Entropia w układach dynamicznych

Transkrypt

1 Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku. Zadajemy komuś pytaie, a które możliwa jest pewa skończoa liczba l odpowiedzi. Na przykład. Jak masz a imię? Możliwe odpowiedzi, to l- elemetowe rozbicie przestrzei wszystkiego, co się może potem wydarzyć. Jak wiemy, etropia tego rozbicia (średia ilość iformacji z otrzymaej odpowiedzi) zależy od rozkładu prawdopodobieństwa a przestrzei i ie przekracza log l w przypadku, gdy wszystkie odpowiedzi są jedakowo prawdopodobe. Wiemy też jedak, że rozkład prawdopodobieństwa jest sprawą subiektywą, zależą od wiedzy obserwatora o sytuacji. Tak aprawdę w praktyce prawie igdy ie jest oo a priori dokładie zdefiiowae. Jeśli lekarz mówi, po badaiu USG ciężarej kobiecie, że a 80% będzie to dziewczyka, to poday procet jest czystą spekulacją, oszacowaiem a oko, tym co się lekarzowi zdaje a podstwie iewyraźego obrazka. Rówie dobrze mógłby o powiedzieć 70% lub 90%. Jeśli późiej okaże się, że to jedak chłopiec, prawdopodobie będzie starał się przekoać pacjetkę, że mówił 50%. A zatem dobrze byłoby w praktyce ie opierać się a bliżej ieokreśloym prawdopodobieństwie lecz a czymś bardziej pewym. Jedyą rzeczą, którą możemy ustalić a pewo jest liczba możliwych odpowiedzi l. Moża więc przyjąc log l jako rodzaj kombiatoryczej etropii rozbicia. Zaletą takiego parametru jest to, że ie zależy oa od rozkładu prawdopodobieńtwa, a mimo to coś am mówi o ich etropiach jest o bowiem rówy maksimum etropii przy różych rozkładach. H comb () = max{h µ () : µ miara probabilistycza a X}. Otóż, tę samą zależość będziemy próbowali przeieść a topologicze układy dyamicze w odiesieiu do etropii dyamiczej. Zależości tego typu oszą wspóle miao zasad wariacyjych. ewie problem, a jaki się przy tym atkiemy, to występowaie w układach topologiczych efektu tzw. logiki rozmytej. Na przykład gdy ktoś robi sobie test ciążowy, to ma co prawda tylko dwie możliwości, które powiy być rozpozawale przy pomocy kolorów próbika: biały brak ciąży, czerwoy ciąża. Ale zdarza się (i to zapewe ader często), że kolor próbika jest różowy. Jak obliczyć ilość uzyskaej wtedy iformacji?

2 2 Etropia Kołmogorowa Siaia uzupełieie Musimy ajpierw uzupełić aszą wiedzę a temat etropii dyamiczej w układach teorio-miarowych. rzypomijmy, że teorio-miarowym układem dyamiczym azywamy czwórkę (X, A, µ, T ), gdzie (X, A, µ) jest stadardową przestrzeią probabilistyczą, a T : X trasformacją mierzalą zachowującą miarę. Jeśli w przestrzei X wprowadzimy skończoe rozbicie mierzale = {A,..., A l }, to dostaiemy faktor symboliczy aszego ukladu zway procesem geerowaym przez. Dla takich procesów zdefiiowaliśmy etropię dyamiczą h(µ, T, ) = lim H(µ, ), gdzie przez ozaczaliśmy połączeie i=0 T i (). Dla takiej etropii udowodiliśmy Twierdzeie Shaoa McMillaa Breimaa. Chcemy teraz uiezależić się od rozbicia i określić etropię układu dyamiczego. Rolę tę spełia tzw. etropia Kołmogorowa Siaia zdefiiowaa astępująco Defiicja 4.. Etropią Kołmogorowa Siaja układu dyamiczego (X, A, µ, T ) azywamy liczbę h(µ, T ) = sup h(µ, T, ), gdzie przebiega wszystkie A-mierzale rozbicia skończoe (lub, co daję rówoważą defiicję, rozbicia przeliczale o skończoej etropii statyczej). Jeśli trasformacja lub miara, lub obie te rzeczy są ustaloe, to będziemy używać alteratywmych ozaczeń h(µ), h(t ), h(a). Jako iterpretację tego pojęcia możemy powiedzieć, że jeśli traktujemy rozbicie jako rodzaj rozdzielczości teorio-miarowej aszej obserwacji układu, i jeśli już rozumiemy etropię procesu przy ustaloym rozbiciu, to etropia Kołmogorowa Siaja określa maksymalą etropię procesu, jaką możemy uzyskać w układzie dyamiczym zmieiając dowolie tę rozdzielczość. Okazuje się bowiem, że chociaż etropie statycze rozbić skończoych ie są ograiczoe, to jedak ich etropie dyamicze mogą okazać się ograiczoe. Tak więc h(µ, T ) to maksymala średia ilość iformacji po przestrzei i czasie, jaką dostacza am układ iezależie od tego z jaką rozdzielczością go obserwujemy. Jeśli teraz B jest podiezmieiczym sigma-ciałem, to możemy zdefiiować etropię warukową układu względem faktora: Defiicja 4..5 Etropią warukową układu dyamiczego (X, A, µ, T ) względem faktora (czyli sigma ciała podiezmieiczego) B azywamy liczbę h(µ, T B) = sup h(µ, T, B). Alteratywe ozaczeia, to h(µ ν), h(t S), h(a B), gdzie ν i S ozaczają odpowiedio miarę i trasformację a faktor-przestrzei atomów sigma-ciała B. 2

3 Fakt 4..6 h(a B) + h(b) = h(a). Dowód: Rówość jest trywiala, gdy h(b) =, gdyż jest oczywiste z defiicji, że h(a) h(b). W pozostałych przypadkach mamy udowodić wzór substraktywy h(a B) = h(a) h(b). Niech i Q przebiegają wszystkie rozbicia skończoe odpowiedio A- i B-mierzale. Wtedy h(a) h(b) = sup h() sup h(q) = if Q sup (h() h(q)) = Q if sup (h( Q) h(q)) sup if(h( Q) h(q)) = Q Q sup if Q Z drugiej stroy, mamy też h(a B) = sup if Q (h( Q)) = sup h( B) = h(a B). (h( Q) h(q)) sup if(h() h(q)) = h(a) h(b). Q odamy teraz listę własości etropii Kołmogorowa Siaja (bez dowodów, które są atychmiastowymi kosekwecjami aalogiczych własości dla etropii procesów). oiżej, B, C i D są poiezmieiczymi pod-sigma-ciałami A. Fakt 4..7 h(b C D) = h(b C D) + h(c D), B C = h(b D) h(c D) C D = h(b C) h(b D) h(b C D) h(b D) + h(c D), h(b D) h(b C) + h(c D). Mamy też zasadę potęgową (tu rówież dowód wyika atychmiast z aalogiczej zasady dla procesów). Fakt 4..4 Dla każdego 0 (a dla działań odwracalych rówież dla ujemych) mamy h(t ) = h(t ). Dowód wyika atychmiast z Faktu przez ałożeie supremum po rozbiciach. Twierdzeie (Kołmogorowa Siaja) Jeśli jest geeratorem (tz. N0 = A), to h(µ, T ) = h(µ, T, ). Dowód wyika atychmiast z Faktu

4 3 Rozdzielczość topologicza rzechodzimy do części topologiczej aszych rozważań. rzez topologiczy układ dyamiczy będziemy rozumieć parę (X, T ), gdzie X jest przestrzeią metryczą zwartą, a T : X X jest trasformacją ciągłą. rzede wszystkim, trzeba wiedzieć, że a mocy twierdzeia o pukcie stałym Bogolubowa Kryłowa w takim układzie zawsze istieje przyajmiej jeda miara (borelowska, probabilistycza) T -iezmieicza. Wtedy układ (X, A µ, µ, T ) jest teorio-miarowym układem dyamiczym (A µ ozacza sigma-ciało zbiorów borelowskich uzupełioe dla miary µ). Miar iezmieiczych może być wiele (awet ieprzeliczalie wiele), tak więc jede układ topologiczy ajczęściej itegruje w sobie wiele układów teorio-miarowych. W zasadzie chcielibyśmy wprowadzić topologiczą fukcję iformacji i etropię topologiczą w oparciu o wcześiej zasygalizowaą ideę etropii kobiatoryczej, opartej a liczeiu (iepustych) elemetów rozbicia odpowiadającego odpowiedziom a jakieś pytaie (wyiki jakiegoś pomiaru). W pewych przypadkach rzeczywiście moża tak zrobić i my wrócimy do tego prostego pomysłu przy omawiaiu etropii ukladów zero-wymiarowych. Jedak w ogólym przypadku przestrzei metryczej zwartej patrzeie a rozbicia mierzale kłóci się ze strukturą topologiczą przestrzei po prostu fukcje charakterystycze elemetów rozbicia a ogół ie są ciągłe, tak więc rozbicie rozrywa przestrzeń zmieiając iejako jej topologię. Mówiąc ściślej, odwzorowaie faktorujące z aszego układu w układ symboliczy uzyskay przy pomocy rozbicia ie jest wtedy ciągłe. Aby lepiej zrozumieć ideę fukcji iformacji i etropii topologiczej musimy omówić dokładiej iterpretację pojęcia rozdzielczości topologiczej. rzypuśćmy, że dokoujemy pomiaru jakiejś wielkości, która może przyjmować wartości z odcika [0, ]. Nasze zdolości rozdzielcze są ograiczoe, dlatego ie będziemy odróżiać wyików mało od siebie odległych, powiedzmy bliższych sobie iż pewie ɛ. Wtedy klasą ierozróżialości wyiku x będzie odciek otwarty (x ɛ, x + ɛ). Zauważmy, że klasy różych wyików ie są rozłącze relacja ierozróżialości, choć jest zwrota i symetrycza, ie jest przechodia, a więc ie jest relacją rówoważości. W związku z tym propoowae są dwa sposoby obliczaia fukcji iformacji z takiego pomiaru. ierwszy to policzyć ile maksymalie wyików możemy rozróżić i uzać logarytm z tej liczby jako (stałą a całej przestrzei) fukcję iformacji. Ia możliwość, to policzyć ile miimalie klas ierozróżialości wystarczy, aby pokryć całą przestrzeń (i przyjąć logarytm tej liczby jaką aszą stałą fukcję iformacji). Oba sposoby różią się iezaczie (a przykład jeśli ɛ jest ieco większy od 2 to maksymalie możemy rozróżić dwa elemety p. 0 i, ale już jeda klasa p. puktu 2 pokrywa cały odciek). Iy sposób liczeia, ktory jast jakby ekstraktem z powyższych dwóch sposobów, pozamy za chwilę. 4

5 4 okrycia otwarte rzez pokrycie będziemy rozmumieć rodzię zbiorów otwartych, których suma jest całą przestrzeią X. Na przykład U (,ɛ) ozaczać będzie pokrycie wszystkimi kulami o promieiu ɛ. Formalie ie ma przeszkód, aby elemetem pokrycia był zbiór pusty. odpokryciem pokrycia U azwiemy każdą podrodzię V U, która jest pokryciem. Ze zwartości wyika, że każde pokrycie posiada podpokrycie skończoe, dlatego moża zdefiiować parametr skończoy N(U) jako miimalą liczość podpokrycia skończoego. odpokrycie V o tej liczości spełia N(U) = N(V) = #V. okrycie spełiające ostatią rówość N(V) = #V azwiemy optymalym. okrycie V jest optymale wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego V V istieje pukt pokryty wyłączie przez V (oczywiście zbiór pusty ie może być elemetem pokrycia optymalego). owiemy, że pokrycie V jest wpisae w pokrycie U (co zapiszemy przez V U, jeśli każdy elemet rozbicia V jest zawarty w pewym elemecie rozbicia U. Natomiast połączeie rozbić U, V zdefiiowae jest tak samo jak dla rozbić: U V = {U V : U U, V V}. Zwróćmy uwagę a istote różice pomiędzy relacją i operacją dla rozbić dla pokryć. o pierwsze jeśli V U, to wcale ie musi być tak, że każdy elemet U jest sumą elemetów V. Co prawda zawsze jest U V U, ale aby zachodziła tu rówość ie wystarczy, żeby V U (potrzeby jest o wiele mociejszy waruek); a przykład U U a ogół ie rówa się U. o drugie liczość V może być miejsza ić liczość U; a przykład każde popokrycie pokrycia U jest weń wpisae. Mamy jedak astępujące zależości dotyczące paramertu N(U): Fakt 6..2 U V = N(U) N(V), N(U V) N(U)N(V), N(U U) = N(U), N(T (U)) N(U). W ostatim pukcie mamy a myśli trasformację ciągłą T : X X. Zauważmy, że przeciwobraz pokrycia jest pokryciem. oadto, jeśli T jest surjekcją, to N(T (U)) = N(U). Dowody są elemetare. W kotekście układu dyamiczego zadaego przez trasformację T jak wyżej będziemy pisać, podobie jak dla rozbić U = T i (U). i=0 Z pokryciem U zwiążemy jeszcze dwa parametry: średicę i liczbę Lebesgue a: 5

6 Defiicja Średicą pokrycia U ozaczoą diam(u) azwiemy supremum średic jego elemetów. Jego liczba Lebesgue a, ozaczaa Leb(U), to maksymala δ > 0, taki że każda kula o promieiu δ mieści się w całości w którymś elemecie pokrycia U (ietrudo wykazać, że w przestrzei zwartej taka liczba dodatia istieje). Oczywiście Leb(U) diam(u) oraz U (,Leb(U)) U U (,diam(u)). 5 Iformacja i etropia topologicza defiicje W układzie dyamiczym (X, T ) wprowadzamy ciąg metryk d wzorem d (x, y) = max d(t i x, T i y) i=0,..., Oczywiście d = d i metryki te rosą wraz, jedak wszystkie są sobie rówoważe. Kule w tej metryce ozaczać będziemy przez B (x, ɛ) i azywać (, ɛ)- kulami (Bowea). okrycie wszystkimi (, ɛ)-kulami ozaczymy przez U (,ɛ). odamy teraz dwie defiicje iformacji i etropii topologiczej (Diaburg 970, Bowe 97): Zbiór E azwiemy (, ɛ)-rozdzieloym, jeśli d (x, y) ɛ dla dowolych x, y F, x y. Ze zwartości wyika łatwo, że przy ustaloych i ɛ, liczości zbiorów (, ɛ)-rozdzieloych są wspólie ograiczoe przez pewą liczbę skończoą, którą ozaczymy przez s(, ɛ). Zbiór (, ɛ)-rozdzieloy o tej liczości azwiemy maksymalym. Defiicja 6.. Defiiujemy kolejo H (, ɛ) = log s(, ɛ) h (T, ɛ) = lim sup H (, ɛ), h (T ) = lim ɛ 0 h (T, ɛ). Iterpretujemy to astępująco: liczba s(, ɛ) to maksymala ilość orbit, jaką jesteśmy w staie rozróżić posługując się urządzeiem obserwacyjym o rozdzielczości ɛ. Zatem możemy przyjąć logarytm tej liczby jako (stałą a całej przestrzei) fukcję iformacji uzyskaej w krokach. Dalej już postępujemy dokładie tak samo jak w przypadku miarowym: H (, ɛ) jest średią iformacją w krokach (teraz ie mamy ustaloej miary, ale do uśredieia stałej ie trzeba jej ustalać po prostu jest to ta sam stała), h (T, ɛ) to średi przyrost etropii w jedym kroku (ie mamy jedak zagwaratowaego istieia graicy) jest to odległy aalog etropii dyamiczej procesu przy ustaloym rozbiciu, wreszcie h (T ) to supremum tego, co moża uzyskać dowolie poprawiając rozdzielczość, a więc aalog etropii Kołmogorowa Siaja. 6

7 Koleja deficja (rówież tych samych autorów) korzysta z pojęcia rozpiaia. Zbiór E azwiemy (, ɛ)-rozpiającym, jeśli staowi o ɛ-sieć w metryce d, czyli jeśli dla dowolego x X istieje y E, taki że d(x, y) < ɛ. Iymi słowy (, ɛ)-kule wokól elemetów E pokrywają X (są podpokryciem U (,ɛ) ). Rzecz jasa, istieją skończoe zbiory (, ɛ)-rozpiające i ich miimalą liczość ozaczymy przez r(, ɛ). Zbiór rozpiający o tej liczości azwiemy miimalym. Defiicja 6..2 Defiiujemy kolejo H 2 (, ɛ) = log r(, ɛ) h 2 (T, ɛ) = lim sup H 2(, ɛ), h 2 (T ) = lim ɛ 0 h 2 (T, ɛ). Iterpretacja jest iemal idetycza, jak poprzedio, z tą tylko różicą, że liczba r(, ɛ) to miimala ilość -orbit, jaka wystarcza, aby zakwalifikować dowolą ią -orbitę jako ierozróżialą z jedą z ich. To też jest w pewym sesie liczba rozróżialych -orbit w układzie. odamy teraz trzecią defiicję, która jest ajogóliejsza, ie korzysta bowiem z pojęcia metryki (a zatem moża ją stosować awet w przestrzeiach iemetryzowalych). Historyczie rzecz ujmując pojawia się oa ajwcześiej (Adler Koheim McAdrew 965), jedak dobrze jest widzieć ją jako uogólieie deficji poprzediej. Defiicja 6..3 Defiiujemy kolejo H 3 (, U) = log N(U ) h 3 (T, U) = lim H 3(, U), h 3 (T ) = sup h 3 (T, U). U Tym razem możemy apisać graicę, gdyż ciąg H 3 (U ) jest podaddytywy, co wyika łatwo z wcześiejszych zależości: N(U V) N(U)N(V) oraz N(T (U)) N(U). Iterpretacja jest astępująca: elemety pokrycia U to klasy ierozróżialości. Liczba N(U ) to, jak poprzedio, miimala liczba orbit, jaka wystarcza, aby zakwalifikować dowolą ią -orbitę jako ierozróżialą z jedą z ich. oprzedia deficja jest prawie szczególym przypadkiem tej pokryciowej, jeśli U zastąpimy przez U (,ɛ). Nie jest to ściśle szczególy przypadek, gdyż pokrycie U (,ɛ) jest jedyie podpokryciem, a ie tym samym co U (,ɛ). Uwaga. W przestrzei metryczej zawsze moża zaleźć ciąg pokryć U k, taki że dla każdego iego pokrycia U dostateczie dalekie U k jest weń wpisae. Dodatkowo możemy żądać, aby U k+ U k. Mówimy wtedy o rozdrabiającym 7

8 ciągu pokryć. W takim przypadku supremum po U w ostatiej defiicji moża zastąpić graicą wstępującą po U k. Etropię topologiczą defiiuje się w oparciu o astępujące twierdzeie, jako wspólą wartość liczb h (T ), h 2 (T ) i h 3 (T ) i ozacza przez h(t ). Twierdzeie 6..8 rówości W topologiczym układzie dyamiczym zachodzą h (T ) = h 2 (T ) = h 3 (T ). Dowód: Jak wiemy, zbiór E jest (, ɛ)-rozpiający, wtedy i tylko wtedy, gdy (, ɛ)-kule wokół jego elemetów staowią podpokrycie U (,ɛ), które z kolei jest wpisae (jako podpokrycie) w U (,ɛ). Zatem r(, ɛ) = N(U (,ɛ) ) N (U (,ɛ) ). Dalej, jeśli dla jakiegoś pokrycia ɛ Leb(U), to U (,ɛ) U, więc N (U (,ɛ) ) N(U ). Następie zauważmy, że maksymaly zbiór (, ɛ)-rozdzieloy musi być (, ɛ)- rozpiający, zatem s(, ɛ) r(, ɛ). Wreszcie, jeśli diam(v) < ɛ, to elemety V zawierają po co ajwyżej jedym elemecie ze zbioru (, ɛ)-rozdzieloego, co implikuje, że Z powyższych ierówości wyika, że N(V ) s(, ɛ). h 3 (T, V) h (T, ɛ) h 2 (T, ɛ) h 3 (T, U). Teraz wystarczy ałożyć w suprema: ajpierw po V, potem po ɛ, a końcu po U, i dostajemy tezę. Uwaga: Teraz widać, że jeśli w defiicjach h (T, ɛ) i h 2 (T, ɛ) w miejsce lim sup zastosujemy lim if, to wartości etropii h (T, ) i h 2 (T ) ie ulegą zmiaie. 6 Własości etropii topologiczej odukładem układu (X, T ) azywamy ddowly podzbiór domkięty Y X taki, że T (Y ) Y (czyli podiezmieiczy). Wtedy (Y, T ) (formalie powio się pisać T Y ) jest układem dyamiczym. Z kolei faktorem (topologiczym) układu (X, T ) azywamy dowoly iy układ (Y, S) jeśli istieje odwzorowaie faktorujące ciągłe z X a Y (deficja odwzorowaia faktorującego jest taka sama jak w przypadku teorio-miarowym). 8

9 Fakt 6.2., Etropia podukładu i etropia faktora są ie większe od etropii daego układu. Dowód: Maksymaly zbiór (, ɛ)-rodzieloy w podukładzie jest (, ɛ)-rodzieloy w całym układzie (być może tu już ie jest maksymaly). rzeciwobraz pokrycia optymalego w faktorze jest pokryciem optymalym w rozszerzeiu i ma tę samą liczość (bo odwzorowaie faktorujące jest surjekcją). Supremum w defiicji etropii w rozszerzeiu uwzględia między iymi pokrycia podiesioe z faktora (ale ie tylko te). To już implikuje żądaą ierówość. Fakt h(t ) = h(t ). Dowód przebiega idetyczie jak dla etropii miarowej. Fakt h(t, U ) = h(t, U). Dowód. Co prawda ie zachodzi rówość pokryć (U ) m i U +m, ale pokrycia te mają tą samą liczbę N( ) (a tego samego powodu, co N(U U) = N(U)). Tak więc dzieląc ich logarytm przez m i przechodząc z m do ieskończoości otrzymamy tą samą graicę co dla U m. Wiosek (Aalog tw. Kołmogorowa Siaja): Jeśli U jest geeratorem topologiczym (tz. ciąg U jest rozdrabiający), to h(t ) = h(t, U). 7 Miary iezmieicze Twierdzeie (Bogolubov Kryłow 937) W każdym topologiczym układzie dyamiczym (X, T ) istieje przyajmiej jeda (borelowska probabilistycza) miara T -iezmieicza (tz., taka że µ(t (A)) = µ(a) dla każdego zbioru borelowskiego A). Dowód: Z twierdzeia Riesza możemy traktować miary probabilistycze jako fukcjoały ieujeme uormowae a C(X). Z twierdzeia Baacha-Alaoglu, zbiór miar probabilistyczych (X) jest zwarty w *-słabej topologii. Jest o rówież wypukły, a T działający a miarach przeprowadza (X) w siebie i jest w tej topologii ciągły. Wybieramy dowolą miarę ν (X) i patrzymy a ciąg średich µ = T i ν. Są to elemety (X). Zauważmy, że i=0 µ T µ ) = ν + T ν 2, Niech µ będzie dowolym puktem skupieia (w *-słabej topologii) ciągu µ. Ze zwartości (X), taka miara probabilistycza istieje. Wtedy, dla dowolej 9

10 uormowaej fukcji f C(X) i dowolego ɛ > 0 istieje > ɛ, takie że f dµ f dµ < ɛ oraz f T dµ f T dµ < ɛ. rzypomijmy też, jak działa operator T a miarach: f dt µ = f T dµ. Zatem, mamy f dµ f dµ f dt µ f dµ + f dµ f dt µ + f dt µ f dt µ ɛ + f µ T µ + ɛ 2ɛ + 2 < 4ɛ. oieważ ɛ jest dowoly, wykazaliśmy, że f dµ f dt µ = 0. To ozacza, że µ T µ jest fukcjoałem zerowym a C(X), co implikuje, że jest to po prostu miara zerowa, zatem µ = T µ, czyli wskazaliśmy miarę T -iezmieiczą. Zbiór miar iezmieiczych będziemy ozaczać przez T (X). Jest o rówież wypukły i *-słabo zwarty (i oczywiście iepusty). Metrykę w tym zbiorze (rówoważą z *-słabą topologią) moża zadać w astępujący sposób. Trzeba wybrać i ustalić ciąg fukcji uormowaych (f ) o tej własości, że zbiór {f T k :, k 0} jest liiowo gęsty w C(X). Następie ustalić ciąg sumowaly liczb dodatich (c ). I wtedy możemy położyć d (µ, ν) = c = f dµ f dν. De facto waruek sumowalości moża osłabić. Wystaczy, żeby szereg fukcyjy c f był zbieży puktowo i wspólie ograiczoy. Szczegóły uzasadieia tego stwierdzeia pomiiemy. Uwaga: Jeśli π : (X, T ) (Y, S) jest odwzorowaiem faktorującym między topologiczymi układami dyamiczymi (czyli ciągłą surjekcją z X a Y spełiającą π T = S π, to odwzorowaie idukowae a miarach (rówież ozaczmy je przez π i przypomijmy, że (πµ)(a) = µ(π (A)) dla zbioru A borelowskiego w Y ) jest ciągłą afiiczą surjekcją z T (X) a S (Y ). Dowód: Niech µ T (X). Weźmy zbiór A borelowski w Y. Mamy S(πµ)(A) = µ(π S (A)) = µ(t π (A)) = µ(π (A)) = (πµ)(a), czyli πµ jest S-iezmieicza. Ciągłość w *-słabych topologiach: Niech µ zbiegają słabo do µ. Wtedy dla dowolej f C(Y ) mamy f d(πµ ) = f π dµ f π dµ = f d(πµ). 0

11 Afiiczość jest oczywista. Nietrywiala jest tylko surjektywość. Niech ν S (Y ). Istieje miara (iekoieczie iezmieicza) µ (X), taka że πµ = ν. Wyika to wprost z twierdzeia Haha Baacha o przedłużaiu fukcjoału: ν zadaje a podprzestrzei {f π : f C(Y )} C(X) fukcjoał F ν (f π) = f dν. Te fukcjoał po przedłużeiu do miary ieujemej uormowaej a C(X) będzie szukaą miarą µ. Teraz postępujemy tak, jak w dowodzie twierdzeia Bogolubova Kryłowa; średie µ = i=0 T i µ mają pukt skupieia µ 0 będący miarą iezmieiczą. oieważ πµ jest miarą S-iezmieiczą ν, więc πµ = πt i µ = S i πµ = S i ν = ν = ν i=0 i=0 (dla każdego ), a z ciągłości π a miarach, rówież πµ 0 = ν, co kończy dowód. i=0 i=0 Jeśli µ jest miarą iezmieiczą w topologiczym układzie dyamiczym (X, T ), to otrzymujemy teorio-miarowy układ dyamiczy (X, A µ, µ, T ), gdzie A µ jest sigma-ciałem zbiorów borelowskich uzupełioym względem miary µ (uzupełieie stosujemy tylko po to, żeby otrzymać stadardową przestrzeń probabilistyczą). Układ te posiada swoją etropię Kołmogorowa Siaja h(µ, T ). amiętajmy, że a ogół układ topologiczy może posiadać wiele miar iezmieiczych. Związek pomiędzy etropią topologiczą układu, a etropiami Kołmogorowa Siaja jego miar iezmieiczych ustala poiższe twierdzeie, uważae za jedo z kluczowych (obok twierdzeia Shaoa McMillaa Breimaa) w teorii etropii układów dyamiczych. Twierdzeie (Zasada wariacyja) h(t ) = sup{h(µ, T ) : µ T (X)}. Dowód podamy w kolejych rozdziałach, ale ograiczymy się do przypadku, gdy X jest przestrzeią zero-wymiarową. 8 Dyamika i miary iezmieicze w wymiarze zero Aby zrozumieć dyamikę w przestrzeich zero-wymiarowych trzeba przede wszystkim zrozumieć dyamikę symboliczą. Defiicja Układem symboliczym azwiemy dowoly układ (X, T ), gdzie X Λ N0 jest domkiętym zbiorem podiezmieiczym a trasformację przesuięcie (ag. shift) σ((x ) N0 ) = (x + ) N0, Λ jest zbiorem skończoym (zwaym alfabetem), a T jest właśie tą trasformacją (obciętą do X). owyżej, w zbiór Λ traktujemy jako przestrzeń dyskretą (jest oa zwarta), a w Λ N0 stosujemy topolgię produktową (która, a mocy tw Tichoowa, też jest zwarta).

12 Zauważmy, że w tzw. pełym układzie symboliczym (w którym X Λ = Λ N0 ) rozbicie a cylidry ad współrzędą zerową {[a] : a Λ} (które rówież ozaczymy przez Λ) jest rozbiciem a zbiory otwarto-domkięte, w szczególości jest to więc pokrycie otwarte. okrycie to jest geeratorem topologiczym. Jeśli teraz ograiczymy się do podukładu X (a więc dowolego układu symboliczego), to rozbicie Λ X (Λ zrelatywizowae do X dalszej części będziemy pomijać pisaie X ) jest adal jego rozbiciem. To samo dotyczy (zrelatywizowaych) pokryć Λ. Zatem każde z takich pokryć ma jedye podpokrycie optymale otrzymae poprzez odrzuceie zbiorów pustych. Czyli parametr N(Λ ) (a X) liczy ile cylidrów z Λ kroi się iepusto z X. Dlatego wprowadzimy ozaczeie Λ (X) = {B Λ : [B] X }. Iterpretacja tego zbioru jest taka, że są to bloki długości ad alfabetem Λ które występują w X (wystarczy aby wystąpił o w co ajmiej jedym elemecie (x ) N0 X a jakiejkowliek pozycji wtedy stosując wielokrotie shift zobaczymy go w jakimś elemecie X a pozycjach od zera do, czyli właśie [B] X ). Jak już powiedzieliśmy, zbiór Λ (X) staowi optymale podpokrycie X pokrycia Λ, a poieważ Λ jest geeratorem topologiczym (rówież w X), więc mamy poiższy iezwykle prosty wzór a etropię topologiczą: h(x, T ) = h(x, T, Λ) = lim log #Λ (X). odobie, jeśli ustalimy dowolą miarę iezmieiczą µ T (X), to miara ta jest rówież miarą iezmieiczą pełego układu symboliczego (X Λ, σ), i Λ traktowaa teraz jako rozbicie mierzale jest geeratorem (teorio-miarowym). Zatem mamy wzór h(µ, T ) = h(µ, σ) = h(µ, σ, Λ). Tak więc licząc etropię czy to topologiczą, czy to Kołmogorowa Siaja jakiejś miary iezmieiczej, wystarczy patrzeć a pokrycio-rozbicie Λ. Jeśli teraz mamy dowoly układ zero-wymiarowy, to co prawda ie musi o być układem symboliczym (do tegu musiałby jeszcze być o ekspaywy), ale zawsze istieje w im ciąg rozbić (pokryć) otwarto-domkiętych, które łączie geerują zarówo topologię jak i sigma-ciało zbiorów borelowskich. Aby odróżić te rozbicia od zwykłych rozbić (które są tylko mierzale) ozaczymy je przez Λ k. Każde takie rozbicie geeruje proces, a zarazem układ symboliczy, w którym Λ k staje się alfabetem. rzez Λ k (X) ozaczymy, jak poprzedio, zbiór bloków, które wstępują w tym układzie symboliczym. Mamy wtedy podobe wzory a etropie, jak dla układów symboliczych, z tym tylko, że we wzorach pojawi się rozsąca graica po k: h(x, T ) = lim k h(x, T, Λ k ) = lim k lim log #Λ k(x), oraz, dla każdej miary iezmieiczej µ a X, h(µ, T ) = lim k h(µ, T, Λ k ). 2

13 rzyjrzyjmy się jeszcze miarom iezmieiczym w układzie symboliczym. oieważ są to miary iezmieicze rówież w pełym układzie symboliczym ad daym alfabetem, moża od razu założyć, że patrzymy a układ (Λ N0, σ). Każda miara iezmieicza przypisuje wartości cylidrom ad blokami skończoymi i wartości te ie zależą od miejsca zaczepieia cylidra. Zatem miara jest zdetermiowaa poprzez swoje wartości a cylidrach zaczeopiych a współrzędeej zerowej. Zgodie z kowecją, zbiór takich cylidrów długości będziemy po prostu ozaczać przez Λ. Topologię *-słabą w zbiorze miar iezmieiczych układu symboliczego moża zmetryzować przy pomocy takiej oto metryki: d (µ, ν) = lim µ(b) ν(b) B Λ (graica istieje, gdyż powyższy ciąg jest ograiczoy przez 2 i ietrudo przekoać się, że jest iemalejący). Wyika z tego astępująca iterpretacja bliskości miar: dwie miary µ i ν są blisko jeśli wszystkim dostateczie długim cylidrom adają podobe wartości: oraz ɛ>0,δ ( B Λ µ(b) ν(b) < δ) = d (µ, ν) < ɛ ɛ>0,δ d (µ, ν) < ɛ = ( B Λ µ(b) ν(b) < δ) (jedak dobór i δ do ɛ może być w obu przypadkach iy, dlatego ie piszemy jedego zdaia logiczego z rówoważością). Udowodimy teraz astępujący prosty fakt Fakt Fukcja etropii Kołmogorowa Siaja µ h(µ, σ) jest górie półciągła w topolgii *-słabej a zbiorze wszystkich miar iezmieiczych pełego układu symboliczego (Λ N0, σ). Dowód: Mamy h(µ, σ) = h(µ, σ, Λ) = lim η(µ(b)). B Λ Dla każdego cylidra B fukcja µ µ(b) jest ciągła (gdyż B jest ciągła jako fukcja charakterystycza zbioru otwarto-domkiętego, a µ(b) to całka z tej fukcji). Fukcja η jest ciągła. Dalej mamy sumę skończoą i dzieleie przez stałą. Zatem mamy tu graicę malejącą ciągu fukcji ciągłych, a to jest fuckja górie półciągła. 9 Zasada wariacyja w wymiarze zero odamy teraz dowód zasady wariacyjej w układach zero-wymiarowych. Dowód w przypadku ogólym jest o wiele bardziej skomplikoway. Istieje też 3

14 sposób aby twierdzeie to uogólić z przypadku zero-wymiarowego a dowoly, jedak o rówież wymaga skomplikowaej kostrukcji tzw. zero-wymiarowych rozszerzeń prycypialych. Dlatego w ramach tego kursu ograiczymy się do przypadku zero-wymiarowego. Główa część dowodu dotyczy układów symboliczych. Dowód zasady wariacyjej dla układów symboliczych: Dowód ierówości w jedą stroę jest atychmiastowy. Mamy pokazać, że etropia Kołmogorowa Siaja dowolej miary iezmieiczej µ w układzie symboliczym (X, σ) ad alfabetem Λ jest ie większa od jego etropii topologiczej. Mamy h(µ, T ) = h(µ, σ, Λ) = lim H(µ, Λ ). oieważ miara µ jest iesioa przez X (dopełieie X ma miarę zero), więc H(µ, Λ ) = H(µ, Λ (X)) log #Λ (X), a co za tym idzie, h(µ, T ) lim log #Λ (X) = h(x, T ). Dowód w drugą stroę jest ieco trudiejszy. Skostruujemy miarę µ, taką że h(µ, T ) = h(x, T ) (czyli miarę o maksymalej etropii). Ustalmy i iech X ozacza zbiór wszystkich ciągów uzyskaych jako ieskończoe kokateacje bloków z Λ (X), z których pierwszy jest zaczepioy a współrzędej zerowej. Oczywiście X X. Jak łatwo widać, zbiór X jest iezmieiczy pod działaiem σ w sesie rówości σ (X ) = X atomiast pod działaiem σ mamy taki oto cykl ciąg surjekcji X σ(x ) σ 2 (X ) σ (X ) X. Zatem każda z przestrzei σ i (X ) jest σ -iezmieicza. Na X mamy specjalą miarę σ -iezmieiczą, miaowicie miarę Beroulliego µ (0), która wszystkim blokom B Λ (X) przypisuje rówe wartości (#Λ (X)) (a kokateacjom m takich bloków wartość (#Λ (X)) m ). Zauważmy, że takie kokateacje to właśie połączeie m kolejych przeciwobrazów przez σ rozbicia Λ, co możemy zapisać jako (Λ ) m (tutaj pierwszy wykładik odosi się do działaia σ a drugi m do działaia σ ). Etropia tego rozbicia dla tej miary wyosi zatem a etropia dyamicza H(µ (0), (Λ ) m ) = log(#λ (X)) m = m log #Λ (X), h(µ (0), σ, Λ ) = lim m m m log #Λ (X) = log #Λ (X). Miara µ (0) jest przeoszoa przez koleje iteracje σ i (i =, 2,..., ) a miary σ -iezmieicze µ (i) iesioe przez zbiory σ i (X ), a astępie po iteracjach wraca jako µ (0) a X. Zatem każda z miar µ (i) (i = 0,..., ) jest faktorem 4

15 teorio-miarowym każdej iej z tych miar (miary te są słabo izomorficze). To wystarcza, aby stwierdzić, że mają oe jedakowe etropie (pod działaiem σ ). Miara µ zdefiiowaa jako ich średia µ = jest zarówo σ -, jak i σ-iezmieicza. Jej etropię pod działaiem σ względem rozbicia Λ obliczymy z afiiczości etropii dyamiczej h(µ, σ, Λ ) = h(µ (i) i=0 i=0 µ (i), σ, Λ ) = h(µ (0), σ, Λ ) = log #Λ (X). Z kolei do obliczeia etropii miary µ pod działaiem σ względem Λ zastosujemy zasadę potęgową: h(µ, σ, Λ) = h(µ, σ, Λ ) = log #Λ (X). oieważ Λ jest geeratorem, to jest to samo, co etropia Kołmogorowa Siaja h(µ, σ). Niech µ ozacza dowly pukt skupieia ciągu µ (w zwartym zbiorze miar σ-iezmieiczych pełego ukladu symboliczego ad alfabetem Λ. Z górej półciągłości fukcji etropii w układzie symboliczym wyika, że h(µ, σ) lim if h(µ, σ) = lim log #Λ (X) = h(x, T ). Jeśli wykażemy, że mira µ jest iesioa przez X, to będzie to koiec dowodu. Trzeba więc pokazać, że dopełieie X ma miarę µ zero. Dopełieie to, jako zbiór otwarty w przestrzei ośrodkowej, jest przeliczalą sumą zbiorów bazowych, czyli cylidrów otwarto-domkiętych. Wystarczy więc pokazać, że miara dowolego cylidra C (dowolej długości m) rozłączego z X, czyli (jako blok) ie występującego w X (a więc ie ależącego do Λ m (X)) jest zero. oieważ miara zbioru otwarto-domkiętego jest ciągłą fukcją miary, wystarczy pokazać, że µ (C) 0 po, czyli, że µ (C) jest małe dla dużego. okażemy o wiele więcej, że ν(c) jest małe dla dowolej miary ν iesioej przez zbiór σ- iezmieiczy X = X σ(x ) σ (X ). Wystarczy to pokazać dla miar ergodyczych, gdyż w każdym układzie topologiczym każda miara iezmieicza jest graicą kombiacji liiowych miar ergodyczych (to wyika z twierdzeia Kreia Milmaa i tego, że miary ergodycze, to to samo co pukty ekstremale zbioru miar iezmieiczych). Zatem iech ν ozacza miarę ergodyczą a X. Do oszacowaia liczby ν(c) skorzystamy z twierdzeia ergodyczego. oieważ X jest podzbiorem X miary dodatiej, istieje x X spełiający tezę twierdzeia ergodyczego dla miary µ i zbioru C, tz. taki, że ν(c) jest rówe średiej częstości odwiedzi orbity puktu x w cylidrze C. Ale ta częstość, to to samo co częstość, z jaką blok C występuje w ciągu symboliczym, jakim jest x. oieważ C ie ależy do Λ (X), ie może o występować w żadym bloku z rodziy Λ m (X), a skoro x jest kokateacją 5

16 takich bloków, to C może występować tylko a złączeiach bloków z rodziy Λ m (X), czyli pozycjach zaczepioych w miejscach poprzedzających takie złączeia (które występują okresowo co ) o co ajwyżej m. To ozacza, że częstość jego występowaia ie przekracza m, co jest, (przy ustaloym m i dowolie dużym ) liczbą małą. To kończy cały dowód. Istytut Matematyki i Iformatyki, olitechika Wrocławska Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław dowar@pwr.wroc.pl 6