Numeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury

Transkrypt

1 Zakład Aerodynamiki i ermodynamik Instytut echniki Lotnicze, Wydział Mechatroniki Woskowa Akademia echniczna Numeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury Piotr Koniorczyk Mateusz Zieliński Warszawa 018

2 Współczesne konstrukce maszyn energetycznych cechue dążenie do osiągnięcia wysokie sprawności i duże koncentraci mocy. Części tych maszyn bywaą narażone na wysokie temperatury i wysokie naprężenia termiczne. Dlatego wielką uwagę przypisue się do metod precyzynego obliczania pól temperatur w elementach o złożonych kształtach, przy założonych warunkach brzegowych. Wśród metod rozwiązywania równań przewodnictwa ciepła decyduące znaczenie maą metody numeryczne, w tym metoda różnic skończonych. Metody analityczne zawodzą przy skomplikowanych kształtach współczesnych maszyn i mogą edynie służyć do sprawdzania dokładności rozwiązana pozostałymi metodami. 1. Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych polega na aproksymaci pochodnych ilorazami różnicowymi. W celu wyprowadzenia wzorów różnicowych dla pochodnych funkci (, ) y w szereg aylora wokół punktu, szereg przybiera postać: i oraz y stosue się rozkład. Z rozkładu wynika, że dla pochodne ( ) ( ) 3 3 = i+ 1, 3 (1) Po przekształceniu zależności (1) otrzymuemy pochodną w postaci ilorazu różnicowego: ( ) ( ) 3 i+ 1, i+ 1, = () Podobnie wygląda sytuaca dla pochodne y : ( y) ( y) y y y y y = (3) Dla przypadku ustalonego przewodzenia ciepła w ciele o stałym współczynniku przewodzenia ciepła oraz braku wewnętrznych źródeł ciepła równanie przewodzenia ciepła przymue postać równania różniczkowego Laplace a: = = 0 (4)

3 które dla przypadku dwuwymiarowego ma postać: + 0 = y (5) Przykładowo dla obszaru przedstawionego na rys. 1 pierwsze pochodne dla punktu o indeksach przymuą postać (6): Rys. 1 Przykładowy obszar dyskretyzaci metoda różnic skończonych y y i 1, 1 i+ 1, i 1, (6) Na podstawie ilorazów różnicowych pierwszych pochodnych zostały wyznaczone ilorazy różnicowe drugich pochodnych dla punktu o indeksach : ( ) ( ) + i 1, i+ 1, i 1, = ( ) ( ) ( ) y y + i 1, = y y ( y) Po podstawieniu ilorazów różnicowych (7) do wyrażenia (5), otrzymano następuące zależności: (7) = + = 0 i+ 1, i 1, y ( ) ( y) (8) i + 1, + i 1, + i, i, 1 4i, = 0 (9)

4 Z wyrażenia (9) wynika, że temperatura dla punktu stanowi średnią arytmetyczną (10): i+ 1, i 1, =. (10) Przykład zastosowania metody różnic skończonych (MRS) Obliczyć pole rozkładu temperatury w płytce kwadratowe p boku π, ogrzewane z ednego boku. Widok płytki przedstawiono na rys. a. a) y y=π (, π)=0 (0, y)=0 (π, y)=0 0 (,0) =1 =π b) Rys. a). Płytka kwadratowa ogrzewana wzdłuż ednego boku, b) dyskretyzaca połowy pola kwadratu i numeraca węzłów przy kroku dyskretyzaci π /4. Przyęto następuące warunki brzegowe (WB) I rodzau na obwodzie płytki: ( ) ( ) ( ) ( ) 0, y =, y = 0 dla 0 y,0 = 1 dla 0, = 0 dla 0 Na rysunku b przedstawiono dyskretyzowany obszaru do obliczeń. Ze względu na symetryczny charakter rozpatrywanego przypadku dyskretyzaci podlega tylko połowa obszaru (11)

5 kwadratowe płytki. Przez węzły,4,6 przebiega oś symetrii płytki. Dyskretyzaca została przeprowadzona tak, aby część węzłów znalazła się dokładnie na brzegu obszaru. W węzłach oznaczonych 0 i 10 przyęto wartości zgodne z warunkami brzegowymi: 0 = 0 a 10 = 1. Dla węzła 1 zgodnie z przedstawioną siatką na rysunku b) oraz zależnością (9) mamy: = gdzie i + 1, = 3, i 1, = 0, i, + 1 =, i, 1 = 0 (1) Czyli temperatura w węźle 1 będzie równa = (13) Porządkuąc składniki wyrażenia (1) oraz dodaąc do niego temperatury dla węzłów 4,5,6 wraz z zerowymi współczynnikami otrzymano zależność o postaci: = (14) Powtarzaąc powyższe operace dla pozostałych węzłów (od do 6) uzyskano układ równań liniowych: = = = = = = 10 ( ) Który można zapisać przy pomocy następuących macierzy: ,, 3 0 A = = B = gdzie: A-macierz współczynników, -wektor temperatur, B-wektor wyrazów wolnych. Układ równań liniowych w postaci macierzowe przymue następuącą postać: (15) (16) A = B (17)

6 Rozwiązanie tak przedstawionego układu równań przeprowadzono przy pomocy macierzy odwrotne oraz metod iteracynych. Zastosowanie macierzy odwrotne do macierzy A pozwala uzyskać zależność: 1 A B = (18) ak uzyskany układ równań można rozwiązać przy pomocy arkusza kalkulacynego Ecel lub pakietu obliczeniowego Matlab. Poniże została przedstawiona instrukca ak przeprowadzić obliczenia z wykorzystaniem macierzy odwrotne w programie EXCEL. 1.. Obliczenia układu równań przy pomocy programu EXCEL. Krok 1: Utworzyć macierz A zawieraącą współczynniki równań. Na rys. 3 został przedstawiony przykład utworzone macierzy współczynników A. Rys. 3 Macierz A zawieraąca współczynniki równań liniowych Krok : Utworzyć wektor B zawieraącą wyrazy. Na rys. 4 został przedstawiony przykład utworzonego wektora wyrazów wolnych B. Rys. 4 Wektor B zawieraący wyrazy wolne Krok 3: Zaznaczyć obszar, w którym maą znadować się wartości macierzy odwrotne A -1. Wcisnąć kombinacę klawiszy Ctrl+Shift+F a następnie po znaku = wprowadzić formułę MACIERZ.ODW(tablica) wstawiaąc ako argument tablica zakres komórek obemuący wartości macierzy A. Koleno zatwierdzić działanie formuły poprzez naciśnięcie kombinaci klawiszy Ctrl+Shift+Enter. Na rys. 5 został przedstawiony przykład obliczania macierzy odwrotne A -1. Rys. 6 przedstawia wynik obliczeń przykładowe macierzy odwrotne A -1.

7 Rys. 5 Obliczanie macierzy odwrotne A -1 Rys. 6 Macierz odwrotna A -1 Krok 5: Zaznaczyć obszar, w którym maą się znadować wartości wektora temperatur. Wcisnąć kombinacę klawiszy Ctrl+Shift+F a następnie po znaku = wprowadzić formułę MACIERZ.ILOCZYN(tablica1;tablica) podstawiaąc pod argument tablica1 zakres komórek obemuący wartości macierzy odwrotne A -1 a pod argument tablica zakres komórek obemuący wartości wektora B. Koleno zatwierdzić działanie formuły poprzez naciśnięcie kombinaci klawiszy Ctrl+Shift+Enter. Na rysunku 7 został przedstawiony przykład obliczania wartości macierzy temperatur. Rys. 8 przedstawia wynik obliczeń wartości macierzy temperatur. Rys. 7 Obliczanie wektora temperatur Rys. 8 Wektor temperatur

8 . Metoda kolenych przybliżeń, metoda nadrelaksaci Metoda kolenych przybliżeń korzysta z zależności (10) w obliczaniu wartości temperatury w węzłach zadanego przypadku. Założono początkowy rozkład temperatury w taki sposób ak na rys. 9. Rys. 9 Założony rozkład temperatury Następnie obliczono w poszczególnych węzłach (komórkach) wartości na podstawie zależności (10) za każdym razem podstawiaąc w wybranym węźle nową wartość. Koleność przeliczenia w pierwszym przybliżeniu została przedstawiona na rys. 10. Rys. 10 Koleność obliczeń w pierwszym przybliżeniu Rysunek powyże prezentue tylko pierwsze przybliżenie. Aby wyniki dla metody iteracyne były zbliżone z wynikami uzyskanymi przy pomocy macierzy odwrotne należało powtórzyć obliczenia około 15 razy. Na rys. 11 przedstawiono wyniki obliczeń.

9 Rys. 11 Wynik obliczeń metodą kolenych przybliżeń rozpatrywanego przypadku W celu szybszego uzyskania rozwiązania stosue się modyfikacę metody kolenych przybliżeń poprzez wprowadzenie współczynnika relaksaci. Jeśli współczynnik relaksaci ω będzie zawierać w przedziale (1;) to metodę nazywamy wtedy nadrelaksacą. Współczynnik relaksaci do wyrażenia (10) wprowadza się w następuący sposób: ( n 1) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( i + 1, i 1, i, + 1 i, 1 ) = ( 1 ) + (0) 4 3. Podstawowe źródła błędów występuąc w obliczeniach numerycznych i poęcia związane z błędami Zagadnienia rozwiązywane przy pomocy metod numerycznych na ogół są obarczone pewnym błędem. Można rozróżnić następuące błędy: Błędy metody związane są ze sformułowaniem samego zagadnienia matematycznego które rzadko opisue realne zawiska a racze wyidealizowany model. Błędy obcięcia związane są z koniecznością zakończenia obliczeń na pewnym wyrazie ciągu bądź sumy szeregu która est wykorzystywana w obliczeniach numerycznych. Błędy zaokrąglenia powstaą one w wyniku zaokrąglenia liczby, które polega na odrzuceniu z nie wszystkich cyfr, poczynaąc od pewnego miesca. Błędy początkowe występuą one w związku z obecnością we wzorach matematycznych parametrów liczbowych, których wartość można określić edynie w przybliżeniu, np. stale fizyczne. Błędy działań arytmetycznych związane są z wykonywaniem działań arytmetycznych na liczbach przybliżonych. W wyniku działań arytmetycznych na liczbach przybliżonych przenosimy do obliczeń błędy danych początkowych.

10 Błędem bezwzględnym liczby przybliżone a nazywa się wartość bezwzględną różnicy pomiędzy liczbą dokładną A i liczbą przybliżoną a = A a (1) Błędem względnym δ liczby przybliżone a nazywamy stosunek błędu bezwzględnego te liczby do wartości bezwzględne liczby dokładne A (A 0) = () A 4. Przebieg ćwiczenia Rys. 9 Dyskretyzaca połowy pola kwadratu i numeraca węzłów przy kroku dyskretyzaci 0,1π Rozwiązanie analityczne dla przykładu przedstawionego na rysunku 9 przymue postać szeregu (3) ( n ) ( n )( y) ( m 1) sinh ( n 1) 4 sin 1 sinh 1 (, y) = (3) n= 1 oraz przy założeniu liczby wyrazów szeregu n=38 uzyskue się rozwiązanie przedstawione w tabeli 1 poniże.

11 abela 1 Wyniki obliczeń analitycznych y 0,1Π 0,Π 0,3Π 0,4Π 0,5Π 0,9Π 0,0109 0,008 0,085 0,0334 0,0351 0,8Π 0,030 0,0437 0,0599 0,070 0,0737 0,7Π 0,0375 0,0711 0,097 0,1138 0,1194 0,6Π 0,056 0,1060 0,1444 0,1684 0,1765 0,5Π 0,0816 0,158 0,063 0,391 0,500 0,4Π 0,1180 0,178 0,895 0,3316 0,3454 0,3Π 0,1745 0,31 0,408 0,453 0,4679 0,Π 0,740 0,4563 0,5569 0,6060 0,608 0,1Π 0,4891 0,683 0,7594 0,793 0, Uruchomić arkusz Ecela załączony do instrukci.. Otworzyć arkusz Obliczenia temperatury. 3. Korzystaąc z funkci macierzowych obliczyć macierz odwrotną macierzy wyznaczników A Korzystaąc z funkci macierzowych wyznaczyć wartości wektora temperatur poprzez obliczenie iloczynu wektora wyrazów wolnych B i macierzy odwrotne A Wprowadzić wyniki obliczeń wartości temperatur zawartych w wektorze do tabeli nr (Arkusz: Rozkład em. i Obl. Błędu ) tak aby uzyskać rozkład zgodny z rys Z wykorzystaniem wyrażeń (19) i (0) obliczyć błąd bezwzględny i względny w odniesieniu do wyników obliczeń analitycznych. Zamieszczonych w tabeli nr 1 (Arkusz: Rozkład em. i Obl. Błędu ). Uzyskane wyniki zamieścić odpowiednio w tabelach Δ i δ. 7. Korzystaąc z arkusza Metoda kolenych przybliżeń ustalić liczbę iteraci aka est potrzebna do obliczenia zadanego przypadku. 8. Korzystaąc z arkusza Metoda kolenych przybliżeń ustalić liczbę iteraci dla metody nadrelaksaci przy zmianie współczynnika nadrelaksaci od 1,1 do 1,9 w kroku co 0,1. 9. Obliczyć błąd bezwzględny i względny dla metody kolenych przybliżeń i nadrelaksaci przy współczynniku o naszybsze zbieżności. Wyniki rozkładu oraz błędów zamieścić w tabelach 3, 3Δ i 3δ oraz 4, 4Δ i 4δ w arkuszu Rozkład em. i Obl. Błędu.

12 5. Pytania 1. Napisać postać różniczkową równania Laplace a dla przypadku dwuwymiarowego.. Czym est temperatura i w dowolnym punkcie siatki dla dwuwymiarowego przypadku ustalane wymiany ciepła w ciele o stałym współczynniku przewodzenia ciepła oraz braku wewnętrznych źródeł ciepła? 3. Dla akiego przypadku przewodzenia ciepła wykorzystywane est równanie różniczkowe Laplace a? 4. Wypisać zależności na obliczanie błędu względnego i bezwzględnego oraz opisać e. 5. Wymienić rodzae błędów występuących w obliczeniach numerycznych. 6. Podać metody rozwiązywania równań liniowych stosowanych w obliczeniach numerycznych. 7. Z akiego szeregu korzystamy stosuąc metodę różnic skończonych? Podać przykład rozkładu funkci (,y) w ten szereg wokół punktu o indeksach () względem edne ze zmiennych. 8. Wymienić warunki brzegowe występuące w obliczeniach wymiany ciepła i krótko e scharakteryzować. 9. Na czym polega metoda kolenych przybliżeń. 6. Wymagania dotyczące wykonania sprawozdania W sprawozdaniu zawrzeć opis wykonanych obliczeń, wyniki obliczeń w postaci dwuwymiarowe tabelki z naniesioną skalą kolorów oraz odpowiadaące e tabelki związane z policzeniem błędu bezwzględnego i względnego. Przykładowe obliczenia błędów. Wykres słupkowy porównuący niezbędną liczbę iteraci do uzyskania wyników dla MKP i metody nadrelaksaci dla różnych wartości ω. We wnioskach odnieść się do uzyskanych wyników oraz wartości błędów. Porównać zastosowane metody.