Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Transkrypt

1 Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 1 / 12

2 Czterowektor prędkości Element czasu własnego: dτ = ds c = c 2 dt 2 d r 2 dτ = dt γ ( ) c v Czterowektor prędkości: v µ dxµ dτ = dt dτ dx µ dt = γ W układzie spoczynkowym mamy v µ = dxµ ( ) c = dτ 0 A więc: v v v µ v µ = γ 2 (c 2 v 2 ) = c 2 Przykład: Cząstka porusza się w S po okręgu o promieniu r i środku w początku układu ze stałą prędkością v. Znajdź czterowektor prędkości cząstki w S poruszającym się względem S z prędkością u w standardowej konfiguracji. x = r cos ωt = r cos ( ) vt } { vx = v sin ( ) vt x = r sin ωt = r sin ( vt r A więc: v µ = (γ v c, γ v v x, γ v v y, 0) S r ) v y = v cos ( vt r W układzie S mamy: v µ = (γ c, γ v x, γ v y, 0) S gdzie ( γ c = γ u γ v c u ) ( c γ vv x = γ u γ v c 1 uv ) x c 2 γ = γ u γ v Q, Q 1 oraz v x = (v x u)/q, v y = v y /(γ u Q) ) r u v c 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 2 / 12

3 Ruch przyspieszony Relatywistyczne składanie prędkości w ogólnej postaci ( v, v to prędkości cząstki w układach S i S, u to względna prędkość układów): v = 1 { [ ] } u v v + γ u Q u 2 (γ u 1) γ u u gdzie γ v = γ u γ v Q oraz Q = 1 Czterowektor przyspieszenia: a µ = dvµ dτ = dt dτ d (γc, γ v) = γ dt u v c 2 ( c dγ dt, d(γ v) ) ( = γ dt 4 v a c, γ4 v a c 2 ) v + γ2 a γ dγ dt = 1 d 2 dt γ2 = 1 ) 2 (1 v2 1 d 2 c 2 c 2 dt v2 = 1 1 d v v 2 γ4 c 2 ( v v) = γ4 dt c 2 Czterowektory prędkości i przyspieszenia cząstki są ortogonalne: 1 d (v v) = v a = 0 2 dτ ( Dla v = (v x, 0, 0) mamy v = v x = a x a = γ 4 v ) xa x, γ 4 a x, γ 2 a y, γ 2 a z c M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 3 / 12

4 Ruch przyspieszony Ogólna transformacja dla 3-przyspieszenia: [ Q a + a = 1 γ 2 uq 3 u a c 2 v + u a u 2 ( ) ] 1 1 u γ u gdzie a, a są przyspieszeniami cząstki w układach S i S, v jest prędkością cząstki w układzie S, u jest względną prędkością układu S względem S oraz u v Q = 1 c 2. Przykład: Cząstka porusza się w układzie laboratoryjnym z prędkoscią v po okręgu x 2 + y 2 = r 2, z = 0. Znajdź wektor i czterowektor przyspieszenia w chwili gdy cząstka przecina ujemną oś y, zarówno w układzie LAB jak i w chwilowym układzie spoczynkowym cząstki (osie x, y są równoległe do x, y). S : a = (0, v 2 /r, 0) a = (γ 4 v a, γ 4 ( v a) v + γ 2 a) = (0, 0, γ 2 v 2 /r, 0) S : a = a = (0, 0, γ 2 v 2 /r, 0) (a 2 nie ulega zmianie przy TL) a = (0, γ 2 v 2 /r, 0) M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 4 / 12

5 Dynamika relatywistyczna: pęd i energia Pęd i energia cząstki relatywistycznej o masie m: p = γm v, E = γmc 2 Rozważamy zderzenie elastyczne dwóch cząstek, A i B, A poruszajacych sie z równymi i przeciwnie skierowanymi prędkościami. Zderzenie zmienia jedynie znak prędkości w kierunku osi x pędy obu czastek wzdłuż osi x muszą być takie same. Jednak ze względu na dylatację czasu mamy: T A = γt B v Ax = γv Bx A więc wyrażenie na pęd musi mieć postać: p x = γmv x lub p = γm v B y x A B Rozważamy teraz zderzenie nieelastyczne dwóch cząstek o masie m, poruszających się z równymi i przeciwnie skierowanymi prędkościami u. W wyniku zderzenia powstaje (w spoczynku) cząstka o masie M. W układzie związanym z jedną z cząstek m mamy: v = 2u 1 + u 2 γ v = 1 + u2 1 u 2 m u m M u v = 2 1+ u2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 5 / 12 M u m u m

6 Dynamika relatywistyczna: pęd i energia Korzystając z zasady zachowania pędu dostajemy: γ v mv + 0 = γ u Mu M = 2m 1 u 2 Sprawdzamy czy wielkość E = γmc 2 jest zachowana w tym zderzeniu. W układzie w którym obie cząstki się poruszają: ( ) γ 0 Mc 2 = 2(γ u mc 2 2m ) = 2 1 m 1 u 2 1 u 2 W układzie w którym prawa cząstka spoczywa: ( 1 + u γ v mc 2 + γ 0 mc 2 = γ u Mc u 2 ) m + m = ( ) 1 2m 1 u 2 1 u 2 Uwaga: Powyższe rozważania pokazują jedynie, że wielkości γmv i γmc 2 są zachowane w tych konkretnych procesach (zderzeniach cząstek). Na pytanie czy rzeczywiscie są zachowane może odpowiedzieć tylko eksperyment (akceleratory cząstek, obserwacje kosmologiczne,...). Nazwy pęd i energia stosujemy przez analogie do dynamiki Newtona. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 6 / 12

7 Dynamika relatywistyczna Przybliżenie nierelatywistyczne: E γmc 2 mc 2 ( = 1 v2 /c = 2 mc v 2 2 c v 4 ) 8 c Bardzo ważny związek energii i pędu: ( ) E 2 p 2 c 2 = γ 2 m 2 c 4 γ 2 m 2 v 2 c 2 = γ 2 m 2 c 4 1 v2 c 2 Dla fotonu (m = 0) mamy: E = pc = mc mv = m 2 c 4 Uwaga: Każda bezmasowa cząstka musi się poruszać z prędkością światła (musi być γ, aby energia E > 0). Znając pęd i energię cząstki znajdujemy jej prędkość: Ile wynosi mc 2 : } m = 1kg mc 2 = (1kg)( m/s) J 6000kWh/rok W s/rok = J/rok p E = v c 2 Anihilacja to najbardziej wydajny proces zamiany masy na energię / = lat M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 7 / 12

8 Transformacje Lorentza energii i pędu Niech cząstka w układzie S ma prędkość u, energię E oraz pęd p. Układ S porusza się w standardowej konfiguracji względem układu S z prędkością v. u = u + v 1 + u v S : E = γ u m oraz p = γ u mu S : E = γ u m = γ u γ v (1 + u v)m ( p = γ u mu = γ u γ v (1 + u v)m γ u = γ u γ v (1 + u v) u +v 1+u v ) = γ u γ v (u + v)m A więc transformacje energii i pędu dla pojedynczej cząstki mają postać: E = γ(e + vp ) p x = γ(p x + ve ) p y = p y p z = p z Czterowektor energii-pędu: p µ = mv µ = (γmc, γm v) = ( E c, p) Ogólne transformacje Lorentza dla energii i pędu (S i S poruszają się w standardowej konfiguracji ze wzgledną prędkością u): E = γ u (E u p) [ ] u p p = p + u u 2 (γ E u 1) γ u c M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 8 / 12

9 Masa niezmiennicza (inwariantna) Ze względu na liniowość TL są one słuszne również dla układu cząstek: E = γ ( E + v p ) p = γ ( p + v E ) A nawet dla dowolnej kombinacji liniowej energii i pędów. W szczególności widać, że jeśli zasada zachowania energii (ZZE) i pędu (ZZP) jest spełniona w jednym układzie inercjalnym, to jest też spełniona w każdym innym układzie inercjalnym. ZZP implikuje ZZE i na odwrót. Korzystając z czteropędu ZZEiP zapisujemy: Masa niezmiennicza: p pocz = p kon E 2 p 2 = γ 2 (E + vp ) 2 γ 2 (p + ve ) 2 = 1 ( = E 2 1 v 2 (1 v 2 ) p 2 (1 v 2 ) ) = E 2 p 2 W szczególności mamy: E 2 tot p 2 tot = E 2 CM M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 9 / 12

10 Zderzenie elastyczne cząstek Przykład: Cząstka o masie m i energii E zderza się elastycznie z identyczną cząstką znajdującą się w spoczynku, w taki sposób, że obie rozpraszają się pod kątami θ względem kierunku ruchu cząstki padającej. Wyrazić kąt θ poprzez E i m. Czteropędy cząstek przed zderzeniem: p 1 = (E, p, 0, 0) p 2 = (m, 0, 0, 0) p = E 2 m 2 E m m Czteropędy cząstek po zderzeniu: θ θ p 1 = (E, p cos θ, p sin θ, 0) p 2 = (E, p cos θ, p sin θ, 0) ( E + m ZZEiP pozwalają zapisać: p 1,2 =, p ) 2 2, ±p 2 tg θ, 0 ( ) ( ) 2 p 2 E + m ( p ) 2 1,2 = (1 + tg 2 θ) = m cos 2 θ = E 2 m 2 E 2 + 2Em 3m 2 = E + m E + 3m M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 10 / 12

11 Rozpad cząstki Przykład: Cząstka o masie M i energii E rozpada się na dwie identyczne cząstki. W układzie laboratoryjnym są one emitowane pod kątami π/2 i θ. Znaleźć energie powstałych cząstek. Czteropęd cząstki przed rozpadem: p 1 = (E, p, 0, 0) p = E 2 M 2 Czteropędy cząstek powstałych w wyniku rozpadu: p 1 = (E 1, 0, p 1, 0) p 2 = (E 2, p 2 cos θ, p 2 sin θ, 0) p 1,2 = E M E 2 1,2 m2 ZZP dla składowej x daje p 2 cos θ = p, natomiast składowe y muszą być przeciwnego znaku, co prowadzi do: p 1 = (E 1, 0, p tg θ, 0) p 2 = (E 2, p, p tg θ, 0) ZZE daje: E = E 1 + E 2 = p 2 tg 2 θ + m 2 + p 2 (1 + tg 2 θ) + m 2 Ostatecznie dostajemy: E 1 = E2 p 2 = M 2 2E 2E oraz E 2 = E2 + p 2 2E = 2E2 M 2 2E M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 11 / 12 θ

12 Jednostki w fizyce wysokich energii Przykład: (rozpad cząstki, cd.) p p 1 = p 2 p 2 2pp 1 + p 2 2 M 2 2EE 1 + m 2 = m 2 E 1 = M 2 2E E 2 = E2 +p 2 2E = 2E2 M 2 2E Jednostki w fizyce cząstek elementarnych: Energia spoczynkowa protonu: } E p = m p c 2 = ( kg)( m/s) J E 1 ev = ( C)(1 J/C) = p = 938 MeV J Mówimy, że masa protonu wynosi 938 MeV. m p = MeV, m n = MeV, m π = 137 MeV, m e = MeV,... 1MeV/c 2 = kg M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 4 12 / 12