Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Transkrypt

1 Fizyka 11

2 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna zamienia się w ciepło.

3 Ruch drgający -przykłady 3

4 Ruch harmoniczny Przemieszczenie w chwili t faza x(t) = Acos(ωt + φ) Amplituda ω częstość kołowa (kątowa) φ fazowa początkowa, zależy od położenia w chwili t=0 4

5 Ruch harmoniczny przykłady Czasami funkcje typu sinus lub cosinus nazywa się funkcjami harmonicznymi 5

6 Ruch harmoniczny Częstość lub częstotliwość liczba pełnych drgań (cykli) wykonanych w ciągu jednej sekundy. f= ν ilość drgań w ciągu jednej sekundy [1Hz=1s -1 ] Okres ruchu T czas w jakim wykonane jest jedno pełne drganie. 1 T = ν Częstość kołowa: x( t) = x( t + T ) => Acos( ω t + φ) = Acos( ω( t + T ) + φ) ωt + φ + π = ωt + ωt + φ => ωt = π ω = π T W układzie SI częstość kołową mierzymy w radianach na sekundę 6

7 Przemieszczenie: x(t) = Acos(ωt + φ) Prędkość: Ruch harmoniczny dx( t) v( t) = = ω Asin( ωt + ϕ) dt Przyśpieszenie: dv( t) a( t) = = ω Acos( ωt + ϕ) dt Prędkość maksymalna: v Przyśpieszenie maksymalne: m = ωa a m = ω A 7

8 Własności ruchu harmonicznego x( t) = Acos( ω t + ϕ) a( t) = ω Acos( ωt + ϕ) a( t) = ω x( t) W ruchu harmonicznym przyśpieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia, ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej. W ruchu harmonicznym położenie, prędkość i przyśpieszenie opisane są zależnością typu sinusoidalnego W ruchu harmonicznym okres drgań oraz amplituda nie zależy od czasu W ruchu harmonicznym okres drgań nie zależy od amplitudy 8

9 Prawo Hooke a Prawo Hooke a: r F r = kx Siła sprężystości jest przeciwnie skierowana w w stosunku do przemieszczenia Przemieszczenie liczymy od położenia równowagi Stała sprężystości k jest wielkością dodatnią 9

10 Sprężystość ciał 10

11 Równanie ruchu II zasada dynamiki Newtona ma = kx k a = x m Jeśli wprowadzimy: a = ω x ω = k m Na masę m działa tylko siła sprężystości -kx A to jest związek pomiędzy przyśpieszeniem i położeniem dla ruchu harmonicznego. 11

12 Ruch harmoniczny Ruch harmoniczny jest to ruch który odbywa się pod wpływem siły która jest proporcjonalna do przesunięcia i przeciwnie skierowana do przesunięcia. ω = k m => ω = k m = π T T = π m k Okres drgań harmonicznych nie zależy od amplitudy Siła która powoduje drgania harmoniczne nazywa się siłą harmoniczną. 1

13 Wahadło matematyczne Wychylenie mierzone wzdłuż łuku: s = lθ Siła przywracająca do położenia równowagi: F = -mgsinθ II zas. dynamiki: F = ma l θ T mgsinθ mg θ mgcosθ mg d s sinθ = m = dt ml d θ dt l d θ = dt g sinθ 13

14 Wahadło matematyczne l d θ = dt g sinθ - trudne do rozwiązania Ale: sinθ θ -dla małych kątów θ d θ = dt g θ l - ruch harmoniczny! Częstość kołowa: ω = g l ω = g l 14

15 Wahadło fizyczne Wahadłem fizycznymnazywamy ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało. Ciało jest zawieszone w punkcie P, a punkt S, znajdujący się w odległości d od punkt P, jest środkiem masy ciała Moment siły działający na ciało: M = mgd sinθ mgdθ II zasada dynamiki dla bryły sztywnej: Czyli: Iε = mgdθ d θ mgd = ε = θ dt I mgd ω = T = π I I mgd 15

16 Energia potencjalna i kinetyczna F 0 Energia potencjalna sprężyny ściśniętej lub rozciągniętej o x wynosi: U = 1 1 kx W ruchu harmonicznym: x t) = Acos( t ) U ( ω + φ 1 = kx = ka cos ( ω t + 1 ϕ Energia kinetyczna: dx( t) v( t) = = ω Asin( ωt + ϕ) dt K 1 = mv = mω A sin ( ωt + 1 ϕ ) ) x 16

17 Energia mechaniczna w ruchu Energia mechaniczna: harmonicznym E 1 = U + K = ka cos ( ω t + ϕ) + mω A sin ( ωt + 1 ϕ ) Ale k = mω E 1 = U + K = 1 ka cos ( ω t + ϕ) + ka sin ( ωt + ϕ ) Dla dowolnego kąta: cos Dostajemy: E = α + sin α = 1 1 ka 17

18 Energia mechaniczna Energia mechaniczna w ruchu harmonicznym jest stała tzn. nie zmienia się w czasie. 18

19 Ruch po okręgu a ruch harmoniczny Punkt P porusza się po okręgu z prędkością kołową ω. Rzut tego punktu na oś X wynosi: x ( t ) = xm cos( ω t + φ ) m W ruchu obrotowym: Rzut wektora prędkości na os X wynosi: v = ω v( t) = ω x sin( ωt + φ) m r 19

20 Ruch po okręgu a ruch harmoniczny W ruchu obrotowym: a r = ω r Rzut przyśpieszenia na os X wynosi: a( t) = ω x cos( ωt + φ) m Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na średnicę okręgu, po którym ten ruch się odbywa. 0

21 Składanie drgań harmonicznych Zasada superpozycji:jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń, wynikających z każdego ruchu. Złożenia drgań harmonicznych o jednakowych częstotliwościach x1 = A1 cos( ω 0 t + φ1 ) x = A cos( ω0 t + φ ) Równanie drgania wypadkowego ma postać x = x 1 + x = Acos( ω 0 t + φ) 1

22 Drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości Tw. cosinusów A = A + A A 1 cos[180 ( φ φ )] A1 1 A = A + A + A 1 A1 1 cos( φ φ ) Wektorowa metoda składania drgań mechanicznych tgφ = A A 1 1 sinφ1 + cosφ + 1 A A sinφ cosφ Amplituda drgania wypadkowego: gdy ϕ ϕ 1 = ±π m(m= 0,1,...), wówczas A = A 1 + A gdy ϕ ϕ 1 = ±π (m+1) (m = 0,1,...), wówczas A = A 1 -A

23 Drgania koherentne Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych faz drgań składowych. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upływem czasu, to takie drgania synchroniczne nazywamy koherentnymi. 3

24 Dudnienia Rozważymy dwa dodawane drgania równoległe nieznacznie różniące się częstotliwościami drgań. Niech amplitudy składanych drgań będą równe A, aich częstości kołowe ω i ω + Δωprzy czym Δω<< ω. Przyjmijmy, że fazy początkowe drgań są zerowe, wówczas x 1 = A cos ω t x = A cos( ω + ω ) t α + b α β cosα + cos β = cos cos Ale ω + 1 ( ω + 1 ω) 1 t t x1 + x = Acos cos ω ω ( 1 Acos ωt) cos t x1 + x = ω ω 4

25 Dudnienia Modulowana amplituda: Okres dudnień: T 0 π = ω ~ ω A = Acos t 5

26 Drgania modulowane ( ω ( )) x( t) = A( t)cos t φ t Typy modulacji: 1) modulowana faza(częstość) FM: ) modulowana amplituda AM: A( t) = const φ( t) zmienne da φ ( t) = const << ωa dt max 6

27 Krzywe Lissajous x=asin(ω 1 t) y=asin(ω t+φ) φ=π/ 7

28 Wesołych Świąt! 8