ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)"

Transkrypt

1 Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod: elementów lnowych (MEL) elementów brzegowych (MEB) w zagadnenach dentyfkacj pola elektrycznego w sąsedztwe obektów elektroenergetycznych. Przeanalzowano różne konfguracje układów wzbudzających znekształcających rozkłady wspomnanego pola. Rozważana dotyczyły mędzy nnym uproszczena polegającego na zastosowanu MEL zamast MEB do analzy pola wytwarzanego bądź znekształcanego przez przewody okrągłe oraz układy płaskownków kątownków. W pracy przeprowadzono równeż analzę wpływu gęstośc satk elementów brzegowych, odwzorowującej budynek murowany (usytuowany w sąsedztwe ln WN), na dokładność oblczeń natężena pola elektrycznego w jego sąsedztwe. Słowa kluczowe: pole elektromagnetyczne, kompatyblność elektromagnetyczna, metody numeryczne, metoda elementów brzegowych *) Praca naukowa fnansowana ze środków na naukę w latach jako projekt badawczy dr hab. nż. Wojcech KRAJEWSKI Zakład Metrolog Badań Nenszczących Instytut Elektrotechnk PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 233, 2007

2 44 W. Krajewsk 1. WSTĘP Obowązujące przepsy z zakresu ochrony przed polam elektromagnetycznym [1] zalecają dentyfkację tych pól na drodze oblczenowej oraz pomarową weryfkację oblczeń w tych mejscach, w których, na podstawe uprzedno przeprowadzonych oblczeń, stwerdzono występowane pól elektromagnetycznych o wartoścach zblżonych do wartośc dopuszczalnych. Istotne znaczene praktyczne ma umejętność oceny dokładnośc z jaką pole zostało oblczone pomerzone. W przypadku pomarów do oceny dokładnośc uzyskanego wynku stosuje sę metody statystyczne, wykorzystując znaną dokładność aparatury pomarowej oraz wedzę na temat specyfk rozważanego pomaru. Inaczej wygląda sytuacja, gdy rozkłady pól wyznaczane są na drodze oblczenowej. W tym przypadku ważne jest zarówno oszacowane dokładnośc modelu fzycznego zagadnena, tzn. określene wpływu na wynk zastosowanych w modelu uproszczeń, jak określene dokładnośc metody matematycznej wykorzystanej do rozwązana problemu. Tylko wąska grupa zagadneń grancznych (brzegowych lub początkowobrzegowych) z zakresu pola elektromagnetycznego może być rozwązywana za pomocą tzw. metod analtycznych, takch jak: metoda rozdzelena zmennych, przekształceń całkowych, przekształceń konforemnych, odbć zwercadlanych tp., w wynku czego otrzymuje sę rozwązana w forme konkretnych wzorów matematycznych. Zagadnena te mają zwykle nezbyt skomplkowaną geometrę oraz charakteryzują sę uproszczenam w zakrese parametrów materałowych. W bardzej skomplkowanych przypadkach praktycznych, o złożonej strukturze, koneczne jest stosowane metod numerycznych, polegających na algebrazacj rozważanego zagadnena grancznego, a następne rozwązanu tak sformułowanego, zwykle welkego układu równań algebracznych, przy zastosowanu technk numerycznych. Współcześne, do najczęścej stosowanych numerycznych metod oblczana pól należą: metoda elementów skończonych (MES), metoda elementów brzegowych (MEB), metoda ładunków symulowanych (MŁS) czy też metoda różnc skończonych (MRS) oraz ch różne kombnacje odmany. Metody analtyczne prowadzą do rozwązana dokładnego lub do rozwązana obarczonego łatwym do oszacowana błędem, tak jak ma to mejsce w przypadku, gdy rozwązane ma postać szeregu neskończonego. Metody numeryczne chocaż pozwalają analzować bardzej skomplkowane, lepej odpowadające rzeczywstośc zagadnena, są ze swej natury metodam przyblżonym. Polegają one na zastąpenu zagadnena wyjścowego

3 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 45 zagadnenem, którego rozwązane zblżone jest do rozwązana rozważanego problemu z pewną dokładnoścą. Dokładność ta zależy główne od sposobu dyskretyzacj obszaru analzy lub jego brzegu, od rodzaju aproksymacj poszukwanego rozwązana, od wyboru punktów kolokacj tp. Szacowane błędu rozważanych metod ne jest zadanem prostym, gdyż na ogół ne jest znane dokładne rozwązane problemu, z którym należy porównać wynk przyblżony. Jak wspomnano na wstępe umejętność modelowana pól elektromagnetycznych ma bardzo stotne znaczene w analze zagadneń kompatyblnośc elektromagnetycznej (EMC), dzedzny zajmującej sę badanem wzajemnego, nezamerzonego oddzaływana różnego rodzaju urządzeń elektrycznych elektroncznych za pośrednctwem pola elektromagnetycznego. Celem EMC jest zapewnene bezkonflktowego dzałana tych urządzeń, a także badane wpływu pola elektromagnetycznego na organzmy żywe środowsko. W analze problemów EMC szczególne przydatne jest numeryczne modelowane pól elektromagnetycznych. Autor nnejszego artykułu w swoch wcześnejszych pracach, np. [2 6], zajmował sę problemam numerycznej analzy zagadneń EMC nskej częstotlwośc. W pracach tych stosowana była metoda hybrydowa łącząca MEB [7, 8] z pewnym warantem MŁS [9, 10], zwanym metodą elementów lnowych (MEL). Analzowano tam trójwymarowe pola elektryczne, magnetyczne elektromagnetyczne nskej częstotlwośc, generowane przez urządzena elektroenergetyczne, take jak: lne WN, stacje elektroenergetyczne czy też rozprowadzena średnego nskego napęca, np. w dużych burowcach. W pracy [6] opsano opracowany w Instytuce Elektrotechnk paket oprogramowana EMFA do analzy pól elektrycznych magnetycznych w sąsedztwe obektów elektroenergetycznych. W nnejszym artykule podjęto próbę oszacowana dokładnośc metody oraz określena obszaru, gdze wynk oblczeń pola elektrycznego można traktować jako dokładne z określonym błędem. Rozważono tutaj zagadnena pola elektrycznego, które znaczne łatwej od pola magnetycznego ulega znekształcenu przez różnego rodzaju obekty zarówno dobrze przewodzące (kratownce konstrukcj wsporczych, metalowe ekrany, ogrodzena tp.) jak słabo przewodzące (budynk murowane, drzewa) znajdujące sę w sąsedztwe jego źródeł, co powoduje znaczną komplkację oblczeń. Przedstawone w pracy oszacowana będą pomocne w analze skutecznośc opracowywanego w Instytuce Elektrotechnk specjalstycznego oprogramowana do analzy wyżej wspomnanych zagadneń EMC. PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 233, 2007

4 46 W. Krajewsk 2. ZARYS ROZWAŻANYCH METOD NUMERYCZNYCH Ponżej przedstawono krótk ops rozważanych metod numerycznych, przy czym w perwszej kolejnośc podano założena dotyczące MEL, dalej MEB, a następne scharakteryzowano metodą hybrydową MEL&MEB. Gdy wymary poprzeczne obektu są pomjalne małe w porównanu z jego wymarem podłużnym, jak ma to mejsce np. w przypadku przewodów pod napęcem, elementów kratownc słupów WN, bramek stacyjnych nnych ażurowych konstrukcj wsporczych, a także ekranów elektrycznych (satka Faraday a), w oblczenach pola wygodne jest zastosować MEL. W metodze tej przyjmuje sę, że rozważane obekty wpływają na rozkłady pola poprzez fkcyjne ładunk, które rozmeszczone są na lnach umeszczonych w ch wnętrzu. Rozkład gęstośc powyższych ładunków mus być tak, aby pochodzący od nch skalarny potencjał elektryczny, ϕ, w wybranych punktach na powerzchnach obektów przyjmował z góry założoną wartość. Jeżel w przestrzen otaczającej rozważane obekty potencjał spełna równane Laplace a, to wspomnana gęstość ładunku lnowego τ(p) spełna następujące równane całkowe Fredholma perwszego rodzaju: n GPP (, ) τ( P)d P= ϕ( P) (1) j= 1 K j gdze K j oznacza krzywą reprezentującą j-ty obekt, a n jest lczbą obektów. G(P,P ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a w przestrzen trójwymarowej, podzelonym przez stałą elektryczną. Przyjmuje ono postać [8]: 1 GPP (, ) = (2) 4πε r 0 Odległość mędzy punktam P(x,y,z) P(x,y,z ) dana jest wzorem: r = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ε 0 oznacza stałą elektryczną.

5 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 47 Następne, w procese dyskretyzacj, krzywe, na których rozłożone są ładunk lnowe, zastępuje sę odcnkam, na których zakłada sę stały rozkład gęstośc tego ładunku, to znaczy stosuje sę aproksymację zerowego rzędu funkcj poszukwanej. Punkt P położony jest na powerzchn obektu odpowadającej -temu elementow. Otrzymuje sę wówczas następujące równane algebraczne: n L τ j GPP (, )d P= ϕ( P) (3) j= 1 L j gdze L j jest j-tym elementem lnowym, a n L jest ch lczbą. τ j jest gęstoścą ładunku lnowego na j-tym elemence. Przyjmując punkt obserwacj P rozwązana podstawowego kolejno na częścach powerzchn obektu odpowadających poszczególnym elementom lnowym, otrzymuje sę układ równań algebracznych, który w forme macerzowej przyjmuje następującą postać: Pτ = ϕ (4) Współczynnk macerzy P dane są wzorem: pj = G( P, P )d P (5) L j Powyższa całka oblczana jest analtyczne ze wzoru podanego np. w [3, 5]. W wynku rozwązana układu równań algebracznych zostają wyznaczone gęstośc ładunków lnowych, których znajomość umożlwa oblczene potencjału ϕ(p) w dowolnym punkce przestrzen. W praktyce, o czym będze mowa w dalszej częśc pracy, stotne jest odpowedne usytuowane ładunku lnowego oraz wybór punktu obserwacj (kolokacj), w zależnośc od kształtu przekroju poprzecznego obektu (przewodu, elementu kratowncy, ekranu, tp.). Obecne podane zostaną założena dotyczące rozważanego w pracy warantu MEB. Jest to tak zwany pośredn warant tej metody, bazujący na teor potencjału warstwy pojedynczej, gdze podobne jak w MEL wykorzystuje sę pojęce gęstośc ładunku. W tym przypadku jest to gęstość ładunku powerzchnowego, rozłożonego na powerzchnach ltych obektów dobrze lub słabo przewodzących (elementy pod napęcem, lte metalowe ekrany, budynk murowane, betonowe konstrukcje wsporcze tp.), bądź delektryków (np. zolatory). Dla punktów P położonych na powerzchnach delektryków, gdze ne jest znany potencjał elektryczny, można sformułować równana całkowe Fredholma drugego rodzaju, tak jak to pokazano w [4, 5]:

6 48 W. Krajewsk 1 ε + ε GPP (, ) GPP (, ) σ ( P) σ ( P)d P σ ( P) d P+ 2ε ε ε n1 n2 d d 0 j= 1 n j 1 n Γ = Γ Dj GPP (, ) + σ( P) dp= 0 dla P n Γ g Cj n1 U j= 1 Γ Dj (6) gdze: Γ Dj powerzchna j-tego delektryka (zolatora), Γ Cj powerzchna j-tego obektu przewodzącego, Γ g powerzchna zem, σ gęstość ładunku powerzchnowego, ϕ(p ) potencjał elektryczny w punkce P,, ε d przenkalność elektryczna delektryka, na którego powerzchn znajduje sę punkt P n1, n2 lczby obektów, odpowedno o neznanym znanym potencjale na ch powerzchn Dla punktów P położonych na ltych powerzchnach metalowych (uzemonych lub pod napęcem), ścanach budynków murowanych (betonowych) lub na powerzchn zem, to znaczy wszędze tam, gdze znany jest potencjał elektryczny ϕ, można sformułować równana całkowe Fredholma perwszego rodzaju. Równane to wynka z faktu, że potencjał ϕ w rozważanym punkce P, jest superpozycją potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków powerzchnowych. Przyjmuje ono następującą postać: n1 n2 GPP (, ) σ( P)d P+ GPP (, ) σ( P)dP+ j= 1 Γ j= 1 Γ Dj + GPP (, ) σ ( P)d P= ϕ( P) dla P Γ Γ Γ g Cj n2 U U Cj g j= 1 (7) W celu unknęca konecznośc dyskretyzacj płaskch częśc powerzchn zem, położonych na pozome zerowym (o współrzędnej z = 0), można wprowadzć tak zwane antysymetryczne rozwązane podstawowe [8] o postac: (, ) = 4πε r r * G P P 0 (8)

7 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 49 gdze: r = ( x x ) + ( y y ) + ( z + z ) Prezentowana technka oblczenowa polega na przekształcenu układu równań całkowych (6) (7) w układ równań algebracznych poprzez dyskretyzację brzegów poszczególnych podobszarów oraz aproksymację rozkładów gęstośc ładunków na otrzymanych w ten sposób elementach brzegowych. W rozważanym przypadku zastosowano płaske elementy czworokątne lub trójkątne ze stałowartoścową aproksymacją gęstośc ładunku powerzchnowego. Wykorzystując równana całkowe (1) dla MEL oraz (6) (7) dla MEB, można sformułować układ równań całkowych stanowący podstawę metody hybrydowej: 1 ε + ε G ( P, P) G ( P, P) σ ( P) σ ( P)d P σ ( P) d P+ 2ε ε ε n1 * n2 * d d 0 j= 1 n j 1 n Γ = Γ n3 * G ( P, P ) + τ( P) dp= 0 dla P Γ n k = 1 K k Dj Cj Dj (9) n1 n2 * * σ j= 1 Γ j= 1 Γ I G ( P, P) ( P)d P+ G ( P, P) σ( P)dP+ n3 n2 n3 * G ( P, P) τ ( P)d P ϕ( P) dla P UΓCjUΓ Kj k = 1 K j= 1 j= 1 + = k Cj (10) przy czym n3 jest tutaj lczbą obektów modelowanych za pomocą elementów lnowych. W powyższym sformułowanu zastosowano antysymetryczne rozwązane podstawowe dla równana Laplace a oraz założono, że powerzchna zem jest płaska. Przyjmując te same założena odnośne dyskretyzacj aproksymacj jak dla MEL MEB, otrzymuje sę następujący układ równań algebracznych:

8 50 W. Krajewsk B11 B12 P 1 qs1 0 B21 B22 P2 qs2 = vs 2 B31 B32 P3 ql vl (11) gdze: B 11 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S1 n S1, B 12 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S1 n S2, B 21 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S2 n S1, B 22 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n S2 n S2, B 31 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n L n S1, B 32 podmacerz elementów brzegowych o wymarze n L n S2, P 1 podmacerz elementów lnowych o wymarze n S1 n L, P 2 podmacerz elementów lnowych o wymarze n S2 n L, P 3 podmacerz elementów lnowych o wymarze n L n L, q S1 n S1 -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku polaryzacj na elementach brzegowych, q S2 n S2 -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku swobodnego na elementach brzegowych, q L n L -wymarowy wektor, którego składowym są gęstośc ładunku swobodnego na elementach lnowych, v S2 n S2 -wymarowy wektor, którego składowym są wartośc potencjału na powerzchnach obektów przewodzących modelowanych elementam brzegowym, v L n L -wymarowy wektor, którego składowym są wartośc potencjału na powerzchnach obektów przewodzących modelowanych elementam lnowym, n S1 lczba elementów brzegowych na powerzchnach delektryków, n S2 lczba elementów brzegowych na powerzchnach obektów przewodzących, lczba elementów lnowych. n L Elementy macerzy współczynnków układu równań (11) wyznacza sę ze wzorów, które zależą od kształtu elementów lnowych brzegowych oraz od rodzaju aproksymacj gęstośc ładunków na elementach. W nnejszej pracy powerzchne obektów pokrywane są płaskm elementam czworokątnym bądź trójkątnym. Przewody oraz elementy konstrukcj ażurowych dyskretyzowane są odcnkam prostolnowym. W obu przypadkach stosuje sę aproksymację zerowego rzędu, co oznacza, że gęstość ładunku ma stałą wartość na elemence. Elementy b 1j podmacerzy B 11 B 12 oblcza sę z następujących wzorów:

9 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 51 * G ( P, P ) b1 j = d P dla j (12) n S j 1 ε + ε G ( P, P) (13) * d 0 b1 j = d P dla = j 2ε0 εd ε0 n S j a elementy b 2j podmacerzy B 21 B 22 wyznacza sę z zależnośc: b = G P P P (14) * 2 j (, )d S j gdze S j jest j-tym elementem brzegowym. Analogczne wyznacza sę elementy podmacerzy B 31 B 32. Dla j powyższe całk oblczane są numeryczne, z zastosowanem odpowednch kwadratur Gaussa [11]. Gdy = j, to begun funkcj 1/r leży na elemence, po którym wykonywane jest całkowane, a zatem całka jest słabo osoblwa. W tym przypadku do całkowana funkcj 1/r stosuje sę wzory analtyczne. Dla elementu prostokątnego o bokach a b, przy założenu, że begun funkcj Greena znajduje sę w środku prostokąta, całkę funkcj 1/r oblcza sę z zależnośc [3, 5]: b/2 a/ b b a a d P= dxd y = 2 a ln b ln rpp (, 2 2 ) a a b b S b/2 a/2 x y gdze S oznacza element prostokątny. (15) Dla elementów trójkątnych odpowedne wzory podano np. w pracach [5, 8]. Elementy p 1j podmacerzy P 1 oblcza sę ze wzoru: p 1j * G ( P, P ) = d P (16) n L j

10 52 W. Krajewsk natomast elementy p 2j podmacerzy P 2 oblcza sę z zależnośc: p = G P P P (17) * 2 j (, )d L j gdze L j jest j-tym elementem lnowym. Korzystając ze wzoru (17) wyznacza sę także elementy p 3j podmacerzy P 3. Całkę (16) oblcza sę numeryczne natomast całkę (17) wyznacza sę ze wzoru analtycznego podanego np. w pracach [3, 5]. Po rozwązanu układu równań (11) otrzymuje sę rozkłady gęstośc ładunków na elementach lnowych powerzchnowych. Wykorzystując powyższe rozwązane, można oblczyć potencjał elektryczny w dowolnym punkce P : ns nl * * ( ) = (, ) ( )d + (, ) ( )d j= 1 Γ k= 1 K (18) ϕ P G P P σ P P G P P τ P P j k przy czym n S = n S1 + n S2. Natężene pola elektrycznego wyznacza sę ze wzoru: n S nl * * ( ) = σ( )grad (, )d τ( )grad (, )d j= 1 Γ k= 1 K E P P G P P P P G P P P (19) j k 3. UWAGI NA TEMAT OCENY DOKŁADNOŚCI NUMERYCZNYCH METOD OBLICZANIA PÓL Najłatwej ocenć poprawność wynków numerycznych danego problemu polowego, gdy znane jest jego rozwązane dokładne, co, jak wcześnej wspomnano, dotyczy bardzo uproszczonych przypadków. Jednak, nawet taka uproszczona analza często pozwala wprowadzć poprawk modyfkacje w testowanej metodze numerycznej. Dość często stosowana jest eksperymentalna weryfkacja oblczeń numerycznych, co jednocześne stanow ocenę poprawnośc zastosowanego modelu fzycznego analzowanego zagadnena. Ten ostatn sposób weryfkacj

11 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 53 rozważanych tutaj metod numerycznych zaprezentowano w nektórych pracach autora, np. w [5]. Nestety wynk pomarów także obarczone są błędem, stąd take porównane, skądnąd bardzo pożyteczne dla ogólnej oceny poprawnośc dzałana programu oblczenowego, ne daje precyzyjnej odpowedz dotyczącej błędu metody numerycznej. Innym sposobem oceny dokładnośc metod numerycznych jest porównywane wynków oblczeń wykonanych przy zastosowanu różnych metod numerycznych bądź przy zastosowanu tej samej metody przy różnych dyskretyzacjach obszaru lub jego brzegu ewentualne różnych aproksymacjach poszukwanej funkcj. W nnejszej pracy przeprowadzono ocenę rozważanych metod numerycznych przy zastosowanu perwszego trzecego z wyżej wymenonych sposobów. 4. OCENA DOKŁADNOŚCI MEL W OBLICZENIACH POLA ELEKTRYCZNEGO WYTWARZANEGO PRZEZ OKRĄGŁE PRZEWODY POD NAPIĘCIEM W zagadnenach EMC nskej częstotlwośc źródłam pola elektrycznego są często przewody okrągłe o stosunkowo newelkch przekrojach (np. przewody ln WN). Zastosowane w tym przypadku MEL zamast MEB znaczne zmnejsza wymar zagadnena algebracznego. Istotnym jest, jak take uproszczene wpływa na dokładność wynków. Dla oceny tego wpływu w perwszej kolejnośc rozważono najprostszy przypadek, tzn. rozkład natężena pola elektrycznego w sąsedztwe pojedynczego, neskończene długego, okrągłego przewodu pod napęcem, zaweszonego nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 1). Łatwo wyprowadzć rozwązane analtyczne tego problemu, które ma następującą postać: ϕ = q x + ( y+ h) ln 2 π x + ( y h) (20) gdze: h= A 1 H, A + 1 H + H R A = H H R , q 2π ϕ p =. ln A

12 54 W. Krajewsk W powyższych wzorach R jest promenem przewodu, H jest wysokoścą jego zaweszena, a ϕ p jest potencjałem elektrycznym przewodu. Natężene pola elektrycznego wokół rozważanego przewodu wyraża sę następującym wzorem: q x x E = π + x + ( y h) x + ( y+ h) q y h y+ h + 2 π + x + ( y h ) x + ( y+ h ) j (21) W przedstawonym przykładze oblczenowym rozważono przewód okrągły o przekroju 525 mm 2 potencjale 110 kv, zaweszony na wysokośc 10 m ponad powerzchną o potencjale zerowym. Przewody o takm przekroju stosowane są w napowetrznych lnach przesyłowych najwyższych napęć. Poneważ rozwązane analtyczne dotyczy przypadku dwuwymarowego (przewód neskończene dług), to w oblczenach przy zastosowanu MEL przyjęto przewód o długośc 400 m, który podzelono na 40 elementów lnowych o jednakowej długośc, z aproksymacją zerowego rzędu gęstośc ładunku na elemence. Punkty kolokacj ustalono na powerzchn przewodu, w połowe długośc elementu lnowego. Wykonano oblczena rozkładów natężena pola elektrycznego na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym, stosując zarówno metodą analtyczną jak numeryczną. Wynk tych oblczeń pokazano na rys. 2, przy czym lne otrzymane dla obu metod pokrywają sę. Na rysunkach 3 4 przedstawono błąd względny oblczeń numerycznych E, który zdefnowano w następujący sposób: E analt MEL error = 100% E Ε E analt (22) gdze: E analt E MEL norma wektora E oblczonego ze wzoru analtycznego norma wektora E oblczonego przy zastosowanu MEL Na rysunkach 3 wdać, że w obszarze: 5 m x 5 m 2 m z 9 m tak zdefnowany błąd ne przekracza 0,12 %. Można tutaj zauważyć, że analzowany błąd paradoksalne wzrasta w marę oddalana sę od wzbudzającego pole

13 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 55 przewodu. Wynka to z faktu, że oblczena analtyczne dotyczą przewodu neskończene długego, natomast w oblczenach numerycznych rozważono przewód o skończonej długośc (400 m). Na rysunku 4 pokazano rozkład błędu na ln pozomej odległej o 0,5 m od przewodu (z = 9,5 m). W tym przypadku rozważany błąd ne przekracza 0,8 %, co śwadczy o wystarczająco dobrej dokładnośc MEL do analzy pola elektrycznego wytwarzanego przez przewód okrągły o polu przekroju 525 mm 2 mnejszym, nawet w stosunkowo newelkej odległośc od wspomnanego przewodu. Drug przykład oblczenowy dotyczy układu trzech przewodów okrągłych o skończonej długośc, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv, umeszczonych nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 5). Prawdopodobne ne ma, nestety, analtycznego rozwązana tego zagadnena. Stąd też, w celu oszacowana dokładnośc MEL dla tego problemu, otrzymane wynk oblczeń porównano z wynkam uzyskanym przy zastosowanu znaczne dokładnejszego modelu numerycznego, bazującego na MEB. W omawanym przykładze rozważono przewody o długośc 10 m tak jak poprzedno o przekroju 525 mm 2. Rozmeszczone były one w układze horyzontalnym, na wysokośc 10 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym. Odległość mędzy przewodam wynosła 5 m. Stosując BEM, każdy z przewodów podzelono na 400 elementów brzegowych, 50 wzdłuż przewodu 8 po jego obwodze, podobne jak to pokazano na rys. 5. Na powyższym rysunku, dla lepszej jego czytelnośc, ne zachowano rzeczywstych proporcj geometrycznych zagadnena, zwększając promeń przewodów, przy jednoczesnym zmnejszenu o połowę lczby elementów brzegowych na jego długośc. Modelując zagadnene przy zastosowanu MEL, każdy z przewodów podzelono na 20 elementów lnowych. Punkty kolokacj wybrano tak jak w przykładze dotyczącym pojedynczego przewodu. Na rysunku 6 pokazano rozkłady natężena pola elektrycznego na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym, które oblczono zarówno przy zastosowanu MEB jak MEL. W rozważanym przypadku, ze względu na trójfazowy charakter wymuszena, mejscem geometrycznym końca wektora E w dowolnym punkce przestrzen są elpsy (pole elptyczne). W przedstawonym przykładze przez natężene pola elektrycznego E rozumana jest długa półoś elpsy podzelona przez 2, która wyznaczana jest z następującego wzoru: E = sup( E, E ) (23) 1 2

14 56 W. Krajewsk gdze: E 12, 1 = 1+ r 2 12, A + r12, B + 2r12, AB 1 1 = 1 = = 12 / r 12, = R± 2 R R = 3 = 1 B A = 1 3 = 1 AB A jest częścą rzeczywstą a B częścą urojoną -tej składowej geometrycznej wektora E. Błąd względny metody elementów lnowych zdefnowano w tym przypadku w sposób następujący: E Ε E MEB MEL error E = 100% MEB (24) gdze E MEB oznacza natężene pola elektrycznego oblczone przy użycu MEB. Na rysunku 7 pokazano rozkłady błędu względnego natężena pola elektrycznego, E, jakm obarczony jest wynk otrzymany przy zastosowanu MEL. Rozkład błędu zbadano w obszarze: 15 m x 15 m y = 0 2 m z 9 m. Należy stwerdzć, że błąd w rozważanym obszarze ne przekracza 1,25 %, przy czym najwększą wartość osąga prawe bezpośredno pod środkowym przewodem, na wysokośc 9 m, tj. w odległośc 1 m od tego przewodu.

15 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 57 Rys. 1. Pojedynczy, neskończene dług przewód okrągły pod napęcem, zaweszony ponad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 2. Rozkład natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym)

16 58 W. Krajewsk Rys. 3. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym) Rys. 4. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod pojedynczym przewodem okrągłym (na różnych wysokoścach ponad płaszczyzną o potencjale zerowym)

17 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 59 Rys. 5. Układ trzech okrągłych przewodów o skończonej długośc, podłączonych do trójfazowego źródła napęca, zaweszonych nad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 6. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech okrągłych przewodów, podłączonych do trójfazowego źródła napęca lna przerywana BEM, lna cągła MEL

18 60 W. Krajewsk Rys. 7. Błąd względny oblczeń numerycznych (MEL) natężena pola elektrycznego pod układem trzech okrągłych przewodów, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 5. OCENA DOKŁADNOŚCI MEL W OBLICZENIACH POLA ELEKTRYCZNEGO W SĄSIEDZTWIE PŁASKOWNIKÓW I KĄTOWNIKÓW Bardzo często elementam obektów elektroenergetycznych są metalowe płaskownk kątownk, z których wykonywane są szynoprzewody oraz konstrukcje wsporcze. Modelowane takch elementów przy zastosowanu MEL zamast MEB, podobne jak w przypadku przewodów okrągłych, prowadz do znacznej oszczędnośc pamęc komputera oraz powoduje skrócene czasu oblczeń. I tym razem zachodz pytane: w jakm stopnu take uproszczene wpływa na dokładność rozwązana problemu? W nnejszym punkce przeanalzowano dokładność MEL w odnesenu do układu trzech płaskownków oraz układu trzech kątownków. W perwszej kolejnośc rozważono układ złożony z trzech płaskownków; każdy o długośc 5 m wymarze poprzecznym 0.15 m, rozmeszczonych w układze horyzontalnym nad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 8). Odległość

19 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 61 mędzy płaskownkam wynosła 0,5 m. Płaskownk podłączone były do trójfazowego źródła napęca 110 kv. Rozwązane, które uznano za dokładne, otrzymano za pomocą MEB z bardzo drobną dyskretyzacją obektu; każdy z płaskownków podzelono na 300 elementów brzegowych, tak jak to pokazano na rys. 8. W przypadku oblczeń uproszczonych, tzn. z zastosowanem MEL, każdy z płaskownków zamodelowano stosując 25 elementów lnowych umeszczonych w środku jego szerokośc. Na podstawe przeprowadzonych oblczeń dla płaskownków o różnych wymarach dla różnych ch konfguracj, ustalono optymalną, ze względu na dokładność rozwązana, lokalzację punktów kolokacj. Umejscowone są one w odległośc 0,2712a od brzegu płaskownka, gdze a jest jego szerokoścą. Rys. 8. Układ trzech płaskownków o skończonej długośc, podłączony do trójfazowego źródła napęca, zaweszony nad płaszczyzną o potencjale zerowym Na rysunku 9 pokazano wynk oblczeń dokładnych (MEB) natężena pola elektrycznego pod rozważanym układem płaskownków, na wysokoścach: 2 m 9 m. Z kole na rys.10 przedstawono rozkłady błędu względnego wynków uzyskanych za pomocą MEL. Błąd ten zdefnowano tak jak w punkce poprzednm w odnesenu do przykładu z trzema przewodam okrągłym. Jak wdać ne przekracza on tutaj 0,7 %.

20 62 W. Krajewsk W dalszej kolejnośc rozważono układ trzech kątownków równoramennych o długośc 5 m każdy, usytuowanych horyzontalne na wysokośc 10 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym (rys. 11). Odległość mędzy kątownkam wynosła 0,5 m. Układ podłączony był do jednofazowego źródła napęca 110 kv. Rozważono trzy przykłady różnące sę wymaram przekroju poprzecznego kątownków. Wymary te wynosły: 0,15 m 0,15 m, 0,1 m 0,1 m 0,05 m 0,05 m. Z tego rodzaju kątownków zbudowane są zwykle słupy WN. W precyzyjnych oblczenach natężena pola elektrycznego za pomocą MEB kątownk o wymarach: 0,15 m 0,15 m podzelono na 600 elementów brzegowych każdy. Dla kątownków o wymarach: 0,1 m 0,1 m 0,05 m 0,05 m zastosowano podzał odpowedno na elementów brzegowych. W ramach przeprowadzonej analzy dokładnośc MEL (dla układu kątownków) początkowo zastosowano tak sam model jak dla płaskownków, tzn. zgnorowano zagęce oraz ponowe bok kątownków. Rozkłady błędu względnego dla tak przyblżonego modelu, przy różnych wymarach poprzecznych kątownków pokazano na rys. 13, Jak wdać dla kątownków o wymarach: 0,15 m 0,15 m w odległośc 0,25 m od pozomej powerzchn kątownka błąd ten osąga prawe 22 %, w przypadku kątownka o wymarach: 0,1 m 0,1 m wynos 11% a dla kątownka o wymarach: 0,05 m 0,05 m ne przekracza 5 %. W odległośc dwa razy wększej błąd ten jest prawe czterokrotne mnejszy. Na wysokośc 2 m ponad płaszczyzną o potencjale zerowym omawany błąd kształtuje sę na pozome 1 %. Z powyższego wynka, że w welu przypadkach, gdy nteresują nas rozkłady pola w pewnej odległośc od konstrukcj wykonanej z kątownków można z powodzenem zastosować model MEL, tak jak dla płaskownków (pojedyncze elementy lnowe). W przypadku, gdy nteresują nas rozkłady pola w bezpośrednm sąsedztwe kątownków, jak ma to mejsce na przykład w zagadnenach modelowana pola elektrycznego dla warunków pracy pod napęcem [12, 13], można wprowadzć model udokładnony, gdze kątownk modelowany jest tak jak dwa przylegające do sebe płaskownk (podwójne elementy lnowe). Rozkłady błędu względnego dla tak udokładnonej MEL pokazano na rys. 14, 17, 20. Ponadto, na rys. 12, pokazano rozkłady natężena pola elektrycznego pod rozważanym układem kątownków, oblczone zarówno przy użycu MEB jak warantu MEL z zastosowanem podwójnych elementów lnowych.

21 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 63 Rys. 9. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech płaskownków o szerokośc 0,15 m, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv Rys. 10. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem MEL, pod układem trzech płaskownków o szerokośc 0,15 m, podłączonych do trójfazowego źródła napęca 110 kv

22 64 W. Krajewsk Rys. 11. Układ trzech kątownków o skończonej długośc, podłączony do jednofazowego źródła napęca 110 kv, umeszczony nad płaszczyzną o potencjale zerowym Rys. 12. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m, podłączonych do jednofazowego źródła napęca 110 kv lna cągła udokładnona MEL, lna przerywana BEM

23 Analza dokładnośc wybranych technk całkowo-brzegowych 65 Rys. 13. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem prostej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m Rys. 14. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem udokładnonej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,15 m 0,15 m

24 66 W. Krajewsk Rys. 15. Rozkłady natężena pola elektrycznego pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,1 m 0,1 m, podłączonych do jednofazowego źródła napęca 110 kv lna cągła udokładnona MEL, lna przerywana BEM Rys. 16. Błąd względny oblczeń natężena pola elektrycznego z zastosowanem prostej MEL, pod układem trzech kątownków o wymarach poprzecznych: 0,1 m 0,1 m

POMIAROWA WERYFIKACJA NUMERYCZNEJ ANALIZY WYBRANEGO ZAGADNIENIA EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI

POMIAROWA WERYFIKACJA NUMERYCZNEJ ANALIZY WYBRANEGO ZAGADNIENIA EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI Wojcech KRAJEWSKI Mchał FOTYMA 621.391.823 519.6 537.212 POMIAROWA WERYFIKACJA NUMERYCZNEJ ANALIZY WYBRANEGO ZAGADNIENIA EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI STRESZCZENIE W artykule przedstawono wynk eksperymentalnej

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz dr nż. Robert Geryło Jakość ceplna obudowy budynków - dośwadczena z ekspertyz Wdocznym efektem występowana znaczących mostków ceplnych w obudowe budynku, występującym na ogół przy nedostosowanu ntensywnośc

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4 SPIS TREŚCI. WSTĘP... 4.. WAśNOŚĆ PROBLEMATYKI BĘDĄCEJ PRZEDMIOTEM PRACY....4.. CELE PRACY....4.3. ZAKRES PRACY...4.4. WYKORZYSTANE ŹRÓDŁA....5. OBLICZENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH... 6.. MACIERZOWE

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012 ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW (88)/01 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANIE ASOWEGO OENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDE OSI PIONOWEJ DLA SAOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWIE WZORU EPIRYCZNEGO 1. Wstęp asowy moment

Bardziej szczegółowo

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ Nr 83 Budownctwo Inżynera Środowska z. 59 (4/1) 01 Bożena BABIARZ Barbara ZIĘBA Poltechnka Rzeszowska ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

Bardziej szczegółowo

Michal Strzeszewski Piotr Wereszczynski. poradnik. Norma PN-EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego. obciazenia cieplnego

Michal Strzeszewski Piotr Wereszczynski. poradnik. Norma PN-EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego. obciazenia cieplnego Mchal Strzeszewsk Potr Wereszczynsk Norma PN-EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego. obcazena ceplnego poradnk Mchał Strzeszewsk Potr Wereszczyńsk Norma PN EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Pomiary dawek promieniowania wytwarzanego w liniowych przyspieszaczach na użytek radioterapii

Pomiary dawek promieniowania wytwarzanego w liniowych przyspieszaczach na użytek radioterapii Pomary dawek promenowana wytwarzanego w lnowych przyspeszaczach na użytek radoterap Włodzmerz Łobodzec Zakład Radoterap Szptala m. S. Leszczyńskego w Katowcach Cel radoterap napromenene obszaru PTV zaplanowaną,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Michał Strzeszewski Piotr Wereszczyński. Norma PN EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego obciążenia cieplnego. Poradnik

Michał Strzeszewski Piotr Wereszczyński. Norma PN EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego obciążenia cieplnego. Poradnik Mchał Strzeszewsk Potr Wereszczyńsk Norma PN EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego obcążena ceplnego Poradnk Mchał Strzeszewsk Potr Wereszczyńsk Norma PN EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych NAFTA-GAZ styczeń 2011 ROK LXVII Anna Rembesa-Śmszek Instytut Nafty Gazu, Kraków Andrzej Wyczesany Poltechnka Krakowska, Kraków Zastosowane symulatora ChemCad do modelowana złożonych układów reakcyjnych

Bardziej szczegółowo

Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 29.03.2016 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Badane parametrów fotometrycznych

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku B u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr 3, 2012 Wyznaczane lokalzacj obektu logstycznego z zastosowanem metody wyważonego środka cężkośc studum przypadku Emla Kuczyńska, Jarosław Zółkowsk Wojskowa Akadema Technczna,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Oddzia³ywanie indukcyjne linii elektroenergetycznych wysokiego napiêcia na gazoci¹gi czêœæ I

Oddzia³ywanie indukcyjne linii elektroenergetycznych wysokiego napiêcia na gazoci¹gi czêœæ I WOJCIECH MACHCYÑSKI Instytut Elektrotechnk Przemys³owej, Poltechnka Poznañska, Poznañ WOJCIECH SOKÓLSKI SPP Corrpol, Gdañsk Oddza³ywane ndukcyjne ln elektroeneretycznych wysokeo napêca na azoc¹ czêœæ I

Bardziej szczegółowo

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Mara Konopka Katedra Ekonomk Organzacj Przedsęborstw Szkoła Główna Gospodarstwa Wejskego w Warszawe Analza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Wstęp Polska prywatyzacja

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR x(xx) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Metody wymiarowania obszaru manewrowego statku oparte na badaniach rzeczywistych

ZESZYTY NAUKOWE NR x(xx) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Metody wymiarowania obszaru manewrowego statku oparte na badaniach rzeczywistych ISSN 009-069 ZESZYTY NUKOWE NR () KDEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNRODOW KONFERENCJ NUKOWO-TECHNICZN E X P L O - S H I P 0 0 6 Paweł Zalewsk, Jakub Montewka Metody wymarowana obszaru manewrowego

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona 013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą

Zwój nad przewodzącą płytą Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOKŁADNOŚCI OBLICZANIA OBJĘTOŚCI MAS ZIEMNYCH

ANALIZA DOKŁADNOŚCI OBLICZANIA OBJĘTOŚCI MAS ZIEMNYCH Budownctwo 2 Wtold Paleczek ANALIZA DOKŁADNOŚCI OBLICZANIA OBJĘTOŚCI MAS ZIEMNYCH Wprowadzene We współcześne realzowanych projektach budowlanych, wykorzystujących opracowana geodezyjne, do oblczana objętośc

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA

PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA InŜynera Rolncza 7/2005 Jan Radoń Katedra Budownctwa Weskego Akadema Rolncza w Krakowe PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA Streszczene Opsano nawaŝnesze

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

BADANIA WYCINKA RURY ZE STALI G355 Z GAZOCIĄGU PO 15 LETNIEJ EKSPLOATACJI Część II.: Badania metodami niszczącymi

BADANIA WYCINKA RURY ZE STALI G355 Z GAZOCIĄGU PO 15 LETNIEJ EKSPLOATACJI Część II.: Badania metodami niszczącymi PL467 BADANIA WYCINKA RURY ZE STALI G355 Z GAZOCIĄGU PO 15 LETNIEJ EKSPLOATACJI Część II.: Badana metodam nszczącym Wtold Szteke, Waldemar Błous, Jan Wasak, Ewa Hajewska, Martyna Przyborska, Tadeusz Wagner

Bardziej szczegółowo

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ 4 MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ DWST WPZN 423189/BSZI13 Warszawa, 2013 -Q-4 Pan Marek Mchalak Rzecznk Praw Dzecka Szanowny Pane, w odpowedz na Pana wystąpene z dna 28 czerwca 2013 r. (znak: ZEW/500127-1/2013/MP),

Bardziej szczegółowo

kosztów ogrzewania lokali w budynku wielolokalowym.

kosztów ogrzewania lokali w budynku wielolokalowym. OGRZEWNICTWO Cepłownctwo, Ogrzewnctwo, Wentylacja 42/9 (2011) 346 350 www.ceplowent.pl Optymalna metoda wyznaczana współczynnków wyrównawczych do ndywdualnego rozlczana kosztów ogrzewana w budynku welolokalowym

Bardziej szczegółowo

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Ewa Szymank Katedra Teor Ekonom Akadema Ekonomczna w Krakowe ul. Rakowcka 27, 31-510 Kraków STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Abstrakt Artykuł przedstawa wynk badań konkurencyjnośc

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Bryła fotometryczna i krzywa światłości.

Bryła fotometryczna i krzywa światłości. STUDIA NIESTACJONARNE ELEKTROTECHNIKA Laboratorum PODSTAW TECHNIKI ŚWIETLNEJ Temat: WYZNACZANIE BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ ŚWIATŁOŚCI Opracowane wykonano na podstawe: 1. Laboratorum z technk śwetlnej (praca

Bardziej szczegółowo

WYWAŻANIE STATYCZNE WIRUJĄCYCH ZESTAWÓW RADIOLOKACYJNYCH

WYWAŻANIE STATYCZNE WIRUJĄCYCH ZESTAWÓW RADIOLOKACYJNYCH Szybkobeżne Pojazdy Gąsencowe (15) nr 1, 2002 Andrzej SZAFRANIEC WYWAŻANIE STATYCZNE WIRUJĄCYCH ZESTAWÓW RADIOLOKACYJNYCH Streszczene. Przedstawono metodę wyważana statycznego wolnoobrotowych wrnków ponowych

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE 3. KRYTERIA OCENY HAŁASU I DRGAŃ Hałas to każdy dźwęk nepożądany, przeszkadzający, nezależne od jego natury, kontekstu znaczena. Podobne rzecz sę ma z drganam. Oba te zjawska oddzałują nekorzystne na człoweka

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji.

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji. Zakład Systemów Zaslana (Z-5) Opracowane nr 323/Z5 z pracy statutowej pt. Opracowane metody predykcj czasu życa bater na obekce oceny jej aktualnego stanu na podstawe analzy beżących parametrów jej eksploatacj.

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem WARSZTATY 2003 z cyklu Zagrożena naturalne w górnctwe Mat. Symp. str. 461 466 Elżbeta PILECKA, Małgorzata SZCZEPAŃSKA Instytut Gospodark Surowcam Mneralnym Energą PAN, Kraków Analza ryzyka jako nstrument

Bardziej szczegółowo

dr inż. ADAM HEYDUK dr inż. JAROSŁAW JOOSTBERENS Politechnika Śląska, Gliwice

dr inż. ADAM HEYDUK dr inż. JAROSŁAW JOOSTBERENS Politechnika Śląska, Gliwice dr nż. ADA HEYDUK dr nż. JAOSŁAW JOOSBEENS Poltechna Śląsa, Glwce etody oblczana prądów zwarcowych masymalnych nezbędnych do doboru aparatury łączenowej w oddzałowych secach opalnanych według norm europejsej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Grzegorz PRZEKOTA ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Zarys treśc: W pracy podjęto problem dentyfkacj cykl gełdowych.

Bardziej szczegółowo

WADY W PROCEDURZE OBLICZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZENIKANIA CIEPŁA DEFECT IN PROCEDURE OF CALCULATION OF COEFFICIENT OF PENETRATION OF WARMTH

WADY W PROCEDURZE OBLICZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZENIKANIA CIEPŁA DEFECT IN PROCEDURE OF CALCULATION OF COEFFICIENT OF PENETRATION OF WARMTH ANDRZEJ DYLLA, KRZYSZTOF PAWŁOWSKI WADY W PROCEDURZE OBLICZANIA WSPÓŁCZYNNIKA PRZENIKANIA CIEPŁA DEFECT IN PROCEDURE OF CALCULATION OF COEFFICIENT OF PENETRATION OF WARMTH Streszczene Głównym celem nnejszego

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania. Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, 0-031 Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507

AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507 Archwum Fotogrametr, Kartograf Teledetekcj, Vol. 19, 2009 ISBN 978-83-61576-09-9 AUTOMATYZACJA PROCESU POMIARU OBJĘTOŚCI ZBIORNIKÓW CYLINDRYCZNYCH W OPARCIU O NORMĘ ISO-7507 THE AUTOMATION OF CYLINDRICAL

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH Prace Naukowe Instytutu Górnctwa Nr 136 Poltechnk Wrocławskej Nr 136 Studa Materały Nr 43 2013 Jerzy MALEWSKI* Marta BASZCZYŃSKA** przesewane, jakość produktów, optymalzacja OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Bogdan Supeł

ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Bogdan Supeł ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Wstęp Bogdan Supeł W ostatnm czase obserwuje sę welke zanteresowane dzannam dystansowym do produkcj materaców. Człowek około /3 życa

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola elektrycznego

Badanie rozkładu pola elektrycznego Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta Wprowadzene Zagadnena Sztucznej Intelgencj laboratorum Sec Neuronowe 1 Mchał Bereta Sztuczne sec neuronowe można postrzegać jako modele matematyczne, które swoje wzorce wywodzą z bolog obserwacj ludzkch

Bardziej szczegółowo

GENERATOR SIATEK MEB I MEL DO ANALIZY ZAGROśEŃ ELEKTROMAGNETYCZNYCH W WARUNKACH WYKONYWANIA PRAC POD NAPIĘCIEM W ELEKTROENERGETYCE* )

GENERATOR SIATEK MEB I MEL DO ANALIZY ZAGROśEŃ ELEKTROMAGNETYCZNYCH W WARUNKACH WYKONYWANIA PRAC POD NAPIĘCIEM W ELEKTROENERGETYCE* ) Wojciech KRAJEWSKI GENERATOR SIATEK MEB I MEL DO ANALIZY ZAGROśEŃ ELEKTROMAGNETYCZNYCH W WARUNKACH WYKONYWANIA PRAC POD NAPIĘCIEM W ELEKTROENERGETYCE* ) STRESZCZENIE W artykule zaproponowano realistyczne,

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009.

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009. A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk Elżbeta

Bardziej szczegółowo

- opór właściwy miedzi (patrz tabela 9.1), l długość nawiniętego na cewkę drutu miedzianego,

- opór właściwy miedzi (patrz tabela 9.1), l długość nawiniętego na cewkę drutu miedzianego, Zadana do rozdzału 9. Zad. 9.. Oblcz opór elektryczny cewk, składającej sę z n = 900 zwojów zolowanego drutu medzanego o średncy d = mm (w zolacj, mm) w temperaturze t = 60 o C. Wymary cewk przedstawono

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn..03.013 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE PRZEPŁYWU POWIETRZA W KANAŁACH WENTYLACYJNYCH PIECZARKARNI

MODELOWANIE PRZEPŁYWU POWIETRZA W KANAŁACH WENTYLACYJNYCH PIECZARKARNI Inżynera Rolncza 10(108)/2008 MODELOWANIE PRZEPŁYWU POWIETRZA W KANAŁACH WENTYLACYJNYCH PIECZARKARNI Leonard Vorontsov, Ewa Wachowcz Katedra Automatyk, Poltechnka Koszalńska Streszczene: W pracy przedstawono

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY

ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Barbara Batóg *, Jacek Batóg ** Unwersytet Szczecńsk ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB

Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych

Bardziej szczegółowo

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.

Bardziej szczegółowo

Określanie zapasu wody pod stępką w porcie Ystad na podstawie badań symulacyjnych

Określanie zapasu wody pod stępką w porcie Ystad na podstawie badań symulacyjnych Scentfc Journals Martme Unversty of Szczecn Zeszyty Naukowe Akadema Morska w Szczecne 2008, 13(85) pp. 22 28 2008, 13(85) s. 22 28 Określane zapasu wody pod stępką w porce Ystad na podstawe badań symulacyjnych

Bardziej szczegółowo