ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas"

Transkrypt

1 ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas

2 Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia 2 wraz z dodawaniem macierzy i mnożeniem macierzy przez liczby rzeczywiste stanowi przestrzeń liniową Zadanie 2 Sprawdzić że podane zbiory W są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych V: a) W = (2x y y + z) R 2 : x y z R V = R 2 ; b) W = (x y z t) R 4 : x y = z t V = R 4 ; c) W = p R 2 [x : p() = p () V = R[x; d) W = A M 3 3 : A = A T V = M 3 3 Zadanie 3 Który z narysowanych niżej zbiorów jest podprzestrzenią liniową płaszczyzny? a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x f) y x g) y x h) y x Zadanie 4 Opisać wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni R 3 Zadanie 5 Określić które z podanych zbiorów U W X Y są podprzestrzeniami liniowymi wskazanych przestrzeni liniowych V: a) V = R 2 U = (x y) : x y W = (x y) : ln ( x 2 y 2) X = (x y) : 9x 2 + 2xy + 4y 2 = Y = (x y) : 3x 2 + 5xy 2y 2 = ; b) V = R 4 U = (x y z t) : 3 x = 2 y W = (xy y x ) : x y R X = (x y z t) : x 2 + z 6 = Y = (x x + y x y) : x y R ; c) V = R U = (x n) : lim x n = lub lim x n = n n W = (x n) : istnieje n N takie że x n = dla każdego n n X = (x n) : ciąg (x n) jest zbieżny lub stały Y = (x n) : x n+2 = x n + x n+ dla każdego n N ; d) V = R[x U = p : stopień wielomianu p jest równy 4 W = p : 2p(x) = p(2x) dla każdego x R X = p : p() = lub p () = Y = p : wielomian p jest funkcją parzystą ; e) V = C(R) U = f : funkcja f jest niemalejąca W = f : funkcja f jest różniczkowalna X = f : funkcja f jest stała na zbiorze N Y = f : f(x + y) = f(x)f(y) dla dowolnych x y R ; [ f) V = M 2 2 U = A : AA T = [ X a b = : abcd = Y = c d [ a b c d W = A : det A : a + c = b 2

3 Zadanie 6 Które z podanych zbiorów są podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni liniowych: a) W = (x y) R 2 : x 2 + y 2 = lub x = y W 2 = (x y) R 2 : x 2 + y 2 = i x = y V = R 2 ; b) W = (x y) R 2 : xy = i x = W 2 = (x y) R 2 : xy = lub x = V = R 2 ; c) W = (x y z) R 3 : x + 4y = i 3x z = W 2 = (x y z) R 3 : x + 4y = lub 3x z = V = R 3 ; d) W = (x y z t) R 4 : x = 2y lub x 2 = 4y 2 W 2 = (x y z t) R 4 : x = 2y i x 2 = 4y 2 V = R 4 ; e) W = W 2 = (x n) R : lim x n istnieje i n (x n) R : lim x n istnieje lub n f) W = p R[x : p() = p() = lub W 2 = p R[x : p() = p() = i lim x n = n lim x n = n V = R ; wielomian p ma co najmniej dwa miejsca zerowe wielomian p ma co najmniej dwa miejsca zerowe V = R[x; g) W = f C(R) : istnieje f na R i f jest funkcją stałą ; W 2 = f C(R) : istnieje f na R lub f jest funkcją stałą ; V = C(R)? Zadanie* 7 Uzasadnić bezpośrednio z definicji przestrzeni liniowej że a) istnieje tylko jeden wektor zerowy; b) istnieje tylko jeden wektor przeciwny do każdego wektora; c) α = dla każdego α R Lista druga Zadanie 2 Wektory (3 2 5) ( ) przedstawić na wszystkie możliwe sposoby jako kombinacje liniowe wektorów: a) (3 2 5) ( ); b) (3 2 5) ( ) ( 5 2); c) ( 2 3) ( ) ( 2 ); d) ( 2 3) ( ) ( 2 ) Zadanie 22 Zbadać z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: a) ( 4) (2 3) ( ) (5 6) w przestrzeni R 2 ; b) ( 2 3) ( ) ( 2 ); ( 2 3) ( ) ( 2 ) w przestrzeni R 3 ; c) 3 x 4 + x 2x + 3; 2 x 3 3x + 2 x 2 + x w przestrzeni R[x; d) cos x cos 2x cos 2 x; x cos x e x w przestrzeni C(R); e) [ 2 3 [ 2 f) I A A 2 dla A = [ 2 [ [ 2 w przestrzeni M ; w przestrzeni M 2 2 Zadanie 23 Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinację liniową pozostałych: a) ( 2 3) (2 3 4) ( ) w przestrzeni R 3 ; b) x 4 x 3 + x 2 x + x 3 + x 2 + x x 3 x 2 + x x 4 + x 3 + x 2 + x + w przestrzeni R 4 [x; ( ) ( ) π π c) sin x sin 2 x sin 3 x w przestrzeni C(R); d) arc sin x arc cos x w przestrzeni C ([ ) Zadanie 24 Wektory u v w x są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V Zbadać liniową niezależność wektorów: 3

4 a) u + v v + w u + w; b) u u + v u + v + w u + v + w + x; c) u v v w w; d) u v v w w x x u; e) u 3 v + 5 w 2 u + v + 3 w 3 u + 2 v + 4 w; f) 2 u + 3 v + w u + 2 v + x 4 u + 7 v + w + 2 x Zadanie 25 Niech V będzie przestrzenią liniową a u v w x wektorami z tej przestrzeni Uzasadnić że jeżeli wektory: a) u v w są liniowo zależne to wektory u v w x też są liniowo zależne; b) u v są liniowo niezależne a wektory u v w liniowo zależne to wektor w jest kombinacją liniową wektorów u v; c) u v w są liniowo niezależne i wektor x nie jest kombinacją liniową tych wektorów to wektory u v w x są liniowo niezależne; d) u v w są liniowo niezależne a wektory u v w x są liniowo zależne to wektor x jest kombinacją liniową wektorów u v w e*) Co można powiedzieć o liniowej niezależności wektorów u + v u + w v w jeżeli wektory u v w są liniowo zależne? Zadanie 26 Uzasadnić liniową niezależność podanych nieskończonych układów wektorów z odpowiednich przestrzeni liniowych: a) ( ) ( ) ( ) R ; b) x x 2 R[x; c) p n R[x : p n (x) = xn x dla x n N R[x; d*) cos x cos 2x C(R); e*) e tx : t R C(R) Zadanie 27 Uzasadnić że dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory w przestrzeni R 3 są liniowo niezależne Lista trzecia Zadanie 3 Opisać (geometrycznie lub słownie) zbiory lin A dla: a) A = (5 4) ( 2 8) R 3 ; b) A = x + 3 x(x + 3) x 2 (x + 3) x 3 (x + 3) R[x; [ [ [ 2 c) A = 3 M 3 3 ; 2 3 d*) A = ( ) ( ) ( ) R Zadanie 32 Wyznaczyć generatory podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x y z) R 3 : 4x y + 2z = ; b) V = (2r + s t t u r + 3s + u s + u t u) : r s t u R ; c) V = (x y z t) R 4 : x y = y z = z t ; d) V = p R 3 [x : p() + p(2) = p(3) + p () Zadanie 33 Sprawdzić z definicji czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych: a) B = (2 5) (3 ) (6 7) R 2 ; b) B = (2 3 ) ( 3 2) R 3 ; c) B = ( 4) (3 ) (2 2) R 3 ; d) B = 2x + 4 3x x 2 2x 2 + 4x 4 R 2 [x 4

5 Zadanie 34 Wektory u v w tworzą bazę przestrzeni liniowej V Zbadać z definicji czy podane zbiory wektorów też są bazami przestrzeni V : a) u 2 v + w 3 u + w u + 4 v w; b) u 2 u + v 3 u v + 4 w Zadanie 35 Dla jakich wartości parametru p R podane zbiory wektorów stanowią bazy odpowiednich przestrzeni R n : a) B = (p 2 p) (3 2 + p) R 2 ; b) B = ( 3 p) (p p) ( 2 ) R 3 ; c) B = ( ) ( p 2 3) ( p ) ( p ) R 4 ; d*) B = ( ) (p ) (p p ) (p p p ) R n? Zadanie 36 Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x + y + z x y x z y z) : x y z R ; b) V = (a + 2b + c 3a b + 2c 5a + 3b + 4c) : a b c R ; c) V = (x y z t) R 4 : 2x y = z t = ; d) V = p R 4 [x : p(2x) = 4xp (x) + p() ; e) V = A = [a ij M 3 4 : a ij = dla i j ; f) V = lin e x e x sh x ch x przy czym V C(R) Zadanie 37 Znaleźć bazy podanych przestrzeni liniowych zawierające wskazane zbiory wektorów: a) ( 5 3) R 3 ; b) ( ) (2 3 2) (3 3 2 ) R 4 ; c) 2x 3 x 3 + 4x R 3 [x; d) x x 2 3x x 4 2x 3 R 4 [x; e*) + x 2 + x 2 + x 4 + x 2 + x 4 + x 6 R[x Lista czwarta Zadanie 4 Znaleźć z definicji współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych: a) v = ( 4) R 2 B = ( 5) ( 6) ; b) v = (8 7 5) R 4 B = ( ) ( ) ( ) ( ) ; c) p = x 2 3x + 3 R 2 [x B = x 2 + 3x x 2 + x + 3 2x 2 x 2 ; d) A = [ M 2 2 B = [ [ 4 [ [ Zadanie 42 Wyznaczyć współrzędne wektora v w podanej bazie B pewnej przestrzeni liniowej mając dane jego współrzędne w bazie B : a) [4 3 B = b b 2 B = 2 b b 2 b + 2 b 2 ; b) [ 2 B = x x + x 2 + B = + x 2 x + x 2 ; c*) [ 2 n B = b b 2 b n B = b b 2 b 2 b 3 b n b n b n Zadanie 43 Obliczyć współrzędne wskazanych wektorów w wybranych bazach podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x 5y x + y 2x + y x + y) : x y R v = ( ); b) V = (x y z t) R 4 : x 2y = y 2z = v = ( ); c) V = p R 3 [x : p() = p() q = 2x 3 x 2 x + 5; d) V = A = [a ij M [ 2 2 : a + a 22 = B =

6 Zadanie 44 Zbadać obliczając odpowiednie wyznaczniki czy podane zbiory wektorów są bazami podanych przestrzeni liniowych: a) u = (2 4 5) v = ( ) w = ( 7 2) V = R 3 ; b) p = x 3 + x 2 + x q = x 3 + x 2 x r = x 3 x 2 x s = x 3 + x 2 + x + V = R 3 [x; [ [ [ [ c) A = B 2 = C = D = V = M Zadanie 45 Znaleźć takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych w których wskazane wektory mają podane współrzędne: a) v = (2 3) R 3 [ ; b) v = ( ) V V = (x y z t) R 4 : x = t x 3y + 2z = [2 2; c*) v = ( ) R n [ Zadanie 46 Napisać macierze przejścia z bazy B do bazy B odpowiedniej przestrzeni liniowej: a) V = R 3 B = ( ) ( ) ( ) B = ( ) ( ) ( ) ; b) V = R 2 [x B = x 2 x B = 3x 2 x 2x 2 + x x 2 + 5x 6 Zadanie 47 Wykorzystując macierze przejścia z baz standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych do baz danych znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach: a) V = R 2 v = ( ) B = (4 ) ( 2 3) ; b) V = R 3 v = (2 4 7) B = ( 2 3) (2 4) ( 3 6) ; c) V = R 3 [x p = 2x 3 x 2 + B = 2x 3 + 3x 2 + 2x + 2x 3 + x + x 2 + 2x + 2x 2 + x + Zadanie 48 Wektor v ma w bazie b b 2 b 3 współrzędne [ 2 Stosując macierz przejścia z bazy do bazy obliczyć współrzędne tego wektora w bazie: a) b + b 2 b 2 + b 3 b + b 3 ; b) 2 b + b 2 3 b 3 3 b + 2 b 2 5 b 3 b b 2 + b 3 Lista piąta Zadanie 5 Znaleźć z definicji rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni: [ [ [ a) ; b) 2 2 ; c) ; d) ; e) ; f) Zadanie 52 Wykonując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy: [ [ a) 2 3 ; b) ; c) ; d) ; 9 2 e) ; f*)

7 Zadanie 53 Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy: a) ; b) ; c) A = [a ij jest macierzą wymiaru 5 7 gdzie a ij = i + j dla i 5 j 7; d) B = [b ij jest macierzą wymiaru 6 6 gdzie b ij = i 2 j dla i j 6 Zadanie 54 Stosując algorytm Chió obliczyć rzędy podanych macierzy: a) ; b) ; c) Zadanie 55 Znaleźć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p: [ [ [ p p 2 p p a) 3 p 3 ; b) p ; c) p 2 p ; 2p p 3 p p p d) [ p p p p p p ; e) ; 3 p 3 p p p p p p p f*) p 2 2p p 2 2p 2 p 4 4 p 2 2p 2 p 2 p 4 Zadanie 56 Zbadać liniową niezależność podanych wektorów we wskazanych przestrzeniach liniowych analizując rzędy macierzy ich współrzędnych w odpowiednich bazach: a) ( ) ( ) ( ) ( ) w przestrzeni R 3 ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) w przestrzeni R 5 ; c) x 4 x 2 + x x 4 + 2x 3 + x 2 + x 3 + x + w przestrzeni R 4 [x; d) [ 2 3 [ [ 2 [ 3 w przestrzeni M 2 2 Zadanie 57 Wektory w x y z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne Zbadać przy pomocy rzędów odpowiednich macierzy liniową niezależność podanych wektorów: a) w x + z w + 2 x + y + 3 z 4 x + 3 y + z; b) 7 w + 9 x + 2 y + 8 z 2 w 9 x + 24 y + 24 z 7 w + 27 x 8 z Zadanie 58 Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych: a) (2 ) ( 2) (3 3 4) (5 2 5) ( ) R 3 ; b) wektory wierszowe macierzy R 4 ; c) x 3 + 2x 2 + x x 2 x + x 3 + x 2 x 3 x 2x 2 R 3 [x; [ [ [ [ d) M Zadanie 59 Wektory w x y z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne Określić wymiary podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów w zależności od parametru rzeczywistego p: a) 2p w 2 x + p y + 3 z 4 w p x + 2 y + (p + ) z 2 w x + y + 3 z; b) x y + p z p x p 2 y + z p 2 x p y + p z 7

8 Lista szósta Zadanie 6 W podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów: x + y + z = 2x y = 3 x + 2y + 3z = x + y = 4 a) ; b) ; 2x + 3y + 4z = 2 4x + 8y = 3x + 2y + z = 3 x + 4y = 5x 3y z = 3 x y + 2z t = 2x + y z = c) ; d) 2x 3y z + t = ; 3x 2y + 2z = 4 x + 7y t = 4 x y 2z = 2 x 3y + 2z = 7 e) x t = 2 x 3y + 2z + 2t = 3 Zadanie 62 Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych które mogą być parametrami określającymi rozwiązania podanych układów równań liniowych: a) c) x y + z = 2x + 2y 2z = 3 3x + y z = 2 ; b) x 3y + z 2s + t = 5 2x 6y 4s + t = 2z + t = x + 2y + 3z + 4t = x + 8y + z + 2t = 5 2x y z = 4 Zadanie 63 Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p: (p + )x + (2 p)y = p (p + )x y + pz = a) ( 3p)x + (p )y = 6 ; b) (3 p)x + 4y pz = 4 ; px + 3y = 3 px + y + 2z = 2x + py + pz + pt = 2x + 2y + pz + pt = 2 c) x + py + 2z = ; d) x + y + 2pz = 2x + 2y + 2z + pt = 3 2x + 2y + 2z + 2t = 4 x + (p 2)y 2pz = 4 e) px + (3 p)y + 4z = ( + p)x + y + 2(2 p)z = 7 Zadanie* 64 Rozwiązać podane układy równań liniowych w zależności od wartości rzeczywistego parametru p : px + 3y + z + t = px + y + pz = x + y + z = a) 2x pz + t = 2 ; b) 7x + py 5z + pt = p (2 p)x + (2 p)y + z = px + y + pz = p 2 Zadanie* 65 Rozwiązać podane układy równań liniowych dla n 2 w zależności od parametru rzeczywistego p : x + px px n = px + px px n = p px + x px n = x + px px n = p a) ; b) px + px x n = x + x px n = p Zadanie 66 W wytwórni montuje się wyroby A B C D E z czterech typów detali a b c d Liczby detali wchodzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w tabeli A B C D E a 2 4 b c d 2 3 a) Czy można obliczyć ile ważą wyroby D i E jeżeli wyroby A B C ważą odpowiednio 2 2 i 9 dag Podać znalezione wagi 8 ;

9 b) Ile ważą detale a b c jeżeli detal d waży dag? Lista siódma Zadanie 7 Znaleźć wymiary i wyznaczyć bazy przestrzeni rozwiązań podanych układów równań liniowych: a) 2x y + 5z + 3t = ; b) x + 2y = 2x y = x + z + t = ; c) x + y = y + z = z + t = t + x; d) x + y = y + z = z + s = s + t = t + y = ; x 3y z t = x + 2y + z = 2x + y + z + t = 3x y + t = e) ; f) 3x + 2y z = 4x + y + z + t = 6x + 2y z = 5x + 3y + 2z + t = Zadanie 72 Czy przestrzenie rozwiązań podanych układów równań liniowych są generowane przez wskazane wektory odpowiedź uzasadnić: a) b) c) 4x + y z + s 2t = x y + z s 3t = 3x y + z s 5t = x 3y + z + t = 2x + y + z 7t = x y z 5t = 2x + 2y z + s = 5x + 6y + z + 2s + t = 9x + y z + 4s + t = u = (2 4 2) v = ( 5 2 ); u = (4 2 ); u = ( 3 4 ) v = ( 5 ) w = (2 2 )? Zadanie 73 Wyznaczyć zbiory rozwiązań podanych niejednorodnych układów równań liniowych zgadując jedno z tych rozwiązań oraz znajdując przestrzenie rozwiązań odpowiadających im układów jednorodnych: a) c) 3x + 4y 7z = x 7y + z = 5 x 2y + 3z = 2 ; b) 6x + 2y + 3z = 2 4x + 2y z + 3t = 2 ; x + 4y + 2z + 3t = 4 x + y + z + t + u = 5 3x + 2y + z + t 3u = 4 ; d) 6x 7y + z = 3 2x + 4y 2z = 6 Zadanie 74 Zinterpretować geometrycznie zbiory rozwiązań podanych układów równań: liniowych: 4x 2y + 8z = 6 3x 7y z = 4 x 2y + 3z = a) 2x y + 4z = 3 ; b) 6x + 3y 2z = 9 x 3y 7z = 6 3x 6y + 9z = 3 Zadanie* 75 Dla jakich wartości parametrów a b c R zbiory rozwiązań podanych układów równań liniowych przedstawiają geometrycznie podane zbiory: a) ax + by = a 2 b + ab ax by = a 2 punkt prosta płaszczyzna; + b ab (a + b)x + (a + b + )y = 2a + b) punkt prosta płaszczyzna; (a b + )x + (a b)y = 4a 2 c) d) x ay bz = ab x ay + bz = 2ab punkt prosta płaszczyzna przestrzeń; x ay + bz = 3ab ax + by + cz = ab ax + by + cz = ab punkt prosta płaszczyzna przestrzeń? ax + by cz = bc Zadanie 76 Ułożyć układy równań liniowych o podanych zbiorach rozwiązań: 9

10 a) prosta w R 3 o równaniu parametrycznym x = 4 + t y = 3 2t z = 5 gdzie t R; x = s + t + u b) płaszczyzna w R 3 o równaniu y = 2 s + 2t + 3u gdzie s t u R; z = 3 + s + 3t + 7u c) ( + 2t 3 4t 5 + 6t 7 8t) : t R ; d) ( + s t 2 + s + t 3 s + 2t s + 2t 2s t) : s t R ; e) (4 + 2s t s + 3t 2 + s u 4 s + 2u) : s t u R ; f) (s + 2t u + v + s + u 3v) : s t u v R Lista ósma Zadanie 8 Uzasadnić liniowość wskazanych przekształceń przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 2 L(x y z) = (x + y 2x y + 3z); b) L : R 2 R 2 L jest obrotem o kąt π wokół punktu ( ); 2 c) L : R 3 R 3 L jest symetrią względem płaszczyzny yoz; d) L : R[x R 3 (Lp)(x) = p(t) dt p (2) p (3) dla p R[x; e) L : C(R) R 2 [x (Lf)(x) = x 2 f(2) + xf() + f() dla f C(R) Zadanie 82 Uzasadnić że podane przekształcenia przestrzeni liniowych nie są liniowe: a) L : R R L(x) = (x + )(x ); b) L : R 2 R 2 L(x y) = (3x + 2y 2x 3y); c) L : R 2 R 2 L jest symetrią względem prostej x + y + 2 = ; d) L : R 3 R 3 L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę x y + z = ; e) L : R[x R[x (Lp)(x) = p(x)p (x); f) L : C(R) C(R) (Lf)(x) = sin f(x) Zadanie 83 Napisać wzory wszystkich przekształceń liniowych L : M 2 2 R Zadanie 84 Przekształcenie liniowe L : R 3 R 2 przeprowadza wektor x = (2 ) na wektor u = (4 5) oraz wektor y = ( 3 2) na wektor v = ( 6 ) Znaleźć obraz wektora z = (5 6 ) w tym przekształceniu Czy przy tych danych można znaleźć wektor L(4 5)? Zadanie 85 Znaleźć jądra i obrazy podanych przekształceń liniowych posługując się ich interpretacją geometryczną Porównać uzyskane odpowiedzi z wynikami obliczeń algebraicznych: a) L : R 2 R 2 jest rzutem prostokątnym na prostą l : y = x; b) L : R 2 R 2 jest jednokładnością względem punktu ( ) w skali k = 2; c) L : R 3 R 3 jest symetrią względem płaszczyzny xoy; d) L : R 3 R 3 jest rzutem prostokątnym na prostą l : x = y z = ; e) L : R 3 R 3 jest obrotem o kąt π wokół osi Oy 6 Zadanie 86 Wyznaczyć jądra obrazy oraz ich bazy podanych przekształceń liniowych: a) L : R 3 R 2 L(x y z) = (x + y y + z); b) L : R 3 R 4 L(x y z) = (2x y + z x + 2y z x + 3y 2z 8x + y + z); c) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = ( x 2 + x ) p(2) + ( 3x 2 x ) p() Zadanie 87 Podać wymiary jąder i obrazów następujących przekształceń liniowych:

11 a) L : R 4 R 3 L(x y z t) = (x+y+z t 2x+y z+t y+3z 3t); b) L : R 5 R 3 L(x y z s t) = (x + y + z y + z + s z + s + t); c) L : R 4 R 4 L(x y z t) =(x 2y+3z 4t 3x+5z+2t x+y+z+3t 5x y+9z+t) Zadanie* 88 Skonstruować przykłady przekształceń liniowych mających podane jądra i obrazy: a) L : R 3 R 2 Ker L = (x y ) : x y R Im L = (x y) : x + y = ; b) L : R 3 R 2 Ker L = (x y z) : x+y+z = Im L = (x y) : x+3y =; c) L : R 3 R 2 Ker L = lin ( 2) ( ) Im L = (x y) : 2x = 3y; d) L : R 4 R 4 Ker L = Im L = (x y z t) R 4 : 2x z = 3y t = ; e) L : R 2 [x R 2 [x Ker L = lin x Im L = lin + x + x 2 Zadanie* 89 Niech X Y będą przestrzeniami liniowymi Uzasadnić że dla dowolnych podprzestrzeni U V odpowiednio przestrzeni X Y spełniających zależność istnieje przekształcenie liniowe L : X Y takie że dim U + dim V = dim X < KerL = U oraz Im L = V Lista dziewiąta Zadanie 9 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 4 L(x y z) = (x + y x + z y z y + 2z); b) L : R 2 R 3 L(x y) = (4x + 3y x 2y 3x + 5y); c) L : R 3 R 3 L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę π : x+2y+4z =; d) L : R 3 R 3 L jest obrotem o kąt π wokół osi Ox; 4 e) L : R 2 R 2 [x (L(a b))(x) = (a + b)x 2 + (3a b)x + 6a Zadanie 92 Znaleźć z definicji macierze podanych przekształceń liniowych we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y y z z x) u = v = ( ) u 2 = v 2 = ( ) u 3 = v 3 = ( ); b) L : R 4 R 2 L(x y z t) = (x + y z + t) u = ( ) u 2 = ( 2 ) u 3 = ( 2 3 ) u 4 = ( 2 3 4) v = ( ) v 2 = ( 2); c) L : R 4 R 3 L(x y z t) = (x+2z+t 2x+y 3z 5t x y+z+4t) u = ( ) u 2 = ( ) u 3 = ( ) u 4 = ( ) v = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ); d) L : R 2 R 2 L jest rzutem prostokątnym na oś Ox u = ( 2) u 2 = (2 3) v = (2 ) v 2 = (3 2); e) L : R 3 R 3 L jest przekształceniem identycznościowym tj L(x y z) = (x y z) u = ( ) u 2 = ( ) u 3 = ( ) v = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ); f) L : R [x R 2 [x (Lp)(x) = x 2 p (x) p = 2x + 3 p 2 = 3x 4 q = x 2 + x q 2 = x + q 3 ; g*) L : R n[x R n [x (Lp)(x) = p (x + ) p q p k = q k = xk k! dla k n p n = xn n! Zadanie 93 Macierz przekształcenia liniowego L : U V ma w bazach u u 2 v v 2 v 3 przestrzeni liniowych

12 U V postać A L = [ Wyznaczyć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu: a) u = 2 u + 3 u 2 ; b) u = 6 u u 2 Zadanie 94 Dla podanych przekształceń liniowych przestrzeni R ( 2 R 3) naszkicować zbiory D oraz L(D) i porównać ich pola (objętości) jeżeli: a) L : R 2 R 2 L(x y) = ( 2x 3y) D = (x y) R 2 : x + y ; b) L : R 2 R 2 L(x y) = (x + 2y 2x + y) D = [ 2 [ ; c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (3x 3y z) D = (x y z) R 3 : x 2 + y 2 4 x 2 + y 2 z 2 Zadanie 95 Rozwiązać ponownie Zadanie 92 stosując tym razem wzór na zmianę macierzy przekształcenia liniowego przy zmianie baz wychodząc od baz standardowych rozważanych przestrzeni liniowych Zadanie 96 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych L : U U w podanych bazach przestrzeni U Wykorzystać wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy: a) L(x y) = (x + 3y y 3x) U = R 2 u = (2 ) u 2 = ( 3); b) L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę xoz U = R 3 u = ( ) u 2 = (2 3 2) u 3 = ( 3); c) (Lp)(x) = x 2 p() + xp () U = R 2 [x p = x 2 + x + p 2 p 3 = x + Zadanie 97 Przekształcenie liniowe L : U V ma w bazie u u 2 przestrzeni liniowej U i w bazie v v 2 v 3 przestrzeni liniowej V macierz Napisać macierz A przekształcenia L w bazach 3 u + 2 u 2 u + u 2 i v v 3 3 v 2 2 v v 3 odpowiednio przestrzeni U i V A = [ Zadanie* 98 Skonstruować (o ile to możliwe) takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych w których podane przekształcenia liniowe mają wskazane macierze: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (x y) A = [ 3 ; 2 b) L : R 2 R 3 L(x y) = (x + y 2x y x 3y) A = c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y z) A = d) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y z) A = [ 2 2 [ ; [ 5 5 ; 2 3 e) Czy w przykładach a) i c) bazy dziedziny i obrazu przekształcenia L mogą być te same? ; Zadanie* 99 Napisać wzór jednego z przekształceń liniowych będących obrotem w przestrzeni R 3 o kąt α wokół prostej x = at y = bt z = ct t R a 2 + b 2 + c 2 > 2

13 Lista dziesiąta Zadanie Napisać macierze w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych przekształceń L 3 L 2 L oraz (L 2 ) 2 L jeżeli: a) L : R 3 R 2 L (x y z) = (x y + z 2y + z) L 2 : R 2 R 2 L 2 (x y) = (2x + y x y) L 3 : R 2 R 4 L 3 (x y) = (x y y x 2x 2y); b) L : R 2 R 2 [x L (a b) = ax 2 + bx + a b dla (a b) R 2 L 2 : R 2 [x R 2 [x (L 2 p) (x) = xp ( x) dla p R 2 [x L 3 : R 2 [x R 2 (L 3 p) (x) = ( p() p (2) ) dla p R 2 [x Zadanie 2 Niech J K L będą przekształceniami przestrzeni R 3 w siebie przy czym J jest symetrią względem osi Oz K jest symetrią względem płaszczyzny xoz L jest obrotem o kąt π wokół osi Oy Napisać macierze w bazie standardowej 2 przestrzeni R 3 przekształceń liniowych będących złożeniami J K i L we wszystkich sześciu możliwych kolejnościach Zadanie 3 Dla tych spośród podanych przekształceń liniowych które są odwracalne napisać macierze i wzory przekształceń odwrotnych: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (3x 2y 4x 3y); b) L : R 3 R 3 L(x y z) = (y + 2z x + y + z 2x + 3y + 2z); c) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = p(2x) 4p(x) dla p R 2 [x; d) L : R 3 [x R 3 [x (Lp)(x) = x 3 p () + p(2x) dla p R 3 [x Zadanie 4 Macierz przekształcenia liniowego L : U U ma w bazie u u 2 u 3 przestrzeni liniowej U postać [ 3 A = 2 2 Znaleźć: a) L 3 ( u 2 u 2 + u 3 ) ; b) L ( 3 u + u 2 u 3 ) Zadanie 5 Dla podanych liniowych przekształceń płaszczyzny R 2 i przestrzeni R 3 znaleźć wartości własne i wektory własne wykorzystując interpretację geometryczną tych przekształceń: a) symetria na płaszczyźnie względem punktu ( ); b) rzut prostokątny w przestrzeni na oś Oz; c) rzut prostokątny w przestrzeni na prostą l : x = y = z; d) rzut prostokątny w przestrzeni na płaszczyznę π : x + y + z = ; e) symetria w przestrzeni względem płaszczyzny xoy; f) symetria w przestrzeni względem prostej l : x + y = z = Sprawdzić otrzymane wyniki algebraicznie Zadanie 6 Znaleźć wartości i wektory własne podanych liniowych przekształceń rzeczywistych przestrzeni liniowych: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (4x + 2y y x); b) L : R 2 R 2 L(x y) = (2x + y 4y x); c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x 2x + 2y x y z); d) L : R 3 R 3 L(x y z) = (3x y 6x 2y 2x y + z); e) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = p (x); f) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = 2xp (x) + x 2 p() + p(2) Zadanie 7 Wyznaczyć wartości własne i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych: a) L : C 2 C 2 L(x y) = (3x y x 3y); b) L : C 2 C 2 L(x y) = (( 2i)x + 5y ( + i)x ( 3i)y); 3

14 c) L : C 3 C 3 L(x y z) = (z 3y x); d) L : C 3 C 3 L(x y z) = ( ix 2z y 2x iz) Lista jedenasta Zadanie Podać wszystkie możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających podane warunki: a) L 2 = L; b) L 3 = I Zadanie 2 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych przestrzeni R 2 lub R 3 w bazach ich wektorów własnych (o ile takie bazy istnieją): a) L(x y) = (x + 4y 2x + 3y); b) L(x y) = (5x 3y 3x y); c) L(x y z) = (x z x + 2y + z z x); d) L(x y z) = ( x 3y 2z x + y + 2z x + 3y + 2z) Zadanie 3 Przekształcenie liniowe L : R 2 R 2 przeprowadza wektory ( ) ( ) odpowiednio na wektory ( ) (3 3) Obliczyć L 5 (5 ) Zadanie 4 Przekształcenie liniowe L : R 3 R 3 spełnia warunki Obliczyć: a) L(x y z) dla (x y z) R 3 ; b) L 5 (2 3 6) L( ) = ( ) L(2 2 ) = ( ) L( ) = ( ) Zadanie 5 Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych: [ [ [ 3 [ 4 5 a) 2 2 ; b) ; c) ; d) e) [ 3 3 ; f) 8 3 [ 4 4 ; g) 2 2 ; 2 [ ; h) Zadanie 6 Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych: [ [ [ 3 4 a) ; b) i ; c) ; i 3 [ [ [ 6i i i i i 2 d) i ; e) ; f) 4 i 5i i Lista dwunasta Zadanie 2 Sprawdzić że podane funkcje ( ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) ( x y ) = 2x y x y 2 x 2 y + x 2 y 2 dla x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; b) ( x y ) [ [ 4 y = [x x 2 dla x = (x y x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; 2 c) ( x y ) [ [ 2 y = [x x 2 x 3 y 2 dla x = (x x 2 x 3 ) y 3 y = (y y 2 y 3 ) R 3 ; n+ d) (p q) = p (x i ) q (x i ) dla p q R n[x gdzie x < x 2 < < x n+ ; e) (f g) = i= (x + )f(2x)g(2x) dx dla f g C ([ 2 2) 4

15 Zadanie 22 Uzasadnić dlaczego podane funkcje ( ) nie są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) ( x y ) = 2x y + 3x y 2 x 2 y + 5x 2 y 2 dla x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; b) ( x y ) [ [ 2 y = [x x 2 x 3 4 y 2 dla x = (x x 2 x 3 ) 3 8 y 3 y = (y y 2 y 3 ) R 3 ; c) (p q) = p()q() p(2)q(2) dla p q R [x; n d) (p q) = p (x i ) q (x i ) dla p q R n[x gdzie x < x 2 < < x n; e) (f g) = f) (f g) = i= b a f(x)g(x) dx dla f g C ([a b); ( ) f(x)g 2 x dx dla f g C ([ ) Zadanie 23 W przestrzeni euklidesowej E 4 : a) obliczyć normę wektora ( 2 3); b) zbadać ortogonalność wektorów ( 4 2) (3 2 ); c) obliczyć kąt między wektorami ( 3 ) (3 ); d) opisać zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego z wektorów (2 ) ( 2 ) i wskazać jeden wektor z tego zbioru o normie równej 2; e) podać przykład wektora unormowanego tworzącego z wektorem ( 2 2) kąt 2π 3 Zadanie 24 Obliczyć kąt jaki tworzą wektory p = x + q = x 2 w przestrzeni euklidesowej R 2 [x z podanymi iloczynami skalarnymi: a) (p q) = p()q() + p(2)q(2) + p(3)q(3); b) (p q) = p()q() + p ()q () + p ()q (); c) (p q) = p(x)q(x) dx dla p q R 2 [x d*)wskazać taki iloczyn skalarny w przestrzeni R 2 [x dla którego wektory p q będą ortogonalne i unormowane Zadanie 25 W przestrzeni liniowej R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx : a) obliczyć ( x 2 ) x + oraz cosinus kąta między wektorami x + x ; b) podać przykład wielomianu możliwie najniższego stopnia ortogonalnego do każdego z wielomianów x x 2 ; c) dobrać stałą a tak aby wielomiany 3x 2 + ax oraz 2x 2 + 6x były ortogonalne Zadanie* 26 Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych uzasadnić że zachodzą nierówności: a) (ab + bc + ac) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) 2 dla dowolnych a b c R; b) ( x 3 + x ( ( n) x3 x 2 + x 2 2 n) + + x2 x 4 + x 4 2 n) + + x4 dla dowolnych x x 2 x n R; 2 4 c) f(x) dx f 2 (x) dx f 4 (x) dx dla dowolnej funkcji ciągłej f : R R 5

16 Lista trzynasta Zadanie 3 Sprawdzić że podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach: ( ) ( ) a) v = 3 v 2 = 3 u = (5 6) E 2 ; b) v = ( 3 2) v 2 = ( ) v 3 = (5 4) u = ( ) E 3 ; c) v = ( ) v 2 = (3 ) v 3 = ( 2 ) v 4 = ( ) u = ( 2 3 2) E 4 ; d) v = v 3 = ( 3 ( ) 3 ) 3 v 2 = v 4 = ( ( ) ) u = ( 2 3 4) E 4 ; e) p p 2 = 2 x p 3 = 6 3x x 2 q = x 2 + x + 3 w przestrzeni R 2 [x z iloczynem skalarnym wielomianów q = ax 2 + bx + c q 2 = a x 2 + b x + c określonym wzorem ( q q 2 ) = aa + (3a b) (3a b ) + (2b + c) (2b + c ) Zadanie 32 Uzasadnić ortonormalność podanych zbiorów funkcji w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) cos x sin x cos 2x sin 2x w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem 2π π π π π 2π b*)p p n = 2 n n! d n ( x 2 ) n dx n (f g) = f(x)g(x) dx; gdzie n N w przestrzeni R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx Zadanie 33 Zortogonalizować metodą Grama Schmidta podane wektory w odpowiednch przestrzeniach euklidesowych: a) (2 3) ( 6 2) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 x 3 ) y = (y y 2 y 3 ) zdefiniowanym wzorem [ [ ( ) 2 y x y = [x x 2 x 3 y 2 ; 2 y 3 c) (4 3 2 ) (4 3 2 ) (4 3 ) w przestrzeni E 4 ; d) ( ) ( 2 2 ) (3 ) w przestrzeni E 4 ; e) x + x sin x w przestrzeni C ([ ) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f g) = f(x)g(x) dx Zadanie 34 Znaleźć bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory: a) ( 2) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) w przestrzeni E 4 ; c) ( ) ( ) w przestrzeni E 4 ; d) ( 3 2) ( ) (5 4) w przestrzeni E 4 ; e) ( ) w przestrzeni E = (x y z t) E 4 : x + y = y + z = t ; 6

17 f) f w przestrzeni lin sin x sin 2 x gdzie x π z iloczynem skalarnym określonym wzorem π (f g) = f(x)g(x) dx Zadanie 35 Wyznaczyć bazy ortonormalne wskazanych przestrzeni euklidesowych i znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach: a) E = lin ( ) ( ) u = (3 2 ) E 4 ; b) E = lin ( ) ( ) ( ) u = ( ) E 4 ; c) E = (x y z t) E 4 : x + y + z = y = t u = ( 3 2 3) E 4 ; d) E = (2x + y + 5z y + z 2y x x + 2z) : x y z R u = (6 4 7 ) E 4 ; e) E = R 2 [x z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (p q) = p()q() + p()q() + p(2)q(2) p = x 2 + x + ; f) E = R 2 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) określonym wzorem ( ) [ [ x y 2 y = [x x 2 y 2 u = (3 2); g*)e = M 2 2 z iloczynem skalarnym macierzy A B ( zdefiniowanym wzorem (A B) = Tr AB ) T gdzie symbol [ Tr oznacza sumę wszystkich elementów z głównej przekątnej macierzy C 5 = 2 3 Zadanie* 36 Zortogonalizować metodą macierzową podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) ( 3) ( 4) ( 2 ) w przestrzeni E 3 ; b) ( 2 ) (4 2) w przestrzeni E 4 ; c) ( ) ( 2 ) ( 3 ) w przestrzeni E 4 Zadanie* 37 Stosując wyznacznikową metodę ortogonalizacji uzupełnić wskazane wektory do baz ortogonalnych odpowiednich przestrzeni euklidesowych: a) ( 4) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z bazą ortonormalną ( ) ( ) ( ) ; c) ( 3 ) w przestrzeni E 4 ; d) x + x 2 + 2x 3 w przestrzeni R 3 [x z bazą ortonormalną x x 2 x 3 ; e) 2 u 3 v + w w przestrzeni euklidesowej E z bazą ortonormalną u v w x y Zadanie* 38 Uzasadnić że wektory x x 2 x n tworzą bazę ortonormalną przestrzeni E n wtedy i tylko wtedy gdy macierz przejścia P z bazy standardowej do bazy tych wektorów spełnia warunek P T P = I Sprawdzić tę zależność dla baz ortonormalnych z Przykładu 3 oraz z Zadania 3 Zadanie* 39 Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą v v 2 v n Zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny tak aby była to baza ortonormalna Zadanie* 3 W podzbiorze l 2 = ł 2 R następującym wzorem x = (x n) R : x 2 n < przestrzeni liniowej R określamy funkcję ( ) : l 2 n= ( ) x y = x ny n n= a) uzasadnić że l 2 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R ; 7

18 b) wykazać że funkcja ( ) jest iloczynem skalarnym w l 2 ; c) wykazać że wektory e = ( ) e 2 = ( ) tworzą układ ortonormalny w l 2 ; d) czy wektory e e 2 tworzą bazę przestrzeni liniowej l 2? e) wykazać nierówność ( ) 2 ( ) ( ) x ny n n= n= n= o ile dwa ostatnie szeregi są zbieżne; f) podać przykłady wektorów z przestrzeni l 2 mających wszystkie składowe niezerowe i tworzących z wektorem kąty π 2 π 3 π 4 π x = x 2 n ( ) y 2 n 8

19 Lista czternasta Zadanie 4 Sprawdzić że podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzestrzeni przestrzeni euklidesowych: a) E = lin (2 3 ) ( 2 ) ( ) v = ( 2) E 4 ; b) E = R [x p = 6x 2 6x + w przestrzeni R 2 [x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx Zadanie 42 Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych: a) u = (3 ) E 3 E jest płaszczyzną π : 2x y + 3z = w E 3 ; b) u = (3 2 ) E 4 E = lin ( 2 2) ( ); c) u = ( ) E 4 E = lin ( ) ( 2); d) u = ( ) E 4 E = lin ( ) ( 2 ) ( 3 4); e) u = ( 2 3) E 4 f) f = x E = lin cos x w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [ 2π z iloczynem skalarnym określonym wzorem E = (x y z t) E 4 : x + y + 3t = y + z = x y + z 3t = ; (f g) = 2π f(x)g(x) dx; g) u = ( ) E = lin ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 x 3 ) y = (y y 2 y 3 ) określonym wzorem ( x y ) = 2x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 x y 3 x 3 y Zadanie 43 Wyznaczyć rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych: a) u = (2 3) E 3 E = lin ( 4 ); b) u = ( 2 ) E 4 E = lin (2 ) ( 2 ) ( 3); c) u = ( 2 n) E n E = lin ( ) ( ); d) p = x 2 x E = lin 2x w przestrzeni R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem e) f = cos 2x E = lin wzorem (p q) = p(x)q(x) dx; ( ) π sin x sin 2 + x w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym określonym (f g) = 2π f(x)g(x) dx; f) f = x E = lin cos x cos 2x cos nx w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym jak wyżej; g) f = x E = lin sin x sin 2x sin nx w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym jak wyżej Zadanie* 44 Stosując macierzowy wzór na rzut ortogonalny znaleźć rzuty ortogonalne w odpowiednich przestrzeniach E n podanych wektorów u na wskazane podprzestrzenie lin v v 2 v k : a) u = (3 5) v = ( 3 2) v 2 = ( 2 3); b) u = ( ) v = ( ) v 2 = ( ); c) u = ( 3) v = (2 ) v 2 = ( 2) v 3 = ( 2 ) Zadanie* 45 Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązania podanych układów równań: 9

20 x + y = 2 x + 2y = 3 a) x y = 2x + y = x + y + z = x y + z = ; b) x y z = x + y z = Zadanie 46 Niech u v będą ustalonymi wektorami przestrzeni euklidesowej E przy czym v Znaleźć wzór na rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń lin v Zadanie 47 Niech u v będą niezerowymi wektorami z przestrzeni euklidesowej E Znaleźć najkrótszy wektor postaci u + t v gdzie t R i wykazać że jest on ortogonalny do wektora v Zilustrować otrzymany wynik na płaszczyźnie Zadanie* 48 Niech E będzie przestrzenią euklidesową a E jej podprzestrzenią wymiaru: a) n = ; b) n = 2 Uzasadnić że wektorem z przestrzeni E leżącym najbliżej ustalonego wektora u E jest rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń E Zadanie* 49 Wykazać że kąt ϕ nachylenia prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych na płaszczyźnie R 2 i mającej najmniejsze średniokwadratowe odchylenie od n zadanych punktów (a i b i ) gdzie i = n jest dany wzorem tg ϕ = a b + + a nb n a a2 n 2

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo