MODEL DWUMIANOWY II RZĘDU I SKOŚNY ROZKŁAD STUDENTA W ANALIZIE RYZYKA KREDYTOWEGO *

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MODEL DWUMIANOWY II RZĘDU I SKOŚNY ROZKŁAD STUDENTA W ANALIZIE RYZYKA KREDYTOWEGO *"

Transkrypt

1 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe MODEL DWUMIANOWY II RZĘDU I SKOŚNY ROZKŁAD STUDENTA W ANALIZIE RYZYKA KREDYTOWEGO * Jacek Osewalsk e-mal: Kaedra Ekonomer Akadema Ekonomczna PL 3-50 Kraków, ul. Rakowcka 27 Jerzy Marzec e-mal: Kaedra Ekonomer Akadema Ekonomczna PL 3-50 Kraków, ul. Rakowcka 27 Praca przedsawona przez auorów na posedzenu Komsj Nauk Ekonomcznych Komsj Saysyczno- Demografcznej Oddzału PAN w Krakowe dnu 23 czerwca 2004 r. ABSTRACT J. Osewalsk, J. Marzec., Bnomal model of order 2 and he skewed Suden dsrbuon n he analyss of loan rsk, Fola Oeconomca Cracovensa. In hs paper bnomal choce models of order and 2 are dsngushed. They are all based on F(x β), where F(.) s some cumulave dsrbuon funcon. In usual order models, x consss of orgnal explanaory varables w j, whle order 2 models also use squares and producs of w j, hus makng x β a second order polynomal n w j. We use he cumulave dsrbuon funcon of he wo-parameer famly of skewed Suden dsrbuons as he funconal form of F. Ths allows us o es specal cases, whch are based on a symmerc dsrbuon or on a normal dsrbuon (he prob model). In he (skewed) Suden case (wh unknown degrees of freedom), he lkelhood funcon does no negrae o a consan and he ML esmaor has unknown properes. Also, n order 2 models mulcollneary can be a severe problem. Hence we advocae he Bayesan approach wh proper prors for he parameers and propose he Meropols-Hasngs MCMC algorhm o draw from he poseror. Our example uses he proposed Bayesan model and he daa on consumer loans (from bank accouns) n order o assess rsk of an ndvdual loan. Emprcal resuls show ha our order 2 model cannno be reduced o s order submodel. Also, he CDF of a skewed dsrbuon wh very low degrees of freedom and srong lef skewness s mos adequae from he sascal vewpon. KEY WORDS - SŁOWA KLUCZOWE dscree choce model, Bayesan nference, skewed dsrbuon, scorng model, loan rsk model dyskrenego wyboru, wnoskowane bayesowske, skośny rozkład, model scorngowy, ryzyko kredyowe * Praca przygoowana w ramach badań sauowych Akadem Ekonomcznej w Krakowe w roku 2004.

2 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe. WPROWADZENIE Model dwumanowy (dychoomczny) jes podsawowym modelem wyjaśnającym jakoścową zmenną endogenczną. Przedsawa on zależność mędzy prawdopodobeńswem wyboru jednej z dwóch możlwośc (oznaczanych umowne jako 0 ) a egzogencznym zmennym objaśnającym, kóre opsują cechy możlwych alernayw lub ndywdualne charakerysyk podmoów podejmujących decyzję. Posać ego modelu jes nasępująca: ( y = ) = G( x β ) = F( x β ) p Pr dla =,,T, () gdze β jes wekorem k neznanych paramerów (β R k ), x = (x x k ) oznacza wekor usalonych warośc k zmennych egzogencznych lub ch znanych funkcj, zaś G( ) F( ) są funkcjam wążącym p, czyl prawdopodobeńswo zaobserwowana sukcesu, z x β. Modelem dwumanowym I rzędu nazywamy aką specyfkację (), w kórej x zawera ylko orygnalne zmenne egzogenczne jedynkę (odpowadającą wyrazow wolnemu), a x β jes lnową funkcją ych welkośc (przy usalonym β). Model I rzędu jes najczęsszym, powszechne rozważanym sosowanym przypadkem modelu dychoomcznego. Naomas modelem dwumanowym II rzędu nazywamy ak, w kórym x β jes welomanem drugego sopna względem zmennych egzogencznych, czyl x zawera eż kwadray loczyny warośc orygnalnych zmennych. Oczywśce, w obu przypadkach (modele I II rzędu) x β jes lnową funkcją paramerów (przy usalonym x ), różny jes naomas wymar wekora β. Funkcja F( ) we wzorze () ma własnośc dysrybuany rozkładu prawdopodobeńswa określa klasę modelu. Równoważną specyfkację orzymujemy przez wprowadzene modelu regresj lnowej (ze względu na β) dla ukryej (ne obserwowalnej) zmennej cągłej z, kórej znak deermnuje zaobserwowaną warość y (0 lub ): z = x y = I β + ε,, ) ( z ) = 0, [0, gdy gdy z 0, (2) z < 0, czyl I A (.) jes funkcją charakerysyczną zboru A. O składnkach losowych ε zakłada sę, że są nezależne mają en sam rozkład o zerowym paramerze położena jednoskowej skal (zwykle warośc oczekwanej warancj, jeśl sneją). Dla rozkładu symerycznego zaps () sprowadza sę do p Pr ( y = ) = F( x β ). Szczegóły doyczące nebayesowskej esymacj model jakoścowej zmennej zależnej oraz wele ch zasosowań emprycznych z zakresu ekonom prezenują m.n. Amemya (98, 985), Maddala (983) Greene (993). Najbardzej znanym powszechne sosowanym specyfkacjam są modele probowy logowy, kóre odpowadają przyjęcu dla ε rozkładu normalnego lub logsycznego. Do ch 2

3 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe esymacj wykorzysywana jes zwykle meoda najwększej warygodnośc (MNW), mająca pożądane własnośc sochasyczne. Nauralne uogólnene modelu probowego polega na przyjęcu dla ε rozkładu Sudena o neznanej lczbe sopn swobody ν >0, co dopuszcza brak warancj ( ν 2 ) a nawe warośc oczekwanej zmennej ε ( ν ). Z ych powodów rozważamy rozkłady o zerowej modalnej jednoskowej precyzj. Klasa rozkładów Sudena zawera rozkład normalny jako przypadek granczny ( ν = + ), zaś jak podają Alber Chb (993) rozkład logsyczny może być przyblżany przez rozkład Sudena o ok. 7 9 sopnach swobody. Uogólnene o pozwala zaem esować (choćby w przyblżenu) empryczną adekwaność dwóch podsawowych model dwumanowych. Jednak zasosowane MNW w ym przypadku jes newskazane, poneważ ne są znane własnośc esymaora MNW dla model z neznanym paramerem ν. Alber Chb (993) zaproponowal specyfkację esymację bayesowskego modelu dychoomcznego z rozkładem Sudena. W celu numerycznej aproksymacj brzegowych rozkładów a poseror neresujących welkośc wykorzysal algorym Gbbsa, meodę Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (ang. Markov Chan Mone Carlo, MCMC). Marzec (2003c) wykorzysał o podejśce w modelu II rzędu w celu zbadana ryzyka pojedynczych umów kredyowych klenów dealcznych banku komercyjnego. Wynk empryczne wskazywały na koneczność zasosowana modelu II rzędu oparego na rozkładze Sudena, gdyż redukcja do modelu I rzędu okazała sę bezzasadna, a rozkład a poseror parameru ν skupony był w przedzale (, 2) śwadcząc o neadekwanośc specyfkacj probowej czy logowej. Wszyske rzy rozważane rozkłady prawdopodobeńswa (normalny, logsyczny, Sudena) charakeryzują sę symerą, różnąc sę gruboścą ogonów (szybkoścą zbeżnośc dysrybuany do warośc grancznych 0 ). Proponujemy węc dalsze uogólnene modelu probowego, kóre polega na przyjęcu dla ε klasy skośnych rozkładów Sudena; zob. eż Osewalsk Marzec (2004). Klasa a jes charakeryzowana przez dwa paramery: sopne swobody ν współczynnk asymer γ. Esymacja paramerów β, ν, γ ch funkcj możlwa jes na grunce bayesowskm przy wykorzysanu meod MCMC. Asymeryczne rozkłady welowymarowe (w ym ypu Sudena) rozważal Fernández, Osewalsk Seel (995), naomas szczegółową defncję formalne własnośc skośnego rozkładu w przypadku jednowymarowym podal Fernández Seel (998), kórzy rozkład en zasosowal dla składnka losowego modelu regresj lnowej. Z kole Osewalsk Ppeń (999, 2000) wykorzysal go jako rozkład warunkowy w modelach GARCH dla fnansowych szeregów czasowych, wskazując na jego użyeczność w ekonomer fnansowej. W ej pracy omówmy genezę własnośc model rzędu II (część 2) oraz bayesowsk model dychoomczny wykorzysujący dysrybuanę skośnego rozkładu (część 3). Głównym celem pracy jes empryczna weryfkacja użyecznośc obu uogólneń w badanu spłacalnośc kredyu; 3

4 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe zagadnenu emu pośwęcono część 4. W częśc 5 przedsawamy podsawy wynk formalnego bayesowskego porównana konkurencyjnych model dychoomcznych spłacana kredyu. 2. MODELE DWUMIANOWE I I II RZĘDU Głównym charakerysykam wyznaczanym na podsawe modelu dwumanowego są efeky krańcowe. Jeżel orygnalne zmenne objaśnające w j (j=,...m) mogą przyjmować dowolne warośc rzeczywse ne są powązane zależnoścam funkcyjnym, o h-y efek krańcowy (j. zmana prawdopodobeńswa p na skuek wzrosu w h o małą jednoskę) jes równy pochodnej cząskowej p w h. Dla model I rzędu, j. gdy k=m+ x j =w j (j=,...,m), efek krańcowy ma posać p w = β f ( x β ), gdze f jes gęsoścą odpowadającą dysrybuance F, defnującej h h konkreny model dychoomczny. W ym przypadku lorazy efeków krańcowych są nezależne od zmennych objaśnających (sałe) równe β h β, co jes bardzo mocnym założenem. Aby uzmennć względne efeky krańcowe, Marzec (2003c) wykorzysał weloman sopna 2 względem zmennych w j, czyl przyjął x β = β + w β + w w β. j j j j j Poneważ efeky krańcowe wynoszą j j h p w = f ( x β ) ( x β ) w h, węc w modelu II rzędu ch lorazy są lorazam lnowych funkcj zmennych w j. Oczywśce, aka posać efeku krańcowego może wydać sę szczególna, powsaje węc pyane o uzasadnene model II rzędu o możlwość ch uogólnana. Rozważmy model dwumanowy posac p ( y = ) = G( a( w,..., w )) = F( a( w,..., w )) Pr m m, odpowadający zależnośc z = a(w,...,w m ) + ε dla zmennej ukryej z. Jeśl a jes funkcją różnczkowalną, o efeky krańcowe mają posać p w = f ( a( w,..., w )) a w. Nech a h m h będze funkcją posadającą rozwnęce w szereg Taylora w ooczenu usalonego punku z dzedzny. Wówczas model I rzędu można nerpreować jako sosujący zamas funkcj a jej lokalną aproksymacją rzędu I, czyl funkcję lnową, zaś model rzędu II jako opary na lokalnym przyblżenu za pomocą welomanu sopna II. Uwzględnając kolejne wyrazy rozwnęca funkcj a w szereg Taylora, można defnować modele dwumanowe wyższych rzędów; wszyske one mają ogólną posać (), lnową względem paramerów, różnąc sę wymarem k wekorów x β. Poneważ k w modelu rzędu s jes welomanem sopna s względem lczby m orygnalnych zmennych w j, węc modele rzędu III wyższych posadają zby wele swobodnych paramerów, by sosować je w prakyce. Specyfkacje rzędu II są kompromsem mędzy jakoścą aproksymacj 4

5 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe funkcj a efeków krańcowych oraz oszczędnoścą parameryzacj. Już w modelu rzędu II problemem może być przyblżona współlnowość składowych wekora x, powodująca słabą denyfkowalność (nską precyzję szacunku) paramerów β ι problemy numeryczne przy ch esymacj. Powyższe rozumowane zakłada konkreną posać dysrybuany F (jak w modelu probowym czy logowym). Jednak w nasępnej częśc pracy proponujemy sosowane dwuparamerowej rodzny dysrybuan skośnych rozkładów Sudena. Znaczne zwększa o gękość modelu za cenę esymacj ylko dwóch nowych paramerów; ma wpływ na posać efeków krańcowych, ale ne ch lorazów, zaem ne zasąp rozszerzena model rzędu I do model rzędu II. Oba proponowane uogólnena wydają sę węc komplemenarne. Doychczasowe rozważana zakładały, że zmenne egzogenczne w j mogą przyjmować dowolne warośc rzeczywse. Uzasadnene modelu II rzędu (poprzez odwołane sę do lokalnej aproksymacj neznanej funkcj a) nawązuje wedy do koncepcj gękch form funkcyjnych Dewera (97), znanej z emprycznej mkroekonom; zob. eż Wróbel-Roer (200). Częso buduje sę jednak modele wyboru z dyskrenym zmennym objaśnającym. Równeż wówczas jes sens rozważać uogólnene specyfkacj podsawowej (I rzędu) do modelu II rzędu, choć ne można odwołać sę do wyżej podanej argumenacj. Welkośc odpowadające różnczkowym efekom krańcowym szacowane dla dyskrenych zmennych objaśnających racą nerpreację. Dla zerojedynkowej zmennej w j nerpreowalnym odpowednkem efeku krańcowego jes ( y = w = ) Pr( y = w 0) η j = Pr, j, j =. 3. BAYESOWSKI MODEL DWUMIANOWY Z DYSTRYBUANTĄ SKOŚNEGO ROZKŁADU STUDENTA Przyjmjmy, że składnk ε we wzorze (2) ma skośny rozkład Sudena o zerowej modalnej, jednoskowej precyzj, ν sopnach swobody (ν >0) paramerze asymer γ > 0; funkcja gęsośc ego rozkładu ma posać: 2 p ( θ )= f ( ε ν γ ) { f ( γε ) I ( )( ε ) + f ( ε γ ) I [ )( ε )} ε sks, = ν,0 ν 0, +, (3) γ + γ gdze θ = (β ν γ ), zaś f ν ( ) jes funkcją gęsośc symerycznego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj ν sopnach swobody; zob. Fernández Seel (998). Ze specyfkacj (2) wynka, że prawdopodobeńswo zaobserwowana y = wynos Pr ( y = θ ) = Pr( z 0θ ) = Pr( ε x β θ ) = Pr( ε < x β θ ) = F ( x β ν, γ ) sks, (4) 5

6 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe gdze dysrybuana skośnego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj, ν sopnach swobody paramerze asymer γ (oblczona w punkce a) wyraża sę formułą F sks 2 γ γ ( aν, γ ) γ F ( aγ ) I ( ) ( a) + + γf ( aγ ) I [ )( a) = + γ + γ ν,0 ν 0,, (5) 2 przy czym F ν ( ) jes dysrybuaną symerycznego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj ν sopnach swobody. Ławo sprawdzć, że funkcja we wzorze (3) jes pochodną funkcj (5). Sopeń asymer rozkładu zmennej ε określony jes przez loraz prawdopodobeńsw na prawo na lewo od modalnej, równy kwadraow parameru γ ( nezależny od ν): Pr Pr ( ε 0 ν, γ ) ( ε < 0 ν, γ ) 2 = γ. (6) Innym słowy, γ parameryzuje warość dysrybuany w zerze: F sks (0 ν,γ)=/(γ 2 +). Jeżel paramer asymer γ równy jes jednośc, o rozkład jes symeryczny F sks (0 ν, )=/2. Wzór (4) określa rozkład pojedynczej obserwacj (przy usalonych paramerach) jako rozkład dwupunkowy o funkcj prawdopodobeńswa: ( y θ ) F ( x β ν, γ ) I { } ( y ) + [ F ( x β ν γ )] I { } ( y ) p sks 0 sks, =. W przypadku T nezależnych obserwacj ch łączne prawdopodobeńswo można zapsać jako: p = T sks sks = : y = 0 : y = T ( yθ ) p( y, K, y θ ) = p( y θ ) = F ( x β ν, γ ) ( F ( x β ν, γ ). Przy usalonych obserwacjach, powyższa formuła określa funkcję warygodnośc dla modelu dychoomcznego rozważanego w ej pracy. Funkcja a, rakowana jako funkcja argumenu ν (przy pozosałych usalonych) bardzo szybko zmerza do dodanej sałej równej warośc warygodnośc przy (skośnym) rozkładze normalnym ( ν = + ). Ta sałość warygodnośc dla dużych ν może być poważną przeszkodą w klasycznej esymacj paramerów modelu. Oczywśce, ę samą własność ma już funkcja warygodnośc w modelach z symerycznym rozkładem Sudena. Auorzy ne znają żadnej pracy określającej własnośc esymaora MNW w akch przypadkach. Własne badana symulacyjne ukazują jego sysemayczne obcążene. Podsawowym elemenem analzy bayesowskej jes saysyczny model bayesowsk, czyl łączny rozkład obserwacj paramerów, określony przez dyskreny warunkowy rozkład wekora obserwacj y, p ( yθ ), cągły brzegowy rozkład wekora paramerów (zw. rozkład a pror), p(θ). W ej pracy zakładamy sochasyczną nezależność wekora β oraz paramerów ν γ, przyjmując dla β k wymarowy normalny rozkład a pror o waroścach oczekwanych 0 dagonalnej macerzy kowarancj. Dla ν przyjmujemy wykładnczy rozkład a pror o warośc oczekwanej r (r = 0), zaś dla γ sandardowy rozkład logarymczno-normalny. 6

7 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Z uwag na o, że zbory dopuszczalnych warośc paramerów ν γ są równe R +, waro dokonać reparameryzacj θ k+ = ln(ν /r), θ k+2 = ln(γ) redefnować wekor wszyskch paramerów jako θ = [β θ k+ θ k+2 ]. Wówczas przesrzeń paramerów jes całym zborem R k+2, co bardzo upraszcza sronę numeryczną analzy bayesowskej. Dla ak określonego θ mamy nasępującą srukurę a pror: p gdze ( ) p( β ) p( θ ) p( θ ) p θ, = k + k +2 k 2 ( β ) f ( β 0, s I ), p( θ ) = exp( θ ) exp exp( θ ) ( ), p( θ ) f ( θ 0, ) = N 0 k+ k+ k+ k+ 2 = N k+ 2 2 s 0 jes warancją a pror dla składowych wekora β (u nas:, (7) 2 s 0 =00). Waro zauważyć, że wykładnczy rozkład a pror dla ν (o warośc oczekwanej r) prowadz do rozkładu warośc eksremalnych (Gumbela) dla θ k+ =ln(ν/r), zaś nformacja o paramerze skośnośc jes reprezenowana przez sandaryzowany rozkład normalny dla ln(γ ). Określona powyżej srukura a pror reprezenuje nkłą wsępną wedzę obserwaora o paramerach. Prowadz ona do pełnego, dyskreno-cągłego modelu bayesowskego określonego przez uogólnoną gęsość posac p ( y, θ ) = p( yθ ) p( θ ) = p( θ ) FskS ( x β ν, γ ) ( FskS ( x β ν, γ )) : y = 0 : y =, (8) gdze ν = r exp(θ k+ ), γ = exp(θ k+2 ). Wnoskowane bayesowske wykorzysuje dekompozycję ego rozkładu łącznego na rozkład a poseror, j. warunkowy rozkład cągły o gęsośc: p( yθ ) p( θ ) p( θ y) = p( θ ) FskS ( x β ν, γ ) ( FskS ( x β ν, γ )), p( y) : y = 0 : y = oraz brzegowy rozkład obserwacj (dyskreny) o funkcj prawdopodobeńswa posac: Θ p( y) = p( yθ ) p( θ ) dθ. Aby dekompozycja a była możlwa (j. by snał rozkład a poseror), powyższa całka mus być skończona. Z ego powodu przyjęo właścwy rozkład a pror (marę probablsyczną na przesrzen paramerów). Jes o oczywse w przypadku sopn swobody. Zbeżność funkcj warygodnośc przy ν + do dodanej sałej oznacza bowem, że całka ej funkcj (po całej przesrzen paramerów) jes neskończona, węc newłaścwy jednosajny rozkład a pror dla ν (j. mara σ skończona, ale ne probablsyczna) prowadzłby do braku rozkładu a poseror. Ne przedsawono jednak ngdze dowodu, że właścwy rozkład a pror parameru ν jes wysarczający dla snena rozkładu a poseror przy newłaścwym rozkładze a pror wekora β (jednosajnym na całej przesrzen R k ), sosowanym we wszyskch pracach ze swobodnym paramerem ν ; zob. Alber Chb (993), Marzec (2003b,c), Osewalsk Marzec (2004). Wsępne symulacje sugerują możlwość braku rozkładu a poseror, gdy zakłada sę newłaścwy rozkład a 7

8 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe pror dla β właścwy rozkład a pror dla ν. Ponado, w przypadku model II rzędu, duża lczba zmennych objaśnających slne powązanych mędzy sobą prowadz do współlnowośc, powodującej sone problemy numeryczne. Właścwy, normalny rozkład a pror dla β przyczynł sę do uzyskana w ej pracy wynków sablnych numeryczne poprawnych z punku wdzena eor wnoskowana bayesowskego (nezależne od przyszłych rozsrzygnęć w zakrese snena rozkładu a poseror przy newłaścwym rozkładze a pror dla β). Rozkład a poseror paramerów modelu dwumanowego o gęsośc proporcjonalnej do (8) jes skomplkowanym, nesandardowym rozkładem welowymarowym. Ponado przedmoem wnoskowana są ne ylko orygnalne paramery, ale przede wszyskm ch skomplkowane funkcje nelnowe ake jak: prawdopodobeńswo Pr( y = θ ) = F ( x β ) p sks podjęca określonej decyzj przez * * * ne obserwowaną jednoskę o usalonych charakerysykach, efeky krańcowe, omówone w poprzednej częśc pracy. Uzyskane brzegowej funkcj gęsośc a poseror dla welkośc będącej przedmoem analzy jes złożonym problemem całkowana w przesrzen (k+2) wymarowej. Proponujemy w ym celu zasosowane meod Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (MCMC), a w szczególnośc losowana Meropolsa Hasngsa. Meody MCMC polegają na ym, że cąg kolejnych losowań w przesrzen paramerów ( ) ( n) ( θ,..., θ,...) worzy łańcuch Markowa (o neprzelczalnej lczbe sanów) z rozkładem sacjonarnym równym rozkładow a poseror p(θ y). W efekce, po osągnęcu zbeżnośc łańcucha do rozkładu sacjonarnego, generujemy realzacje (orzymujemy próbę) z rozkładu a poseror; zob. np. O Hagan (994), Gamerman (997). Algorym Meropolsa Hasngsa buduje łańcuch Markowa poprzez zadane θ (0) * ( m ) arbralnego punku sarowego oraz gęsośc q( θ ; θ ) rozkładu losowań kandydackch θ * (m=,2,...); dla danego θ (m-) przyjmujemy θ (m) = θ z prawdopodobeńswem P(θ,θ (m-) ), θ (m) = θ (m-) z prawdopodobeńswem P(θ,θ (m-) ), przy czym prawdopodobeńswo akcepacj wylosowanego wsępne θ * dane jes wzorem * ( m ) * ( h ( ) ( ; ) * ( ) y θ q θ θ m P θ, θ ) = mn, ( m ) * ( m, h ( ) ( ; ) y θ q θ θ ) gdze h y (θ ) o jądro gęsośc a poseror p(θ y), u nas prawa srona wzoru (8). Dogodny * ( m ) * ( m ) mechanzm losowań wsępnych o q( θ ; θ ) = f ( θ 3, θ,3c ), welowymarowy rozkład Sudena o 3 sopnach swobody, modalnej równej poprzednemu sanow łańcucha oraz macerzy precyzj akej, że C jes macerzą kowarancj (równą wsępnej ocene macerzy kowarancj S 8

9 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe * ( m ) rozkładu a poseror). W ym przypadku gęsość rozkładu losowań wsępnych q( θ ; θ ) jes symeryczna względem argumenów, węc prawdopodobeńswo akcepacj zależy ylko od lorazu gęsośc a poseror: * ( h ( ) * ( ) y θ m P θ, θ ) = mn, ( m. h ( ) y θ ) W prakyce począkowe S sanów łańcucha Markowa służy uzyskanu zbeżnośc (cykle spalone), a nasępne M sanów generowanu próby z rozkładu sacjonarnego aproksymacj jego charakerysyk zgodne z ogólnym wzorem: E S M ( q) [ g( ) y] g( θ ) + q= S + θ. M Wynk badań emprycznych prezenowanych w nasępnej częśc uzyskano na podsawe S=0 5 cykl spalonych M=0 6 realzacj worzących próbę z rozkładu a poseror. Klka krószych przebegów wsępnych pozwolło wcześnej wykalbrować macerz C oraz ocenć zbeżność algorymu Meropolsa Hasngsa w przypadku naszych model danych. 4. MODELOWANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA NIE SPŁACANIA KREDYTU Zaprezenowany w poprzednch częścach pracy bayesowsk model dwumanowy rzędu II ze skośnym rozkładem Sudena sosujemy do badana spłacalnośc kredyów dealcznych w oparcu o dane, kóre wykorzysal wcześnej Marzec (2003a,b,c) oraz Osewalsk Marzec (2004). Zmenna objaśnana y przyjmuje dwe warośc, zn. y =, gdy kredyoborca na dzeń mał zaległośc w spłace ra kapałowo-odsekowych (opóźnene w spłace osanej ray wynosło węcej nż mesąc), naomas y =0 w przecwnym przypadku. Badana lczba (T) ndywdualnych rachunków kredyowych wynos Jako poencjalne zmenne wyjaśnające ryzyko pojedynczej umowy kredyowej wprowadzlśmy: płeć (zmenna jes równa, jeżel klenem jes mężczyzna, 0 w przypadku kobey), wek kredyoborcy (w sekach la), wpływy, zn. welkość kwaralnych wpływów w laach (w sekach ys. zł) na rachunk ypu ROR kredyoborcy w badanym banku, posadane ROR w analzowanym banku ( posada, 0 ne posada), nformację o ym, czy kredyoborca posada kary płancze lub kredyowe wydane przez en bank ( posada choć jedną karę płanczą, 0 ne posada), sposób udzelena kredyu ( przez pośrednka, 0 bezpośredno przez bank), 9

10 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe yp kredyu ( kredy konsumpcyjny, 0 kredy hpoeczny), okres na jak zosał udzelony kredy (w dzesąkach la), kwoa przyznanego kredyu (w sekach ysęcy złoych), walua kredyu ( DEM, EUR lub USD; 0 PLN), podsawowe źródło dochodu uzyskwanego przez kredyoborcę (zmenne zrdoch), j. umowa o pracę, albo rena lub emeryura, albo własna dzałalność, umowa o dzeło lub umowa zlecene, albo nne źródło (np. sypendum). Osana zmenna może przyjmować czery różne warośc. Aby uwzględnć ją obok wyrazu wolnego, wprowadzlśmy rzy zmenne zero-jedynkowe, przyjmując za punk odnesena umowę o pracę (zrdoch = zrdoch2 = zrdoch3 = 0); w pozosałych przypadkach: zrdoch =, gdy źródłem dochodu kredyoborcy jes rena lub emeryura, zrdoch2 =, gdy źródłem dochodu kredyoborcy jes własna dzałalność, umowa o dzeło lub umowa zlecene, zrdoch3 = w przypadku nnego źródła dochodu, np. sypendum. Osaeczne mamy m=3 zmennych objaśnających, w ym 9 zero-jedynkowych. Marzec (2003c) badał uwarunkowana ne spłacana kredyu wykorzysując model II rzędu, ale rozważał ylko specyfkację ze zwykłym (symerycznym) rozkładem. Osewalsk Marzec (2004) zaproponowal zasosowane dysrybuany skośnego rozkładu wykazal jej empryczną przydaność, ale ylko w modelu I rzędu. W obu ych pracach ne uwzględnano kwoy waluy przyznanego kredyu, przyjmując m = zmennych. Model sosowany w ej pracy jes ogólnejszy zarówno od srony eoreycznej, jak emprycznej (poprzez włączene dwóch ważnych charakerysyk kredyu). Zauważmy, że przy m = 3 zmennych w j wymar k wekorów x β wynos k=+m=4 dla modelu I rzędu, a maksymalny wymar w przypadku modelu II rzędu ne przekracza +m+m(m+)/2=05. Poneważ dla zmennych zero-jedynkowych zachodz (w j ) 2 = w j, en wymar wynos w naszych badanach co najwyżej 96. Elmnując loczyny w j w h równe 0 (dla wszyskch ) uzyskano k = 89. Jednak model o 89 paramerach charakeryzowała przyblżona współlnowość składowych wekora x, zwłaszcza nekórych loczynów zmennych zero-jedynkowych. Indeks uwarunkowana macerzy X warośc zmennych x (=,...,T; =,...,k) wynósł 663 dla modelu II rzędu z k = 89, ale ylko 25 dla modelu I rzędu (k=4). Elmnacja dzesęcu slne powązanych loczynów w j w h obnżyła warość ndeksu z 663 dla k = 89 do 54 dla k = 79, co wysarczyło by w Indeks uwarunkowana macerzy X podają wykorzysują do pomaru współlnowośc Belsley, Kuh Welsh (980). Indeks en można polczyć jako perwasek kwadraowy lorazu najwększej najmnejszej warośc własnej macerzy nescenrowanych współczynnków korelacj R N =W - X X W -, gdze W jes macerzą dagonalną zawerającą na przekąnej długośc kolumn macerzy X. 0

11 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe sposób sablny numeryczne przeprowadzć esymację bayesowską z wykorzysanem algorymu Meropolsa Hasngsa. Przyjęą lsę zmennych modelu II rzędu podano w Tabel, zawerającej charakerysyk a poseror paramerów. Tabela Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror welu paramerów sojących przy kwadraach loczynach zmennych w j wyraźne śwadczą o bezzasadnośc redukcj modelu II rzędu do modelu I rzędu. Zerowe warośc ych paramerów znajdują sę o klka odchyleń sandardowych od warośc oczekwanych a poseror, węc są neprawdopodobne a poseror. Daleko od zera skupają sę eż brzegowe rozkłady a poseror paramerów przy zmennych: w 9 (kwoa kredyu), (w 9 ) 2 klku loczynach zawerających ę zmenną lub w 0 (walua kredyu), np. w w 0, w 4 w 9, w 7 w 9, w 8 w 9, w 9 w 0. Włączene zmennych w 9 w 0 jes węc ważne w modelowanu prawdopodobeńswa neermnowego spłacana kredyu. Brzegowy rozkład a poseror parameru sopn swobody jes skupony w przedzale [0,40; 0,80], przy czym E(ν y) = 0,582 D(ν y) = 0,062, węc zwykle przyjmowana specyfkacja probowa pownna być odrzucona przy modelowanu rozważanego zboru obserwacj. Jeśl zaś chodz o zasosowane dysrybuany z klasy skośnych rozkładów (zamas podklasy symerycznych rozkładów Sudena), o ake uogólnene wydaje sę empryczne zasadne, gdyż warość oczekwana a poseror E(γ y) = 0,3 jes o około 30 odchyleń sandardowych D(γ y) mnejsza od. Waro zaznaczyć, że przy k = 4 uzyskujemy E(γ y) = 0,344 D(γ y) = 0,08 oraz E(ν y) = 0,593 D(ν y) = 0,049, czyl wynk podobne jak w modelu rzędu II. Przy ogranczenu sę do modelu I rzędu dane wymagają dysrybuany F(.) o ych samych własnoścach, co w modelu I rzędu, czyl bardzo różnych od własnośc dysrybuany rozkładu N(0; ). Warośc paramerów β ne są bezpośredno nerpreowalne, zaś nformacje o sle kerunku wpływu zmennych egzogencznych w j na p (prawdopodobeńswo nespłacana) uzyskujemy na podsawe efeków krańcowych, kórych charakerysyk a poseror podano w Tabel 2. Przedsawono w nej ne ylko wynk uzyskane w modelu II rzędu, ale akże w celu porównana wynk dla model I rzędu, wykorzysujących skośny rozkład Sudena rozkład normalny (radycyjny model probowy); uzyskano je sosując algorym Meropolsa Hasngsa. Rezulay bayesowske dla modelu probowego I rzędu są prawe denyczne z wynkam uzyskanym za pomocą MNW, poneważ (zgodne z eorą) w modelu probowym oceny MNW w przypadku dużej lczby obserwacj można nerpreować jako warośc oczekwane rozkładu a poseror (przy dość dowolnym cągłym rozkładze a pror). Efeky krańcowe różną sę mędzy modelam, ne

12 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe zawsze zachowując en sam rząd welkośc czy nawe znak. Inerpreujemy ylko wynk uzyskane dla modelu najogólnejszego. Tabela 2 Spośród rozważanych jakoścowych zmennych egzogencznych najwększy wpływ na prawdopodobeńswo neermnowego spłacana kredyu ma sposób jego udzelena; jeśl udzelono go przez pośrednka, zamas bezpośredno przez bank, o wzros p jes najbardzej znaczący, średno o 0,267 (±0,04). Różnca mędzy prawdopodobeńswem neermnowego spłacana kredyu konsumpcyjnego hpoecznego wynos średno aż 0,89 (±0,003). Posadane ROR eż zwększa p (co jes wynkem zaskakującym), ale znaczne słabej bo o 0,035 (±0,03). Posadane kar płanczych lub kredyowych, jako przejaw akywnego korzysane z usług badanego banku, zmnejsza ryzyko złego kredyu średno o 0,03 (±0,073), węc szacunek ne jes precyzyjny. Wraz ze wzrosem o rok okresu na jak zosał udzelony kredy, p maleje aż o 0,225 (±0,037). Obcej waluce kredyu odpowada mnejsza warość p o 0,5 (±0,072), zaem różnca a ne wydaje sę sona. Wzros wpływów kwaralnych kredyoborcy o ys. zł zmnejsza warość p średno o 0,005 (±0,0002). Rola zmennej wek klena jes nesona, wpływ kwoy kredyu na p jes sony, lecz mały, zaś płeć klena jes zupełne bez znaczena. Spośród źródeł dochodu najwększe ryzyko kredyowe zwązane jes z kredyoborcą prowadzącym własną dzałalność gospodarczą. Kredyoborcam o nższym ryzyku są osoby zarudnone na podsawe umowy o pracę, osoby poberające emeryurę lub renę, a akże sudenc spłacający kredyy sudencke, przy czym udzał loścowy waroścowy ej grupy kredyów jes znkomy. Waro jednak zaznaczyć, że rozważamy efeky krańcowe uśrednone po obserwacjach, a zaem powyższe nerpreacje mają charaker poglądowy. Bardzej użyeczne mogą być efeky krańcowe dla konkrenego kredyoborcy (j. dla usalonego wekora x ). Ich przykłady podajemy w Tabel 4 na końcu ej częśc pracy. Głównym sposobem wykorzysana model jes prognozowane prawdopodobeńswa neermnowej spłay ra kapałowo-odsekowych bądź całkowego zanechana ch spła. W ym celu rozważamy czery hpoeyczne sylwek kredyoborców, kórych charakerysykę zawera Tabela 3. Dwaj ypow kredyoborcy określen są poprzez najczęssze w zborze danych warośc zero-jedynkowych zmennych objaśnających (z wyjąkem w 6 ) średne warośc zmennych cągłych. Różną sę on sposobem uzyskana kredyu: przez pośrednka (w 6 =) lub bezpośredno w banku (w 6 =0). Pozosałe dwe sylwek prezenują klenów o średnej kwoce średnm okrese kredyu, ale nnych cechach bardzo skonrasowanych ak, by mogły opsywać młodego 2

13 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe mężczyznę prowadzącego własną dzałalność gospodarczą (ne zwązanego z bankem uzyskującego kredy przez pośrednka) oraz emerykę korzysająca akże z nnych usług banku. Zauważmy, że rozkłady a poseror uzyskane dla p w rzech modelach znaczne różną sę od sebe. Zachowany zosaje jedyne rankng kredyoborców: wysoke zagrożene spłacana kredyu pojawa sę w przypadku młodego przedsęborcy, nższe jes dla ypowego kredyoborcy pozyskanego przez pośrednka, jeszcze nższe dla ypowego kredyoborcy pozyskanego wpros przez bank, a najnższe dla emeryk. Jednak, przy usalonym proflu klena, warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror dla p orzymane w rzech modelach są ak różne, że mogą prowadzć do odmennych wnosków prakycznych. Doyczy o zwłaszcza ypowego kredyoborcy pozyskanego przez pośrednka; w modelu probowym I rzędu odpowada mu p na pozome aż 0,304 (±0,04), w modelach ze skośnym rozkładem jes o prawdopodobeńswo znaczne nższe szacowane z nną precyzją w każdym modelu. Jeśl redukcje modelu II rzędu do model I rzędu (zwłaszcza probowego) ne są zasadne (jak w przypadku naszych danych), o częso sosowana ocena ryzyka kredyowego na podsawe modelu probowego I rzędu może prowadzć do błędnych wnosków. Tabela 3 Na zakończene ej lusracj emprycznej przedsawamy w Tabel 4 oceny punkowe efeków krańcowych dla hpoeycznych kredyoborców, uzyskane w modelu II rzędu przez wsawene w mejsce neznanych paramerów ch warośc oczekwanych a poseror (z Tabel ). Oceny e slne zależą od proflu kredyoborcy; waro je porównać z waroścam oczekwanym uśrednonych efeków krańcowych, podanym w Tabel 2. Zgodne z nucją, efeky krańcowe są blższe 0 w przypadku klenów, dla kórych p jes mnejsze. Na zmany zmennych objaśnających szczególne slne reaguje prawdopodobeńswo p neermnowego spłacana kredyu zacągnęego przez młodego przedsęborcę, dla kórego o p jes bardzo wysoke, równe 0,507 (±0,026) zob. Tabela 3. Zauważmy, że w modelu II rzędu efeky krańcowe względem usalonej zmennej w przypadku dwóch profl kredyoborców mogą meć przecwne znak, np. dla efeku krańcowego względem waluy kredyu. Ponado ndywdualne efeky krańcowe mogą być różnego znaku od uśrednonych efeków prezenowanych w Tabel 2. Ma o mejsce dla efeków względem weku, waluy kredyu oraz Zrdoch. Tabela 4 3

14 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe 5. BAYESOWSKIE PORÓWNANIE KONKURENCYJNYCH SPECYFIKACJI W poprzednej częśc pracy przedsawlśmy wynk a poseror ne ylko dla modelu II rzędu z dysrybuaną skośnego rozkładu Sudena (model, M ), ale równeż dla modelu I rzędu oparego na ej samej klase dysrybuan (M 2 ) dla modelu probowego I rzędu (M 3 ). Brzegowe rozkłady a poseror paramerów rozszerzających M 3 do M 2 M 2 do M wskazały, że redukcje modelu najbardzej złożonego (M ) do prosszych (M 2, M 3 ) ne są uzasadnone. W ej częśc przedsawmy podsawy eoreyczne wynk formalnego porównana ych rzech model, wykorzysującego ch prawdopodobeńsw a poseror. Rozważmy n model próbkowych zdefnowanych na ej samej przesrzen Y : M p ( yθ ( ),,..., n, : ) = gdze y Y jes wekorem obserwacj (u nas T-elemenowym cągem zer jedynek), a θ Θ jes wekorem paramerów modelu M. Defnując n rozkładów a pror o gęsoścach p θ ) mamy n model bayesowskch: p y, θ ( ) ) = p ( yθ ( ) ) p ( θ ( ),,..., n. ( ) = ( ) ( () Formalny wybór najlepszego modelu próbkowego opera sę na prawdopodobeńswach a poseror poszczególnych model; koncepcję ę referują m.n. Zellner (97) Osewalsk (200). Załóżmy, że M,..., M n są wzajemne wykluczającym (ne zagneżdżonym) łączne dopełnającym sę modelam o prawdopodobeńswach a pror p(m ),..., p(m n ). Przy ych założenach uzyskujemy ze wzoru Bayesa prawdopodobeńswa a poseror model równe: p( M ) p( y M ) p( M y) = n. p( M ) p( y M ) h= W powyższym wzorze kluczową rolę pełn welkość Θ h p( y M ) = p ( yθ ( ) ) p ( θ ( ) ) dθ ( ), =,..., n, h czyl brzegowe prawdopodobeńswo wekora obserwacj w modelu M, nauralny bayesowsk mernk dopasowana modelu do danych emprycznych (wekora y). Prawdopodobeńswa a poseror model, p(m y), łączą nformację o dopasowanu przekonana a pror o sopnu adekwanośc model, wyrażane przez p(m ). Co do prawdopodobeńsw a pror p(m ), o częso przyjmuje sę, ż są one równe. Można jednak argumenować, że przy równym dopasowanu model, merzonym waroścą p(y M ), ogólne względy meodologczne przemawają za preferowanem przez odpowedn dobór 4

15 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe prawdopodobeńsw a pror model prosszych (o mnejszej lczbe paramerów). Jako p(m ) można przyjąć malejącą funkcję lczby l paramerów modelu, np.: p l ( ) 2. M Powyższa eora wymaga, by rozważane modele ne były zagneżdżone. Zakładamy węc, że ne wszyske paramery rozszerzające model I rzędu do specyfkacj II rzędu są równe zero. Ne jes o sprzeczne z przyjęym normalnym rozkładem a pror dla wekora β, a wyklucza zagneżdżene M 2 w M. Formalne rzecz ujmując, model probowy I rzędu (M 3 ), odpowadający ν = +, ne jes zagneżdżony w modelu M 2 an M, kóre zakładają, ż ν jes skończone. Bayesowske porównywane model wymaga oblczena dla każdego z nch całk defnującej brzegowe prawdopodobeńswo obserwacj p(y M ), co w prakyce okazuje sę zwykle poważnym problemem numerycznym. W ramach meod MCMC, sosowanych do symulacj rozkładu a poseror w każdym z model, najprossza ( dość sablna numeryczne) jes aproksymacja, kórą zaproponowal Newon Rafery (994): p( y M + S M ( q) ) = [ p( y M, θ ( ) )] dp( θ ( ) M, y) [ p( y M,( θ ( ) ) )] ; Θ M q= S+ polega ona na przyblżenu p(y M ) średną harmonczną warośc funkcj warygodnośc oblczonych dla kolejnych sanów łańcucha Markowa (po osągnęcu zbeżnośc do rozkładu a poseror). Zasosowane ej meody dało nasępujące szacunk logarymów nauralnych warośc p(y M ): ln p(y M ) = -3308; ln p(y M 2 ) = -3529; ln p(y M 3 ) = Prowadzą one do ego, że model najbardzej złożony skupa prakyczne całą masę prawdopodobeńswa a poseror. W przypadku jednakowych prawdopodobeńsw a pror uzyskano: p(m 2 y)=0-96 p(m 3 y)=0-228 ; jeśl przyjęo p l ( ) 2 (l =8, l 2 =6, l 3 =4), o p(m 2 y)=3,9*0-77 p(m 3 y)=,6* Wsępne M konkluzje o bezzasadnośc redukcj modelu M, sformułowane w poprzednej częśc, zosały węc z całą mocą powerdzone poprzez formalne bayesowske porównywane rzech model dychoomcznych. Model II rzędu opary na dysrybuance skośnego rozkładu daje węc nowe możlwośc modelowana jakoścowej, zero-jedynkowej zmennej zależnej. BIBLIOGRAFIA Alber J., Chb S., 993, Bayesan analyss of bnary and polychoomous response daa, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 88, Amemya T., 98, Qualave response models: A survey, Journal of Economc Leraure vol.9,

16 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Amemya T., 985, Advanced Economercs, Harvard Unversy Press, Cambrdge (Massachuses). Belsley D.A., Kuh E., Welsh R.E., 980, Regresson Dagnoscs, Wley, New York. Dewer W. E., 97, An applcaon of he Shephard dualy heorem: a generalzed Leonef producon funcon, Journal of Polcal Economy vol. 79, Fernández C., Osewalsk J., Seel M., 995, Modelng and nference wh υ-sphercal dsrbuons, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 90, Fernández C., Seel M., 998, On Bayesan modelng of fa als and skewness, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 93, Gamerman D., 997, Markov Chan Mone Carlo. Sochasc Smulaon for Bayesan Inference, Chapman and Hall, London. Greene W.H., 993, Economerc Analyss, Macmllan, New York. Maddala G.S., 983, Lmed Dependen and Qualave Varables n Economercs, Cambrdge Unversy Press, Cambrdge. Marzec J., 2003a, Badane newypłacalnośc kredyoborcy na podsawe model logowych probowych, Zeszyy Naukowe Akadem Ekonomcznej w Krakowe nr 628, Marzec J., 2003b, Badane nespłacalnośc kredyów za pomocą bayesowskch model dychoomcznych - założena wynk, Meody loścowe w naukach ekonomcznych. Trzece Warszay Dokorske z Zakresu Ekonomer Saysyk (red. A. Welfe), Wydawncwo SGH, Warszawa (73-86). Marzec J., 2003c, Bayesowska analza model dyskrenego wyboru (dwumanowych), Przegląd Saysyczny. 50, Newon M. A., Rafery A. E., 994 Approxmae Bayesan nference by he weghed lkelhood boosrap (wh dscusson), Journal of he Royal Sascal Socey B vol.56, O Hagan A., 994, Bayesan Inference, Edward Arnold, London. Osewalsk J., 200, Ekonomera bayesowska w zasosowanach, Wydawncwo Akadem Ekonomcznej w Krakowe, Kraków. Osewalsk J., Marzec J., 2004, Uogólnene dychoomcznego modelu probowego z wykorzysanem skośnego rozkładu Sudena, Przegląd Saysyczny. 5 (w druku). Osewalsk J., Ppeń M., 999, Bayesan forecasng of foregn exchange raes usng GARCH models wh skewed condonal dsrbuons, MACROMODELS'98 - Conference Proceedngs (red. W. Welfe), vol. 2, Absolwen, Łódź (95-28). Osewalsk J., Ppeń M., 2000, GARCH-In-Mean hrough skewed condonal dsrbuons: Bayesan nference for exchange raes, MACROMODELS'99 Conference Proceedngs (red. W. Welfe, P. Wdowńsk), Absolwen, Łódź ( ). Wróbel-Roer R., 200, Gęke formy funkcyjne w emprycznej analze koszu. Podejśce Dewera wnoskowane bayesowske, Ekonomsa nr 5/200, Zellner A., 97, An Inroducon o Bayesan Inference n Economercs, J.Wley, New York. 6

17 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror paramerów bayesowskego modelu II rzędu ze skośnym rozkładem Sudena; ε ~ S(0, ν, γ). Zmenna Paramer E( y) D( y) Zmenna Paramer E( y) D( y) β -5,984 3,296 w 3 w β 42-5,938 7,84 Płeć (w ) β 2 0,374 2,3 w 3 w 2 β 43 38,580 4,504 Wek (w 2 ) β 3-2,68,772 w 3 w 3 β 44-8,203 8,99 Wpływy (w 3 ) β 4-52,87 4,72 w 4 w 5 β 45 4,260 4,47 ROR (w 4 ) β 5,49 0,24 w 4 w 6 β 46-0,058 0,494 Kary (w 5 ) β 6-4,955 4,463 w 4 w 8 β 47-4,444 0,939 Pośrednk (w 6 ) β 7 6,45,085 w 4 w 9 β 48 6,305,428 Typ kredyu (w 7 ) β 8 6,23 3,287 w 4 w 0 β 49 5,022 4,789 Okres (w 8 ) β 9-2,63 3,476 w 4 w β 50-0,453 0,323 Kwoa (w 9 ) β 0 9,467 3,648 w 4 w 2 β 5-0,94 0,383 Walua (w 0 ) β -0,439 5,899 w 4 w 3 β 52 3,693 2,85 Zrdoch (w ) β 2 0,600 0,698 w 5 w 6 β 53-0,236 0,565 Zrdoch2 (w 2 ) β 3,49 2,836 w 5 w 8 β 54 0,560 0,982 Zrdoch3 (w 3 ) β 4-2,462 3,025 w 5 w 9 β 55,0,356 w w 2 β 5-0,644 0,544 w 5 w 0 β 56-4,42 2,540 w w 3 β 6-9,745 3,748 w 5 w β 57 0,392 0,389 w w 4 β 7 0,533 0,76 w 5 w 2 β 58 0,424 0,266 w w 5 β 8 0,094 0,78 w 5 w 3 β 59-0,863,39 w w 6 β 9-0,5 0,70 w 6 w 8 β 60-5,94 0,872 w w 7 β 20 0,027 2,090 w 6 w 9 β 6 3,096 2,64 w w 8 β 2-0,579 0,508 w 6 w β 62 0,085 0,254 w w 9 β 22-0,236,297 w 6 w 2 β 63 -,49 0,46 w w 0 β 23,790 3,959 w 6 w 3 β 64 6,096 3,6 w w β 24 0,20 0,203 w 7 w 8 β 65,79 2,885 w w 2 β 25-0,220 0,240 w 7 w 9 β 66-3,35 2,909 w w 3 β 26 -,73 0,732 w 7 w 2 β 67-0,85 2,69 (w 2 ) 2 β 27 2,404 2,204 (w 8 ) 2 β 68 3,879,09 w 2 w 5 β 28 0,903 0,697 w 8 w 9 β 69-3,249 2,099 w 2 w 6 β 29-4,925,72 w 8 w 0 β 70-8,008 3,556 w 2 w 8 β 30 4,688 2,447 w 8 w β 7-0,472 0,825 w 2 w 9 β 3-2,53 4,388 w 8 w 2 β 72 2,048,0 w 2 w 0 β 32 -,305 7,244 w 8 w 3 β 73-0,657 3,622 w 2 w β 33-2,084,78 (w 9 ) 2 β 74-4,22,9 w 2 w 2 β 34 -,37,05 w 9 w 0 β 75 0,74 3,083 w 2 w 3 β 35 2,203 2,426 w 9 w β 76 4,838 2,937 (w 3 ) 2 β 36-3,05,400 w 9 w 2 β 77-3,488,373 w 3 w 5 β 37 -,624 3,027 w 9 w 3 β 78-7,59 6,264 w 3 w 6 β 38 4,4 6,968 w 0 w 2 β 79-5,53 3,227 w 3 w 8 β 39 4,669 3,382 ν 0,582 0,062 w 3 w 9 β 40 0,59 2,624 γ 0,30 0,023 w 3 w 0 β 4 6,08 5,229 Źródło: oblczena własne. 7

18 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela 2. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror uśrednonych efeków krańcowych η j = p wj lub η j = Pr( y = w, j = ) Pr( y = w, j = 0). T T ε ~ S(0,ν, γ) k = 79 ε ~ S(0,ν,γ) k = 4 ε ~S(0,ν=, γ=) k = 4 Zmenna E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) Płeć -7,2E-04 3,4E-03 0,007 0,003 0,008 0,003 Wek 0,020 0,05-0,026 0,004-0,298 0,024 Wpływy -0,48 0,022-0,788 0,78-0,63 0,058 ROR 0,035 0,03 0,048 0,005-0,059 0,008 Kary -0,03 0,073-0,03 0,005-0,032 0,007 Pośrednk 0,267 0,04 0,247 0,008 0,300 0,008 Typ Kredyu 0,89 0,003 0,73 0,02 0,049 0,020 Okres kredyu -2,250 0,37-0,02 0,009-0,08 0,020 Kwoa kredyu 0,074 0,02 0,027 0,009 0,04 0,00 Walua -0,5 0,072 0,075 0,067 0,075 0,03 Zrdoch -0,006 0,008-0,034 0,006-0,09 0,006 Zrdoch2 0,08 0,00 0,035 0,009 0,065 0,009 Zrdoch3-0,022 0,07-0,060 0,00-0,036 0,03 Źródło: oblczena własne. Tabela 3. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror prawdopodobeńswa neermnowego płacena kredyu p =Pr(y =)= F( x β). ypowy klen młody sarsza Zmenna pośrednk= pośrednk=0 bznesmen pan (wyraz wolny) Płeć 0 Wek (w laach) 40,2 40, Wpływy (w ys. zł) 0,2 0,2 0 ROR 0 Kary płancze Pośrednk 0 0 Typ kredyu: konsumpcyjny 0 Okres kredyu (w laach) 2,6 2,6 2,6 2,6 Kwoa (w ys. Zł) 0,9 0,9 0,9 0,9 Walua Zrdoch Zrdoch Zrdoch Model probowy (k=4) E(p y) 0,304 0,036 0,668 0,009 D(p y) 0,04 0,002 0,06 0,003 Model skośny (k=4) E(p y) 0,029 0,05 0,555 0,04 D(p y) 0,005 0,00 0,02 0,002 Model skośny (k=79) E(p y) 0,065 0,02 0,507 0,006 D(p y) 0,057 0,00 0,026 0,00 Źródło: oblczena własne. 8

19 Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela 4. Oceny ndywdualnych efeków krańcowych. ypowy klen młody sarsza Zmenna pośrednk= pośrednk=0 bznesmen pan Płeć -0,064-0,00-0,04 0,000 Wek -0,08-0,004-0,60-0,00 Wpływy -2,26-0,087-3,43-0,03 ROR 0,02 0,002 0,030 0,00 Kary -0,00-0,0002-0,467 0,000 Pośrednk 0,028 0,028 0,274 0,00 Typ Kredyu 0,034 0,007 0,488 0,83 Okres kredyu -0,087-0,004-0,29-0,00 Kwoa kredyu 0,784 0,032,58 0,005 Walua 0,203 0,004-0,500-0,002 Zrdoch 0,062 0, Zrdoch2 0,676 0, Zrdoch3-0,025-0,

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998)

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998) 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) 3. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,998) 3.. Model Hagha Isneje wele prac z la powojennych, w kórych wysępują próby modelowana kolejek ruchowych

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Bayesowskie testowanie modeli tobitowych w analizie spłaty kredytów detalicznych

Bayesowskie testowanie modeli tobitowych w analizie spłaty kredytów detalicznych Jerzy Marzec, Katedra Ekonometr Badań Oeracyjnych, Unwersytet Ekonomczny w Krakowe 1 Bayesowske testowane model tobtowych w analze słaty kredytów detalcznych Wstę Podstawowym narzędzem wsomagającym racę

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

HIPOTEZA STOPY NATURALNEJ. MIĘDZY EKONOMETRIĄ A HISTORIĄ MYŚLI EKONOMICZNEJ.

HIPOTEZA STOPY NATURALNEJ. MIĘDZY EKONOMETRIĄ A HISTORIĄ MYŚLI EKONOMICZNEJ. Jacek Wallusch Akadema Ekonomczna w Poznanu HIPOTEZA STOPY NATURALNEJ. MIĘDZY EKONOMETRIĄ A HISTORIĄ MYŚLI EKONOMICZNEJ. Dazu brauche ch ene Besazung de mmach dam alles klapp. Wenn se mmachen soll dann

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce Prognozowane cen dealcznych żywnośc w Polsce Marusz Hamulczuk IERGŻ - PIB Kaarzyna Herel NBP Co dlaczego prognozujemy Krókookresowe prognozy cen dealcznych Ceny dealczne (ndywdualne produky, agregay) Isone

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE

MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZAPOTRZEBOWANIA NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W WYBRANYM REGIONIE Marcn Zawada Kaedra Ekonomer Saysyk, Wydzał Zarządzana, Polechnka Częsochowska, Częsochowa 1 WSTĘP Proces ransformacj

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Palmowski. Analiza Przeżycia

Zbigniew Palmowski. Analiza Przeżycia Zbgnew Palmowsk Analza Przeżyca Wrocław 9 Zbgnew Palmowsk Docendo dscmus (Ucząc nnych, sam sę uczymy) Seneka Mos of he me I fnd myself workng n heorecal problems, because I am neresed n applcaons. I also

Bardziej szczegółowo

Regulamin. udzielania pomocy materialnej o charakterze socjalnym dla uczniów zamieszkaùych na terenie Gminy Wolbórz

Regulamin. udzielania pomocy materialnej o charakterze socjalnym dla uczniów zamieszkaùych na terenie Gminy Wolbórz Zaù¹cznk Nr 1 uchwaùy Nr XXVIII/167/2005 Rady Gmny Wolbórz z dna 30 marca 2005 r. Regulamn udzelana pomocy maeralnej o charakerze socjalnym dla ucznów zameszkaùych na erene Gmny Wolbórz I. Sposób usalana

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

MODELE COPULA M-GARCH O ROZKŁADACH NIEZMIENNICZYCH NA TRANSFORMACJE ORTOGONALNE

MODELE COPULA M-GARCH O ROZKŁADACH NIEZMIENNICZYCH NA TRANSFORMACJE ORTOGONALNE Mateusz Ppeń Unwersytet Ekonomczny w Krakowe MODELE COPULA M-GARCH O ROZKŁADACH NIEZMIENNICZYCH NA TRANSFORMACJE ORTOGONALNE Wprowadzene W analzach emprycznych przeprowadzonych z wykorzystanem welorównanowych

Bardziej szczegółowo

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska Jerzy Czesław Ossowsk Kaedra Ekonom Zarzdzana Przedsborswem Wydzał Zarzdzana Ekonom Polechnka Gdaska IX Ogólnoposke Semnarum Naukowe n. Dynamczne modele ekonomeryczne, Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye

Bardziej szczegółowo

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej Sansław Urbańsk * Modelowane równowag cenowej na Gełdze Paperów Waroścowych w Warszawe w okresach przed po wejścu Polsk do Un Europejskej Wsęp Praca nnejsza sanow konynuację badań doyczących wyceny akcj

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE

EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

Modele ekonometryczne w Gretlu

Modele ekonometryczne w Gretlu Modele ekonomeryczne w Grelu Grel jes aplkacją przede wszyskm do zasosowań ekonomerycznych (oraz do analzy szeregów czasowych nekórzy wolą rozgranczać ekonomerę analzę szeregów czasowych, przy czym a osana

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

HSC Research Report. Principal Components Analysis in implied volatility modeling (Analiza składowych głównych w modelowaniu implikowanej zmienności)

HSC Research Report. Principal Components Analysis in implied volatility modeling (Analiza składowych głównych w modelowaniu implikowanej zmienności) HSC Research Repor HSC/04/03 Prncpal Componens Analyss n mpled volaly modelng (Analza składowych głównych w modelowanu mplkowanej zmennośc) Rafał Weron* Sławomr Wójck** * Hugo Senhaus Cener, Wrocław Unversy

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Substytucja między kredytem kupieckim i bankowym w polskich przedsiębiorstwach wyniki empiryczne na podstawie danych panelowych

Substytucja między kredytem kupieckim i bankowym w polskich przedsiębiorstwach wyniki empiryczne na podstawie danych panelowych Bank Kredy 43 6, 01, 9 56 www.bankkredy.nbp.pl www.bankandcred.nbp.pl Subsyucja mędzy kredyem kupeckm bankowym w polskch przedsęborswach wynk empryczne na podsawe danych panelowych Jerzy Marzec*, Małgorzaa

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

BAYESOWSKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM t STUDENTA W ANALIZIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1

BAYESOWSKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM t STUDENTA W ANALIZIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1 Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BAYEOWKI MODEL TOBITOWY Z ROZKŁADEM TUDENTA W ANALIZIE NIEPŁACALNOŚCI KREDYTÓW 1 1. Wrowadzenie Głównym

Bardziej szczegółowo

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1. 1. Wprowadzenie.

BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1. 1. Wprowadzenie. Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomerii i Badań Oeracyjnych, Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Jerzy Marzec BADANIE NIESPŁACALNOŚCI KREDYTÓW ZA POMOCĄ BAYESOWSKICH MODELI DYCHOTOMICZNYCH - ZAŁOŻENIA I WYNIKI 1

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Ewolucja metod konstrukcji krzywej terminowej stóp procentowych po kryzysie płynności rynku międzybankowego w latach 2007-2009

Ewolucja metod konstrukcji krzywej terminowej stóp procentowych po kryzysie płynności rynku międzybankowego w latach 2007-2009 Unwersye Ekonomczny w Poznanu Wydzał Ekonom Paweł Olsza Ewolucja meod konsrukcj krzywej ermnowej sóp procenowych po kryzyse płynnośc rynku mędzybankowego w laach 007 009 Rozprawa dokorska przygoowana pod

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Adranna Mastalerz-Kodzs Unwersytet Ekonomczny w Katowcach KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Wprowadzene W dzałalnośc nstytucj fnansowych, takch

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych UIWERSYE EKOOMICZY w Krakowe EKOOMERIA EKOOMERIA meod analz wkorzsana danch ekonomcznch (handous zapsk wkładowc dla sudenów) Kraków Anon Gorl Anna Walkosz Unwerse Ekonomczn w Krakowe emaka. Wprowadzene..

Bardziej szczegółowo

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego

Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20 Darusz Letkowsk Unwersytet Łódzk BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG0 Wprowadzene Teora wyboru efektywnego portfela nwestycyjnego zaproponowana przez H. Markowtza oraz jej rozwnęca

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ

ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XVI/3, 2015, str. 248 257 ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ Sławomr

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Kaarzyna Zeug-Żebro Unwersye Ekonomczny w Kaowcach ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW DO PROGNOZOWANIA CHAOTYCZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Wprowazene Deermnzm ukłaów chaoycznych wskazuje

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r. Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH Domnk Krężołek Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA AYYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU MEALI NIEŻELAZNYCH Wprowadzene zereg czasowe obserwowane na rynkach kaptałowych

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 64 Transpor 28 Tomasz AMBROZIAK, Konrad LEWCZUK Wydzał Transporu Polechnk Warszawske Zakład Logsyk Sysemów Transporowych ul. Koszykowa 75, -662 Warszawa am@.pw.edu.pl;

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 10

METODY KOMPUTEROWE 10 MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk Mchał PŁOKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Konsace nakowe dr nż. Wod Kąko Poznań 00/00 MEODY KOMPUEROWE 0 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH

MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika filtracji na podstawie badań laboratoryjnych Determination of permeability coefficient in laboratory tests

Wyznaczanie współczynnika filtracji na podstawie badań laboratoryjnych Determination of permeability coefficient in laboratory tests EDYTA MALINOWSKA, MAŁGORZATA HYB Kaedra Geonżyner, SGGW w Warszawe Deparamen of Geoechncal Engneerng, Warsaw Agrculural Unversy SGGW Wyznaczane współczynnka flracj na podsawe badań laboraoryjnych Deermnaon

Bardziej szczegółowo

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Ewa Szymank Katedra Teor Ekonom Akadema Ekonomczna w Krakowe ul. Rakowcka 27, 31-510 Kraków STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Abstrakt Artykuł przedstawa wynk badań konkurencyjnośc

Bardziej szczegółowo

OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FUNDAMENTAL ANALYSIS

OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FUNDAMENTAL ANALYSIS ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Sera: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 68 Nr kol. 1905 Adranna MASTALERZ-KODZIS Unwersytet Ekonomczny w Katowcach OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Grzegorz PRZEKOTA ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Zarys treśc: W pracy podjęto problem dentyfkacj cykl gełdowych.

Bardziej szczegółowo

OCENA RYZYKA INWESTYCJI W METALE SZLACHETNE W OKRESIE ŚWIATOWEGO KRYZYSU FINANSOWEGO 2007-2012

OCENA RYZYKA INWESTYCJI W METALE SZLACHETNE W OKRESIE ŚWIATOWEGO KRYZYSU FINANSOWEGO 2007-2012 Elza Buszkowska Unwersye m. Adama Mckewcza w Poznanu, Wydzał Prawa Admnsracj, Kaedra Nauk Ekonomcznych Por Płucennk Unwersye m. Adama Mckewcza w Poznanu, Wydzał Maemayk Informayk, Pracowna Ekonomer Fnansowej

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji modele ekonometryczne

Analiza regresji modele ekonometryczne Analza regresj modele ekonometryczne Klasyczny model regresj lnowej - przypadek jednej zmennej objaśnającej. Rozpatrzmy klasyczne zagadnene zależnośc pomędzy konsumpcją a dochodam. Uważa sę, że: - zależność

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

Monitor konwergencji cyklicznej

Monitor konwergencji cyklicznej PF Monor konwergencj cyklcznej lsopad 9 Mnserswo Fnansów Deparamen Polyk Fnansowej, Analz Saysyk Numer / 9 Buro Pełnomocnka Rządu ds. Wprowadzena Euro przez Rzeczpospolą Polską Monor konwergencj cyklcznej

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE METOD PROSTYCH ORAZ METODY REGRESJI HEDONICZNEJ DO KONSTRUOWANIA INDEKSÓW CEN MIESZKAŃ

PORÓWNANIE METOD PROSTYCH ORAZ METODY REGRESJI HEDONICZNEJ DO KONSTRUOWANIA INDEKSÓW CEN MIESZKAŃ PORÓWNANIE METOD PROSTYCH ORAZ METODY REGRESJI HEDONICZNEJ DO KONSTRUOWANIA INDEKSÓW CEN MIESZKAŃ Radosław Trojanek Katedra Inwestycj Neruchomośc Unwersytet Ekonomczny w Poznanu e-mal: r.trojanek@ue.poznan.pl

Bardziej szczegółowo