1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup"

Transkrypt

1 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1 = x 1 x = e. Poieważ działaie jest łącze, więc (ab)c = a(bc) moża pisać po prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczy a 1 a 2... a moża pisać bez awiasów (ale uwaga a kolejość!). Jeśli a 1 = a 2 =... = a, to taki iloczy azywamy tą potęgą i ozaczamy a. Określamy poadto a 0 = e, a = (a ) 1 lub a = (a 1 ). Ć w i c z e i e. Wykazać, że dla a G, m, Z a m a = a m+, (a m ) = a m. Jeśli a = e dla pewego > 0, to ajmiejszą z liczb o tej własości azywamy rzędem elemetu a i ozaczamy a. Jeśli a e dla każdego > 0, to a =. Jeśli grupa ma skończoą liczbę elemetów, to azywamy ją grupą skończoą. Liczbę elemetów grupy azywamy rzędem grupy; ozaczeie: G. Ć w i c z e i e. Jeśli a = e, to dzieli się przez a. Jeżeli G spełia oprócz G1 G3 jeszcze: G4. x,y G x y = y x, to azywamy ją grupą abelową. Tradycyjie działaie w grupie abelowej ozaczamy + i stosujemy astępującą termiologię: + możeie dodawaie iloczy suma jedyka zero odwroty przeciwy potęga krotość e lub 1 0 a 1 a a a Przykłady. 1. Zbiór elemetów dowolego ciała rozpatryway z dodawaiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 2. Zbiór elemetów iezerowych dowolego ciała rozpatryway z możeiem tworzy grupę abelową, p. Q, R, C. 3. Zbiór Z z dodawaiem tworzy grupę abelową. 4. Zbiór Z reszt z dzieleia przez z działaiem dodawaia modulo tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończoa rzędu. 5. Q p = { m p m, Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest addytywą grupą abelową. 6. Zbiór C pierwiastków stopia z 1 jest grupą multiplikatywą skończoą rzędu. Przypomieie. Pierwiastkami stopia z 1 są liczby ε k = ( cos 2kπ + i si 2kπ Moża je zapisać w postaci wykładiczej: ), k = 0, 1,..., 1 e i 2kπ, k = 0, 1,..., 1 7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) iech ozacza zbiór odwzorowań odwracalych Ω Ω. Zbiór S(Ω) z działaiem składaia tworzy grupę. 1

2 8. W szczególości, gdy Ω = {1, 2,..., },to S(Ω) jest grupą permutacji -elemetowych. Nazywamy ją grupą symetryczą i ozaczamy S. Grupa S jest skończoa; S =!. Dla > 2 grupy S są ieabelowe. 9. Niech K będzie dowolym ciałem. Zbiór macierzy ieosobliwych o wyrazach z K z działaiem możeia macierzy jest grupą. Ozaczamy ją GL(, K) lub GL (K) i azywamy pełą grupą liiową. Jedyką tej grupy jest macierz jedostkowa; elemetem odwrotym do macierzy A jest macierz odwrota A 1. W GL (K) moża rozpatrywać astępujące podzbiory: a) SL (K) = {A GL (K) : det A = 1}; b) D (K) = {A GL (K) : A jest diagoala}; c) T (K) = {A GL (K) : A jest górotrójkąta}; d) UT (K) = {A T (K) : A ma jedyki a przekątej }. Grupy te oszą azwy: specjala grupa liiowa, grupa diagoala, grupa trójkąta, grupa uitrójkąta. Uwaga. Rozpatruje się rówież struktury uboższe (tz. mające miej aksjomatów) od grupy. Defiicja 2. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy półgrupą, gdy działaie to jest łącze, tj. x,y,z G (x y) z = x (y z). Pojęcie półgrupy okazało się bardzo użytecze, p. w teorii automatów. 2. Podgrupy Jeśli podzbiór H grupy G jest zamkięty ze względu a możeie (tj. a, b H ab H), to ograiczeie operacji możeia do H jest działaiem a H. Jeżeli względem tego działaia H jest grupą, to mówimy, że H jest podgrupą G i ozaczamy H G. Jeśli H G i H G, to piszemy H < G. Lemat 1. Następujące waruki są rówoważe: a) H G; b) a,b H ab 1 H; c) a,b H ab H a 1 H. Waruki te moża zapisać iaczej stosując pojęcie iloczyu kompleksowego podzbiorów grupy G: AB def = {ab : a A, b B} i przyjmując: dla A G i B G. A 1 def = {a 1 : a A} Lemat 2. Następujące waruki są rówoważe: a) H < G; b) HH H H 1 H. Przykłady. 1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = Q p. 2. Q < R < C. 3. C p < C p 2 <... < C p. Poadto C p = C p. 4. Dla 2: SL (K) < GL (K), D (K) < T (K),. UT (K) < T (K) < GL (K) 2

3 3. Iloczyy proste grup Niech G, H będą dowolymi grupami. Wtedy w zbiorze G H moża określić działaie wzorem: (g, h) (g, h ) = (gg, hh ) dla dowolych (g, g ), (h, h ) ze zbioru G H. Zbiór G H z tym działaiem tworzy grupę, której elemetem eutralym jest (e G, e H ). Nazywamy ją iloczyem prostym grup G i H. Zbiory G = {(g, e H ) : g G} i H = {(e G, h) : h H} są podgrupami grupy G H i oczywiście są izomorficze odpowiedio z G i H. U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma prosta grup. 4. Zbiory geerujące Jase jest, że przekrój dowolego zbioru podgrup daej grupy jest także podgrupą. Niech M dowoly podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich podgrup grupy G zawierających M azywamy podgrupą geerowaą przez M, a zbiór M zbiorem geeratorów dla (M). Grupę mającą skończoy zbiór geeratorów azywamy skończeie geerowaą. Twierdzeie 1. Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to (M) = {a ε1 1 aε2 2 aεm m : a i M, ε i = ±1, m = 1, 2,...}. D o w ó d. Ozaczmy prawą część przez H. Poieważ (M) zawiera wszystkie a i M, więc (M) H. Z drugiej stroy, jeśli x, y H, to xy 1 H, więc H jest podgrupą, oczywiście zawierającą M. Stąd H (M) i w końcu H = (M). Przykłady.. Uwaga: jeśli zbiór M określoy jest w postaci M = {... :...}, to będziemy pisać (... :...) zamiast ({... :...}). 1. Z = (1). 2. Z = (1(mod)). 3. Q = ( 1 : = 1, 2,...). 4. Q = ( 1, 2, 3, 5, 7, 11,...). 5. C = (ε ), ε = cos 2π + i si 2π = ei 2π. 6. C p = (ε p m : m = 1, 2,...). 5. Fukcja Eulera Defiicja 3. Fukcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie aturalej liczbę liczb względie z ią pierwszych ie większych od iej samej. Przykład. Początkowe wartości fukcji Eulera: ϕ() Fukcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istote zastosowaia w kryptografii w badaiach ad złożoością szyfrów. Własości fukcji ϕ. 1. Dla dowolej liczby pierwszej p i k N jest ϕ(p k ) = p k p k 1 ; w szczególości ϕ(p) = p Jeżeli liczby całkowite m, są względie pierwsze, to ϕ(m) = ϕ(m)ϕ(). 3

4 3. Jeżeli ie ma wielokrotych dzielików pierwszych, tj. = p 1 p 2... p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami róże (i = 1,..., k), to ϕ() = (p 1 1)(p 2 1)... (p k 1). 4. Dla dowolej liczby całkowitej zachodzi: ϕ(m) = (sumowaie przebiega wszystkie dzieliki liczby ). 5. Jeżeli = k i=1 pki i jest rozkładem liczby a czyiki pierwsze to Z tych własości wyika też wzór ϕ() = k i=1 m ϕ(p ki i ) ) ) ( ) ϕ() = (1 (1 1p1 1p p k, gdzie p 1, p 2,..., p k są wszystkimi czyikami pierwszymi liczby liczoymi bez powtórzeń. Ostati wzór moża wyprowadzić bezpośredio z zasady włączaia-wyłączaia. Twierdzeie 2. (zasada włączaia-wyłączaia) Niech S ozacza liczbę elemetów zbioru S. Jeżeli A 1, A 2,..., A r są zbiorami skończoymi, to r i=1 A i = r i=1 A i r + r i,j,k=1 i j,i k,j k i,j=1 i j A i A j + A i A j A k + + ( 1) r 1 A 1 A 2 A r. Załóżmy, że liczba ma astępujący rozkład a czyiki pierwsze: = p e 1 1 pe per r. i iech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m {1, 2,..., } takich, że p i dzieli m. Moża wykazać, że A i = p i, A i A j = p i p j dla i j, A i A j A k = p i p j p k dla różych i, j, k, r itd. Poieważ ϕ() = i=1 A i, więc stosując zasadę włączaia-wyłączaia i powyższe rówości otrzymujemy: ϕ() = pi + p i p j p i p j p k +... = ( 1 1 p 1 ) ( 1 1 p 2 )... ( 1 1 p k ) 6. Podgrupy cyklicze Podgrupa (a) geerowaa przez jede elemet a azywa się cykliczą. Z twierdzeia o podgrupie geerowaej przez zbiór wyika, że (a) = {a : = 0, ±1, ±2,...}. Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Z są grupami cykliczymi. Twierdzeie 3. (i) Każda podgrupa grupy cykliczej jest cyklicza; (ii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu. Elemet a k geeruje podgrupę rzędu wd(k,) ; (iii) Niech (a) będzie grupą cykliczą rzędu a l dodatim dzielikiem liczby. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elemetów rzędu l; (iv) Grupa cyklicza rzędu zawiera ϕ() geeratorów. Geeratorami są te i tylko te elemety a r dla których wd(r, ) = 1. 4

5 Dowód (i) (dla grupy skończoej). Niech (a) będzie cykliczą grupą rzędu, H {e} jej podgrupą. Niech m będzie ajmiejszą liczbą całkowitą o własości: a m H, 0 < m <. Oczywiście (a m ) H. Wykażemy, że aprawdę (a m ) = H. Weźmy dowoly elemet z H; musi o mieć postać a k, 0 k <. Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy a r = a k (a m ) q H. Ze sposobu wyboru liczby m wyika, że r = 0, a więc a k (a m ). Dla grupy ieskończoej dowód jest aalogiczy. Dowód (iii). Niech = dl. Na mocy (ii) a k = l wtedy, i tylko wtedy, gdy wd(k, ) = d. Zatem liczba elemetów rzędu l jest liczbą tych k, że wd(k, ) = d. Ale gdy k = dh, to wd(k, ) = d wd(dh, dl) = d wd(h, l) = 1. Przykład. Rozważmy grupę C pierwiastków stopia z 1, geerowaą przez ε 1 = e i 2π. Przykładowo weźmy = 12; wtedy geeratorem jest liczba e i π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. C 12 = {e kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l ϕ(l) liczby 1 e π e i 2π 3, e i 4π 3 e i π 2, e i 3π 2 e i π 3, e i 5π 3 e i π 6, e i 5π 6, e i 7π 6, e i 11π 6 Przykład. Jak wiadomo, możeie przez liczbę e i ϕ moża iterpretować jako obrót płaszczyzy zespoloej o kąt ϕ. Grupę C możemy więc zastąpić grupą O obrotów płaszczyzy, geerowaą przez obrót o 2π/. Poprzedi przykład traspoujemy astępująco: dla = 12 geeratorem grupy obrotów jest obrót o kąt π 6. Grupa ma 12 elemetów: Dzielikami 12 są 1, 2,3, 4, 6, 12. O 12 = {o kπ/6 : k = 0, 1, 2,..., 11}. l ϕ(l) obroty id o π o 2π/3, o 4π/3 o π/2, o 3π/2 o π/3, o 5π/3 o π/6, o 5π/6, o 7π/6, o 11π/6 Twierdzeie 4. (podstawowe teorii grup abelowych) Jeżeli G jest grupą abelową geerowaą przez skończeie wiele elemetów, to G jest sumą prostą grup cykliczych. Wiosek 1. Każda skończoa grupa abelowa jest sumą prostą grup cykliczych postaci C p r, gdzie p jest liczbą pierwszą, a r N. 7. Homomorfizmy Niech G, G będą grupami. Odwzorowaie f : G G azywamy homomorfizmem, gdy dla dowolych a, b G spełioy jest waruek: f(ab) = f(a)f(b). Homomorfizm różowartościowy azywamy moomorfizmem; jeżeli obrazem G jest cała G, to mówimy o epimorfizmie. Homomorfizm, który jest moomorfizmem i epimorfizmem azywamy izomorfizmem. Jeśli G = G, to homomorfizm azywamy edomorfizmem; edomorfizm, który jest izomorfizmem, azywamy automorfizmem. 5

6 Jeżeli istieje izomorfizm f : G G, to grupy G i G azywamy izomorficzymi; piszemy wtedy G = G. Przykłady. 1. Odwzorowaie Z Z przyporządkowujące liczbie jej resztę z dzieleia przez jest epimorfizmem. 2. l : R + R oraz exp : R R + są izomorfizmami. 3. det : GL (K) K jest epimorfizmem. 4. f : Z O, f(k) = o 2kπ/. Z każdym homomorfizmem grup f : G G związae są dwie podgrupy: jądro ker f G i obraz f(g) G : ker f = {x G : f(x) = e}; im f = {y G : x G f(x) = y}. Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy. Jeśli a, b ker f, to f(ab 1 ) = f(a)f(b) 1 = ee = e, zatem ab 1 ker f. Jeśli c, d f(g), to istieją a, b G takie, że c = f(a), d = f(b). Zatem cd 1 = f(a)f(b) 1 = f(ab 1 ), więc cd 1 f(g). Warto także zauważyć, że ab 1 ker f f(ab 1 ) = e f(a) = f(b). Zatem jeżeli f jest moomorfizmem, to a ker f ae 1 ker f f(a) = f(e) a = e, więc ker f = e. Odwrotie, jeśli ker f = {e}, to f(a) = f(b) ab 1 ker f ab 1 = e a = b. Wykazaliśmy więc, że homomorfizm jest moomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro jedoelemetowe. 8. Grupa symetrycza S Zajmiemy się bardziej szczegółowo grupą S permutacji -elemetowych. Permutacje ozaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek permutacja tożamościowa e). Permutację π : i π(i), i = 1, 2,..., zapisuje się w dwóch rzędach: ( ) i 1 i 2... i podając wszystkie wartości przekształceia π: i 1 i 2... i Permutacje moży się zgodie z prawem składaia przekształceń. Jeżeli σ, τ S, to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla ( ) ( ) σ =, τ = mamy στ = ( Zauważmy, że τσ = ) ( ( ) = ) ( ) = = ( ( więc στ τσ. Jak wiadomo, istieje! permutacji -elemetowych, więc S =!. Grupy permutacji staowią uiwersaly przykład grup skończoych. 6 ), ).

7 Twierdzeie 5. (Cayleya) Każda grupa skończoa jest izomorficza z pewą grupą permutacji. D o w ó d. Niech G będzie grupą, G =. Określimy odwzorowaie Γ : G S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie ( ) g1 g γ = 2... g S(G). gg 1 gg 2... gg γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. Poieważ dla x G, Γ(x)(g) = xg, więc Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) = = (Γ(a) Γ(b)) (g) czyli Γ(ab) = Γ(a) Γ(b). Odwzorowaie Γ jest różowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G, więc a = e G. Zatem Γ ma jądro jedoelemetowe, czyli jest moomorfizmem. Prawdziwe jest także poiższe twierdzeie. Twierdzeie 6. (uogólioe twierdzeie Cayleya) Każda grupa jest izomorficza z grupą odwzorowań wzajemie jedozaczych ( permutacji ieskończoych ) pewego zbioru a siebie. Permutacje z S moża rozłożyć a iloczy prostszych permutacji. Zauważmy p., że dla powyższych σ i τ moża arysować grafy: 4 σ : 1 3 τ : Naturale będzie więc azwaie permutacji σ cyklem o długości 4, a permutacji τ iloczyem dwóch rozłączych cykli długości 2. Ogóliej, mówimy, że elemety i, j są π-rówoważe, jeśli j = π s (i) dla pewego s Z (π s ozacza s-krote złożeie permutacji π). Tak zdefiiowaa relacja jest relacją rówoważości (sprawdzić!). Twierdzeie 7. (zasada abstrakcji). Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją rówoważości w X. Dla x X iech [x] = {y X : x y} ozacza zbiór wszystkich elemetów rówoważych z x. Wtedy dla dowolych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = x X [x]. 4) [x] [y] [x] = [y]. Zgodie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru Ω = {1, 2,..., } Ω = Ω 1 Ω p (1) a rozłącze klasy Ω 1,..., Ω p, zwae π-orbitami. Każdy elemet i Ω ależy więc do dokładie jedej orbity. Liczbę l k = Ω k azywamy długością orbity Ω k. Jeśli i Ω k, to Ω k = {i, π(i),..., π lk 1 (i)}. Permutację ( ) i π(i)... π l k π k = 2 (i) π lk 1 (i) π(i) π 2 (i)... π lk 1 (i) i 7

8 azywamy cyklem długości l k. Cykle będziemy zapisywać w postaci jedego wiersza: π k = ( i π(i)... π l k 2 (i) π l k 1 (i) ). Elemety te moża oddzielać przecikami lub ie. Cykl π k pozostawia a miejscu wszystkie elemety zbioru Ω \ Ω k. Dlatego też uzasadioe jest azywaie cykli π s i π t dla s t cyklami rozłączymi. Z rozbiciem zbioru (1) wiąże się zatem rozkład permutacji π a iloczy π = π 1 π 2 π p, (2) w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemiee. W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, p. ( ) π = S (3) moża zapisać: π = ( )(6 7)(8) = ( )(6 7). Twierdzeie 8. Każdą permutację π e w S moża przedstawić w postaci iloczyu cykli rozłączych o długości większej lub rówej 2. Rozkład taki jest jedozaczy z dokładością do kolejości czyików. Rozkład a cykle pozwala a łatwe zalezieie rzędu permutacji. Wiosek 2. Rząd permutacji π S jest rówy ajmiejszej wspólej wielokrotości długości cykli występujących w rozkładzie (2). D o w ó d. Niech π = π 1 π 2 π p. Poieważ cykle są ze sobą przemiee, więc π s = π s 1π s 2 π s p, s = 0, 1, 2,... Cykle π 1 π 2... π p są rozłącze (działają a różych zbiorach Ω 1,..., Ω p ), więc π q = e π q k = e k=1,2,...,p. Zatem q jest wspólą wielokrotością rzędów cykli π k, czyli wspólą wielokrotością ich długości l k. Rzędem π jest ajmiejsza taka liczba q, czyli π = NWW(l 1,..., l p ). Np. rząd permutacji π daej wzorem (3) wyosi 10. Przykład. Jaki jest maksymaly rząd elemetów grupy S 8? Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 a sumy: 8 = , 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4,... dojdziemy do wiosku, że rzędami elemetów różych od e w S 8 mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15. Np. π = ( )(6 7 8) jest rzędu 15. Zwróćmy uwagę, że S 8 = 8! = Cykl długości 2 azywamy traspozycją. Z twierdzeia 8 wyika poiższy wiosek. Wiosek 3. Każda permutacja π S jest iloczyem pewej liczby traspozycji. D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolej traspozycji τ. Po drugie, z twierdzeia 8 wyika, że wystarczy podać sposób rozkładu cyklu a traspozycje. Mamy p.: ( l 1 l) = (1 l)(1 l 1) (1 3)(1 2), a ogóliej: (a 1 a 2... a l 1 a l ) = (a 1 a l )(a 1 a l 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). Wiosek te moża wypowiedzieć iaczej: Wiosek 4. Traspozycje tworzą zbiór geeratorów dla S. 8

9 Oczywiście ie jest to miimaly zbiór geeratorów, p.: S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ). Twierdzeie 9. (o geeratorach grupy S ). Następujące podzbiory są zbiorami geeratorów grupy symetryczej S : a) wszystkie traspozycje elemetów zbioru Ω = {1, 2,..., }; b) {(1 2), (2 3), (3 4),..., ( 1 )}; c) {(1 2), (1 3), (1 4),..., (1 )}; d) {(1 2), ( )}. D o w ó d. a) jest treścią poprzediego wiosku. b) Każdą traspozycję (ij), 1 i < j moża przedstawić w postaci: (i j) = (i i+1)(i+1 i+2) (j 1 j)(j 2 j 1)(j 3 j 2) (i+1 i+2)(i i+1). Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji geeruje S, więc rówież zbiór traspozycji poday w b) ją geeruje. c) Teza wyika z rówości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). d) Niech α = (1 2), β = ( ). Wtedy mamy kolejo β 1 = β 1 (bo β = e), (2 3) = βαβ 1, (3 4) = β(2 3)β 1, (4 5) = β(3 4)β 1,..., ( 1 ) = β( 2 1)β 1. Na mocy b) zbiór {α, β} jest rówież zbiorem geeratorów. Warto także podkreślić, że rozkład permutacji a traspozycje ie jest jedozaczy; więcej, róże rozkłady mogą mieć awet różą liczbę czyików. Np. w S 4 mamy: (1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4). Moża jedak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji a traspozycje ma parzystą liczbę czyików, to każdy iy ma także parzystą liczbę czyików. Iymi słowy, liczba ε π = ( 1) k, gdzie k jest liczbą traspozycji w dowolym rozkładzie permutacji π, jest iezmieikiem permutacji. Dokładiej, moża udowodić kolejo poiższe lematy. Lemat 3. Niech π S, iech τ S będzie traspozycją. Liczby cykli występujących w rozkładach a cykle permutacji π i τπ różią się o 1. Lemat 4. Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawioa w postaci iloczyu k traspozycji, p. e = τ k τ k 1 τ 2 τ 1, to liczba k jest parzysta. Korzystając z tych lematów moża wykazać twierdzeie 10. Twierdzeie 10. Jeżeli π S jest a dwa sposoby przedstawioa w postaci iloczyu traspozycji, to albo w obu przedstawieiach liczba czyików jest parzysta, albo w obu ieparzysta. D o w ó d. Niech π = τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = σ l σ l 1 σ 2 σ 1 będą dowolymi przedstawieiami permutacji π S w postaci iloczyu traspozycji. Wtedy: e = π 1 π = (σ l σ l 1 σ 2 σ 1 ) 1 (τ k τ k 1 τ 2 τ 1 ) = = σ1 1 2 σ 1 l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 = = σ 1 σ 2 σ l τ k τ k 1 τ 2 τ 1 jest przedstawieiem permutacji tożsamościowej w postaci iloczyu k + l traspozycji. Na mocy poprzediego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo k, l są obie parzyste, lub obie ieparzyste. Permutację π S azywamy parzystą, gdy ε π = 1 i ieparzystą, gdy ε π = 1. Tak więc wszystkie traspozycje są permutacjami ieparzystymi. Moża wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru -elemetowego ( 2) tworzą podgrupę A grupy S, rzędu! 2. Jest to tzw. grupa alterująca. Defiicja 4. Dwie permutacje π 1 i π 2 azywamy podobymi, jeżeli w ich rozkładach a cykle występuje tyle samo cykli tej samej długości. 9

10 Przykład. Permutacje: są podobe. π 1 = (1)(2)(3 4 5)( ), π 2 = (1 2 3)(4)( )(10) Nietrudo sprawdzić, że podobieństwo jest relacją rówoważości w zbiorze S. Defiicja 5. Mówimy, że permutacja π 1 S jest sprzężoa z permutacją π 2 S względem pewej grupy permutacji G S, jeśli istieje elemet π grupy G taki, że ππ 1 π 1 = π 2. Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężeie względem G jest relacją rówoważości. Klasy abstrakcji relacji sprzężeia (względem grupy G) w zbiorze G azywamy klasami elemetów sprzężoych w grupie G. Twierdzeie 11. Dwie permutacje π 1, π 2 S są sprzężoe względem S wtedy i tylko wtedy, gdy są podobe. D o w ó d. ( ) Najpierw przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i sprzężoą z ią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podoba do π 1. Ogólie: jeśli day jest rozkład permutacji π 1 a cykle, to rozkład π 2 otrzymujemy zastępując liczby ich obrazami przy permutacji π. ( ) Zowu przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobe (123)(45) i (143)(25). Określamy ( ) π = = (24) Wtedy π(123)(45)π 1 = (143)(25). Ogólie: iech permutacje π 1 = (a 1 a 2... a k )(b 1... b l )... (...), π 2 = (a 1 a 2... a k)(b 1... b l)... (...) będą podobe. Niech ( ) a1 a π = 2... a k b 1 b 2... b l... a 1 a 2... a k b 1 b 2... b S l.... Wtedy π 2 = ππ 1 π 1. W wielu zagadieiach moża utożsamiać permutacje podobe. Dlatego przydate jest astępujące pojęcie. Defiicja 6. Niech w rozkładzie permutacji π S a cykle występuje j k cykli o długości k, k = 1, 2,...,. Jedomia azywamy typem permutacji π. z(π) = x j1 1 xj2 2 xj Uwaga. Czasem typ ozacza się z(π) = 1 j1 2 j2 j. Defiicja 7. Ideksem cyklowym grupy permutacji G S azywamy wielomia: Z(G) = 1 z(π). G π G Przykład. Niech G = S 2 = {e, (12)}. Wtedy Dla grupy S 3 mamy z kolei: Z(S 3 ) = 1 6 Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x2 1 + x 2 ). 6 z(π i ) = 1 6 (x3 1 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 3 ) = i=1 = 1 6 (x x 1 x 2 + 2x 3 ). 10

11 9. Ideks cyklowy grupy dwuściau Defiicja 8. Grupę izometrii -kąta foremego ( 3) azywamy grupą dwuściau (diedralą) i oz. D. D = 2, bo D składa się z obrotów i symetrii osiowych. Grupa ta jest geerowaa p. przez obrót o kąt 2π/ i jedą symetrię osiową. Każda izometria z D da się opisać jako pewa permutacja wierzchołków, więc D moża traktować jako podgrupę grupy S. Np. D 4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}. Twierdzeie 12. 1) Jeżeli = 2m + 1, to 2) Jeżeli = 2m, to Z(D ) = 1 ( x x 1 x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1 Z(D ) = 1 ( x mx 2 1x2 m 1 + (m + 1)x m 2 + ϕ(d)x /d ) d. d,d 1,2 D o w ó d. Symetrie osiowe dają w D składiki: x 1 x m 2 dla = 2m + 1, mx 2 1x m mx m 2 dla = 2m. Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczą. Niech g będzie geeratorem jest to cykl rzędu, p. g = ( ). Wtedy g k ma rząd d = wd(k, ) i jest iloczyem /d cykli długości d, tj. z(g k ) = x /d d. Elemetów rzędu d jest tyle, ile jest takich k, że wd(k, ) = /d, tj. ϕ(d) (bo wd(k, d) = 1 wd(k d, d d ) = d ). Dla = 2m istieje jede obrót typu xm Grupa ilorazowa Defiicja 9. Warstwą lewostroą grupy G względem podgrupy H wyzaczoą przez a G azywamy zbiór: ah = {ah : h H}. Przykłady. 1. Niech G = Q, H = {3 : Z}. Wtedy p. 5H = {5 3 : Z}. 2. W zapisie addytywym: iech G = Z, H = 3Z = {3k : k Z}; wtedy 5 + H = {5 + 3k : k Z}. 3. G = GL (K), H = SL (K). Dla A GL (K) mamy: AH = {AB : B SL (K)} = {C : det C = det A}. Lemat 5. Niech H G. b ah a 1 b H. Lemat 6. Relacja : a b a 1 b H jest relacją rówoważości w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej relacji są warstwy G względem H. Wiosek 5. Niech H G. Każdy elemet grupy G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. 11

12 Wiosek 6. (twierdzeie Lagrage a). Rząd podgrupy grupy skończoej jest dzielikiem rzędu grupy. D o w ó d. Niech G =. Każdy elemet G ależy do dokładie jedej warstwy względem H. Poadto każda warstwa ma tyle elemetów, ile podgrupa H. Zatem: = liczba warstw liczba elemetów warstwy, Zatem H jest dzielikiem G. = liczba warstw H. Wiosek 7. Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cyklicza. D o w ó d. Jeżeli a G jest rzędu, to {e, a,..., a 1 } jest podgrupą cykliczą rzędu. Zatem p. Defiicja 10. Zbiór warstw G względem H azywamy zbiorem ilorazowym grupy G przez podgrupę H i ozaczamy G/H. Moc zbioru G/H azywamy ideksem podgrupy H w grupie G ; ozaczeie (G : H). W zbiorze ilorazowym moża wprowadzić działaie, ale trzeba więcej założyć o H. Defiicja 11. Podgrupę H grupy G azywamy podgrupą ormalą lub dzielikiem ormalym (ozaczeie : H G), jeżeli spełioy jest waruek: Waruki rówoważe: g G h H g 1 hg H. g G gh = Hg ; g G g 1 Hg H. Przykłady. 1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest ormala. 2. SL (K) jest ormala w GL (K). 3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} ie jest ormala, bo dla g = (1 2 3), gh = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. Lemat 7. Niech f : G G będzie homomorfizmem. Wtedy ker f G. D o w ó d. Dla g G, h ker f mamy f(g 1 hg) = f(g) 1 f(h)f(g) = f(g) 1 f(g) = e, więc g 1 hg ker f. Twierdzeie 13. Jeżeli H G, to działaie: ah bh = abh wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwaej grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eh jest jedyką w G/H, a elemetem odwrotym do ah jest a 1 H. D o w ó d. Sprawdzimy, że działaie jest dobrze określoe, tj. (ah = a H, bh = b H) = abh = a b H. Mamy : a b H = a (b H) = a (bh) = a (Hb) = (a H)b = (ah)b = a(hb) = a(bh) = abh. Twierdzeie 14. (podstawowe o homomorfizmach). Niech f : G G będzie homomorfizmem grup z jądrem H = ker f. Wtedy H G oraz G/H = f(g). Na odwrót, jeśli H G, to istieje grupa G (miaowicie G/H) i epimorfizm π : G G o jądrze H. 12

13 G π G/ ker f Uwaga. π azywamy homomorfizmem kaoiczym (aturalym). D o w ó d. Wiemy już, że H G. Określamy odwzorowaie f f G f : G/H G, f(gh) = f(g). Odwzorowaie f jest dobrze określoe, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to g1 1 g 2 H, czyli f(g1 1 g 2) = e, tj. f(g 1 ) = f(g 2 ). Dalej, f jest homomorfizmem, bo f(g 1 H g 2 H) = f(g 1 g 2 H) = f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ) = f(g 1 H) f(g 2 H). Poadto f jest moomorfizmem, bo jeśli f(gh) = e, to f(g) = e czyli g H, więc gh = H. Oczywiście f(g/h) = f(g), czyli obraz f jest taki sam jak obraz f. Zatem f jest szukaym izomorfizmem. Odwrotie, iech H G. Określamy π : G G/H wzorem π(g) = gh. Odwzorowaie π ma wtedy wszystkie żądae własości. Niekiedy grupa jest izomorficza z iloczyem prostym swoich podgrup. Mówi o tym poiższe twierdzeie. Twierdzeie 15. Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielikami ormalymi. Jeżeli A B = {e} i AB = G, to G = A B. D o w ó d. Każdy elemet g G moża w sposób jedozaczy(!) przedstawić w postaci iloczyu g = ab, a A, b B. Określamy f : G A B wzorem f(g) = (a, b). To odwzorowaie jest izomorfizmem. Twierdzeie 16. Niech G = A B. Wtedy G/A = B. D o w ó d. Niech f : G B, f(a, b) = b. Wtedy f jest epimorfizmem z jądrem A. Przykład. Rozpatrzmy odwzorowaie (moduł) przyporządkowujące każdej liczbie zespoloej jej wartość bezwzględą. Poieważ z 1 z 2 = z 1 z 2 więc jest to homomorfizm grupy multiplikatywej C w grupę multiplikatywą R + liczb ieujemych. Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z C : z = 1}. Grupa ilorazowa C /C 1 jest izomorficza z grupą R +. Geometryczie, elemetami grupy ilorazowej są okręgi o środku w początku układu współrzędych. Iloczyem dwu takich okręgów o promieiach r 1 i r 2 jest okrąg o promieiu r 1 r 2. Grupa R + jest także podgrupą w C ; łatwo zauważyć, że jest to jądro homomorfizmu arg : C R (R grupa addytywa). Widać, że R + C 1 = {1} oraz R +C 1 = C. Zatem C = C 1 R +. Przykład. Niech ϕ : C C będzie określoe wzorem ϕ(z) = z3 z. Sprawdzić, 3 że ϕ jest homomorfizmem, wyzaczyć ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficzie oba zbiory i arysować warstwę e i π/4 ker ϕ. Rozwiązaie. C jest grupą z możeiem. Sprawdzamy, czy ϕ jest homomorfizmem: ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 z 1 z 2 3 = z3 1z2 3 z 1 3 z 2 3 = z3 1 z 1 3 z2 3 z 2 3 = ϕ(z 1)ϕ(z 2 ). Jądro tworzą rozwiązaia rówaia ϕ(z) = 1, tz. z 3 z 3 = 1 Aby je rozwiązać moża p. zapisać z w postaci wykładiczej: z = re i α. Wtedy (re i α ) 3 re i α 3 = 1, e 3 i α = 1 13

14 3 i α = 2kπ, k Z. Zatem r jest dowole, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3: ker ϕ = {r, re 2 i π/3, re 4 i π/3 : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami 0, 2π/3, 4π/3. Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α, α R. Jest to więc okrąg jedostkowy. Warstwa: e i π/4 ker ϕ = {re i π/4 e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4, re i(π/4+2π/3), re i(π/4+4π/3) : r R + }. Geometryczie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami π 4, 11π 12, 19π Działaie grupy a zbiorze Defiicja 12. Mówimy, że grupa G (zapisywaa multiplikatywie) działa a zbiorze X, jeżeli jest dae przekształceie G X X, w którym obrazem pary (g, x) jest elemet zbioru X, ozaczay przez gx. Zakładamy, że to przekształceie ma astępujące własości: a) x X ex = x; b) x X g,h G (gh)x = g(hx). W tym kotekście elemety grupy G azywamy operatorami, a zbiór X azywamy G-zbiorem. Dla x X zbiór Gx = {gx : g G} azywamy G-orbitą elemetu x. Może się zdarzyć, że Gx = {x}; wtedy x azywamy puktem stałym względem G. Lemat 8. Niech X będzie G-zbiorem. Rodzia orbit {Gx : x X} jest podziałem zbioru X a parami rozłącze iepuste zbiory których suma jest rówa X. D o w ó d. Wystarczy wykazać, że relacja: x y (x, y ależą do tej samej orbity) jest relacją rówoważości i powołać się a zasadę abstrakcji (twierdzeie 7). Defiicja 13. Zbiór G x = {g G : gx = x} azywamy stabilizatorem elemetu x. Lemat 9. G x jest podgrupą G. D o w ó d. Jeśli g, h G x, czyli gx = hx = x, to g 1 hx = x, więc g 1 h G x. Przykłady. 1. Niech G będzie grupą permutacji zbioru Ω = {1, 2,..., }. Wtedy G działa a Ω wg wzoru (α, j) α(j). W szczególości, jeśli G = S, to orbita jest tylko jeda. Stabilizatorem G i elemetu i jest wtedy grupa złożoa z permutacji, w których rozkładzie a cykle występuje cykl (i). Np. gdy G = S 6, to G = 720 a G i = 120 dla i = 1, 2,..., 6. Jeśli G jest grupa cykliczą geerowaą przez π, G = (π), to orbitami tego działaia są wprowadzoe wcześiej π-orbity : i, j ależą do tej samej π-orbity, jeśli w rozkładzie π a cykle są elemetami tego samego cyklu. Stabilizator G i składa się wtedy z tych potęg π k, dla których π k (i) = i. Np. gdy π = (123)(45)(6) S 6 to mamy 3 orbity: G1 = G2 = G3 = {1, 2, 3}, G4 = G5 = {4, 5}, G6 = {6}. Stabilizatory: G 1 = G 2 = G 3 = {e, π 3 }, G 4 = G 5 = {e, π 2, π 4 }, G6 = G. 14

15 2. Przykład poprzedi moża uogólić : każda grupa G działa a G wg wzoru (g, x) gx. Wtedy orbita jest tylko jeda. Jeśli H G, to H działa a G wg wzoru (h, x) hx. Wtedy orbitami są warstwy prawostroe grupy G względem podgrupy H. 3. Iym działaiem G a G jest działaie poprzez automorfizmy wewętrze: (a, g) I a g = aga 1 dla a, g G. Sprawdzimy, że jest to działaie. Mamy I e g = ege 1 = g oraz I ab g = (ab)g(ab) 1 = abgb 1 a 1 = ai b ga 1 = I a (I b g). Dla tego działaia : Gx = {I a x : a G} = {axa 1 : a G}. Jeżeli x Z(G), to dla dowolego a G mamy axa 1 = x, więc Gx = {x}. Elemety orbity Gx azywamy sprzężoymi z x. W szczególości, gdy G = S, to orbitami są klasy elemetów podobych, czyli tego samego typu. Działaie, które ma tylko jedą orbitę, azywamy przechodim. Jeśli działaie jest przechodie, to dla każdego x X, G x = {e}. Twierdzeie 17. (o orbitach i stabilizatorach) Niech grupa G działa a zbiorze X. Wtedy liczość orbity Gx jest rówa ideksowi stabilizatora G x, tj. Gx = (G : G x ). Zatem jeżeli G jest grupą skończoą, to Gx = elemetów orbity jest dzielikiem rzędu grupy. G G x. W szczególości liczba D o w ó d. Określimy odwzorowaie Gx G/G x wzorem f(y) = gg x dla y = gx. Takie odwzorowaie jest dobrze określoe, bo jeśli y = g 1 x = g 2 x, to g 1 2 g 1x = x, czyli g 1 2 g 1x G x, więc g 1 G x = g 2 G x. Poadto f jest surjektywe, bo g może być dowolym elemetem G. Wreszcie jeśli g 1 G x = g 2 G x, to g 1 2 g 1x G x, czyli g 1 2 g 1x = x, więc g 1 x = g 2 x, co dowodzi, że f jest różowartościowe. Zatem f określa rówoliczość zbiorów Gx i G/G x. Twierdzeie 18. (lemat Burside a). Niech X będzie skończoym G-zbiorem. Liczba G-orbit, a które dzieli się zbiór X, jest rówa 1 G χ(g), g G gdzie χ(g) ozacza liczość zbioru {x X : gx = x} puktów stałych operatora g. D o w ó d. Utwórzmy macierz o X wierszach i G kolumach astępująco: { 1 dla gx = x a x,g = 0 dla gx x. Obliczymy liczbę jedyek w tej macierzy dwoma sposobami. Sumując jedyki wierszami otrzymujemy x X G x, a sumując kolumami g G χ(g). Zatem G x = χ(g). g G czyli x X x X G x G = 1 G χ(g). g G Z twierdzeia o orbitach i stabilizatorach otrzymujemy x X 1 Gx = 1 G 15 χ(g). g G

16 Zauważmy, że 1 x Gx Gx = 1, więc x X 1 Gx jest liczbą orbit. Przykład. Naszyjiki składają się z pięciu paciorków w trzech kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? Poieważ kolor każdego paciorka moża wybrać a 3 sposoby, więc aszyjików jest 3 5 = 243. Jedak ie wszystkie są istotie róże. Jeśli aszyjik traktować jako pięciokąt foremy, którego wierzchołki są pomalowae trzema ustaloymi kolorami (p. czerwoy, iebieski, zieloy), to istota jest sekwecja kolorów. Należy zatem utożsamić te aszyjiki, które moża otrzymać przez obrót pewego ustaloego aszyjika. Zatem możemy a zbiorze X wszystkich 243 aszyjików rozpatrywać działaie grupy obrotów; wtedy liczba istotie różych aszyjików jest liczbą orbit tego działaia. Na mocy lematu Burside a otrzymamy: liczba orbit = 1 5 χ(o i ), 5 gdzie o i jest obrotem o kąt 2π 5 i dla i = 1, 2,..., 5. Poieważ aszyjik iezmieiczy przy obrocie o kąt iezerowy musi być 1-kolorowy, więc χ(o i ) = 3 dla i = 1, 2, 3, 4; ale χ(o 5 ) = 243. Zatem i=1 liczba orbit = 1 ( ) = Ale zwrot istotie róże moża rozumieć iaczej. Moża utożsamiać aszyjiki które moża otrzymać przez obrót oraz te, które moża otrzymać przez przełożeie a drugą stroę, czyli przez symetrię. Matematyczym modelem będzie wtedy działaie grupy diedralej D 5. Oprócz obrotów zawiera oa jeszcze 5 symetrii osiowych s i, przy czym χ(s i ) = 3 3 = 27 (kolory 3 wierzchołków wybieramy a 3 sposoby, ale dwa pozostałe muszą mieć taki kolor jak wierzchołek symetryczy). Zatem wtedy liczba orbit = 1 ( ) = Przykład. Ogóliej, aszyjiki składają się z paciorków w k kolorach. Ile jest istotie różych aszyjików? a) Jeśli grupą działającą jest grupa obrotów: G = {o 1,..., o } gdzie o jest obrotem o kąt 2π i dla i = 1, 2,...,, to mamy χ(o i ) = k wd(,i), bo jeżeli wd(, i) = d, to obrót o i jest rzędu d, co ozacza, że tyle paciorków (co d-ty) musi być tego samego koloru. (Przykładowo, gdy = 8, i = 6, to d = 2. Obrót o 6 jest obrotem o kąt 3 2π, czyli paciorki przechodzące a siebie to 1,7,5,3 oraz 2,8,6,4. Zatem co drugi musi być tego samego koloru. Jest więc k 2 możliwości wyboru kolorów.) Liczba orbit wyosi: 1 k wd(,i). i=1 Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 130. b) Jeśli grupą działającą jest grupa diedrala, to dochodzą jeszcze symetrie. W przypadku ieparzystego oś symetrii musi przechodzić przez wierzchołek. Wtedy χ(s) = k +1 2 dla każdej symetrii s. W przypadku parzystego oś symetrii może przechodzić przez dwa wierzchołki (symetria s w ) lub być symetralą boku (symetria s b ). Wtedy χ(s w ) = k 2 +1, χ(s b ) = k 2. 16

17 Zatem: dla ieparzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) + k +1 2 = i=1 dla parzystego liczba orbit wyosi ( ) 1 k wd(,i) k k 2 i=1 i=1 = 1 2 k wd(,i) k +1 2 ; k wd(,i) k 2 (k + 1). Np. dla = 6, k = 3 otrzymujemy 92. Uwaga. Obroty i symetrie o których mowa wyżej moża iterpretować jako permutacje. Jeżeli pod działaiem permutacji aszyjik ie zmieia się, to zaczy, że paciorki odpowiadające elemetom tego samego cyklu są jedakowego koloru. Zatem: Jeżeli permutacja π S ma r cykli (wliczając cykle długości 1), to liczba pokolorowań stałych dla π wyosi k r (k liczba kolorów). Wiosek 8. Jeżeli G jest grupą permutacji działającą a zbiorze pokolorowań, i zamy jej ideks cyklowy Z(G), to liczbę różych pokolorowań otrzymamy podstawiając w Z(G) x 1 = x 2 = = x = k. i=1 17

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany 24.10.2005 r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych Uiwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Iformatyki Istytut Iformatyki Grzegorz Łoś Zastosowaie błądzeia przypadkowego do testowaia geeratorów liczb pseudolosowych Praca magisterska apisaa pod kierukiem

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968)

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968) 5. MEODY MONE CARLO A SYMULACJA POOKÓW RUCHU (wg Drew, 968) 5.. Wprowadzeie Moeta jest rzucaa aż do osiągięcia orła. Jeżeli to zdarzy się w pierwszym rzucie, gracz otrzymuje zł od baku. Jeżeli poraz pierwszy

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha Defiicja ogóla fraktala Fraktale dr iż.. Piotr Steć Fraktalem azywamy obiekt, który wykazuje cechy dokładego lub statystyczego podobieństwa Fraktal jest obiektem, którego wymiar jest ułamkiem Słowo fraktal

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek 29.11.2010 Spis treści Przedmowa v 1 Grupy 1 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy.................... 1 1.1.1 Definicja i przykłady grup....................

Bardziej szczegółowo

O podzielności liczb

O podzielności liczb Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych... 4 1. Podzielość... 4 2. Dzieleie liczb całkowitych... 5 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo