymiarowego a dowoly, jedak o rówież wymaga skomplikowaej kostrukcji tzw. zero-wymiarowych rozszerzeń prycypialych. Dlatego w ramach tego kursu ograiczymy się do przypadku zero-wymiarowego. Główa część dowodu dotyczy układów symboliczych. Dowód zasady wariacyjej dla układów symboliczych: Dowód ierówości w jedą stroę jest atychmiastowy. Mamy pokazać, że etropia Kołmogorowa Siaja dowolej miary iezmieiczej µ w układzie symboliczym (X, σ) ad alfabetem Λ jest ie większa od jego etropii topologiczej. Mamy h(µ, T ) = h(µ, σ, Λ) = lim H(µ, Λ ). oieważ miara µ jest iesioa przez X (dopełieie X ma miarę zero), więc H(µ, Λ ) = H(µ, Λ (X)) log #Λ (X), a co za tym idzie, h(µ, T ) lim log #Λ (X) = h(x, T ). Dowód w drugą stroę jest ieco trudiejszy. Skostruujemy miarę µ, taką że h(µ, T ) = h(x, T ) (czyli miarę o maksymalej etropii). Ustalmy i iech X ozacza zbiór wszystkich ciągów uzyskaych jako ieskończoe kokateacje bloków z Λ (X), z których pierwszy jest zaczepioy a współrzędej zerowej. Oczywiście X X. Jak łatwo widać, zbiór X jest iezmieiczy pod działaiem σ w sesie rówości σ (X ) = X atomiast pod działaiem σ mamy taki oto cykl ciąg surjekcji X σ(x ) σ 2 (X ) σ (X ) X. Zatem każda z przestrzei σ i (X ) jest σ -iezmieicza. Na X mamy specjalą miarę σ -iezmieiczą, miaowicie miarę Beroulliego µ (0), która wszystkim blokom B Λ (X) przypisuje rówe wartości (#Λ (X)) (a kokateacjom m takich bloków wartość (#Λ (X)) m ). Zauważmy, że takie kokateacje to właśie połączeie m kolejych przeciwobrazów przez σ rozbicia Λ, co możemy zapisać jako (Λ ) m (tutaj pierwszy wykładik odosi się do działaia σ a drugi m do działaia σ ). Etropia tego rozbicia dla tej miary wyosi zatem a etropia dyamicza H(µ (0), (Λ ) m ) = log(#λ (X)) m = m log #Λ (X), h(µ (0), σ, Λ ) = lim m m m log #Λ (X) = log #Λ (X). Miara µ (0) jest przeoszoa przez koleje iteracje σ i (i =, 2,..., ) a miary σ -iezmieicze µ (i) iesioe przez zbiory σ i (X ), a astępie po iteracjach wraca jako µ (0) a X. Zatem każda z miar µ (i) (i = 0,..., ) jest faktorem 4

15 teorio-miarowym każdej iej z tych miar (miary te są słabo izomorficze). To wystarcza, aby stwierdzić, że mają oe jedakowe etropie (pod działaiem σ ). Miara µ zdefiiowaa jako ich średia µ = jest zarówo σ -, jak i σ-iezmieicza. Jej etropię pod działaiem σ względem rozbicia Λ obliczymy z afiiczości etropii dyamiczej h(µ, σ, Λ ) = h(µ (i) i=0 i=0 µ (i), σ, Λ ) = h(µ (0), σ, Λ ) = log #Λ (X). Z kolei do obliczeia etropii miary µ pod działaiem σ względem Λ zastosujemy zasadę potęgową: h(µ, σ, Λ) = h(µ, σ, Λ ) = log #Λ (X). oieważ Λ jest geeratorem, to jest to samo, co etropia Kołmogorowa Siaja h(µ, σ). Niech µ ozacza dowly pukt skupieia ciągu µ (w zwartym zbiorze miar σ-iezmieiczych pełego ukladu symboliczego ad alfabetem Λ. Z górej półciągłości fukcji etropii w układzie symboliczym wyika, że h(µ, σ) lim if h(µ, σ) = lim log #Λ (X) = h(x, T ). Jeśli wykażemy, że mira µ jest iesioa przez X, to będzie to koiec dowodu. Trzeba więc pokazać, że dopełieie X ma miarę µ zero. Dopełieie to, jako zbiór otwarty w przestrzei ośrodkowej, jest przeliczalą sumą zbiorów bazowych, czyli cylidrów otwarto-domkiętych. Wystarczy więc pokazać, że miara dowolego cylidra C (dowolej długości m) rozłączego z X, czyli (jako blok) ie występującego w X (a więc ie ależącego do Λ m (X)) jest zero. oieważ miara zbioru otwarto-domkiętego jest ciągłą fukcją miary, wystarczy pokazać, że µ (C) 0 po, czyli, że µ (C) jest małe dla dużego. okażemy o wiele więcej, że ν(c) jest małe dla dowolej miary ν iesioej przez zbiór σ- iezmieiczy X = X σ(x ) σ (X ). Wystarczy to pokazać dla miar ergodyczych, gdyż w każdym układzie topologiczym każda miara iezmieicza jest graicą kombiacji liiowych miar ergodyczych (to wyika z twierdzeia Kreia Milmaa i tego, że miary ergodycze, to to samo co pukty ekstremale zbioru miar iezmieiczych). Zatem iech ν ozacza miarę ergodyczą a X. Do oszacowaia liczby ν(c) skorzystamy z twierdzeia ergodyczego. oieważ X jest podzbiorem X miary dodatiej, istieje x X spełiający tezę twierdzeia ergodyczego dla miary µ i zbioru C, tz. taki, że ν(c) jest rówe średiej częstości odwiedzi orbity puktu x w cylidrze C. Ale ta częstość, to to samo co częstość, z jaką blok C występuje w ciągu symboliczym, jakim jest x. oieważ C ie ależy do Λ (X), ie może o występować w żadym bloku z rodziy Λ m (X), a skoro x jest kokateacją 5

16 takich bloków, to C może występować tylko a złączeiach bloków z rodziy Λ m (X), czyli pozycjach zaczepioych w miejscach poprzedzających takie złączeia (które występują okresowo co ) o co ajwyżej m. To ozacza, że częstość jego występowaia ie przekracza m, co jest, (przy ustaloym m i dowolie dużym ) liczbą małą. To kończy cały dowód. Istytut Matematyki i Iformatyki, olitechika Wrocławska Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław 6

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych Uiwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Iformatyki Istytut Iformatyki Grzegorz Łoś Zastosowaie błądzeia przypadkowego do testowaia geeratorów liczb pseudolosowych Praca magisterska apisaa pod kierukiem

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Joanna JASZUŃSKA, Warszawa. Centrum Studiów Zaawansowanych, Politechnika Warszawska

Joanna JASZUŃSKA, Warszawa. Centrum Studiów Zaawansowanych, Politechnika Warszawska Artykuł związay jest z odczytem Nie)zależie od liczby wymiarów, wygłoszoym podczas L Szkoły Matematyki Poglądowej Nie)zależość w stycziu 2013 r w Nadarzyie Podziały Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Cetrum Studiów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( )

Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( ) Poiedziałki 11.45 Grupa I3 Iformatyka a wydziale Iformatyki Politechika Pozańska Algorytmy I Struktury Daych Prowadząca: dr Hab. iż. Małgorzata Stera Sprawozdaie do Ćwiczeia 3 Algorytmy grafowe (26.03.12)

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki

Bardziej szczegółowo