Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Transkrypt

1 Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl

2 Ruch skutkiem działania siły Przypominamy: ruch ciała spowodowany jest (nie-)działaniem siły. Można znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, jeżeli znamy siłę, która na ciało działa. Do tej pory pokazano dwa przykłady: F g = mg m dv dt = mg a(t) = g v(t) = v 0 + at x t ruch ciała w polu siły ciężkości Rozwiązujemy: = x 0 + v 0 t at2 m dv(t) dt = F(r, v, t) ruch ciała w polu siły ciężkości z oporem powietrza F op = bv m dv dt = mg bv v t = mg b (1 e b m t ) sprawdzam!: 2

3 Siła harmoniczna Załóżmy, że chcemy opisać ruch pod wpływem siły postaci: F x = kx i. Jaką sytuację fizyczną opisuje taka siła? Jest to siła proporcjonalna do przemieszczenia i skierowana przeciwnie do przemieszczenia SIŁA HARMONICZNA ii. iii. iv. Napiszmy równania ruchu: Rozwiążmy równania ruchu: Zinterpretujmy rozwiązania. m dv dt = kx m d2 x = kx dt2 x t v t a t = A cos ωt + φ = Aω sin ωt + φ = Aω 2 cos (ωt + φ) A- amplituda, ω częstość, φ - faza początkowa 3

4 Z.Kąkol Ruch harmoniczny - interpretacja Położenie, prędkość i przyspieszenie ciała są okresowymi funkcjami czasu! x max = A v max = Aω a max = Aω 2 Ruch pod wpływem siły harmonicznej nazywamy ruchem harmonicznym. Nie każdy ruch okresowy jest ruchem harmonicznym. 4

5 Energia drgań Energia kientyczna i potencjalna w ruchu harmonicznym: E k t = 1 2 mv2 t = 1 2 ma2 ω 2 sin 2 (ωt + φ) E p t = 1 2 mx2 t = 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ) Energia całkowita: E c = E p t + E k t = ω = k m 1 2 ka2 cos 2 (ωt + φ)+sin 2 (ωt + φ) = 1 2 ka2 Energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się okresowo z czasem, całkowita energia jest stała 5

6 Ruch drgający w przykładach Oscylator harmoniczny masa zawieszona na sprężynie. Ruch masy m spowodowany jest siłą sprężystości sprężyny x t v t a t = A cos ωt + φ = Aω sin ωt + φ = Aω 2 cos (ωt + φ) T = 2π ω = 2π m k 6

7 Ruch drgający w przykładach Wahadło matematyczne Wahadło fizyczne T = 2π l g wyprowadzam! Ruch wahadła matematycznego i fizycznego jest harmoniczny TYLKO dla MAŁYCH WYCHYLEŃ, tzn. takich, że: sin φ = φ 7

8 Drgania tłumione Załóżmy teraz, że masa drgająca na sprężynie zanurzona jest w gęstej cieczy. Obserwujemy tłumienie drgań ruch odbywa się pod wpływem siły sprężystości F s = kx i siły tłumiącej F tł = bv: II Zas.Dyn.New: m d2 x dx = kx b dt2 dt Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego: x t = Ae bt 2m cos(ω t + φ) ω = k m b2 4m 2 sprawdzam! Energia: E t = 1 2 ka e bt 2m 8

9 Drgania tłumione w zależności od tłumienia Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego: x t = Ae bt 2m cos(ω t + φ) amplituda drgań tłumionych W zależności od współczynnika tłumienia: gdy b 2 < 4mk drgania tłumione, ω = k m b2 4m 2 = ω 0 2 β 2 częstość kołowa drgań tłumionych częstość kołowa drgań własnych β = b 2m współczynnik tłumienia gdy b 2 = 4mk tłumienie krytyczne, gdy b 2 > 4mk aperiodyczny powrót do stanu równowagi β β = b 2m = 1 τ β współczynnik tłumienia, τ - stała czasowa 9

10 Drgania z siłą wymuszającą Tłumienie drgań można kompensować działając siłą wymuszającą, np. okresową: F z = F 0 sin ωt II Z.D.N: m d2 x dx + b dt2 dt + kx = F 0 sin ωt β = b 2m = 1 τ ; ω 0 = k m ; α 0 = F 0 m Rozwiązujemy? d 2 x dt τ dx dt + ω 0 x = α 0 sin ωt Załóżmy, że rozwiązanie jest postaci: x t = A 0 ω sin( ωt + φ(ω)) co oznacza drgania niegasnące, ale zarówno amplituda, jak i przesunięcie fazowe są funkcją częstości siły wymuszającej ω 10

11 Drgania z siłą wymuszającą Pokazać można, że amplituda drgań z siłą wymuszającą wynosi: A 0 ω = α 0 ω 02 ω β 2 1/ 2 a przesunięcie fazowe: tg φ = 2βω ω 02 ω 2 Gdy częstość siły wymuszającej ω będzie w pobliżu częstości drgań własnych ω 0, a tłumienie β nie będzie za duże: amplituda wzrośnie do maksimum! Może dojść do zjawiska REZONANSU 11

12 Rezonans Częstość rezonansowa (obliczymy ją poprzez znalezienie maksimum A 0 (ω)): ω r = ω 02 2β 2 Odpowiada ona amplitudzie rezonansowej: A r = α 0 2β ω 02 2β 2 Dla drgań swobodnych, dla których: ω r = ω 0 przesunięcie fazowe φ pomiędzy siłą a wychyleniem wynosi: φ = π. 2 Oznacza to, że siła wymuszająca jest przesunięta o π 2 wychylenia. w stosunku do Ale za to prędkość (policz!) jest w fazie z siłą wymuszającą! Moc zależy od prędkości, zatem w warunkach rezonansu dochodzi do maksymalnej absorbcji mocy przez oscylator znaczenie przy rezonansie elektrycznym 12

13 Drgania, rezonanse i życie 13

14 Składanie drgań harmonicznych Zasada superpozycji jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wychylenie jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu z osobna. Składanie drgań zachodzących w tych samych kierunkach: x 1 t = A 1 cos (ω 1 t + φ 1 ) x 2 t = A 2 cos (ω 2 t + φ 2 ) x w t = x 1 t + x 2 (t) Składanie drgań w kierunkach wzajemnie prostopadłych: x t = A x cos (ω x t + φ x ) y t = A y cos (ω y t + φ y ) y(x) 14

15 Składanie drgań (jeden kierunek) Skłądamy drgania o tej samej (lub nie) amplitudzie i częstości. Drgania są przesunięte względem siebie o fazę : x 1 t = A cos ωt ; x 2 t = A cos(ωt + φ) W wyniku złożenia otrzymujemy (do policzenia, zwykła trygonometria!): x w t = x 1 t + x 2 t = 2A cos φ 2 cos ωt + φ 2 Są to drgania o amplitudzie wypadkowej zależnej od fazy φ: dla φ = π; x w = 0 całkowite wygaszenie drgań, dla φ = 2π; x w = 2Acos ωt dwukrotny wzrost amplitudy drgań - wzmocnenie, amplituda wypadkowa φ = 2π Jeżeli różnica faz pozostaje stała w czasie drgania koherentne 15

16 Dudnienia Nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach: x 1 (t) = A sin(ω + ω 2 )t x 2 t = A sin(ω ω 2 )t x w t = x 1 t + x 2 t = A sin(ω ω 2 )t + sin(ω + ω 2 )t Korzystając z tożsamości trygonometrycznych: x w t = 2A cos ωt sin ωt wolnozmieniająca się amplituda wypadkowa sin α + β 2A cos ωt = sin α cos β + cos α sin β Efekt sumowania drgania z pierwotną częstością, ale obwiednia zmienia się powoli w czasie (efekty dźwiękowe, elektrotechnika) sin ωt 16

17 Składanie niekoherentne Jeżeli różnica faz drgań składowych zmienia się z upływem czasu w dowolny sposób, to również amplituda drgań wypadkowych zmienia się z czasem niekoherentne składanie drgań. Drgania wypadkowe typu: x t nazywamy modulowanymi, gdy: = A t cos ωt + φ(t) A = const; φ t - modulowana jest faza FM φ = const; da dt ωamax - modulowana amplituda - AM 17

18 Analiza harmoniczna Analiza harmoniczna metoda przedstawienia złożonych drgań modulowanych w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych G.Fourier dowolne drganie można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej ω: N x t = n=0 A n sin(n ωt + φ n ) Pierwszy wyraz szeregu częstotliwość podstawowa ω, następne częstotliwości harminiczne- pierwsza, druga, itp. W ten sposób można za pomocą prostych drgań harminicznych przedstawić drganie o dowolnym kształcie, np. piłokształtnym, trójkątnym, prostokątnym.. 18

19 Analiza harmoniczna Analiza harmoniczna metoda przedstawienia złożonych drgań modulowanych w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych G.Fourier (1807) dowolne drganie można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej ω: N x t = n=0 An sin(n ωt + φ n ) Pierwszy wyraz szeregu częstotliwość podstawowa ω, następne częstotliwości harminiczne- pierwsza, druga, itp. W ten sposób można za pomocą prostych drgań harminicznych przedstawić drganie o dowolnym kształcie, np. piłokształtnym, trójkątnym, prostokątnym.. 19

20 Krzywe Lissajous Składania drgań harmonicznych o tych samych częstościach ω w kierunkach wzajemnie protopadłych: x t = A x sin(ωt) y t = A y sin(ωt + φ) Jules Lissajous (1857) - demonstracja wyniku, gdy: φ = 0, 90, 180 φ = 0 : y x = A y A x x - linia prosta φ = 180 : y x = A y A x x - linia prosta φ = 90 : x t = A x sin(ωt) y t = A y cos(ωt) x 2 A x 2 + y2 A y 2 = 1 elipsa, okrąg 20

21 Krzywe Lissajous dowolna faza Inne różnice faz, ale te same częstości elipsy, ale w kierunkach innych niż osie ukł. współrzędnych. Przypadek ogólny dowolne fazy, częstości, amplitudy krzywe Lissajous: 21

22 Podsumowanie Rozwiązanie równania ruchu pod wpływem siły o zadanej postaci pozwala na wyznaczenie położenia, prędkości i przyspieszenia. Ruch pod wpływem siły harmonicznej rozwiązanie, parametry, przykłady: prosty oscylator harmoniczny, wahadło matematyczne, wahadło fizyczne. Ruch z tłumieniem równanie, rozwiązanie, interpretacja. Ruch drgający pod wpływem siły wymuszającej. Rezonans. Składanie drgań: wzmocnienie, wygaszenie, drgania koherentne, dudnienia, analiza harmoniczna krzywe Lissajous Pokazy 22