Matematyczne Metody Fizyki II
|
|
- Henryka Sikora
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
2 Ortonormalne układy funkcji Definicja: Niech ϕ (x), ϕ (x),... będzie nieskończonym ciągiem funkcji określonych na przedziale a x b na którym zdefiniwana jest także funkcja r(x) > 0. Funkcje ϕ(x) nazywamy ortogonalnymi ze względu na funkcję wagową r(x) jeśli: ˆ b a r(x)ϕ m (x)ϕ n (x)dx = 0, dla m n Normą funkcji nazywamy ϕ(x) gdzie ϕ n (x) = b a r(x)ϕ n(x)dx 0 Układ znormalizowanych funkcji ˆϕ i (x) = ϕ i (x)/ ϕ i (x), i =,,... nazywamy układem ortonormalnym: ˆ b a r(x) ˆϕ m (x) ˆϕ n (x)dx = δ mn Przykład: Pokaż, że układ funkcji, cos x, sin x, cos x, sin x,... jest układem ortogonalnym na przedziale π x π ze względu na f. wagową r(x) =. π π π sin mx sin nxdx = 0, cos mx cos nxdx = 0, sin mx cos nxdx = 0 π π π π π dx = π, π π sin nxdx = π π π cos nxdx = π, sin mxdx = 0 π Układ ortonormalny ma postać: π, π sin nx, π cos nx, n =,,... M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
3 Wielomiany Legendre a Układ monomianów x n, n 0 napina przestrzeń wszystkich wielomianów. Nie jest to jednak układ ortogonalny. Konstrukcja ortonormalnego układu wielomianów na przedziale [, ]: n ˆ P n (x) = a k x k P n (x)p m (x)dx = 0 dla n m ortogonalność: k=0 P n (x)x m dx = n k=0 ( ) m+k+ m+k+ a k = 0 dla 0 m < n normalizacja: P n () = a 0 + a a n = Otrzymujemy w ten sposób ortogonalne wielomiany Legendre a: P 0 (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x),... Formuła Rodriguesa: korzystamy z reguły Leibniza (fg) (n) = n P n (x) = d n (x ) n n n! dx n = n n k=0 ( n k k=0 ( n k ) f (k) g (n k) ) (x ) n k (x + ) k Iloczyn skalarny wielomianów Legendre a: P n(x)p m (x)dx = n+ δ nm M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 3 / 6
4 Wielomiany Legendre a - funkcja generująca Współczynniki p n (x) w rozwinięciu funkcji: g(t, x) = = ( ) p n (x)t n, gdzie p n (x) = n xt + t t n xt + t n=0 są wielomianami w zmiennej x. Pokażemy, że są to wielomiany Legendre a. Ponieważ ˆ oraz ˆ dx xt + t xv + v = ln + tv tv g(t, x)g(v, x) dx = ˆ n, tv = p n (x)p m (x)t n v m dx k=0 k + (tv)k więc porównując współczynniki przy tych samych potęgach t n v m widać, że: ˆ p n (x)p m (x)dx = n + δ nm Równocześnie mamy: g(t, x = ) = t = t n = p n ()t n p n () = n=0 n=0 Funkcja g(t, x) jest więc funkcją generującą dla wielomianów Legendre a. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 4 / 6 t=0
5 Wielomiany Legendre a - relacje rekurencyjne Pn+ (x) = n + [(n + )xp n(x) np n (x)] Dowód przez porównanie współczynników przy tych samych potęgach t n : g(t, x) t n= x t = ( xt + t ) = np 3/ n (x)t n n= ( xt + t ) np n (x)t n = (x t)g(t, x) = (x t) P n (x)t n P n+(x) + P n (x) = xp n(x) + P n (x) Dowód przez porównanie współczynników przy tych samych potęgach t n : g(t, x) x ( xt + t ) t = ( xt + t ) = 3/ n= n= P n(x)t n = t g(t, x) = P n(x)t n n= P n (x)t n+ n=0 P n+(x) P n (x) = (n + )P n (x) Dowód poprzez kombinację dwóch poprzednich formuł. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 5 / 6
6 Inne wielomiany ortogonalne Formuła Rodriguesa pozwala generować inne rodziny wielomianów ortogonalnych na przedziale [a, b] z funkcją wagową w(x): c n d n R n (x) = w(x) dx n [w(x)qn (x)] ˆ b przy założeniu, że w(a)q n (a) = w(b)q n (b) = 0. a R n (x)r m (x)w(x)dx = N n δ nm Wielomiany Hermite a: Q(x) =, w(x) = e x, D d dx ( H n (x) = ( ) n e x dn dx n e x = e x / x d ) n e x / = n e D /4 x n dx Ortogonalne na osi rzeczywistej: ˆ H n (x)h m (x)e x dx = π n n! δ nm Funkcja generująca oraz spełniane równanie różniczkowe: e xy y = H n (x) yn n!, y xy + ny = 0 n=0 Przykład zastosowania: n-ty stan wzbudzony oscylatora harmonicznego jest proporcjonalny do H n (x), gdzie x = mω/ q oznacza bezwymiarowe położenie. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 6 / 6
7 Wielomiany Laguerre a Wielomiany Laguerre a: Ortogonalne na przedziale [0, ): ˆ 0 Q(x) = x, w(x) = x α e x L n (α) (x) = ex d n ( e x n!x α dx n x n+α) L (α) n (x)l (α) m (x)x α e x Γ(n + α + ) dx = δ nm n! Funkcja generująca oraz spełniane równanie różniczkowe: ( ) xy ( y) α exp = y n=0 L (α) n (x)y n, xy + (α + x)y + ny = 0 Przykład zastosowania: Część radialna funkcji falowej dla nierelatywistycznego atomu wodoru o liczbach kwantowych n i l dana jest przez ρ l L l+ n l (ρ)e ρ/, gdzie ρ = r/na 0 oraz a 0 jest promieniem Bohra a 0 = 4πɛ 0 /m e e. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 / 6
8 Funkcja gamma Γ Definicja: Funkcja gamma zdefiniowana jest jako: Γ(x) = ˆ Ponieważ spełniona jest relacja: 0 e t t x dt, x > 0 Γ(x + ) = xγ(x), x > 0 dlatego dla x = n N zachodzi Γ(n + ) = n! Γ x Dla x > 0 funkcja gamma interpoluje pomiędzy kolejnymi wartościami funkcji silnia i może być traktowana jako uogólnienie silni. Funkcja gamma może być rozszerzona na obszar x < 0, x,,... Przykład: Oblicz Γ(/), Γ(7/) oraz Γ( 3/) [Γ(/)] = ( e u u / du ) ( e v v / dv ) = 0 0 u = x, v = y = = 4 e (x +y ) dxdy = 4 π/ dθ e r rdr = π Γ(/) = π Γ ( ) 7 = 5 Γ ( ) 5 = 5 3 Γ ( ) = 5 8 π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 3 Γ 3 = Γ, Γ ) = Γ ) ( ) = π, Γ 3 = 4 3 π M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 8 / 6
9 Zastosowania funkcji gamma Γ Uogólnienie symbolu Newtona: ( ) α Dla R α > 0 mamy: = m ( ) n n! = m m!(n m)! = Γ(n + ) Γ(m + )Γ(n m + ) Γ(α + ) Γ(m + )Γ(α m + ) Z relacji Γ(x + ) = xγ(x) wynika, że: a(a + )(a + )...(a + n) = Przykład: Zapisz współczynnik a n = Γ(a + n + ) Γ(a) (4n + ) n za pomocą funkcji Γ (4n+) = 4 n ( 4 +n) = 4n+ Γ( 5 4 +n) a Γ( 4 ) n = n+ Γ( n) Γ( 4 ) Podwójna silnia: (n + )! (n + ) = (n + )!! = n, (n) = (n)!! = n n! n! Definicja: Funkcja beta: B(x, y) = Własności: B(x, y) = B(y, x), B(x, y) = ( y x+y ˆ 0 t x ( t) y dt, x > 0, y > 0 B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y), B(, ) =, B(/, /) = π ) ) B(x, y ) = B(x, y + ) ( x+y y M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 9 / 6
10 Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J n (x) Rozwiązując równanie Bessela x d y dx + x dy dx + (x ν )y = 0 metodą Frobeniusa y(x) = r=0 a rx r+c, otrzymujemy: równanie charakterystyczne: c ν = 0 c = ν, c = ν Przyrównując współczynniki kolejnych potęg x do zera, mamy: x c : (c ν )a = 0 0 a 0 0 x c+ : [(c + ) ν ]a = 0 a = 0 x c+r : [(r + c) ν ]a r + a r = 0 a m = 4m(m+ν) a m, m =,,... Wybieramy a 0 = ν Γ(+ν) a m = ( ) m m+ν m!γ(m++ν), m =,,... Pierwsze rozwiązanie metodą Frobeniusa przymuje postać funkcji J ν (x). Funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu ν: J ν (x) = x ν ( ) m x m m+ν m!γ(m + + ν), x 0 Dla ν = n N mamy: ( ) m x m+n 0. J n (x) = m+n, x m!(m + n)! M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 0 / 6 J n J 0 J J x
11 Całki oznaczone J 0 (x)dx są dostępne w tablicach (uwaga: 0 J n (x)dx = ). M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J n (x) W przypadku gdy ν nie jest liczbą całkowitą, drugie, liniowo niezależne rozwiązanie równania Bessela ma postać: J ν (x) = x ν ( ) m x m m ν m!γ(m + ν), x 0 Ogólne rozwiązanie ma więc postać: y(x) = C J ν (x) + C J ν (x) Własności funkcji Bessela dla ν = n N: Funkcje Jn (x) i J n (x) są liniowo zależne (przesuwamy indeks m n = k): J n (x) = m=n d dx [xν J ν (x)] = x ν J ν (x), ( ) m x m n m n m!(m n)! = ( )n k=0 d dx [x ν J ν (x)] = x ν J ν (x) ( ) k x k+n k+n k!(k+n)! = ( )n J n (x) Jν (x) + J ν+ (x) = ν x J ν(x), J ν (x) J ν+ (x) = J ν(x) xν J ν (x)dx = x ν J ν (x) + C, x ν J ν+ (x)dx = x ν J ν (x) + C ( ) Przykład: Oblicz całkę: x + x J (x)dx = x J (x)dx + x J (x)dx d dx [x J (x)] = x J (x) x J (x)dx = x J (x) + C x J (x)dx = x [xj (x)]dx = [xj (x)] = xj 0 (x) = J (x)+ J 0 (x)dx
12 Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J ±n/ (x) Sprowadzamy równanie Bessela x y + xy + (x ν )y = 0 do postaci standardowej stosując podstawienie u = x / y : ( ) u + 4ν ν=±/ 4x u = 0 u + u = 0 Rozwiązanie ogólne ma postać: u(x) = C sin x + C cos x y(x) = C x sin x + C x cos x Dwie funkcje występujące w rozwiązaniu ogólnym są niezależne. Dobierając odpowiednio normalizację dostajemy: J / (x) = πx sin x oraz J /(x) = πx cos x Korzystając z relacji rekurencyjnej można znaleźć wyrażenia na J ±n/ (x), np.: J 3/ (x) = ( ) sin x x J /(x) J / (x) = πx x cos x Uwaga: Wszystkie funkcje Bessela J ±n/ (x) dla n nieparzystych można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
13 Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Poszukujemy drugiego, niezależnego, rozwiązania r. Bessela w przypadku gdy ν = n gdzie n = 0,,,... Rozważmy najpierw przypadek ν = 0, tzn. r. B. ma postać: xy + y + xy = 0 Poszukujemy rozwiązania w postaci: y (x) = J 0 (x) ln x + r=0 b rx r+ Wstawiając do równania otrzymujemy: [xj 0 (x) + J 0(x) + xj 0 (x)] ln x + J 0(x) + + (r + )b r x r + b r x r+ = 0 r=0 r=0 (r + )rb r x r + Człon logarytmiczny znika bo J 0 (x) jest rozwiązaniem równania. Wstawiając za J 0(x) dostajemy: ( ) m x m m (m )!m! + (r + )rb r x r + (r + )b r x r + b r x r+ = 0 m= r=0 Przesuwając indeks i grupując wyrazy otrzymujemy: ( ) m+ x m+ m (m + )!m! + b { 0 + 4b x + (r + ) } b r + b r x r = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 3 / 6 r= r=0 r=0 r=0
14 Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Ponieważ widać, że b 0 = 0, więc wszystkie parzyste współczynniki b m też muszą znikać: ( ) m+ x m+ m (m + )!m! + 4b { x + 4m } b m + b m 3 x m = 0 m= Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach x do zera, znajdujemy: ( b m = ( )m m (m!) ), m =,,... m A więc drugie, liniowo niezależne rozwiązanie, ma postać (dla x > 0): ( ) m h m x m m y (x) = J 0 (x) ln x + m (m!), gdzie h m = k m= Ponieważ dowolna kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań równania różniczkowego jest także jego rozwiązaniem, jako drugie rozwiązanie r. Bessela rzędu zerowego przyjmuje się przez konwencję: Y 0 (x) = π [y (x) + (γ ln )J 0 (x)] ( gdzie γ = lim + m m ln m) = jest stałą Eulera. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 4 / 6 k=
15 Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Funkcja Bessela drugiego rodzaju rzędy ν jest zdefiniowana jako: Y ν (x) = sin νπ [J ν(x) cos νπ J ν (x)] W szczególności dla ν = n Z przyjmuje postać: Y n (x) = π J n(x) n πx n (ln x + γ ) + xn π (n m )! m n x m m! ( ) m (h m + h m+n ) m+n x m m!(m + n)! Rozwiązanie ogólne r. Bessela dla dowolnych ν: y(x) = C J ν (x) + C Y ν (x) Własności funkcji Bessela drugiego rodzaju: przybliżenia dla małych x: 0.5 Y 0 (x) π ln x, Y ν(x) Γ(ν) ( ) ν π x, ν > 0 zachowanie asymptotyczne dla dużych x: Y ν (x) πx sin [ x ν+ 4 π ] 0.5 lim Y ν =, lim Y x 0 ν(x) = 0..5 x Y n Y 0 Y Y x M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 5 / 6
16 Zmodyfikowane funkcje Bessela I ν (x) oraz K ν (x) Zastępując zmienną niezależną x w równaniu Bessela przez ix otrzymujemy zmodyfikowane równanie Bessela rzędu ν: x y + xy (x + ν )y = 0 Równanie to ma dwa niezależne zespolone rozwiązania J ν (ix) oraz Y ν (ix). Wygodniej jednak posługiwać się rozwiązaniami rzeczywistymi: J ν (ix) = ( ) m (ix) m+ν m+ν m!γ(m + + ν) = iν x m+ν m+ν m!γ(m + + ν) iν I ν (x) gdzie I ν (x) to zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu ν. Ogólne rozwiązanie w przypadku gdy ν / Z: y(x) = C I ν (x) + C I ν (x) Definiujemy zmodyfikowaną funkcję Bessela drugiego rodzaju rzędu ν: K ν (x) = π ( ) I ν (x) I ν (x) sin νπ Definicję tę można rozszerzyć na ν = n podobnie jak dla niezmodyfikowanych funkcji Bessela. Ogólne rozwiązanie zmodyfikowanego r. Bessela przyjmuje wówczas postać: y(x) = C I ν (x) + C K ν (x) I n I x x M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 6 / 6 K n K 0 K I
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoOperatory samosprzężone
Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoy + p(t)y + q(t)y = 0. (1) Z rozwiązywaniem równań przez szeregi potęgowe związane są pewne definicje.
1 Szeregi potęgowe Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych, zwane metodą Frobeniusa, jest bardzo ogólną metodą. Rozważmy równanie y + p(t)y + q(t)y = 0. (1)
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowox = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowo(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia
Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx)
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowo