Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Transkrypt

1 Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (1) a m1 a m2 a mn utworzona z elementów a ij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) cia la K nazywamy m n-macierza nad cia lem K Elementy a ij nazywamy wyrazami macierzy Rzedy pionowe nazywamy kolumnami, a poziome- wierszami tej macierzy Kolumny numerujemy od lewej strony do prawej, zaś wiersze - od góry do do lu Zatem element a ij stoi w i-tym wierszu i j-tej kolumnie rozpatrywanej macierzy Przyk lad 41 Jeżeli A , to a 11 5, a 12 4, a 13 7, a 21 0, a 22 3, a 23 4 We wszystkich oznaczeniach dotyczacych macierzy takich jak np a ij, A ij, m n, M m n (R), przyjmujemy umowe, że pierwszy indeks z lewej strony dotyczy wiersza, zaś drugi-kolumny n n-macierze, nazywamy macierzami kwadratowymi stopnia n Dwie macierze nazywamy równymi, jeżeli jako tablice sa identyczne Oznaczenia macierzy: A, B, C, itd Dla macierzy (1) piszemy też: A a ij i1,,m (2) Zbiór wszystkich m n - macierzy nad cia lem K oznaczamy przez M m n (K) Macierza transponowana A T m n-macierzy A postaci (1) nazywamy taka n m-macierz, która jako swa i-ta kolumne, dla i 1, 2,, m, ma i-ty wiersz macierzy A Zatem a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 (3) a 1n a 2n a mn 1

2 Dla dowolnej macierzy A zachodzi wzór: A }{{} m n A T }{{} n m (A T ) T A Przyk lad 42 Macierza transponowana macierzy, a macierza transponowana macierzy jest macierz jest macierz Dzia lania na macierzach a) Mnożenie macierzy przez skalar Elementy cia la K nazywamy skalarami Aby pomnożyć macierz A (nad cia lem K) przez skalar a należy wszystkie jej wyrazy pomnożyć przez a Zatem a a ij i1,,m a a ij i1,,m (4) Przyk lad b) Dodawanie macierzy Macierze A i B nad cia lem K o tych samych wymiarach możemy dodawać Mianowicie, jeżeli A a ij i1,,m oraz B b ij i1,,m, to Przyk lad 44 + A + B a ij + b ij i1,,m (5) Dodawanie macierzy jest przemienne, l aczne i posiada element neutralny tzw macierz zerowa 0 m n, która jest m n-macierza o samych zerach, tzn dla dowolnych m n-macierzy A, B, C zachodza wzory: A + B B + A, Macierza przeciwna do macierzy (A + B) + C A + (B + C), A + 0 m n 0 m n + A A nazywamy macierz A a ij i1,,m A a ij i1,,m 2

3 Zachodza dla niej wzory: A + ( A) ( A) + A 0 m n, A ( 1) A Można wykazać, że dla dowolnych m n-macierzy A, B i dla dowolnych a, b K zachodza wzory: (A + B) T A T + B T, a (A + B) a A + a B, (a A) T a A T, (a + b) A a A + b A, (ab) A a (b A) c) Odejmowanie macierzy Różnica m n-macierzy A i B nazywamy macierz Jeżeli zatem A a ij i1,,m Przyk lad 45 A B A + ( B) oraz B b ij i1,,m, to A B a ij b ij i1,,m 5 7 przez j-ta kolumne macierzy B: c) Mnożenie macierzy Jeżeli A jest m n-macierza nad cia lem K oraz B jest n k- macierza nad cia lem K (tzn liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B), to możemy określić iloczyn A B, który jest m k-macierza, przy czym wyraz x ij macierzy A B jest iloczynem (skalarnym) i-tego wiersza macierzy A: a i1 a i2 a in b 1j b 2j b nj, czyli x ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj (6) Zatem aby pomnożyć macierz A M m n (K) przez macierz B M n k (K) należy pierwszy wiersz macierzy A pomnożyć (skalarnie) przez pierwsza kolumne macierzy B, nastepnie należy pomnożyć pierwszy wiersz macierzy A przez druga kolumne macierzy B, itd W ten sposób uzyskamy kolejne wyrazy pierwszego wiersza macierzy A B Aby otrzymać drugi wiersz macierzy A B należy pomnożyć drugi wiersz macierzy A przez kolejne kolumny macierzy B W końcu należy pomnożyć ostatni wiersz macierzy A kolejno przez wszystkie kolumny macierzy B ( }{{} A, }{{} B ) A }{{ B} m n n k m k 3

4 Przyk lad 46 Niech A i B Wówczas B A nie ma sensu (gdyż liczba kolumn macierzy B nie jest równa liczbie wierszy macierzy A) oraz A B, bo Wynika stad, że mnożenie macierzy nie jest na ogó l przemienne Mnożenie macierzy jest l aczne i rozdzielne wzgledem dodawania macierzy Iloczyn macierzy kwadratowych stopnia n jest też macierza kwadratowa stopnia n Jeżeli A M m n (K), B M n k (K), C M k p (K), to (A B) C A (B C) Jeżeli A M m n (K) oraz B, C M n k (K), to A (B + C) A B + A C Jeżeli A, B M m n (K) i C M n k (K), to (A + B) C A C + B C Odnotujmy jeszcze inne w lasności dzia lań na macierzach: Jeżeli A M m n (K) i B M n k (K), to (A B) T B T A T Jeżeli A M m n (K) i B M n k (K), to dla dowolnego a K: a (A B) (a A) B A (a B) Przyk lad 47 Korzystajac z podanych w lasności dzia lań na macierzach obliczymy dla A 2 1 1, B D B A T + (A C) T T,, C (A T ) T B T + (A C) A B T + A C A (B T + C), czyli Ponadto B T , czyli D , wi ec B T + C D A (B T + C) Otóż, D (B A T ) T +(A C) T T oraz D

5 3 Określenie wyznacznika Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 nad cia lem K i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1 powsta l a z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A Przyk lad 48 Niech A Wówczas A 12 oraz A Wyznacznikiem nazywamy taka funkcje przyporzadkowuj ac a każdej macierzy kwadratowej A nad cia lem K pewien element tego cia la (oznaczony przez det(a)), która spe lnia nastepuj ace warunki: (i) jeśli A a, to det(a) a, (ii) jeśli a 11 a 12 a 1n a A 21 a 22 a 2n, (7) a n1 a n2 a nn gdzie n > 1, to det(a) n ( 1) i+n a in det(a in ) (8) i1 Wyznacznikiem macierzy A nazywa sie wartość det(a) tej funkcji dla macierzy A Funkcja-wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczona przez warunki (i) i (ii) Wyznacznik macierzy A postaci (7) oznaczamy też nastepuj aco: a 11 a 12 a 1n a det(a) 21 a 22 a 2n (9) a n1 a n2 a nn Powyższa definicja daje również efektywna metode obliczania wyznacznika dowolnej macierzy kwadratowej A Przyk lad 49 Z w lasności (ii) i (i) otrzymujemy wzór: a b ad bc (10) c d a Rzeczywiście, c b d ( 1)1+2 b detc + ( 1) 2+2 d deta ad bc 5

6 a 1 a 2 a 3 Przyk lad 410 Z w lasności (ii) i przyk ladu 49: b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ( 1) 1+3 b 1 b 2 a 3 c 1 c 2 + a 1 a 2 ( 1)2+3 b 3 c 1 c 2 + a 1 a 2 ( 1)3+3 c 3 b 1 b 2 a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) b 3 (a 1 c 2 a 2 c 1 ) + c 3 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 1 b 2 c 3 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 Aby zatem obliczyć wyznacznik macierzy stopnia 3 wystarczy dopisać do niej z prawej strony dwie pierwsze kolumny i nastepnie wymnożyć prawoskośnie wyrazy ze znakiem + oraz lewoskośnie ze znakiem - i dodać otrzymane wyniki Taka metoda obliczania wyznacznika stopnia 3 nazywa sie regu l a Sarrusa Istotnie: a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 3 b 2 c 1 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 Przyk lad 411 Stosujac regu l e Sarrusa obliczymy wyznaczniki: ( ) , ( ) , ( ) , ( ) Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 412 Znajdź iloczyny A B i B A, jeśli a) A 2 3 0, B 3, b) A Odp a) A B 1, B A b) A B, B , B A

7 Zadanie 413 Oblicz iloczyn A B C, jeśli A , B Odp A B C C, C Zadanie 414 Oblicz iloczyn A B C D, jeśli A 3 1 1, D Odp A B C D Zadanie 415 Wykonaj podane dzia lania macierzowe: T Odp 3 5 7, B Zadanie 416 Rozwi aż równania macierzowe: a) X T , b) X Odp a) X b) X a 2 3a, gdzie a, c R 4c 9 3c Zadanie 417 Oblicz podane iloczyny: a), b) c) Odp a) , b) , c) , ,

8 Zadanie 418 Oblicz podane wyznaczniki stopnia 2: 5 2 a) 7 3, b), c) , d) , e) cos α sin α sin α cos α 5 + 4i 2 3i g) 2 + 6i 4 + 2i Odp a) 1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 1 f) i g) i, f) 4 + 2i 2 3i 3 i 4 + 2i, Zadanie 419 Oblicz podane wyznaczniki stopnia 3 przy pomocy regu ly Sarrusa: a) 5 3 2, b) 2 5 3, c) 3 2 8, d) 4 1 2, i e) 8 7 2, f) 0 1 i i i 1 Odp a) 40 b) 3 c) 100 d) 5 e) 0 f) 2 8