1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup
|
|
- Kamil Sowiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1 = x 1 x = e. Poieważ działaie jest łącze, więc (ab)c = a(bc) moża pisać po prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczy a 1 a 2... a moża pisać bez awiasów (ale uwaga a kolejość!). Jeśli a 1 = a 2 =... = a, to taki iloczy azywamy tą potęgą i ozaczamy a. Określamy poadto a 0 = e, a = (a ) 1 lub a = (a 1 ). Ć w i c z e i e. Wykazać, że dla a G, m, Z a m a = a m+, (a m ) = a m. Jeśli a = e dla pewego > 0, to ajmiejszą z liczb o tej własości azywamy rzędem elemetu a i ozaczamy a. Jeśli a e dla każdego > 0, to a =. Jeśli grupa ma skończoą liczbę elemetów, to azywamy ją grupą skończoą. Liczbę elemetów grupy azywamy rzędem grupy; ozaczeie: G. Ć w i c z e i e. Jeśli a = e, to dzieli się przez a. Jeżeli G spełia oprócz G1 G3 jeszcze: G4. x,y G x y = y x, to azywamy ją grupą abelową. Tradycyjie działaie w grupie abelowej ozaczamy + i stosujemy astępującą termiologię: + możeie dodawaie iloczy suma jedyka zero odwroty przeciwy potęga krotość e lub 1 0 a 1 a a a Przykłady. 1. Zbiór elemetów dowolego ciała rozpatryway z dodawaiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 2. Zbiór elemetów iezerowych dowolego ciała rozpatryway z możeiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 3. Zbiór Z z dodawaiem tworzy grupę abelową. 4. Zbiór Z reszt z dzieleia przez z działaiem dodawaia modulo tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończoa rzędu. 5. Q p = { m p m, Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest addytywą grupą abelową. 6. Zbiór C pierwiastków stopia z 1 jest grupą multiplikatywą skończoą rzędu. Przypomieie. Pierwiastkami stopia z 1 są liczby ε k = ( cos 2kπ + i si 2kπ Moża je zapisać w postaci wykładiczej: ), k = 0, 1,..., 1 e i 2kπ, k = 0, 1,..., 1 7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) iech ozacza zbiór odwzorowań odwracalych Ω Ω. Zbiór S(Ω) z działaiem składaia tworzy grupę. 1
2 8. W szczególości, gdy Ω = {1, 2,..., },to S(Ω) jest grupą permutacji -elemetowych. Nazywamy ją grupą symetryczą i ozaczamy S. Grupa S jest skończoa; S =!. Dla > 2 grupy S są ieabelowe. 9. Niech K będzie dowolym ciałem. Zbiór macierzy ieosobliwych o wyrazach z K z działaiem możeia macierzy jest grupą. Ozaczamy ją GL(, K) lub GL (K) i azywamy pełą grupą liiową. Jedyką tej grupy jest macierz jedostkowa; elemetem odwrotym do macierzy A jest macierz odwrota A 1. W GL (K) moża rozpatrywać astępujące podzbiory: a) SL (K) = {A GL (K) : det A = 1}; b) D (K) = {A GL (K) : A jest diagoala}; c) T (K) = {A GL (K) : A jest górotrójkąta}; d) UT (K) = {A T (K) : A ma jedyki a przekątej }. Grupy te oszą azwy: specjala grupa liiowa, grupa diagoala, grupa trójkąta, grupa uitrójkąta. Uwaga. Rozpatruje się rówież struktury uboższe (tz. mające miej aksjomatów) od grupy. Defiicja 2. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy półgrupą, gdy działaie to jest łącze, tj. x,y,z G (x y) z = x (y z). Pojęcie półgrupy okazało się bardzo użytecze, p. w teorii automatów. 2. Podgrupy Jeśli podzbiór H grupy G jest zamkięty ze względu a możeie (tj. a, b H ab H), to ograiczeie operacji możeia do H jest działaiem a H. Jeżeli względem tego działaia H jest grupą, to mówimy, że H jest podgrupą G i ozaczamy H G. Jeśli H G i H G, to piszemy H < G. Lemat 1. Następujące waruki są rówoważe: a) H G; b) a,b H ab 1 H; c) a,b H ab H a 1 H. Waruki te moża zapisać iaczej stosując pojęcie iloczyu kompleksowego podzbiorów grupy G: AB def = {ab : a A, b B} i przyjmując: dla A G i B G. A 1 def = {a 1 : a A} Lemat 2. Następujące waruki są rówoważe: a) H < G; b) HH H H 1 H. Przykłady. 1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = Q p. 2. Q < R < C. 3. C p < C p 2 <... < C p. Poadto C p = C p. 4. Dla 2: SL (K) < GL (K), D (K) < T (K),. UT (K) < T (K) < GL (K) 2
3 3. Iloczyy proste grup Niech G, H będą dowolymi grupami. Wtedy w zbiorze G H moża określić działaie wzorem: (g, h) (g, h ) = (gg, hh ) dla dowolych (g, g ), (h, h ) ze zbioru G H. Zbiór G H z tym działaiem tworzy grupę, której elemetem eutralym jest (e G, e H ). Nazywamy ją iloczyem prostym grup G i H. Zbiory G = {(g, e H ) : g G} i H = {(e G, h) : h H} są podgrupami grupy G H i oczywiście są izomorficze odpowiedio z G i H. U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma prosta grup. 4. Zbiory geerujące Jase jest, że przekrój dowolego zbioru podgrup daej grupy jest także podgrupą. Niech M dowoly podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich podgrup grupy G zawierających M azywamy podgrupą geerowaą przez M, a zbiór M zbiorem geeratorów dla (M). Grupę mającą skończoy zbiór geeratorów azywamy skończeie geerowaą. Twierdzeie 1. Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to (M) = {a ε1 1 aε2 2 aεm m : a i M, ε i = ±1, m = 1, 2,...}. D o w ó d. Ozaczmy prawą część przez H. Poieważ (M) zawiera wszystkie a i M, więc (M) H. Z drugiej stroy, jeśli x, y H, to xy 1 H, więc H jest podgrupą, oczywiście zawierającą M. Stąd H (M) i w końcu H = (M). Przykłady.. Uwaga: jeśli zbiór M określoy jest w postaci M = {... :...}, to będziemy pisać (... :...) zamiast ({... :...}). 1. Z = (1). 2. Z = (1(mod)). 3. Q = ( 1 : = 1, 2,...). 4. Q = ( 1, 2, 3, 5, 7, 11,...). 5. C = (ε ), ε = cos 2π + i si 2π = ei 2π. 6. C p = (ε p m : m = 1, 2,...). 5. Fukcja Eulera Defiicja 3. Fukcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie aturalej liczbę liczb względie z ią pierwszych ie większych od iej samej. Przykład. Początkowe wartości fukcji Eulera: ϕ() Fukcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istote zastosowaia w kryptografii w badaiach ad złożoością szyfrów. Własości fukcji ϕ. 1. Dla dowolej liczby pierwszej p i k N jest ϕ(p k ) = p k p k 1 ; w szczególości ϕ(p) = p Jeżeli liczby całkowite m, są względie pierwsze, to ϕ(m) = ϕ(m)ϕ(). 3
4 3. Jeżeli ie ma wielokrotych dzielików pierwszych, tj. = p 1 p 2... p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami róże (i = 1,..., k), to ϕ() = (p 1 1)(p 2 1)... (p k 1). 4. Dla dowolej liczby całkowitej zachodzi: ϕ(m) = (sumowaie przebiega wszystkie dzieliki liczby ). 5. Jeżeli = k i=1 pki i jest rozkładem liczby a czyiki pierwsze to Z tych własości wyika też wzór ϕ() = k i=1 m ϕ(p ki i ) ) ) ( ) ϕ() = (1 (1 1p1 1p p k, gdzie p 1, p 2,..., p k są wszystkimi czyikami pierwszymi liczby liczoymi bez powtórzeń. Ostati wzór moża wyprowadzić bezpośredio z zasady włączaia-wyłączaia. Twierdzeie 2. (zasada włączaia-wyłączaia) Niech S ozacza liczbę elemetów zbioru S. Jeżeli A 1, A 2,..., A r są zbiorami skończoymi, to r i=1 A i = r i=1 A i r + r i,j,k=1 i j,i k,j k i,j=1 i j A i A j + A i A j A k + + ( 1) r 1 A 1 A 2 A r. Załóżmy, że liczba ma astępujący rozkład a czyiki pierwsze: = p e 1 1 pe per r. i iech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m {1, 2,..., } takich, że p i dzieli m. Moża wykazać, że A i = p i, A i A j = p i p j dla i j, A i A j A k = p i p j p k dla różych i, j, k, r itd. Poieważ ϕ() = i=1 A i, więc stosując zasadę włączaia-wyłączaia i powyższe rówości otrzymujemy: ϕ() = pi + p i p j p i p j p k +... = ( 1 1 p 1 ) ( 1 1 p 2 )... ( 1 1 p k ) 6. Podgrupy cyklicze Podgrupa (a) geerowaa przez jede elemet a azywa się cykliczą. Z twierdzeia o podgrupie geerowaej przez zbiór wyika, że (a) = {a : = 0, ±1, ±2,...}. Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Z są grupami cykliczymi. Twierdzeie 3. (i) Każda podgrupa grupy cykliczej jest cyklicza; (ii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu. Elemet a k geeruje podgrupę rzędu wd(k,) ; (iii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu a l dodatim dzielikiem liczby. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elemetów rzędu l; (iv) Grupa cyklicza rzędu zawiera ϕ() geeratorów. Geeratorami są te i tylko te elemety a r dla których wd(r, ) = 1. 4
5 Dowód (i) (dla grupy skończoej). Niech (a) będzie cykliczą grupą rzędu, H {e} jej podgrupą. Niech m będzie ajmiejszą liczbą całkowitą o własości: a m H, 0 < m <. Oczywiście (a m ) H. Wykażemy, że aprawdę (a m ) = H. Weźmy dowoly elemet z H; musi o mieć postać a k, 0 k <. Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy a r = a k (a m ) q H. Ze sposobu wyboru liczby m wyika, że r = 0, a więc a k (a m ). Dla grupy ieskończoej dowód jest aalogiczy. Dowód (iii). Niech = dl. Na mocy (ii) a k = l wtedy, i tylko wtedy, gdy wd(k, ) = d. Zatem liczba elemetów rzędu l jest liczbą tych k, że wd(k, ) = d. Ale gdy k = dh, to wd(k, ) = d wd(dh, dl) = d wd(h, l) = 1. Przykład. Rozważmy grupę C pierwiastków stopia z 1, geerowaą przez ε 1 = e i 2π. Przykładowo weźmy = 12; wtedy geeratorem jest liczba e i π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. C 12 = {e kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l ϕ(l) liczby 1 e π e i 2π 3, e i 4π 3 e i π 2, e i 3π 2 e i π 3, e i 5π 3 e i π 6, e i 5π 6, e i 7π 6, e i 11π 6 Przykład. Jak wiadomo, możeie przez liczbę e i ϕ moża iterpretować jako obrót płaszczyzy zespoloej o kąt ϕ. Grupę C możemy więc zastąpić grupą O obrotów płaszczyzy, geerowaą przez obrót o 2π/. Poprzedi przykład traspoujemy astępująco: dla = 12 geeratorem grupy obrotów jest obrót o kąt π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. O 12 = {o kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l ϕ(l) obroty id o π o 2π/3, o 4π/3 o π/2, o 3π/2 o π/3, o 5π/3 o π/6, o 5π/6, o 7π/6, o 11π/6 Twierdzeie 4. (podstawowe teorii grup abelowych) Jeżeli G jest grupą abelową geerowaą przez skończeie wiele elemetów, to G jest sumą prostą grup cykliczych. Wiosek 1. Każda skończoa grupa abelowa jest sumą prostą grup cykliczych postaci C p r, gdzie p jest liczbą pierwszą, a r N. 7. Homomorfizmy Niech G, G będą grupami. Odwzorowaie f : G G azywamy homomorfizmem, gdy dla dowolych a, b G spełioy jest waruek: f(ab) = f(a)f(b). Homomorfizm różowartościowy azywamy moomorfizmem; jeżeli obrazem G jest cała G, to mówimy o epimorfizmie. Homomorfizm, który jest moomorfizmem i epimorfizmem azywamy izomorfizmem. Jeśli G = G, to homomorfizm azywamy edomorfizmem; edomorfizm, który jest izomorfizmem, azywamy automorfizmem. 5
6 Jeżeli istieje izomorfizm f : G G, to grupy G i G azywamy izomorficzymi; piszemy wtedy G = G. Przykłady. 1. Odwzorowaie Z Z przyporządkowujące liczbie jej resztę z dzieleia przez jest epimorfizmem. 2. l : R + R oraz exp : R R + są izomorfizmami. 3. det : GL (K) K jest epimorfizmem. 4. f : Z O, f(k) = o 2kπ/. Z każdym homomorfizmem grup f : G G związae są dwie podgrupy: jądro ker f G i obraz f(g) G : ker f = {x G : f(x) = e}; im f = {y G : x G f(x) = y}. Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy. Jeśli a, b ker f, to f(ab 1 ) = f(a)f(b) 1 = ee = e, zatem ab 1 ker f. Jeśli c, d f(g), to istieją a, b G takie, że c = f(a), d = f(b). Zatem cd 1 = f(a)f(b) 1 = f(ab 1 ), więc cd 1 f(g). Warto także zauważyć, że ab 1 ker f f(ab 1 ) = e f(a) = f(b). Zatem jeżeli f jest moomorfizmem, to a ker f ae 1 ker f f(a) = f(e) a = e, więc ker f = e. Odwrotie, jeśli ker f = {e}, to f(a) = f(b) ab 1 ker f ab 1 = e a = b. Wykazaliśmy więc, że homomorfizm jest moomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro jedoelemetowe. 8. Grupa symetrycza S Zajmiemy się bardziej szczegółowo grupą S permutacji -elemetowych. Permutacje ozaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek permutacja tożamościowa e). Permutację π : i π(i), i = 1, 2,..., zapisuje się w dwóch rzędach: ( ) i 1 i 2... i podając wszystkie wartości przekształceia π: i 1 i 2... i Permutacje moży się zgodie z prawem składaia przekształceń. Jeżeli σ, τ S, to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla ( ) ( ) σ =, τ = mamy στ = ( Zauważmy, że τσ = ) ( ( ) = ) ( ) = = ( ( więc στ τσ. Jak wiadomo, istieje! permutacji -elemetowych, więc S =!. Grupy permutacji staowią uiwersaly przykład grup skończoych. 6 ), ).
7 Twierdzeie 5. (Cayleya) Każda grupa skończoa jest izomorficza z pewą grupą permutacji. D o w ó d. Niech G będzie grupą, G =. Określimy odwzorowaie Γ : G S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie ( ) g1 g γ = 2... g S(G). gg 1 gg 2... gg γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. Poieważ dla x G, Γ(x)(g) = xg, więc Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) = = (Γ(a) Γ(b)) (g) czyli Γ(ab) = Γ(a) Γ(b). Odwzorowaie Γ jest różowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G, więc a = e G. Zatem Γ ma jądro jedoelemetowe, czyli jest moomorfizmem. Prawdziwe jest także poiższe twierdzeie. Twierdzeie 6. (uogólioe twierdzeie Cayleya) Każda grupa jest izomorficza z grupą odwzorowań wzajemie jedozaczych ( permutacji ieskończoych ) pewego zbioru a siebie. Permutacje z S moża rozłożyć a iloczy prostszych permutacji. Zauważmy p., że dla powyższych σ i τ moża arysować grafy: 4 σ : 1 3 τ : Naturale będzie więc azwaie permutacji σ cyklem o długości 4, a permutacji τ iloczyem dwóch rozłączych cykli długości 2. Ogóliej, mówimy, że elemety i, j są π-rówoważe, jeśli j = π s (i) dla pewego s Z (π s ozacza s-krote złożeie permutacji π). Tak zdefiiowaa relacja jest relacją rówoważości (sprawdzić!). Twierdzeie 7. (zasada abstrakcji). Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją rówoważości w X. Dla x X iech [x] = {y X : x y} ozacza zbiór wszystkich elemetów rówoważych z x. Wtedy dla dowolych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = x X [x]. 4) [x] [y] [x] = [y]. Zgodie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru Ω = {1, 2,..., } Ω = Ω 1 Ω p (1) a rozłącze klasy Ω 1,..., Ω p, zwae π-orbitami. Każdy elemet i Ω ależy więc do dokładie jedej orbity. Liczbę l k = Ω k azywamy długością orbity Ω k. Jeśli i Ω k, to Ω k = {i, π(i),..., π lk 1 (i)}. Permutację ( ) i π(i)... π l k π k = 2 (i) π lk 1 (i) π(i) π 2 (i)... π lk 1 (i) i 7
8 azywamy cyklem długości l k. Cykle będziemy zapisywać w postaci jedego wiersza: π k = ( i π(i)... π l k 2 (i) π l k 1 (i) ). Elemety te moża oddzielać przecikami lub ie. Cykl π k pozostawia a miejscu wszystkie elemety zbioru Ω \ Ω k. Dlatego też uzasadioe jest azywaie cykli π s i π t dla s t cyklami rozłączymi. Z rozbiciem zbioru (1) wiąże się zatem rozkład permutacji π a iloczy π = π 1 π 2 π p, (2) w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemiee. W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, p. ( ) π = S (3) moża zapisać: π = ( )(6 7)(8) = ( )(6 7). Twierdzeie 8. Każdą permutację π e w S moża przedstawić w postaci iloczyu cykli rozłączych o długości większej lub rówej 2. Rozkład taki jest jedozaczy z dokładością do kolejości czyików. Rozkład a cykle pozwala a łatwe zalezieie rzędu permutacji. Wiosek 2. Rząd permutacji π S jest rówy ajmiejszej wspólej wielokrotości długości cykli występujących w rozkładzie (2). D o w ó d. Niech π = π 1 π 2 π p. Poieważ cykle są ze sobą przemiee, więc π s = π s 1π s 2 π s p, s = 0, 1, 2,... Cykle π 1 π 2... π p są rozłącze (działają a różych zbiorach Ω 1,..., Ω p ), więc π q = e π q k = e k=1,2,...,p. Zatem q jest wspólą wielokrotością rzędów cykli π k, czyli wspólą wielokrotością ich długości l k. Rzędem π jest ajmiejsza taka liczba q, czyli π = NWW(l 1,..., l p ). Np. rząd permutacji π daej wzorem (3) wyosi 10. Przykład. Jaki jest maksymaly rząd elemetów grupy S 8? Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 a sumy: 8 = , 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4,... dojdziemy do wiosku, że rzędami elemetów różych od e w S 8 mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15. Np. π = ( )(6 7 8) jest rzędu 15. Zwróćmy uwagę, że S 8 = 8! = Cykl długości 2 azywamy traspozycją. Z twierdzeia 8 wyika poiższy wiosek. Wiosek 3. Każda permutacja π S jest iloczyem pewej liczby traspozycji. D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolej traspozycji τ. Po drugie, z twierdzeia 8 wyika, że wystarczy podać sposób rozkładu cyklu a traspozycje. Mamy p.: ( l 1 l) = (1 l)(1 l 1) (1 3)(1 2), a ogóliej: (a 1 a 2... a l 1 a l ) = (a 1 a l )(a 1 a l 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). Wiosek te moża wypowiedzieć iaczej: Wiosek 4. Traspozycje tworzą zbiór geeratorów dla S. 8
9 Oczywiście ie jest to miimaly zbiór geeratorów, p.: S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ). Twierdzeie 9. (o geeratorach grupy S ). Następujące podzbiory są zbiorami geeratorów grupy symetryczej S : a) wszystkie traspozycje elemetów zbioru Ω = {1, 2,..., }; b) {(1 2), (2 3), (3 4),..., ( 1 )}; c) {(1 2), (1 3), (1 4),..., (1 )}; d) {(1 2), ( )}. D o w ó d. a) jest treścią poprzediego wiosku. b) Każdą traspozycję (ij), 1 i < j moża przedstawić w postaci: (i j) = (i i+1)(i+1 i+2) (j 1 j)(j 2 j 1)(j 3 j 2) (i+1 i+2)(i i+1). Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji geeruje S, więc rówież zbiór traspozycji poday w b) ją geeruje. c) Teza wyika z rówości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). d) Niech α = (1 2), β = ( ). Wtedy mamy kolejo β 1 = β 1 (bo β = e), (2 3) = βαβ 1, (3 4) = β(2 3)β 1, (4 5) = β(3 4)β 1,..., ( 1 ) = β( 2 1)β 1. Na mocy b) zbiór {α, β} jest rówież zbiorem geeratorów. Warto także podkreślić, że rozkład permutacji a traspozycje ie jest jedozaczy; więcej, róże rozkłady mogą mieć awet różą liczbę czyików. Np. w S 4 mamy: (1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4). Moża jedak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji a traspozycje ma parzystą liczbę czyików, to każdy iy ma także parzystą liczbę czyików. Iymi słowy, liczba ε π = ( 1) k, gdzie k jest liczbą traspozycji w dowolym rozkładzie permutacji π, jest iezmieikiem permutacji. Dokładiej, moża udowodić kolejo poiższe lematy. Lemat 3. Niech π S, iech τ S będzie traspozycją. Liczby cykli występujących w rozkładach a cykle permutacji π i τπ różią się o 1. Lemat 4. Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawioa w postaci iloczyu k traspozycji, p. e = τ k τ k 1 τ 2 τ 1, to liczba k jest parzysta. Korzystając z tych lematów moża wykazać twierdzeie 10. Twierdzeie 10. Jeżeli π S jest a dwa sposoby przedstawioa w postaci iloczyu traspozycji, to albo w obu przedstawieiach liczba czyików jest parzysta, albo w obu ieparzysta. D o w ó d. Niech π = τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = σ l σ l 1 σ 2 σ 1 będą dowolymi przedstawieiami permutacji π S w postaci iloczyu traspozycji. Wtedy: e = π 1 π = (σ l σ l 1 σ 2 σ 1 ) 1 (τ k τ k 1 τ 2 τ 1 ) = = σ1 1 2 σ 1 l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = = σ 1 σ 2 σ l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 jest przedstawieiem permutacji tożsamościowej w postaci iloczyu k + l traspozycji. Na mocy poprzediego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo k, l są obie parzyste, lub obie ieparzyste. Permutację π S azywamy parzystą, gdy ε π = 1 i ieparzystą, gdy ε π = 1. Tak więc wszystkie traspozycje są permutacjami ieparzystymi. Moża wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru -elemetowego ( 2) tworzą podgrupę A grupy S, rzędu! 2. Jest to tzw. grupa alterująca. Defiicja 4. Dwie permutacje π 1 i π 2 azywamy podobymi, jeżeli w ich rozkładach a cykle występuje tyle samo cykli tej samej długości. 9
10 Przykład. Permutacje: są podobe. π 1 = (1)(2)(3 4 5)( ), π 2 = (1 2 3)(4)( )(10) Nietrudo sprawdzić, że podobieństwo jest relacją rówoważości w zbiorze S. Defiicja 5. Mówimy, że permutacja π 1 S jest sprzężoa z permutacją π 2 S względem pewej grupy permutacji G S, jeśli istieje elemet π grupy G taki, że ππ 1 π 1 = π 2. Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężeie względem G jest relacją rówoważości. Klasy abstrakcji relacji sprzężeia (względem grupy G) w zbiorze G azywamy klasami elemetów sprzężoych w grupie G. Twierdzeie 11. Dwie permutacje π 1, π 2 S są sprzężoe względem S wtedy i tylko wtedy, gdy są podobe. D o w ó d. ( ) Najpierw przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i sprzężoą z ią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podoba do π 1. Ogólie: jeśli day jest rozkład permutacji π 1 a cykle, to rozkład π 2 otrzymujemy zastępując liczby ich obrazami przy permutacji π. ( ) Zowu przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobe (123)(45) i (143)(25). Określamy ( ) π = = (24) Wtedy π(123)(45)π 1 = (143)(25). Ogólie: iech permutacje π 1 = (a 1 a 2... a k )(b 1... b l )... (...), π 2 = (a 1 a 2... a k)(b 1... b l)... (...) będą podobe. Niech ( ) a1 a π = 2... a k b 1 b 2... b l... a 1 a 2... a k b 1 b 2... b S l.... Wtedy π 2 = ππ 1 π 1. W wielu zagadieiach moża utożsamiać permutacje podobe. Dlatego przydate jest astępujące pojęcie. Defiicja 6. Niech w rozkładzie permutacji π S a cykle występuje j k cykli o długości k, k = 1, 2,...,. Jedomia azywamy typem permutacji π. z(π) = x j1 1 xj2 2 xj Uwaga. Czasem typ ozacza się z(π) = 1 j1 2 j2 j. Defiicja 7. Ideksem cyklowym grupy permutacji G S azywamy wielomia: Z(G) = 1 z(π). G π G Przykład. Niech G = S 2 = {e, (12)}. Wtedy Dla grupy S 3 mamy z kolei: Z(S 3 ) = 1 6 Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x2 1 + x 2 ). 6 z(π i ) = 1 6 (x3 1 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 3 ) = i=1 = 1 6 (x x 1 x 2 + 2x 3 ). 10
11 9. Ideks cyklowy grupy dwuściau Defiicja 8. Grupę izometrii -kąta foremego ( 3) azywamy grupą dwuściau (diedralą) i oz. D. D = 2, bo D składa się z obrotów i symetrii osiowych. Grupa ta jest geerowaa p. przez obrót o kąt 2π/ i jedą symetrię osiową. Każda izometria z D da się opisać jako pewa permutacja wierzchołków, więc D moża traktować jako podgrupę grupy S. Np. D 4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}. Twierdzeie 12. 1) Jeżeli = 2m + 1, to 2) Jeżeli = 2m, to Z(D ) = 1 ( x x 1 x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1 Z(D ) = 1 ( x mx 2 1x2 m 1 + (m + 1)x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1,2 D o w ó d. Symetrie osiowe dają w D składiki: x 1 x m 2 dla = 2m + 1, mx 2 1x m mx m 2 dla = 2m. Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczą. Niech g będzie geeratorem jest to cykl rzędu, p. g = ( ). Wtedy g k ma rząd d = wd(k, ) i jest iloczyem /d cykli długości d, tj. z(g k ) = x /d d. Elemetów rzędu d jest tyle, ile jest takich k, że wd(k, ) = /d, tj. ϕ(d) (bo wd(k, d) = 1 wd(k d, d d ) = d ). Dla = 2m istieje jede obrót typu xm Grupa ilorazowa Defiicja 9. Warstwą lewostroą grupy G względem podgrupy H wyzaczoą przez a G azywamy zbiór: ah = {ah : h H}. Przykłady. 1. Niech G = Q, H = {3 : Z}. Wtedy p. 5H = {5 3 : Z}. 2. W zapisie addytywym: iech G = Z, H = 3Z = {3k : k Z}; wtedy 5 + H = {5 + 3k : k Z}. 3. G = GL (K), H = SL (K). Dla A GL (K) mamy: AH = {AB : B SL (K)} = {C : det C = det A}. Lemat 5. Niech H G. b ah a 1 b H. Lemat 6. Relacja : a b a 1 b H jest relacją rówoważości w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej relacji są warstwy G względem H. Wiosek 5. Niech H G. Każdy elemet grupy G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. 11
12 Wiosek 6. (twierdzeie Lagrage a). Rząd podgrupy grupy skończoej jest dzielikiem rzędu grupy. D o w ó d. Niech G =. Każdy elemet G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. Poadto każda warstwa ma tyle elemetów, ile podgrupa H. Zatem: = liczba warstw liczba elemetów warstwy, Zatem H jest dzielikiem G. = liczba warstw H. Wiosek 7. Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cyklicza. D o w ó d. Jeżeli a G jest rzędu, to {e, a,..., a 1 } jest podgrupą cykliczą rzędu. Zatem p. Defiicja 10. Zbiór warstw G względem H azywamy zbiorem ilorazowym grupy G przez podgrupę H i ozaczamy G/H. Moc zbioru G/H azywamy ideksem podgrupy H w grupie G ; ozaczeie (G : H). W zbiorze ilorazowym moża wprowadzić działaie, ale trzeba więcej założyć o H. Defiicja 11. Podgrupę H grupy G azywamy podgrupą ormalą lub dzielikiem ormalym (ozaczeie : H G), jeżeli spełioy jest waruek: Waruki rówoważe: g G h H g 1 hg H. g G gh = Hg ; g G g 1 Hg H. Przykłady. 1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest ormala. 2. SL (K) jest ormala w GL (K). 3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} ie jest ormala, bo dla g = (1 2 3), gh = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. Lemat 7. Niech f : G G będzie homomorfizmem. Wtedy ker f G. D o w ó d. Dla g G, h ker f mamy f(g 1 hg) = f(g) 1 f(h)f(g) = f(g) 1 f(g) = e, więc g 1 hg ker f. Twierdzeie 13. Jeżeli H G, to działaie: ah bh = abh wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwaej grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eh jest jedyką w G/H, a elemetem odwrotym do ah jest a 1 H. D o w ó d. Sprawdzimy, że działaie jest dobrze określoe, tj. (ah = a H, bh = b H) = abh = a b H. Mamy : a b H = a (b H) = a (bh) = a (Hb) = (a H)b = (ah)b = a(hb) = a(bh) = abh. Twierdzeie 14. (podstawowe o homomorfizmach). Niech f : G G będzie homomorfizmem grup z jądrem H = ker f. Wtedy H G oraz G/H = f(g). Na odwrót, jeśli H G, to istieje grupa G (miaowicie G/H) i epimorfizm π : G G o jądrze H. 12
13 G π G/ ker f Uwaga. π azywamy homomorfizmem kaoiczym (aturalym). D o w ó d. Wiemy już, że H G. Określamy odwzorowaie f f G f : G/H G, f(gh) = f(g). Odwzorowaie f jest dobrze określoe, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to g1 1 g 2 H, czyli f(g1 1 g 2) = e, tj. f(g 1 ) = f(g 2 ). Dalej, f jest homomorfizmem, bo f(g 1 H g 2 H) = f(g 1 g 2 H) = f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) = f(g 1 H) f(g 2 H). Poadto f jest moomorfizmem, bo jeśli f(gh) = e, to f(g) = e czyli g H, więc gh = H. Oczywiście f(g/h) = f(g), czyli obraz f jest taki sam jak obraz f. Zatem f jest szukaym izomorfizmem. Odwrotie, iech H G. Określamy π : G G/H wzorem π(g) = gh. Odwzorowaie π ma wtedy wszystkie żądae własości. Niekiedy grupa jest izomorficza z iloczyem prostym swoich podgrup. Mówi o tym poiższe twierdzeie. Twierdzeie 15. Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielikami ormalymi. Jeżeli A B = {e} i AB = G, to G = A B. D o w ó d. Każdy elemet g G moża w sposób jedozaczy(!) przedstawić w postaci iloczyu g = ab, a A, b B. Określamy f : G A B wzorem f(g) = (a, b). To odwzorowaie jest izomorfizmem. Twierdzeie 16. Niech G = A B. Wtedy G/A = B. D o w ó d. Niech f : G B, f(a, b) = b. Wtedy f jest epimorfizmem z jądrem A. Przykład. Rozpatrzmy odwzorowaie (moduł) przyporządkowujące każdej liczbie zespoloej jej wartość bezwzględą. Poieważ z 1 z 2 = z 1 z 2 więc jest to homomorfizm grupy multiplikatywej C w grupę multiplikatywą R + liczb ieujemych. Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z C : z = 1}. Grupa ilorazowa C /C 1 jest izomorficza z grupą R +. Geometryczie, elemetami grupy ilorazowej są okręgi o środku w początku układu współrzędych. Iloczyem dwu takich okręgów o promieiach r 1 i r 2 jest okrąg o promieiu r 1 r 2. Grupa R + jest także podgrupą w C ; łatwo zauważyć, że jest to jądro homomorfizmu arg : C R (R grupa addytywa). Widać, że R + C 1 = {1} oraz R +C 1 = C. Zatem C = C 1 R +. Przykład. Niech ϕ : C C będzie określoe wzorem ϕ(z) = z3 z. Sprawdzić, 3 że ϕ jest homomorfizmem, wyzaczyć ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficzie oba zbiory i arysować warstwę e i π/4 ker ϕ. Rozwiązaie. C jest grupą z możeiem. Sprawdzamy, czy ϕ jest homomorfizmem: ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 z 1 z 2 3 = z3 1z2 3 z 1 3 z 2 3 = z3 1 z 1 3 z2 3 z 2 3 = ϕ(z 1)ϕ(z 2 ). Jądro tworzą rozwiązaia rówaia ϕ(z) = 1, tz. z 3 z 3 = 1 Aby je rozwiązać moża p. zapisać z w postaci wykładiczej: z = re i α. Wtedy (re i α ) 3 re i α 3 = 1, e 3 i α = 1 13
14 3 i α = 2kπ, k Z. Zatem r jest dowole, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3: ker ϕ = {r, re 2 i π/3, re 4 i π/3 : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami 0, 2π/3, 4π/3. Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α, α R. Jest to więc okrąg jedostkowy. Warstwa: e i π/4 ker ϕ = {re i π/4 e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4, re i(π/4+2π/3), re i(π/4+4π/3) : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami π 4, 11π 12, 19π Działaie grupy a zbiorze Defiicja 12. Mówimy, że grupa G (zapisywaa multiplikatywie) działa a zbiorze X, jeżeli jest dae przekształceie G X X, w którym obrazem pary (g, x) jest elemet zbioru X, ozaczay przez gx. Zakładamy, że to przekształceie ma astępujące własości: a) x X ex = x; b) x X g,h G (gh)x = g(hx). W tym kotekście elemety grupy G azywamy operatorami, a zbiór X azywamy G-zbiorem. Dla x X zbiór Gx = {gx : g G} azywamy G-orbitą elemetu x. Może się zdarzyć, że Gx = {x}; wtedy x azywamy puktem stałym względem G. Lemat 8. Niech X będzie G-zbiorem. Rodzia orbit {Gx : x X} jest podziałem zbioru X a parami rozłącze iepuste zbiory których suma jest rówa X. D o w ó d. Wystarczy wykazać, że relacja: x y (x, y ależą do tej samej orbity) jest relacją rówoważości i powołać się a zasadę abstrakcji (twierdzeie 7). Defiicja 13. Zbiór G x = {g G : gx = x} azywamy stabilizatorem elemetu x. Lemat 9. G x jest podgrupą G. D o w ó d. Jeśli g, h G x, czyli gx = hx = x, to g 1 hx = x, więc g 1 h G x. Przykłady. 1. Niech G będzie grupą permutacji zbioru Ω = {1, 2,..., }. Wtedy G działa a Ω wg wzoru (α, j) α(j). W szczególości, jeśli G = S, to orbita jest tylko jeda. Stabilizatorem G i elemetu i jest wtedy grupa złożoa z permutacji, w których rozkładzie a cykle występuje cykl (i). Np. gdy G = S 6, to G = 720 a G i = 120 dla i = 1, 2,..., 6. Jeśli G jest grupa cykliczą geerowaą przez π, G = (π), to orbitami tego działaia są wprowadzoe wcześiej π-orbity : i, j ależą do tej samej π-orbity, jeśli w rozkładzie π a cykle są elemetami tego samego cyklu. Stabilizator G i składa się wtedy z tych potęg π k, dla których π k (i) = i. Np. gdy π = (123)(45)(6) S 6 to mamy 3 orbity: G1 = G2 = G3 = {1, 2, 3}, G4 = G5 = {4, 5}, G6 = {6}. Stabilizatory: G 1 = G 2 = G 3 = {e, π 3 }, G 4 = G 5 = {e, π 2, π 4 }, G6 = G. 14
15 2. Przykład poprzedi moża uogólić : każda grupa G działa a G wg wzoru (g, x) gx. Wtedy orbita jest tylko jeda. Jeśli H G, to H działa a G wg wzoru (h, x) hx. Wtedy orbitami są warstwy prawostroe grupy G względem podgrupy H. 3. Iym działaiem G a G jest działaie poprzez automorfizmy wewętrze: (a, g) I a g = aga 1 dla a, g G. Sprawdzimy, że jest to działaie. Mamy I e g = ege 1 = g oraz I ab g = (ab)g(ab) 1 = abgb 1 a 1 = ai b ga 1 = I a (I b g). Dla tego działaia : Gx = {I a x : a G} = {axa 1 : a G}. Jeżeli x Z(G), to dla dowolego a G mamy axa 1 = x, więc Gx = {x}. Elemety orbity Gx azywamy sprzężoymi z x. W szczególości, gdy G = S, to orbitami są klasy elemetów podobych, czyli tego samego typu. Działaie, które ma tylko jedą orbitę, azywamy przechodim. Jeśli działaie jest przechodie, to dla każdego x X, G x = {e}. Twierdzeie 17. (o orbitach i stabilizatorach) Niech grupa G działa a zbiorze X. Wtedy liczość orbity Gx jest rówa ideksowi stabilizatora G x, tj. Gx = (G : G x ). Zatem jeżeli G jest grupą skończoą, to Gx = elemetów orbity jest dzielikiem rzędu grupy. G G x. W szczególości liczba D o w ó d. Określimy odwzorowaie Gx G/G x wzorem f(y) = gg x dla y = gx. Takie odwzorowaie jest dobrze określoe, bo jeśli y = g 1 x = g 2 x, to g 1 2 g 1x = x, czyli g 1 2 g 1x G x, więc g 1 G x = g 2 G x. Poadto f jest surjektywe, bo g może być dowolym elemetem G. Wreszcie jeśli g 1 G x = g 2 G x, to g 1 2 g 1x G x, czyli g 1 2 g 1x = x, więc g 1 x = g 2 x, co dowodzi, że f jest różowartościowe. Zatem f określa rówoliczość zbiorów Gx i G/G x. Twierdzeie 18. (lemat Burside a). Niech X będzie skończoym G-zbiorem. Liczba G-orbit, a które dzieli się zbiór X, jest rówa 1 G χ(g), g G gdzie χ(g) ozacza liczość zbioru {x X : gx = x} puktów stałych operatora g. D o w ó d. Utwórzmy macierz o X wierszach i G kolumach astępująco: { 1 dla gx = x a x,g = 0 dla gx x. Obliczymy liczbę jedyek w tej macierzy dwoma sposobami. Sumując jedyki wierszami otrzymujemy x X G x, a sumując kolumami g G χ(g). Zatem G x = χ(g). g G czyli x X x X G x G = 1 G χ(g). g G Z twierdzeia o orbitach i stabilizatorach otrzymujemy x X 1 Gx = 1 G 15 χ(g). g G
16 Zauważmy, że 1 x Gx Gx = 1, więc x X 1 Gx jest liczbą orbit. Przykład. Naszyjiki składają się z pięciu paciorków w trzech kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? Poieważ kolor każdego paciorka moża wybrać a 3 sposoby, więc aszyjików jest 3 5 = 243. Jedak ie wszystkie są istotie róże. Jeśli aszyjik traktować jako pięciokąt foremy, którego wierzchołki są pomalowae trzema ustaloymi kolorami (p. czerwoy, iebieski, zieloy), to istota jest sekwecja kolorów. Należy zatem utożsamić te aszyjiki, które moża otrzymać przez obrót pewego ustaloego aszyjika. Zatem możemy a zbiorze X wszystkich 243 aszyjików rozpatrywać działaie grupy obrotów; wtedy liczba istotie różych aszyjików jest liczbą orbit tego działaia. Na mocy lematu Burside a otrzymamy: liczba orbit = 1 5 χ(o i ), 5 gdzie o i jest obrotem o kąt 2π 5 i dla i = 1, 2,..., 5. Poieważ aszyjik iezmieiczy przy obrocie o kąt iezerowy musi być 1-kolorowy, więc χ(o i ) = 3 dla i = 1, 2, 3, 4; ale χ(o 5 ) = 243. Zatem i=1 liczba orbit = 1 ( ) = Ale zwrot istotie róże moża rozumieć iaczej. Moża utożsamiać aszyjiki które moża otrzymać przez obrót oraz te, które moża otrzymać przez przełożeie a drugą stroę, czyli przez symetrię. Matematyczym modelem będzie wtedy działaie grupy diedralej D 5. Oprócz obrotów zawiera oa jeszcze 5 symetrii osiowych s i, przy czym χ(s i ) = 3 3 = 27 (kolory 3 wierzchołków wybieramy a 3 sposoby, ale dwa pozostałe muszą mieć taki kolor jak wierzchołek symetryczy). Zatem wtedy liczba orbit = 1 ( ) = Przykład. Ogóliej, aszyjiki składają się z paciorków w k kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? a) Jeśli grupą działającą jest grupa obrotów: G = {o 1,..., o } gdzie o jest obrotem o kąt 2π i dla i = 1, 2,...,, to mamy χ(o i ) = k wd(,i), bo jeżeli wd(, i) = d, to obrót o i jest rzędu d, co ozacza, że tyle paciorków (co d-ty) musi być tego samego koloru. (Przykładowo, gdy = 8, i = 6, to d = 2. Obrót o 6 jest obrotem o kąt 3 2π, czyli paciorki przechodzące a siebie to 1,7,5,3 oraz 2,8,6,4. Zatem co drugi musi być tego samego koloru. Jest więc k 2 możliwości wyboru kolorów.) Liczba orbit wyosi: 1 k wd(,i). i=1 Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 130. b) Jeśli grupą działającą jest grupa diedrala, to dochodzą jeszcze symetrie. W przypadku ieparzystego oś symetrii musi przechodzić przez wierzchołek. Wtedy χ(s) = k +1 2 dla każdej symetrii s. W przypadku parzystego oś symetrii może przechodzić przez dwa wierzchołki (symetria s w ) lub być symetralą boku (symetria s b ). Wtedy χ(s w ) = k 2 +1, χ(s b ) = k 2. 16
17 Zatem: dla ieparzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) + k +1 2 = i=1 dla parzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) k k 2 i=1 i=1 = 1 2 k wd(,i) k +1 2 ; k wd(,i) k 2 (k + 1). Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 92. Uwaga. Obroty i symetrie o których mowa wyżej moża iterpretować jako permutacje. Jeżeli pod działaiem permutacji aszyjik ie zmieia się, to zaczy, że paciorki odpowiadające elemetom tego samego cyklu są jedakowego koloru. Zatem: Jeżeli permutacja π S ma r cykli (wliczając cykle długości 1), to liczba pokolorowań stałych dla π wyosi k r (k liczba kolorów). Wiosek 8. Jeżeli G jest grupą permutacji działającą a zbiorze pokolorowań, i zamy jej ideks cyklowy Z(G), to liczbę różych pokolorowań otrzymamy podstawiając w Z(G) x 1 = x 2 = = x = k. i=1 17
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Grupy
opracował Maciej Grzesiak Grupy 1. Określenie i przykłady grup Definicja 1. Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym nazywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y z = x (y z; G2. e G x G e x = x
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;
1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowo