15 Potencjały sferycznie symetryczne

Transkrypt

1 z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły nam do ilustracji podstawowych zasad i metod rachunkowych mechaniki kwantowej. Jednakże dopiero rozwiązania trójwymiarowego równania Schrödingera można porównywać z danymi doświadczalnymi. Dopiero na podstawie takich porównań można orzec o sukcesie mechaniki kwantowej w opisie mikroświata. Siły odpowiedzalne za istnienie atomów, to coulombowskie odziaływanie jądra z elektronami jeśli pominąć wzajemne odpychanie elektronów). Potencjał coulombowski ma symetrię sferyczną, dlatego pierwszym krokiem do rozwiązania równania Schrödingera z potencjałem V r) = V r) 5.) jest zapisanie operatora Laplace a we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ): = r ) + sin θ ) + r r r r sin θ θ θ r sin θ ϕ. 5.) Aby rozwiązać równanie Schrödingera z potencjałem o symetrii sferycznej wyseparujemy najpierw zależność kątową: ψ r) = ur) Y θ, ϕ). 5.3) Wówczas równanie Schrödingera, po pomnożeniu przez r, daje się zapisać jako: 0 = Y θ, ϕ) h m ur) h m r sin θ θ r ) r E V r)) ur) r sin θ ) + θ sin θ Y θ, ϕ). 5.4) ϕ 76

2 Mnożąc stronami przez m/ h i dzieląc przez u Y otrzymujemy dwa równania ˆL h Y θ, ϕ) = sin θ ) + sin θ θ θ sin Y θ, ϕ) = λy θ, ϕ), 5.5) θ ϕ r ) r m r r h E V r)) + λ ur) = ) Równanie 5.5) definiuje operator ˆL, który, jak się później okaże, odpowiada operatorowi momentu pędu i stałą separacji λ, która jest zarazem wartością własną operatora ˆL. Spodziewamy się, mając na uwadze nasze poprzednie doświadczenie z równaniem Schrödingera w jednym wymiarze, że odpowiednio nałożone warunki brzegowe wymuszą kwantyzację zarówno λ jak i E. 5. Część kątowa równania Schrödingera Zauważmy, że część kątowa nie zależy od potencjału V r) i w związku z tym jest identyczna dla wszystkich problemów o symetrii sferycznej. Operator ˆL jest operatorem Sturma Lioville a i dlatego rozwiązania problemu własnego 5.5) stanowią zupełny układ funkcji. Rozwiązania te znane są pod nazwą funkcji kulistych lub harmonik sferycznych. Dokładne wyprowadzenie szeregu własności tych funkcji można znaleźć w podręcznikach mechaniki kwantowej lub matematycznych metod fizyki; tu ograniczymy się do przypomnienia podstawowych wzorów, które będą użyteczne w dalszej części wykładu. 5.. Zależność od kąta ϕ Aby rozwiązać równanie 5.5) musimy przeprowadzić kolejną separację zmienych: Y θ, ϕ) = P θ) Φϕ). 5.7) Wówczas równanie 5.5) separuje się na dwa niezależne równania: sin θ d sin θ d ) dθ dθ d Φϕ) = ν Φϕ), 5.8) dϕ P θ) = λ P θ), 5.9) ν sin θ gdzie ν jest nową stałą separacji. Rozwiązania równania 5.8) mają postać: Φϕ) = A e imϕ + B e imϕ, dla ν = m 0, Φϕ) = A + B ϕ, dla ν = m = ) Aby funkcja Φ była jednoznaczna i ciągła na odcinku π, m musi być liczbą całkowitą, a w przypadku m = 0 stała B = 0. Stąd funkcje własne unormowane na odcinku od 0 do π przyjmują postać Φ m ϕ) = π e imϕ, m = 0, ±, ±, ) 77

3 Warto już w tym miejscu zauważyć, że funkcje Φ m własnych na odcinku 0 do π: tworzą zupełny układ funkcji π 0 dϕ Φ mϕ)φ n ϕ) = δ mn, Φ n ϕ)φ nϕ ) = δϕ ϕ ). 5.) n=0 5.. Zależność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 5.9) dla dowolnego ν = m, rozważymy przypadek z m = 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wielokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie dla dowolnego m. Najpierw jednak wprowadźmy nową zmienną x = cos θ. 5.3) W zmiennej x równanie 5.9) przyjmuje postać d ) x dp x) + λ m P x) = ) x Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać d 3 r = r dr sin θdθ dϕ = r dr dϕ. Wielomiany Legendre a. Choć dla interesujących nas przypadków fizycznych zmienna x zawarta jest w przedziale x, to równanie 5.4) rozwiążemy przy pomocy technik z dziedziny funkcji zespolonych. Naszym podstawowym żądaniem będzie, aby rozwiązania w obszarze fizycznym, t.j. dla rzeczywistych z z odcinka, nie miały żadnych osobliwości. Łatwo przekonać się, że dla m = 0 równanie 5.4) d ) z dp z) + λ P z) = 0 5.5) dz dz ma regularne punkty osobliwe w punktach z 0 = ±. Zatem zgodnie z teorią równań różniczkowych powinniśmy szukać rozwiązania w postaci szeregu potęgowego P z) = a n z z 0 ) n+α. 5.6) n=0 Podstawiając powyższy szereg do 5.5) znajdujemy, że α = 0, lub w ogólnym przypadku α = m /4. 5.7) 78

4 Oznacza to, że drugie rozwiązanie równania 5.5) zawiera lnz z 0 ), a zatem jest rozbieżne w z 0 i musimy go odrzucić. Podobnie dla m 0 drugie rozwiązanie jest rozbieżne jak /z z 0 ) m /. Szereg 5.6) ma promień zbieżności, a zatem jeśli dla ustalenia uwagi z 0 = to rozwiązanie to byłoby rozbieżne w punkcie z =. Dlatego, aby uzyskać pełne rozwiązanie w interesującym nas obszarze fizycznym, musimy rozwiązanie to przedłużyć analitycznie do obszaru zawierającego punkt z =. Oznacza to, że w jakimś pośrednim punkcie, np. w z = 0, który leży w obszarze zbieżności rozwiązań wokół z 0 = i z 0 =, szereg 5.6) musimy przedstawić jako kombinację liniową rozwiązania typu 5.6) wokół z 0 = oraz drugiego, liniowo niezależnego, rozwązania zawierającego lnz + ). A to oznacza, że rozwiązanie skończone wokół z 0 = zostało przedłużone analitycznie w rozwiązanie nieskończone dla z =. Takie rozwiązanie musimy jednak odrzucić jako niefizyczne. Jedynym wyjściem z tej sytuacji, podobnie jak to miało miejsce dla oscylatora harmonicznego, jest takie dobranie stałej λ, aby nieskończony szereg 5.6) urywał się dla pewnego n max. Wówczas nie mielibyśmy problemów ze zbieżnością szeregu, a otrzymany w ten sposób wielomian byłby dobrym rozwiązaniem w całym obszarze fizycznym. W praktyce program ten realizuje się szukając rozwiązania w postaci szeregu 5.6) wokó z 0 = 0. Podstawiając 5.6) do równania 5.5) otrzymujemy formułę rekurencyjną nn + ) λ a n+ = n + )n + ) a n. 5.8) Widzimy, że rozwiązania wielomianowe otrzymuje się jedynie gdy λ = ll + ), 5.9) gdzie l = 0,,,.... Ponadto widać, że ze względu na rekurencję, która łączy co drugi wyraz szeregu 5.6), mamy dwa typy rozwiązań: parzyste i nieparzyste. Wyrazy a 0 i a dobieramy tak, aby otrzymane przez nas wielomiany były unormowane w następujący sposób P l x)p k x) = l + δ lk. 5.0) Tak unormowane wielomiany ortogonalne na odcinku, nazywamy wielomianami Legendre a. Podamy teraz wygodny wzór, który pozwala wyliczyć wielomian Legendre a dowolnego stopnia: P l x) = d l x ) l. 5.) l l! l Kilka najniższych wielomianów Legendre a ma następującą postać: P 0 x) =, P x) = x, P x) = 3x ), P 3 x) = 79 5x 3 3x ). 5.)

5 Warto zapamiętać, że wielomiany Legendre a, dzięki przyjętej normalizacji 5.0) mają na brzegach przedziału fizycznego wartości lub : P l ) =, P l ) = ) l 5.3) zgodnie z parzystością wielomianu. Ponieważ wielomiany Legendre a tworzą zupełny układ funkcji na odcinku,, można za ich pomocą przedstawić operator jednostkowy: l + ) P l x)p l x ) = δx x ). 5.4) l=0 Na koniec podamy jeszcze, podobnie jak to zrobiliśmy w przypadku wielomianów Hermite a, funkcję tworzącą dla wielomianów Legendre a: F u, x) = = P l x) u l. 5.5) ux + u l=0 Aby udowodnić, że występujące w rozwinięciu 5.5) współczynniki P l x) są rzeczywiście wielomianami Legendre a, wystarczy wykazać, że są to wielomiany ortonormalne na odcinku, z normą zgodną z równaniem 5.0). W tym celu pomnóżmy dwie funkcje tworzące od różnych zmiennych i scałkujmy po : F u, x) F v, x) = ux + u vx + v = = = ) ) ln + uv ln uv uv uv ) k ) k+ + uv k + l=0 k=0 l + uv)l, 5.6) gdzie w ostatnim wzorze podstawiliśmy k = l. Z kolei, wyliczając tę samą całkę przy użyciu prawej strony wzoru 5.5) otrzymujemy F u, x) F v, x) = u l v k l,k=0 P l x) P k x). 5.7) Aby prawa strona 5.7) była równa prawej stronie 5.6) musi zachodzić równość 5.0). A zatem współczynniki P l x) są rzeczywiście wielomianami Legendre a. 80

6 Stowarzyszone wielomiany Legendre a. Aby rozwiązać równanie 5.4) dla dowolnego, całkowitego m, zauważmy najpierw, że rozumowanie, które doprowadziło nas do wniosku, że rozwiązaniami dla przypadku m = 0 są wielomiany, a nie nieskończone szeregi pozostaje w mocy. A zatem będziemy szukać rozwiązania równania d ) x dp x) + ll + ) m P x) = 0 5.8) x w postaci P x) = x) m / + x) m / Rx) = x ) m / Rx), 5.9) gdzie zgodnie z równaniem 5.7) wyseparowaliśmy potęgę z 0 ) α, natomiast Rx) są wielomianami. Podstawiając 5.9) do równania 5.8) otrzymujemy równanie na Rx): x ) R x) m + ) x R x) + l l + ) m m + ) Rx) = ) Przypomnijmy teraz równanie na wielomian Legendre a stopnia l: ) x P l x) x P l x) + l l + ) P l x) = ) Łatwo się przekonać, że różniczkując m -krotnie równanie 5.3) otrzymamy równanie 5.30), przy czym Rx) = d m m P lx). 5.3) Wielomiany Rx) można wyliczyć korzystając z równania 5.) Rx) = d l+ m x ) l. 5.33) l l! l+ m Zauważmy, że najwyższa potęga x rozwinięciu wyrażenia x ) l wynosi x l. Zatem każde różniczkowanie dwumianu x ) l powyżej l-tego daje zero. Wynika stąd, że: czyli, że dla danego l, m może przyjmować l + wartości: m l, 5.34) m = l, l +,..., 0,..., l, l. 5.35) Pełne rozwiązania równania 5.8) nazywamy stowarzyszonymi wielomianami Legendre a choć tak na prawdę dla nieparzystych m zawierają one pierwiastek z x )) i oznaczamy jako P m l x): P m l x) = x ) m / d l+ m x ) l. 5.36) l l! l+ m Funkcje te są są znormalizowane w następujący sposób P m l l + m )! x) = l m )! l ) 8

7 5..3 Funkcje kuliste Spróbujmy podsumować naszą dotychczasową dyskusję dotyczącą zależności kątowej rozwiązań równania Schrödingera z potencjałem o symetrii sferycznej. Rozwiązaniami równania 5.5) są funkcje Yl m θ, ϕ) przyjmujące postać: l + Yl m l m )! θ, ϕ) = ɛ m l + m )! P m l cos θ) e imϕ, 5.38) π gdzie faza ɛ m = ) m dla m > 0 i ɛ m = dla m 0. Warto wspomnieć, że istnieją w literaturze inne wybory faz funkcji kulistych np. Landau, Lifszyc). Jednak najważniejszym wynikiem naszej dotychczasowej dyskusji jest nie tyle wzór 5.38), co zakres zmienności indeksów l i m dany przez równania??) i 5.35): l = 0,,,..., m = l, l +,..., 0,..., l, l. Oznacza to, że wartości własne operatora momentu pędu są skwantowane, podobnie jak wartości własne ˆL z, których spektrum jest ograniczone przez relację 5.34). Funkcje kuliste, będące funkcjami własnymi ˆL i ˆL z układają się w multiplety o określonym l. Podajmy przykładowo kilka pierwszych funkcji kulistych: l = 0 Y 0 0 = 4π, l = l = Y 0 3 = cos θ, 4π Y ± = 3 sin θ 8π e±iϕ, Y 0 5 = 3 6π cos θ ), Y ± = ± Y ± = 5 sin θ cos θ 8π e±iϕ, 5 3π sin θ e ±iϕ. 5.39) 5.3 Część radialna równania Schrödingera Radialne równanie Schrödingera 5.6), po zdiagonalizowaniu ˆL przyjmuje postać r ) + m ll + ) r V r) E) + ur) = ) r r h r Warto go przepisać podstawiając za ur) = χr)/r. W tym celu wyliczmy r ) χ = r r r r r r rχ χ) = r χ, 5.4) 8

8 gdzie w ostatnim kroku skasował się człon zawierający pierwszą pochodną χ. Ostatecznie, po przemnożeniu przez h /m równanie radialne przyjmuje postać h d χ V m dr + r) + h m ll + ) χr) = E χr). 5.4) r Zatem ruch radialny przypomina ruch jednowymiarowy w zmodyfikowanym potencjale V r) + h ll + ). 5.43) m r Człon proporcjonalny do ll + ) nazywa się barierą centryfugalną. Znika ona tylko dla stanów o zerowym momencie pędu. Kształt radialnej funkcji falowej i wartości energii E zależą od konkretnego potencjału i będą omówione w jednym z następnych rozdziałów. 83