Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0"

Transkrypt

1 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto wprowadzimy symbol na oznaczenie iloczynu pewnej ilości wyrazów ciągu analogiczny do sigmy oznaczającej sumę Mianowicie, n a (i) = a (1) a () a (n) i=1 Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 i=1 a (i), jest równy 1 Wprowadzimy pewne pojęcia, które będą przydatne w dalszym omawianiu tematu Definicja 11 Operatorem różnicowym nazywamy operator określony na ciągach za pomocą wzoru x (n) = x (n + 1) x (n) Operatorem przesunięcia nazywamy operator określony na ciągach wzorem Operator I dany wzorem Ex (n) = x (n + 1) Ix (n) = x (n) nazywamy operatorem identycznościowym Uwaga 1 Zauważmy, że wprost z powyższej definicji wynika następujący związek: x (n) = (E I) x (n) Uwaga 13 Wprost z definicji operatora E wynika, że jeżeli b R, to E (bx (n)) = b Ex (n) Uwaga 14 W dalszym ciągu dla liczby rzeczywistej λ będziemy używać zapisu E λ zamiast E λi 1

2 Zastanówmy się co daje wielokrotne zastosowanie operatora przesunięcia Mamy E x (n) = E (Ex (n)) = Ex (n + 1) = x (n + ), E 3 x (n) = E ( E x (n) ) = Ex (n + ) = x (n + 3) Widać, że indukcyjnie daje się wykazać ogólny wzór Jeżeli więc E k x (n) = x (n + k), k N p (λ) = a 0 λ k + a 1 λ k a k jest dowolnym wielomianem stopnia k zmiennej λ, to możemy określić operator wielomianowy p (E) określony za pomocą wzoru który na ciągu x (n) przyjmuje wartość p (E) = a 0 E k + a 1 E k a k I, p (E) x (n) = a 0 x (n + k) + a 1 x (n + k 1) + + a k x (n) Pokażemy teraz pewną własność operatora Niech p (n) = a 0 n k + a 1 n k a k będzie wielomianem stopnia k Wówczas ] p (n) = [a 0 (n + 1) k + a 1 (n + 1) k a k [ a 0 n k + a 1 n k 1 ] + + a k = a 0 kn k 1 + ( składniki stopnia < k 1) Podobnie można pokazać, że p (n) = a 0 k (k 1) n k + ( składniki stopnia < k ) Powtarzając tę operację k-krotnie, dostajemy k p (n) = a 0 k! (1) Stąd dalej Zachodzi następujący k+i p (n) = 0 dla i 1 () Lemat 15 Jeżeli p jest dowolnym wielomianem i g (n) jest dowolnym ciągiem, to p (E) (b n g (n)) = b n p (be) g (n) (3) dla dowolnej liczby b

3 Dowód Oznaczmy symbolem L lewą, zaś symbolem P prawą stronę równości Mamy wówczas na mocy Uwagi 13 L = p (E) (b n g (n)) = a 0 b n+k g (n + k)+a 1 b n+k 1 g (n + k 1)+ +a k b n g (n) = b n ( a 0 b k g (n + k) + a 1 b k 1 g (n + k 1) + + a k g (n) ) = b n p (be) g (n) = P Wprowadźmy dodatkowo pewne szczególne działanie na liczbach rzeczywistych Niech x R i k N Określamy x (k) = x (x 1) (x k + 1) Zauważmy, że jeśli x = n N i n k, to n (k) = n! (n k)! W szczególności, n (n) = n! Jeśli n < k, to n (k) = 0 Będziemy także potrzebować wzoru na tzw wyznacznik Vandermonde a: λ 1 λ λ k λ 1 λ λ k = (λ j λ i ), (4) 1 i<j k λ k 1 1 λ k 1 λ k 1 k gdzie λ i R dla i = 1,, k Dodatkowo zachodzi następujące twierdzenie o uogólnionym wyznaczniku Vandermonde a: Twierdzenie 16 Niech V będzie macierzą kwadratową stopnia k złożoną z r bloków postaci λ i ( λ ) i 1 λi 1 0 ( λ 3 3 ) ( i 1 λ 3 ) i λi 0 V i = λ mi 1 ( mi 1) i 1 λ m i ( mi 1) i λ m i 3 i 1 λ k 1 ) ) ) i λ k i λ k 3 i λ k m i ( k 1 1 ( k 1 ( k 1 m i 1 wymiaru k m i, gdzie r i=1 m i = k (V = [ V 1 ] V r ) Wówczas det V = (λ j λ i ) mimj 1 i<j r i 3

4 Następującym przykładem zilustrujemy czym są równania różnicowe Przykład 17 Załóżmy, że w chwili t = 0 populacja liczy P (0) osób Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = , a roczna umieralność d = 101 Oznacza to, że jeżeli w końcu n-tego roku żyje P (n) osób, to w następnym roku urodzi się P (n) P (n) 100 dzieci i umrze 101 osób Zatem liczba osób żyjących na koniec (n + 1)-ego roku wyniesie P (n + 1) = P (n) + P (n) 100 P (n) 101 = P (n) (1 + b d) = P (n) ( ) Zachodzi pytanie, czy z tego związku potrafimy wyznaczyć wzór na wyraz ogólny ciągu (P (n)) Jeżeli wprowadzimy oznaczenie r = b d, to nasz związek przyjmie postać P (n + 1) = P (n) (1 + r) (5) Jest to przykład równania różnicowego (tzw równania wzrostu) opisującego przyrost populacji Na początek odgadniemy rozwiązanie Twierdzimy, że rozwiązaniem jest każdy ciąg postaci P (n) = A (1 + r) n, n = 0, 1,,, gdzie A jest dowolną stałą Sprawdzamy, że to jest rozwiązanie równania (5): L = A (1 + r) n+1, P = A (1 + r) n (1 + r) = A (1 + r) n+1, czyli L = P Jest to tak zwane rozwiązanie ogólne równania (5) Rozwiązania ogólne zawsze zawierają dowolne stałe Podstawiając w ich miejsce konkretne liczby, otrzymujemy tzw rozwiązania szczególne Aby dla danego problemu uzyskać właściwe rozwiązanie szczególne, potrzebne są tak zwane warunki początkowe Warunek początkowy jest dodatkową porcją informacji, która pozwoli wyznaczyć nieokreślone stałe Na przykład w naszym modelu wzrostu możemy dowiedzieć się, że populacja w chwili 0 liczy 100 osób, czyli P (0) = 100 Znaczy to, że 100 = P (0) = A (1 + r) 0 = A, a więc właściwym dla naszego problemu rozwiązaniem szczególnym będzie ( P (n) = ) n Widać więc, że równanie różnicowe będzie związkiem między kilkoma (niekoniecznie dwoma, jak w powyższym przykładzie) kolejnymi wyrazami ciągu, zaś jego rozwiązanie będzie polegać na wyznaczeniu wzoru na n-ty wyraz tego ciągu Inaczej, rozwiązanie równania różnicowego jest wyznaczeniem wzoru na n-ty wyraz, gdy ciąg zadany jest rekurencyjnie W naszym wykładzie zajmować się będziemy tylko szczególnym rodzajem równań różnicowych, mianowicie równaniami liniowymi 4

5 Ogólna teoria liniowych równań różnicowych Definicja 1 Równaniem liniowym rzędu k nazywamy równanie różnicowe postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (6) gdzie p i (n) dla i = 1,,, k oraz g (n) są ciągami określonymi dla n n 0 przy pewnym ustalonym n 0 (w naszym wykładzie najczęściej n 0 = 0), przy czym p k (n) 0 dla n n 0 W równaniu powyższym niewiadomą jest ciąg y (n), zaś pozostałe ciągi są dane Rozwiązaniem równania (6) nazywamy każdy ciąg y (n) określony dla n n 0, który spełnia to równanie Jeżeli g (n) = 0 dla wszystkich n n 0, to równanie (6) nazywamy jednorodnym W przeciwnym przypadku równanie to nazywamy niejednorodnym Jeżeli równanie (6) jest niejednorodne, to równanie jednorodne postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = 0 (7) nazywamy równaniem jednorodnym stowarzyszonym z równaniem (6) Zauważmy, że równanie (6) można zapisać w postaci y (n + k) = p 1 (n) y (n + k 1) p k (n) y (n) + g (n), (8) z której przy n 0 = 0 kładąc n = 0, otrzymujemy y (k) = p 1 (0) y (k 1) p (0) y (k ) p k (0) y (0) + g (0), czyli k-ty wyraz szukanego ciągu jest dobrze określony przez wyrazy poprzednie y (0),, y (k 1) Jeżeli znamy już y (k), to kładąc we wzorze (8) n = 1 mamy y (k + 1) = p 1 (1) y (k) p (1) y (k 1) p k (1) y (1) + g (1), czyli potrafimy z kolei obliczyć y (k + 1) Powtarzając ten proces możemy obliczyć wszystkie y (n) dla n k Zilustrujmy powiedziane wyżej za pomocą przykładu Przykład Rozważmy równanie liniowe trzeciego rzędu postaci y (n + 3) n y (n + ) + ny (n + 1) 3y (n) = n, n 1 (9) n + 1 Załóżmy, że y (1) = 0, y () = 1 i y (3) = 1 Obliczymy kolejne wyrazy ciągu y (n) Zapiszmy równanie (9) w równoważnej postaci y (n + 3) = Podstawiając n = 1 w (10), dostajemy n y (n + ) ny (n + 1) + 3y (n) + n (10) n + 1 y (4) = 1 y (3) y () + 3y (1) + 1 = 5 5

6 Dla n = Dla n = 3 Dla n = 4 y (5) = 3 y (4) y (3) + 3y () + = 4 3 y (6) = 3 4 y (5) 3y (4) + 3y (3) + 3 = 5 y (7) = 4 5 y (6) 4y (5) + 3y (4) + 4 = 89 6 itd Jeżeli do równania różnicowego dołączymy dodatkowo pierwszych k wartości szukanego rozwiązania, to otrzymamy tzw zagadnienie początkowe: y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (11) y (n 0 ) = a 0, y (n 0 + 1) = a 1,, y (n 0 + k 1) = a k 1, (1) gdzie a i są ustalonymi liczbami dla i = 0, 1,, k 1 Z powyższych rozważań otrzymujemy następujące Twierdzenie 3 Zagadnienie początkowe (11) i (1) posiada dokładnie jedno rozwiązanie y (n) Pozostaje pytanie czy potrafimy wyznaczyć wzór na n-ty wyraz ciągu spełniającego równanie (6) lub spełniającego zagadnienie początkowe (11) i (1) Zajmiemy się w pierwszej kolejności równaniem liniowym jednorodnym rzędu k postaci x (n + k) + p 1 (n) x (n + k 1) + + p k (n) x (n) = 0, (13) gdzie p k (n) 0 dla n n 0 Zaczniemy od wprowadzenia ważnych pojęć Definicja 4 Ciągi f 1 (n),, f r (n) nazywamy liniowo zależnymi dla n n 0, gdy istnieją stałe a 1,, a r nie wszystkie równe zeru, takie, że a 1 f 1 (n) + + a r f r (n) = 0 dla n n 0 (14) Wyrażenie stojące po lewej stronie równości (14) nazywamy kombinacją liniową ciągów f 1 (n),, f r (n) Zauważmy, że jeżeli a j 0, to dzieląc równość (14) przez a j, dostajemy f j (n) = a 1 f 1 (n) a f (n) a r f r (n) a j a j a j = a i f i (n) (15) a j i j To ostatnie równanie mówi nam, że ciąg f j z niezerowym współczynnikiem jest kombinacją liniową pozostałych ciągów f i Stąd w szczególności dwa ciągi f 1, f są liniowo zależne, gdy jeden z nich równy jest iloczynowi pewnej liczby przez drugi 6

7 Jeżeli nie jest spełniony warunek Definicji 4, to ciągi f 1 (n),, f r (n) nazywamy liniowo niezależnymi Inaczej, ciągi te nazywamy liniowo niezależnymi, gdy z równości a 1 f 1 (n) + + a r f r (n) = 0 dla n n 0 wynika, że a 1 = a = = a r = 0 Zilustrujmy powyższe pojęcia za pomocą przykładu: Przykład 5 Pokażemy, że ciągi 3 n, n3 n, n 3 n są liniowo niezależne dla n 1 Przypuśćmy, że dla stałych a 1, a i a 3 mamy Dzieląc przez 3 n mamy a 1 3 n + a n3 n + a 3 n 3 n = 0 dla n 1 a 1 + a n + a 3 n = 0 dla wszystkich n 1 To jest możliwe tylko w przypadku, gdy a 3 = 0, bo trójmian kwadratowy ma co najwyżej dwa pierwiastki rzeczywiste Stąd dalej mamy a = 0, bo wielomian stopnia 1 ma co najwyżej jeden pierwiastek, a stąd dalej a 1 = 0 Zatem mamy liniową niezależność Definicja 6 Zbiór k liniowo niezależnych rozwiązań równania (13) nazywamy fundamentalnym zbiorem rozwiązań Podamy teraz praktyczniejszą metodę sprawdzania liniowej niezależności rozwiązań Definicja 7 Kasoratianem W (n) rozwiązań x 1 (n),, x r (n) nazywamy wyznacznik dany przez x 1 (n) x (n) x r (n) x 1 (n + 1) x (n + 1) x r (n + 1) W (n) = (16) x 1 (n + r 1) x (n + r 1) x r (n + r 1) Przykład 8 Rozważmy równanie różnicowe x (n + 3) 7x (n + 1) + 6x (n) = 0 Pokażemy, że ciągi 1, ( 3) n i n są rozwiązaniami tego równania i obliczymy dla nich kasoratian Najpierw sprawdzamy, czy to są rozwiązania, podstawiając te ciągi do równania Dla ciągu x (n) = 1 mamy L = = 0 = P Dla ciągu x (n) = ( 3) n mamy L = ( 3) n+3 7 ( 3) n ( 3) n = ( 3) n [ ] = 0 = P Wreszcie dla ciągu x (n) = n mamy L = n+3 7 n n = n [ ] = 0 = P 7

8 Obliczamy teraz kasoratian: 1 ( 3) n n W (n) = 1 ( 3) n+1 n+1 1 ( 3) n+ n+ = ( 3)n+1 n+1 ( 3) n+ n+ 1 n+1 ( 3)n 1 n+ + 1 ( 3) n+1 n 1 ( 3) n+ = n+ ( 3) n+1 n+1 ( 3) n+ ( 3) n ( n+ n+1) + n ( ( 3) n+ ( 3) n+1) = 1 n ( 3) n 18 n ( 3) n 4 n ( 3) n + n ( 3) n + 9 n ( 3) n + 3 n ( 3) n = 0 n ( 3) n Lemat 9 (Lemat Abela) Niech x 1 (n),, x k (n) będą rozwiązaniami równania (13) i niech W (n) będzie ich kasoratianem Wówczas dla n n 0 zachodzi wzór ( n 1 ) W (n) = ( 1) k(n n0) p k (i) W (n 0 ) (17) i=n 0 Dowód Przeprowadzimy dowód dla k = 3 W ogólnym przypadku dowód przeprowadza się w pełni analogicznie Niech x 1 (n), x (n) i x 3 (n) będą rozwiązaniami równania (13) Wówczas ze wzoru (16) mamy x 1 (n + 1) x (n + 1) x 3 (n + 1) W (n + 1) = x 1 (n + ) x (n + ) x 3 (n + ) x 1 (n + 3) x (n + 3) x 3 (n + 3) (18) Z równania (13) dla 1 i 3 mamy x i (n + 3) = p 3 (n) x i (n) [p 1 (n) x i (n + ) + p (n) x i (n + 1)] (19) Jeżeli teraz użyjemy wzoru (19) wstawiając do wyznacznika (18) w ostatnim wierszu zamiast x i (n + 3) prawą stronę tego wzoru i korzystając z odpowiednich własności wyznacznika, to otrzymamy x 1 (n + 1) x (n + 1) x 3 (n + 1) W (n + 1) = x 1 (n + ) x (n + ) x 3 (n + ) p 3 (n) x 1 (n) p 3 (n) x (n) p 3 (n) x 3 (n) x 1 (n + 1) x (n + 1) x 3 (n + 1) = p 3 (n) x 1 (n + ) x (n + ) x 3 (n + ) (0) x 1 (n) x (n) x 3 (n) = p 3 (n) ( 1) x 1 (n) x (n) x 3 (n) x 1 (n + 1) x (n + 1) x 3 (n + 1) x 1 (n + ) x (n + ) x 3 (n + ) 8

9 Mamy więc W (n + 1) = ( 1) 3 p 3 (n) W (n) (1) Ze wzoru (1) przez prostą indukcję otrzymujemy [ n 1 ] [ n 1 ] W (n) = ( 1) 3 p 3 (i) W (n 0 ) = ( 1) 3(n n0) p 3 (i) W (n 0 ) i=n 0 i=n 0 Zauważmy teraz, że jeśli równanie (13) ma stałe współczynniki p 1, p,, p k, to wzór (17) przyjmuje postać W (n) = ( 1) k(n n0) p n n0 k W (n 0 ) () Ze wzoru (17) wynika następujący wniosek Wniosek 10 Załóżmy, że p k (n) 0 dla wszystkich n n 0 Wówczas kasoratian W (n) jest różny od 0 dla każdego n n 0 wtedy i tylko wtedy, gdy W (n 0 ) 0 Z wniosku powyższego wynika, że aby sprawdzić, czy W (n) 0 dla wszystkich n N {0}, wystarczy sprawdzić, czy W (0) 0 Oczywiście czasami zamiast wartości w 0 bierzemy wartość w jakiejś wygodniejszej liczbie naturalnej n 0 Rozważmy k rozwiązań x 1 (n), x (n),, x k (n) równania (13) Przypuśćmy, że dla pewnych stałych a 1, a,, a k i n 0 N {0} zachodzi a 1 x 1 (n) + a x (n) + a k x k (n) = 0 dla wszystkich n n 0 Do tego równania możemy dopisać jeszcze k 1 następujących równań a 1 x 1 (n + 1) + a x (n + 1) + + a k x k (n + 1) = 0, a 1 x 1 (n + k 1) + a x (n + k 1) + + a k x k (n + k 1) = 0 Otrzymany układ k równań możemy zapisać w postaci macierzowej jako X (n) ξ = 0, (3) gdzie x 1 (n) x (n) x k (n) x 1 (n + 1) x (n + 1) x r (n + 1) X (n) =, x 1 (n + k 1) x (n + k 1) x k (n + k 1) 9

10 oraz a 1 a ξ = a k Zauważmy, że W (n) = det X (n) Teoria rozwiązywania układów równań liniowych mówi nam, że równanie (3) ma wyłącznie rozwiązanie zerowe (a 1 = a = = a k = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz X (n) jest nieosobliwa, czyli gdy W (n) 0 Zatem, uwzględniając Wniosek 10, uzasadniliśmy twierdzenie Twierdzenie 11 Zbiór rozwiązań x 1 (n), x (n),, x k (n) równania (13) rzędu k jest zbiorem fundamentalnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego n 0 N {0} zachodzi W (n 0 ) 0 Przykład 1 Sprawdzimy, że {n, n } jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania x (n + ) 3n x (n + 1) + n x (n) = 0 n 1 n 1 Podstawiając do równania ciąg x 1 (n) = n, dostajemy L = n+ 3n n 1 n (n + 1)+ n 1 n = n + n 3n n + + n = 0 = P n 1 Podstawiając teraz ciąg x (n) = n, mamy L = n+ 3n n 1 n+1 + n n 1 n n 4n 4 6n n = = 0 = P n 1 Ponieważ równanie nie ma sensu dla n = 1, więc przyjmiemy n 0 = Skoro W (n) = n n n + 1 n+1, więc W () = = 4 0 Stąd na mocy Twierdzenia 11 ciągi n, n dla n stanowią zbiór fundamentalny rozwiązań danego równania Przykład 13 Rozważmy równanie rzędu trzeciego postaci x (n + 3) + 3x (n + ) 4x (n + 1) 1x (n) = 0 Pokażemy, że ciągi n, ( ) n i ( 3) n tworzą zbiór fundamentalny rozwiązań tego równania Sprawdzamy najpierw, że są to rozwiązania danego równania: dla ciągu n mamy L = n n+ 4 n+1 1 n = n ( ) = 0 = P, 10

11 dla ciągu ( ) n mamy L = ( ) n ( ) n+ 4 ( ) n+1 1 ( ) n i dla ciągu ( 3) n mamy L = ( 3) n ( 3) n+ 4 ( 3) n+1 1 ( 3) n = ( ) n ( ) = 0 = P, = ( 3) n ( ) = 0 = P Aby stwierdzić liniową niezależność, obliczymy kasoratian n ( ) n ( 3) n W (n) = n+1 ( ) n+1 ( 3) n+1 n+ ( ) n+ ( 3) n+ Stąd W (0) = 3 = Na mocy Twierdzenia 11 podane rozwiązania tworzą zbiór fundamentalny rozwiązań Jesteśmy teraz gotowi, aby sformułować podstawowe twierdzenie dla równań jednorodnych Twierdzenie 14 (Twierdzenie podstawowe) Jeżeli p k (n) 0 dla wszystkich n n 0, to równanie (13) posiada fundamentalny zbiór rozwiązań dla n n 0 Dowód Na mocy Twierdzenia 3 istnieją rozwiązania x 1 (n), x (n),, x k (n) takie, że x i (n 0 + i 1) = 1 oraz x i (n 0 ) = x i (n 0 + 1) = = x i (n 0 + i ) = x i (n 0 + i) = = x i (n 0 + k 1) = 0 dla i = 1,,, k Stąd wynika, że W (n 0 ) = 1, gdyż jest to wyznacznik macierzy jednostkowej Z Twierdzenia 11 wynika teraz, że {x 1 (n),, x k (n)} jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań Zauważmy, że istnieje nieskończenie wiele zbiorów fundamentalnych rozwiązań Następny wynik pokazuje metodę generowania rozwiązań, gdy dany jest pewien fundamentalny zbiór rozwiązań Lemat 15 Niech x 1 (n) i x (n) będą rozwiązaniami równania (13) Wówczas zachodzą następujące warunki: (i) x (n) = x 1 (n) + x (n) jest rozwiązaniem równania (13) (ii) x (n) = ax 1 (n) jest rozwiązaniem równania (13) dla dowolnej stałej a 11

12 Dowód powyższego lematu polega na bezpośrednim sprawdzeniu, że x (n) i x (n) są rozwiązaniami równania (13) Z lematu powyższego wynika natychmiast następujący Wniosek 16 Jeżeli x 1 (n),, x k (n) są rozwiązaniami równania (13), to x (n) = a 1 x 1 (n) + a x (n) + + a k x k (n), gdzie a i są stałymi, jest także rozwiązaniem tego równania Teraz niech {x 1 (n),, x k (n)} będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (13) i niech x (n) będzie dowolnym rowiązaniem tego równania Wówczas istnieją stałe a 1,, a k takie, że x (n) = k i=1 a ix i (n) Aby to wykazać, posłużymy się notacją (3) Zapiszmy równanie z niewiadomą ξ gdzie i X (n 0 ) ξ = ˆx (n 0 ), (4) ˆx (n) = x (n) x (n + 1) x (n + k 1) ξ 1 ξ ξ = Ponieważ macierz X (n 0 ) jest nieosobliwa (bo rozwiązania x 1 (n),, x k (n) stanowią układ fundamentalny), więc istnieje dokładnie jedno rozwiązanie powyższego równania macierzowego (układu równań liniowych): ξ 1 = a 1 ξ = a ξ k ξ k = a k Rozważmy ciąg x (n) = k i=1 a ix i (n) Na mocy Wniosku 16 ciąg ten jest rozwiązaniem równania (13) Przy tym na mocy (4) zachodzą równości x (n) = x (n) dla n = n 0, n 0 + 1,, n 0 + k 1, co oznacza, że ciągi x i x są rozwiązaniami tego samego zagadnienie początkowego W konsekwencji na mocy jednoznaczności w Twierdzeniu 3 muszą się pokrywać Stąd k x (n) = a i x i (n) Z powyższych rozważań wynika zasadność następującej definicji i=1 1

13 Definicja 17 Niech {x 1 (n), x (n),, x k (n)} będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (13) Wówczas rozwiązanie x (n) = k a i x i (n), i=1 gdzie a i są dowolnymi stałymi, nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (13) 3 Liniowe jednorodne równania o stałych współczynnikach Rozważmy równanie różnicowe rzędu k postaci x (n + k) + p 1 x (n + k 1) + p x (n + k ) + + p k x (n) = 0, (5) gdzie p i są stałymi rzeczywistymi i p k 0 (W tych równaniach przyjmujemy zawsze n 0 = 0) Uwaga 31 Zauważmy, że równanie (5) daje się zapisać przy pomocy operatora przesunięcia w postaci p (E) x (n) = 0 gdzie p (λ) = λ k + p 1 λ k 1 + p λ k + + p k Naszym celem jest teraz wyznaczenie fundamentalnego zbioru rozwiązań tego równania Procedura jest dość prosta Załóżmy, że rozwiązania równania (5) są postaci λ n, gdzie λ jest ustaloną liczbą zespoloną Wstawiając ten ciąg do równania, dostajemy, że dla każdego n N {0} zachodzi równość λ n+k + p 1 λ n+k p k λ n = 0 (6) Zauważmy, że λ nie może być zerem, bo gdyby było, to z powyższego równania dla n = 0 otrzymalibyśmy p k = 0, co przeczy uczynionemu założeniu Dzieląc ostatnie równanie przez λ n, otrzymujemy λ k + p 1 λ k p k = 0 (7) Stąd mamy, że jeśli ciąg postaci λ n jest rozwiązaniem równania (5), to liczba λ jest pierwiastkiem równania wielomianowego (7) Równanie (7) nazywamy równaniem charakterystycznym równania (5), zaś pierwiastki równania charakterystycznego nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi Zauważmy, że żaden pierwiastek charakterystyczny nie jest zerem, gdyż p k 0 Odwrotnie, załóżmy teraz, że λ jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (7) Wtedy podstawiając to λ do równania (7) i mnożąc stronami przez λ n, dostajemy równanie (6), a to oznacza, że ciąg λ n jest rozwiązaniem równania (5) Mamy do rozważenia dwa przypadki: 13

14 Przypadek (a) Załóżmy, że pierwiastki charakterystyczne λ 1,, λ k są różne, czyli każdy z pierwiastków charakterystycznych jest pierwiastkiem jednokrotnym Pokażemy, że wtedy zbiór {λ n 1,, λ n k } jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań Obliczymy w tym celu kasoratian tego zbioru rozwiązań w zerze: λ 1 λ λ k W (0) = λ 1 λ λ k = (λ j λ i ) 0 (8) 1 i<j k λ k 1 1 λ k 1 λ k 1 na mocy wzoru (4) i różności pierwiastków charakterystycznych Zatem na mocy Twierdzenia 11 zbiór {λ n 1,, λ n k } jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań W konsekwencji rozwiązaniem ogólnym równania (5) jest x (n) = k k a i λ n i, (9) i=1 gdzie a i są liczbami zespolonymi Przypadek (b) Załóżmy teraz, że różnymi pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1, λ,, λ r i mają one odpowiednio krotności m 1, m,, m r, przy czym r i=1 m i = k Przy tych założeniach równanie (5) może być zapisane w postaci (E λ 1 ) m1 (E λ ) m (E λ r ) mr x (n) = 0 (30) Łatwo widać, że jeżeli ciągi ψ 1 (n), ψ (n),, ψ mi (n) są rozwiązaniami równania (E λ i ) mi x (n) = 0, (31) to są rozwiązaniami równania (30) Przypuśćmy, że potrafimy znaleźć fundamentalny zbiór rozwiązań dla równania (31) przy 1 i r Można podejrzewać, że suma tych fundamentalnych zbiorów rozwiązań będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (30) Wyznaczymy fundamentalny zbiór rozwiązań dla równania (31) Lemat 3 Zbiór G i = { λ n i, ( ) n λ n i, 1 ( ) ( ) } n n λ n i,, λ n i m i 1 jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (31) 14

15 Dowód Obliczymy kasoratian w zerze dla zbioru G i : W (0) = λ i λ ) i 0 0 λ i λ i 0 λ i λ mi 1 i ( 1 ( mi 1 1 ) λ m i 1 i ( mi 1 ) λ m i 1 i λ mi 1 i m i (m i 1) = λi 0, bo pierwiastki charakterystyczne nie mogą być zerami Wystarczy teraz pokazać, że ciąg ( n s) λ n i dla s = 0, 1,, m i 1 jest rozwiązaniem równania (31) Istotnie, korzystając ze wzorów (3) i () mamy (( ) ) ( ) n n (E λ i ) mi λ n i = λ n i (λ i E λ i ) mi s s ( ) n = λ n+mi i (E I) mi s ( ) n = λ n+mi i mi = 0 s To kończy dowód lematu Teraz możemy ostatecznie wyznaczyć zbiór fundamentalny rozwiązań równania (30) Twierdzenie 33 Zbiór G = r i=1 G i jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania (30) Dowód Na mocy Lematu 3 ciągi ze zbioru G są rozwiązaniami równania (30) Wystarczy więc sprawdzić liniową niezależność Kasoratian w zerze jest wyznacznikiem macierzy V z Twierdzenia 16 pomnożonym przez iloczyn czynników postaci λi twierdzenia mamy m i (m i 1) W (0) = r i=1 (porównaj dowód Lematu 3), więc na mocy tego m i (m i 1) λi 1 i<j r (λ j λ i ) mjmi 0, bo λ i λ j dla i j i λ i 0 dla i = 1,,, r W konsekwencji G jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań na mocy Twierdzenia 11 Z ostatniego twierdzenia wynika natychmiast Wniosek 34 Ogólnym rozwiązaniem równania (30) jest x (n) = r λ n i i=1 ( ai0 + a i1 n + a i n + + a imi 1n mi 1) (3) 15

16 Przykład 35 Rozwiążemy zagadnienie początkowe x (n + 3) 7x (n + ) + 16x (n + 1) 1x (n) = 0, Równaniem charakterystycznym jest x (0) = 0, x (1) = 1, x () = 1 λ 3 7λ + 16λ 1 = 0 Pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1 = = λ i λ 3 = 3 Na mocy Wniosku 34 rozwiązaniem ogólnym jest x (n) = a 0 n + a 1 n n + b 0 3 n Aby wyznaczyć stałe a 0, a 1, b 0 skorzystamy z warunków początkowych: x (0) = a 0 + b 0 = 0 x (1) = a 0 + a 1 + 3b 0 = 1 x () = 4a 0 + 8a 1 + 9b 0 = 1 Rozwiązując powyższy układ równań dostajemy a 0 = 3, a 1 =, b 0 = 3 Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania jest x (n) = 3 n + n n 3 n+1 Pokażemy teraz, jak wygląda sytuacja, gdy pojawiają się pierwiastki charakterystyczne zespolone Załóżmy, że równanie x (n + )+p 1 x (n + 1)+p x (n) = 0 ma zespolone pierwiastki charakterystyczne postaci λ 1 = α + iβ, λ = α iβ Pierwiastki te są wzajemnie sprzężone, gdyż równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym o rzeczywistych współczynnikach Zapiszmy te liczby w postaci trygonometrycznej λ 1 = r (cos θ + i sin θ), λ = r (cos θ i sin θ) Zgodnie z wzorem (9) rozwiązaniem ogólnym jest: x (n) = c 1 (r cos θ + ir sin θ) n + c (r cos θ ir sin θ) n gdzie a 1 = c 1 + c i a = (c 1 c ) i = r n [(c 1 + c ) cos (nθ) + i (c 1 c ) sin (nθ)] = r n [a 1 cos (nθ) + a sin (nθ)], (33) Przykład 36 Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania x (n + 4) 6x (n + 3) + 13x (n + ) 4x (n + 1) + 36x (n) = 0 Równaniem charakterystycznym jest λ 4 6λ λ 4λ + 36 = 0 16

17 Rozkładając lewą stronę na czynniki, dostajemy (λ 3) ( λ + 4 ) = 0 Zatem pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1 = 3 = λ oraz λ 3 = i i λ 4 = i W postaci trygonometrycznej λ 3 i λ 4 zapisują się następująco ( λ 3 = cos π + i sin π ) (, λ 4 = cos π i sin π ) Na mocy powyższych rozważań rozwiązanie ogólne danego równania jest postaci x (n) = a 0 3 n + a 1 n3 n + a 3 n cos nπ + a 4 n sin nπ 4 Liniowe niejednorodne równania: metoda przewidywania Zajmiemy się teraz równaniami postaci y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) = g (n), (34) gdzie p k (n) 0 dla n n 0 i g (n) nie jest ciągiem zerowym Ciąg g (n) nazywamy składnikiem wymuszającym Zanim przejdziemy do ogólnej teorii przyjrzyjmy się przykładowi Przykład 41 Rozważmy równanie y (n + ) y (n + 1) 6y (n) = 5 3 n Wykonamy trzy polecenia: (a) Pokażemy, że y 1 (n) = n 3 n 1 i y (n) = (1 + n) 3 n 1 są rozwiązaniami tego równania Istotnie, podstawiamy ciąg y 1 (n) do naszego równania: L = (n + ) 3 n+1 (n + 1) 3 n 6n 3 n 1 Podstawiamy teraz ciąg y (n): = 3 n 1 (9n n 3 6n) = 15 3 n 1 = 5 3 n = P L = (n + 3) 3 n+1 (n + ) 3 n 6 (n + 1) 3 n 1 = 3 n 1 (9n + 7 3n 6 6n 6) = 15 3 n 1 = 5 3 n = P (b) Pokażemy, że y (n) = y (n) y 1 (n) nie jest rozwiązaniem powyższego równania Zauważmy, że y (n) = y (n) y 1 (n) = 3 n 1 Podstawiając do równania dostajemy L = 3 n+1 3 n 6 3 n 1 = 3 n (3 1 ) = n = P 17

18 (c) Pokażemy, że ϕ (n) = cn 3 n 1 nie jest rozwiązaniem danego równania dla dowolnej stałej c różnej od 1 Podstawmy do równania ciąg ϕ (n): L = c (n + ) 3 n+1 c (n + 1) 3 n 6cn 3 n 1 = c 3 n 1 (9n n 3 6n) = 5c 3 n To ostatnie wyrażenie pokrywa się z prawą strona danego równania tylko dla c = 1 Zauważmy, że w punkcie (b) powyższego przykładu różnica rozwiązań równania niejednorodnego okazała się być rozwiązaniem stowarzyszonego z nim równania jednorodnego Istotnie, zachodzi Twierdzenie 4 Jeżeli y 1 (n) i y (n) są rozwiązaniami równania (34), to ciąg x (n) = y (n) y 1 (n) jest rozwiązaniem stowarzyszonego z nim równania jednorodnego x (n + k) + p 1 (n) x (n + k 1) + + p k (n) x (n) = 0 (35) Dowód Podstawiając ciąg x (n) do równania (35), dostajemy L = y (n + k) y 1 (n + k) + p 1 (n) (y (n + k 1) y 1 (n + k 1)) + + p k (n) (y (n) y 1 (n)) = y (n + k) + p 1 (n) y (n + k 1) + + p k (n) y (n) [y 1 (n + k) + p 1 (n) y 1 (n + k 1) + + p k (n) y 1 (n)] = g (n) g (n) = 0 = P Umówmy się, że ogólne rozwiązanie równania jednorodnego stowarzyszonego z danym równaniem niejednorodnym nazywać będziemy rozwiązaniem komplementarnym równania niejednorodnego i oznaczać będziemy symbolem y c (n) Rozwiązanie równania niejednorodnego nazywać będziemy rozwiązaniem szczególnym i oznaczać symbolem y p (n) Następne twierdzenie daje nam algorytm na generowanie wszystkich rozwiązań równania niejednorodnego (34) Twierdzenie 43 Każde rozwiązanie y (n) równania (34) może być zapisane w postaci k y (n) = y p (n) + a i x i (n), gdzie {x 1 (n), x (n),, x k (n)} jest zbiorem fundamentalnym rozwiązań jednorodnego równania stowarzyszonego (35) Dowód Łatwo widać, że na mocy Twierdzenia 4 różnica y (n) y p (n) jest rozwiązaniem jednorodnego równania stowarzyszonego, czyli na mocy Definicji 17 zachodzi równość y (n) y p (n) = k i=1 a ix i (n) dla pewnych stałych a i, gdzie i = 1,, k i=1 18

19 Powyższe stwierdzenie upoważnia nas do zdefiniowania ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego jako y (n) = y c (n) + y p (n) (36) Przejdźmy teraz do wyznaczania szczególnych rozwiązań równań niejednorodnych ze stałymi współczynnikami takich, jak y (n + k) + p 1 y (n + k 1) + + p k y (n) = g (n) (37) Ze względu na prostotę zaprezentujemy tzw metodę przewidywania zwaną inaczej metodą współczynników nieoznaczonych Metoda ta ogólnie mówiąc polega na przewidzeniu postaci rozwiązania szczególnego, a następnie podstawieniu jej do równania, co umożliwia sprecyzowanie ostateczne tego rozwiązania Pamiętajmy jednak, że metoda ta nie jest efektywna dla zupełnie dowolnego ciągu g (n) Jednakże dobrze działa, gdy g (n) jest liniową kombinacją składników postaci a n, sin (bn), cos (bn) albo n l (38) lub kombinacja liniową iloczynów powyższych wyrażeń takich, jak a n sin (bn),, a n n l,, a n n l cos (bn), (39) Definicja 44 Operator wielomianowy N (E), gdzie E jest operatorem przesunięcia nazywamy anihilatorem g (n), gdy N (E) g (n) = 0 (40) Inaczej mówiąc N (E) jest anihilatorem g (n), gdy g (n) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (40) Zatem wyznaczenie anihilatora polega na znalezieniu możliwie najprostszego równania jednorodnego, którego rozwiązaniem jest g (n) Przykład 45 Podamy anihilatory pewnych składników wymuszających: g (n) = 3 n N (E) = E 3 g (n) = cos nπ N (E) = E + 1 g (n) = n + n N (E) = (E 1) 3 g (n) = n ( ) n + 3 n sin nπ Zapiszmy równanie (37) używając operatora E N (E) = (E + ) ( E + 4 ) p (E) y (n) = g (n), (41) gdzie p (E) = E k + p 1 E k 1 + p E k + + p k I Załóżmy teraz, że N (E) jest anihilatorem ciągu g (n) w (41) Zastosujmy operator N (E) do obu stron równania (41) N (E) p (E) y (n) = 0 (4) 19

20 Niech λ 1, λ,, λ k będą pierwiastkami charakterystycznymi równania jednorodnego p (E) y (n) = 0 (43) i niech µ 1, µ,, µ l będą pierwiastkami charakterystycznymi równania jednorodnego N (E) y (n) = 0 (44) Musimy rozważyć dwa przypadki: Przypadek 1 Żadne z λ i nie pokrywa się z żadnym µ j Wówczas y p (n) piszemy jako ogólne rozwiązanie równania (44) z nieoznaczonymi współczynnikami Podstawiając je do równania (37) wyznaczamy te współczynniki Przypadek Któreś λ i0 pokrywa się z pewnym µ j0 W tym przypadku zbiór charakterystycznych pierwiastków równania (4) jest sumą zbiorów {λ i } i {µ j } i w konsekwencji zawiera pierwiastki o wyższej krotności niż każdy ze składników oddzielnie Dla wyznaczenia rozwiązania szczególnego y p (n) znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania (4), a następnie opuszczamy w nim wszystkie składniki, które pojawiają się w ogólnym rozwiązaniu y c (n) równania (43) Dalej, dla wyznaczenia współczynników, postępujemy, jak w Przypadku 1 Przykład 46 Rozwiążemy równanie y (n + ) + y (n + 1) 1y (n) = n n (45) Pierwiastkami charakterystycznymi jednorodnego równania stowarzyszonego są λ 1 = 3 i λ = 4 Zatem y c (n) = c 1 3 n + c ( 4) n Ponieważ anihilatorem składnika wymyszającego jest N (E) = (E ), więc µ 1 = µ = i zbiory pierwiastków charakterystycznych są rozłączne Zatem y p (n) = a 1 n + a n n Wstawiając ciąg y p (n) do równania (45), dostajemy a 1 n+ +a (n + ) n+ +a 1 n+1 +a (n + 1) n+1 1a 1 n 1a n n = n n, czyli (10a 6a 1 ) n 6a n n = n n Aby powyższa równość zachodziła, musi być spełniony układ równań: { 6a1 + 10a = 0 6a = 1 Rozwiązaniem tego układu równań jest a 1 = 5 18 i a = 1 6 0

21 W konsekwencji y p (n) = 5 18 n 1 6 n n i rozwiązaniem ogólnym danego równania jest y (n) = c 1 3 n + c ( 4) n 5 18 n 1 6 n n Przykład 47 Rozwiążemy równanie y (n + ) y (n + 1) 6y (n) = 5 3 n (46) Pierwiastkami charakterystycznymi jednorodnego równania stowarzyszonego są λ 1 = 3 i λ = Zatem y c (n) = c 1 3 n + c ( ) n Ponieważ anihilatorem składnika wymuszającego jest N (E) = E 3, więc µ 1 = 3, czyli µ 1 = λ 1 Zauważmy, że dane równanie zapisane przy użyciu operatora przesunięcia jest postaci (E 3) (E + ) y (n) = 5 3 n Zatem przykładając do obu stron tego równania anihilator składnika wymuszającego, otrzymujemy równanie jednorodne Rozwiązaniem ogólnym równania (47) jest (E 3) (E + ) y (n) = 0 (47) ỹ (n) = (a 1 + a n) 3 n + a 3 ( ) n Opuszczając w tym rozwiązaniu składniki występujące w y c (n), otrzymujemy y p (n) = a n 3 n Podstawienie y p (n) do równania (46) daje nam a (n + ) 3 n+ a (n + 1) 3 n+1 6a n 3 n = 5 3 n, skąd a = 1 3 W kosekwencji y p (n) = n 3 n 1 i rozwiązaniem ogólnym równania (46) jest y (n) = c 1 3 n + c ( ) n + n 3 n 1 Przykład 48 Rozwiążemy równanie różnicowe y (n + ) + 4y (n) = 8 n cos nπ (48) Równaniem charakterystycznym stowarzyszonego równania jednorodnego jest λ + 4 = 0 1

22 Pierwiastkami charakterystycznymi są więc λ 1 = i, λ = i Stąd y c (n) = n ( c 1 cos nπ + c sin nπ ) (patrz wzór (33) Anihilatorem składnika wymuszającego jest N (E) = E + 4 Zatem µ 1 = i i µ = i, czyli pierwiastki charakterystyczne powtarzają się Używając operatora przesunięcia do zapisu danego równania niejednorodnego, otrzymujemy ( E + 4 ) y (n) = 8 n cos nπ Przykładając do obu stron tego równania anihilator składnika wymuszającego, dostajemy równanie jednorodne ( E + 4 ) y (n) = 0, którego rozwiązaniem ogólnym jest ỹ (n) = n ( (a 1 + a n) cos nπ + (a 3 + a 4 n) sin nπ ) Opuszczamy w tym rozwiązaniu składniki występujące w y c (n) i otrzymujemy ( y p (n) = n a n cos nπ + a 4n sin nπ ) Podstawiając y p (n) do równania (48), mamy [ ( nπ ) ( nπ )] n+ a (n + ) cos + π + a 4 (n + ) sin + π [ + 4 n a n cos nπ + a 4n sin nπ ] = 8 n cos nπ Ponieważ cos ( nπ + π) = cos nπ i sin ( nπ + π) = sin nπ, więc porównując współczynniki w powyższym równaniu, dostajemy a = 1 i a 4 = 0 W konsekwencji mamy y p (n) = n n cos nπ i ogólnym rozwiązaniem równania (48) jest y (n) = n ( c 1 cos nπ + c sin nπ n cos nπ ) Przykład 49 Rozwiążemy równanie różnicowe y (n + ) + y (n + 1) + y (n) = ( 1) n (49) z warunkami początkowymi y (0) = i y (1) = 0 Równaniem charakterystycznym stowarzyszonego równania niejednorodnego jest λ + λ + = 0,

23 więc pierwiastkami charakterystycznymi są λ 1 = 1+i i λ = 1 i Modułem pierwszego z tych pierwiastków jest, zaś jego argumentem jest θ = 3π 4 Stąd ( ) ( n y c (n) = c 1 cos 3nπ 4 + c sin 3nπ ) 4 Anihilatorem składnika wymuszającego jest N (E) = E + 1 Zatem µ 1 = 1 Zbiory pierwiastków charakterystycznych są rozłączne, więc y p (n) = a ( 1) n Podstawiając y p (n) do równania (49), otrzymujemy rwónanie a ( 1) n+ + a ( 1) n+1 + a ( 1) n = ( 1) n, z którego dostajemy a = 1 Stąd y p (n) = ( 1) n i rozwiązaniem ogólnym równania (49) jest ( ) ( n y (n) = c 1 cos 3nπ 4 + c sin 3nπ ) + ( 1) n 4 Wykorzystując teraz warunki początkowe, otrzymujemy układ równań { ( ) 0 ( ) 0 c 1 cos 0 + c sin = c 1 ( ) 1 cos 3π 4 + c Stąd { c1 = 1 c 1 + c = 1, ( ) 1 sin 3π 4 1 = 0 czyli mamy c 1 = 1 i c = Ostatecznie rozwiązaniem zagadnienia początkowego jest ( ) ( n y (n) = cos 3nπ ) 3nπ + sin + ( 1) n Zadania Rozwiąż następujące zagadnienia początkowe: Zadanie 1: y (n + 1) y (n) = 3 ( 1) n, y (0) = 1 Zadanie : Zadanie 3: y (n + 1) y (n) = n + 1, y (0) = y (n + 1) 3y (n) = 5, y (0) = 1 3

24 Zadanie 4: Zadanie 5: y (n + 1) y (n) = 4 3 n, y (0) = 7 y (n + 1) + y (n) = n ( ) n + 5, y (0) = 3 Zadanie 6: y (n + ) y (n + 1) y (n) = n n, y (0) = 11, y (1) = 19 Zadanie 7: y (n + ) + y (n + 1) y (n) = n + ( ) n, y (0) = 1, y (1) = 3 9 Zadanie 8: y (n + 3) 7y (n + ) + 8y (n + 1) + 16y (n) = 10 4 n+ 36, y (0) = 0, y (1) = 4, y () = 96 Zadanie 9: y (n + 3) y (n + ) + 9y (n + 1) 18y (n) = n+, y (0) = 1, y (1) = 0, y () = 8 Zadanie 10: y (n + 3) y (n + ) + 4y (n + 1) 8y (n) = 3 n sin nπ + 5 ( 1)n, y (0) = 5 3, y (1) = 5 3, y () = 1 3 Zadanie 11: y (n + ) y (n + 1) + 4y (n) = 5 3 n cos nπ 6 3n sin nπ + 3n, y (0) = 0, y (1) = 3 Zadanie 1: y (n + 4) + y (n + ) + y (n) = 4n + 5n n, y (0) = 1 5, y (1) = 5, y () = 9 5, y (3) =

25 Zadanie 13: y (n + 4) y (n) = cos nπ, y (0) =, y (1) = 0, y () = 0, y (3) = 4 Odpowiedzi: 1 y (n) = 3 ( 1)n y (n) = n + 3 y (n) = 3 n y (n) = 3 n n 5 y (n) = ( n + n 4 ) ( ) n y (n) = ( 1) n + 3 n + 3 n n 1 7 y (n) = ( ) n ( 1 6 n + 1) n 5 9 n 8 y (n) = ( n + n ) 4 n + ( 1) n 9 y (n) = n 3 n sin nπ + 1 3n 1 10 y (n) = n+1 + n sin nπ ) nπ + sin 1 + n ( n cos nπ 11 y (n) = ( ) n cos nπ nπ 3 sin 3 3 n cos nπ + n 1 y (n) = cos nπ nπ + n sin + ( ) n 16 5 n + n 13 y (n) = n cos nπ nπ sin + ( 1)n + n ( 1)n 5

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2) Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo