Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x."

Transkrypt

1 Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y = x g) y = x h) y = x y = x + y = x y = 4 x y = x i) y = x j) y = x III.4 Znajdź miejsca przecięcia wykresów funkcji: a) { y = x y = x + { y = x + y = x { y = x + y = x { y = y = x 5 III.5 Dla jakich argumentów funkcja f(x) przyjmuje wartości: a) f(x) = x 0, wartości dodatnie f(x) = x +, wartości dodatnie f(x) = x + 6, wartości ujemne f(x) = x + 6, wartości ujemne e) f(x) = x 4 wartości mniejsze od f) f(x) = x + wartości większe od g) f(x) = x wartości z przedziału [ 5, ) h) f(x) = x wartości z przedziału (, ) III.6 Jakie jest położenie punktu (x, y) w stosunku do wykresu a) Punkt (,4), y = x + Punkt (, ), y = x + III.7 Jaki jest obraz zbioru: a) [0, 4) w funkcji f(x) = x (, ) w funkcji f(x) = x + (, ] w funkcji f(x) = [ π, π] w funkcji f(x) = x III.8 Narysuj wykres zależności obwodu okręgu od jego średnicy. III.9 Blat stołu ma kształt dwóch półkoli o promieniu R = m rozdzielonych prostokątem o długości x i szerokości m. Brzegi blatu zabezpiecza się taśmą okleiny. Narysuj wykres funkcji opisującej długość potrzebnej taśmy od wymiaru x.

2 III.0 Ciśnienie, objętość i temperaturę gazu wiąże równanie: pv T = nr, gdzie n oznacza ilość moli gazu, a R stałą gazową. Dobieramy tak ilość gazu, by prawa strona była równa. Narysować wykresy funkcji ciśnienia od temperatury dla różnych objętości gazu. Pa m K III. Prostokąt ma proporcje :. Znaleźć a) obwód prostokąta przekątną prostokąta obwód trójkąta będącego połową prostokąta długość okręgu opisanego na prostokącie w funkcji długości krótszego boku. III. Znajdź funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkt (, ) i jest nachylony do osi x pod kątem: a) π/6 π/4 π/ III. Dany jest sześciokąt foremny na płaszczyźnie XY o boku długości, środku w punkcie (0, 0) i dwóch wierzchołkach na osi X. Znaleźć proste, których odcinkami są boki sześciokąta. III.4 Trójkąt równoboczny o boku umieszczono w układzie współrzędnych tak, że jego dolna podstawa leży na osi OX, a górny wierzchołek na osi OY. Znaleźć równania prostych, których odcinkami są boki trójkąta. III.5 Znaleźć funkcję liniową, której wykres ma wspólne miejsce zerowe z wykresem funkcji y = x + i współczynnik kierunkowy. III.6 Znaleźć funkcję, która ma wspólne miejsce zerowe z funkcją y = x 4 i której wykres jest równoległy do prostej y = x. III.7 Znaleźć funkcję liniową, której wykres ma wspólne miejsce zerowe z wykresem funkcji y = x + i przecina oś Y w punkcie (0, ). III.8 Znaleźć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty: a) (0, 0) i (, ) (, 0) i (0, ) (, ) i (, ) (, ) i (, ) e) (, 0) i (, ) f) (, ) i (, ) III.9 Znaleźć równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez dany punkt: a) y = x, (, ) y = x +, (, ) y = x 4, (, ) y = x +, (9, 0) III.0 Znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt: a) y = x, (, ) y = x +, (, ) y = x 4, (, ) y = x +, (9, 0) III. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez jej miejsce zerowe: a) y = x, y = x +, y = x 4, y = x +, III. Znajdź proste prostopadłe do podanych przechodzące przez ich punkt przecięcia z osią OY:

3 a) x y + = 0 x y + 7 = 0 III. Znajdź wektor równoległy i prostopadły do prostej: a) y = x + y = 5x 5 y = x III.4 Znajdź prostą równoległą i prostopadłą do zadanej przechodzącą przez zadany punkt: a) x y = 0, (, ) x + 4y = 0, (0, ) x + y + = 0, (, ) x y + = 0, (4, ) e) x = 0, (, 4) f) y + 5 = 0, (, 4) III.5 Znajdź punkty przecięcia się prostych: a) x y + = 0 i 4x + y + 5 = 0 y 6 = 0 i x y = 0 x + y 4 = 0 i x 4 y + = 0 x y = 0 i x + 4y + = 0 e) x + y = 0 i x y = 0 f) x + y = 0 i x + y = 0 III.6 Jak zależy liczba rozwiązań układu równań od parametru m? Znajdź jawną postać rozwiązania: a) { mx + y = x + my = { mx + my = x + y = m { x + y = m mx + y = { mx + y + = 0 x + my = y III.7 Dla jakich wartości parametru m podane proste mają punkt wspólny: a) mx + y = i x my = m x+my = i ( m)x y = m III.8 Narysuj wykresy: a) y = x y = x + y = x y = (x ) e) y = (x + ) f) y = (x + ) + g) y = 4 x h) y = 4 x + III.9 Podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowych podanych w postaci ogólnej i narysuj ich wykresy: a) y = x x + y = x x y = x x + y = x x 4 e) y = x 5x + 6 f) y = x x + 5 g) y = x x h) y = x + x 4 III.0 Podaj postać iloczynową (o ile istnieje) funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej: a) y = (x ) 4 = 0 y = (x ) y = (x ) + y = (x ) 9 e) y = (x 5 ) 4 f) y = (x ) + 4 g) y = (x ) 4 h) y = (x + ) 5 4 III. Podaj postać iloczynową (o ile istnieje) funkcji kwadratowej podanej w postaci ogólnej:

4 a) y = x + x y = x + x + y = x + 6x + 9 y = x + x e) y = x x + f) y = x + III. Rozwiąż równania z niewiadomą x a) x + 4x = 5 x 0x = 4 x = x III. Rozwiąż nierówność: a) x + x 0 x x + < 0 III.4* Znajdź przeciwobraz zbioru: x 4 + x = 8 e) x 6 x + = 0 f) (x +5x) (x +5x) = 4 x 5x 4 > 0 5x + 7 > 4x g) x ax + a b = 0 h) abx (a + x + = 0 i) (x + (x + ab = ax e) x x 0 f) (4x ) > 9 a) (, 0] w funkcji y = x + x [0, ) w funkcji y = x x + (, 6) w funkcji y = x 6x + 6 e) [, ) w funkcji y = x x ( 5, 0) w funkcji y = x + x + III.5* Znajdź obraz zbioru: a) (, ) w funkcji y = x + x + 4 [, ) w funkcji y = x + III.6 Wyraź podaną funkcję pierwiastków x, x równania kwadratowego ax + bx + c = 0 przez współczynniki a, b, c korzystając ze wzorów Viete a: a) x + x x + x x x + x x x + x III.7 Dla jakich wartości parametru m równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania: a) (m 5)x 4mx + m = 0 (m )x (m + )x + m + = 0 III.8 Dla jakich wartości parametru m równanie ma oba pierwiastki dodatnie, a dla jakich oba ujemne? a) x + (m )x + m + 5 = 0 x (m )x + (m + ) = 0 III.9 Dla jakich wartości parametru m równanie x + (m + )x + 9m 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków? III.40* Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x + mx + m = 0 są sinusem i cosinusem tego samego kąta? III.4* Dla jakich wartości parametru m suma pierwiastków równania x m(x ) = 0 jest równa sumie kwadratów pierwiastków? III.4* Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x + mx 6 = 0 jest równa 4? III.4* Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji przechodzą przez III i IV ćwiartkę UW? 4

5 a) y = x mx + m y = x +(m )x+m+5 III.44 Znaleźć położenie wierzchołka paraboli y = x + (m + )x (m + 4) w zależności od parametru m. III.45 Dla jakich wartości parametru m funkcja y = mx + (m )x + m + ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą y = x +? Narysuj wykres tej funkcji i prostej dla obliczonej wartości parametru. III.46 Dla jakich wartości parametru m dane równanie ma zawsze rozwiązanie? a) (4 m)x x + m + 4 = 0 (m 5)x 4mx+m = 0 III.47* Do boków prostokąta o obwodzie l przyczepiono półkola. Dla jakiej proporcji boków figura ma najmniejsze pole? III.48* Dwa pojazdy poruszają się z prędkością v po prostopadłych drogach. Pierwszy pojazd mija skrzyżowanie w chwili t = 0, a drugi w chwili t. Jak wygląda funkcja odległości między pojazdami? Kiedy odległość pomiędzy nimi będzie najmniejsza? III.49 Zamień miarę łukową na miarę stopniową: a) π 4 7π 6 e) π 8 g) 7π 0 h) 4π 5 π π f) 4π 9 i) III.50 Zapisz w mierze łukowej: a) 0 60 e) 5 g) f) 70 h) 57 III.5 O jakie kąty przesunęła się minutowa wskazówka zegara między godzinami: a) :00 a :0 0:45 a :55 7:00 a 5:00 III.5 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych następujących kątów korzystając ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych (odpowiedzi znajdziesz w tablicach matematycznych): a) 0 80 g) 40 j) 5 5 e) 0 h) 70 k) 0 50 f) 5 i) 00 l) 60 III.5 Oblicz: a) sin 5 cos 70 g) tg 0 j) cos( 0 ) cos 05 e) sin 50 h) cos 40 tg 05 f) tg 5 i) sin( 0 ) III.54 Uprość wyrażenie: a) sin(4π + α) cos(π + α) g) sin(α π ) tg(α π ) e) tg(π α) sin(π α) f) cos( π + α) 5

6 III.55 Sprowadź podane wyrażenia do najprostszej postaci a) tg α cos α ( + sin β)( sin β) cos α sin α + sin α + tg α sin α + cos α e) cos α sin α III.56 Sprawdź, czy dana równość jest tożsamością trygonometryczną: a) (sin x + cos x) + (sin x cos x) = ( + tg x) cos x = cos x sin x = tg x sin x + cos x + + cos x = sin x sin x e) sin x = (sin x cos x) f) cos x + sin x + cos x sin x = cos x cos x III.57 Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości: a) sin(α + β) sin(α β) = sin α sin β cos(α + β) cos(α β) = cos α cos β cos α cos(α + β) + sin α sin(α + β) = cos β cos β cos(α β) + sin β sin(α β) = cos β III.58 Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości, podaj konieczne założenia: a) sin α + cos α = tg α ctg α = cos α tg α + ctg α cos α sin α = tg α tg α tg β = sin(α + β) sin(α β) cos α cos β III.59 Wykaż, że: a) (cos α cos β) + (sin α sin β) = 4 sin α β ( + cos α) sin α = 4 cos 4 α III.60 Wiedząc, że tg α = /, oblicz wartość wyrażenia: sin α cos α 5 cos α 7 sin α III.6 Wiedząc, że tg α =, oblicz wartość wyrażenia: III.6 Rozwiąż równanie cos α sin α sin α cos α + cos α sin x(sin x tg x + cos x) = tg x a) sin α = 0 cos α = tg α = + 4 cos(0.5x) = e) cos x cos x = 0 f) cos 4 x sin 4 x = g) cos π cos x sin π sin x = h) cos x + sin x = i) sin x = sin x j) tg 5x = tg x k) sin x = 6

7 l) ( x ) tg = m) sin x 4x = 0 III.6 Rozwiąż równania: a) sin x + cos x = + cos x + cos x = 0 (sin x + cos x) = cos x cos 4 x sin 4 x = sin 4x e) sin x + sin x = sin x n) cos x x = f) cos x = sin x + cos x g) sin x = sin x + sin x h) sin x sin x = cos x cos x i) cos x + sin x + = 0 j) (cos x sin x) + tg x = sin x III.64* Dla jakich wartości parametru m równanie + sin (mx) = cos x ma tylko rowiązanie? III.65* Wyznacz te wartości parametru k, dla których podane równania mają rozwiązania a) sin x + sin x + k = 0 sin x = k 4 k sin 4 x + cos 4 x = k III.66* Wiedząc, że p R rozwiązać równania a) sin(x p) = sin x sin p tg p tg x = tg(p x) III.67 Rozwiąż nierówności: a) sin x > 4 sin x sin x < 6 cos x tg(x ) < sin x < e) ctg x > f) cos x < 4 g) sin x sin x h) cos x + cos x > 0 i) cos x + cos x < j) 4(sin x cos x ) k) 4 cos x + sin x < 5 cos x l) ctg(x) < m) sin x n) cos( π 6 + x) > o) tg(πx) III.68* Udowodnić, że 8 < cos 0 cos 40 cos 70 < 4. III.69 Sporządź wykresy funkcji na przedziale [ π, π] a) y = sin(x) y = cos(x) y = sin(x) III.70 Wyznacz k. a) 0, 0 k = 000, k = 0, III.7 Rozwiąż równanie. y = sin(x π/) e) y = cos(x + π/6) f) y = sin(x + π/), 0 k = 0000, 0 0 k = 0, g) y = cos(π/6 x/) 7

8 a) 5x 8 = 4 x 4 x = 8 x III.7 Rozwiąż równanie a) 7 x + = 7 x x 6x 5/ = 6 4 x = 8 4x 6 x + x = 0 e) x 4 x + = 0 III.7 Rozwiąż równanie. ( 4 ) 4x 5 ( 5 5x 4 = 5 4) x = 7 f) 0, 4 x 5 8 0, 4x = 6, 5 g) 5 x+ + 5 x = 750 h) x + x = 65 i) 0, 5 4 x x = 6 x+ j) 7 9x x = 4x e) 5 x 5 5 x+ = 5 f) x 4 7 x = 9 x k) 5 x 6x+7 = 5 l) 6 x x+ = 6 m) 4 x = ( ) x 6 n) 7 x x +4x = 49 x a) x x+ = 8 ( ) 4x x+ = 6 e) ( ) x + x = 8 x+ x x+5 = 7 ( ) x+ 4x = 5 5 f) ( ) x 6x = ( ) 4x 5 III.74 Rozwiąż równanie a) x + x + 4 x + 4 x = 4 6 x 8 4 x + 6 = 0 x + 9 x = 6 x 9 x 4 x + = 0 e*) ( ) x x+ + ( + ) x x+ = 4 III.75 Rozwiąż równanie: a) x +x = 8 ( ) x = 4 ( ) x 4 +x (0, 5) x x+ = 64 x+ x x = 5 e) 7 4 x x+ = x f) x+ + 5 x+ = g) x + 5 x + 6 = 0 h) 4 x 7 4 x +4 4 x 8 = 0 i) x + x = j) ( + ) x + ( ) x = 4 k) x+5 x+ = x+6 l) 6 x 9 x 5 x x = 0 III.76 Rozwiąż nierówność: a) 5 x 6 < 5 6x f) ( 5 ) x+ 5 (0, ) 8x > (0, ) x ( ) x+5 < ( ) 4 x > 8 e) 4 x < 8 g) x < 7 x+8 ( h) ) x+ ( i) 0, 5 x x j) x +x 6 x+ ) x+ ( 7 ) x > 8 8

9 k) x 8 x x 8 m) 6 x + x+ + 8 < 0 l) ( ) x+ 4 9 III.77 Rozwiąż nierówność: a) 7 5x +8x > ( ) x+ x < e) x+ + x < 96 f) 5 4 x 5 x < 4 x 5x+4 < 6x x < 7 x x g) 4x 6 x III.78 Rozwiąż nierówność a) x x+ 4 ( ) 4x x+ 6 e) ( ) x 8 x x+5 > 7 ( ) x +x 5 5 f) ( ) x +x+ 4 6 III.79* Rozwiązać układy równań a) { 64 x + 64 y = 64 x+y = 4 { y 4 x = 8 4 y 9 x = 48 { 8 x 4 y+ = 6 (x ) 8 y = III.80 Sporządzić wykresy funkcji: a) y = x + y = x + y = ( ) x ( ) x y = x x + e) y = x + f) y = x+ x III.8 Rozwiązać równanie 0, 5 0,5x(x ) 0,75 = 4 0, 5 m, podać warunek istnienia pierwiastków oraz obliczyć pierwiastki dla m = 5. III.8 Narysuj wykres funkcji a) y = x+ y = ( ) x + y = π x y = e) y = ( ) x ( ) x+ III.8 Rozwiąż graficznie równanie, nierówność lub układ równań: a) x+ = x y = x e) 4 x y = = 5 x x ( ) x x+ x y = f) x < x x + y = 5 4 y = x x g) y = 4 x + 4 9

10 III.84* Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m (m R): a) 4 x = m x x = m x +x = m III.85* Rozwiąż układy równań: a) { 7 x = 9 y 8 x y = 4 { x 5 y = 75 y 5 x = 45 { x + y = 8 x+y = 7 { x y = 77 x y = 7 III.86 Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji: a) f(x) = x + x, f(x) = x x, f(x) = x + cos x, III.87* Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: a) 5 x + ( m) 5 x + 9 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste (m + ) x m x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste m 6 x + (m ) 4 x + m = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych m x = 4 sin x ma nieskończenie wiele rozwiązań III.88 Oblicz a) log 5 65 log e) 6 log 4 +log4 log 5 0 +log III.89 Określ dziedzinę funkcji: a) f(x) = log x ( x 6 ) f(x) = log x+ x x + log x (x x + x ) III.90 Narysuj wykres funkcji: a) y = log x y = log (x + ) y = log 0 (x 5) y = log (4 x) e) y = log ( x) f) y = log (x + ) g) y = log x + III.9 Rozwiąż graficznie równanie, nierówność lub układ równań: a) log (x + ) = x x + log 4 x = x log (x ) 5 4 x x log x > 4 x { x + y = e) y = log (x + ) ( x y = f) ) y = log x g) { y = log (x ) + y = (x 0) + III.9 Rozwiąż równanie a) log 7 x = 4 log ( x) = log x = log 4 (4 x) = 0

11 e) log x = log 5 f) log x = log 6 g) log(x + ) log 5 = log(x 6) h) log 9 = log (x ) log (x + 5) i) log 5 + log 5 x = log 5 j) log x + log x = log 6 log III.9 Rozwiąż równanie: a) log (log x) = log x (x + 4x 6) = log 9 x = log 4, 5 x log 4 (x + ) = log 4 (x ) log 4 8 e) log (x ) + log (x 4) = 0 f) log(9 x ) log( x) = g) log (9 x + 7) = + log ( x + ) h) (log x ) log x + (log x + ) = 0 i) log x = log x + j*) x log x = 0 k*) log x 8 log 4x 8 = log x 6 III.94 Rozwiąż nierówność: a) log (x ) < log (4x ) > log (x 5) > log (x + ) log 0,5 (x ) < log 0,5 (x + 7) e) log (x + 5) > f) log x + g) log 8 (x 4x + ) < 0 h) log(x x ) 0 i) log 5 (x x + 4) < III.95* Rozwiąż nierówność a) x x (x ) > ( ) x 8 + x x x j) log x > log (5 x) k) log l) log 4 x x + < 5 x x m) log (log 4(x 5)) > 0 n) log x log x < 0 o) log x x x > ( ) +log ctg x 4 sin α( sin α +) < 9 6 III.96* Rozwiąż układy równań: a) { log4 x + log 4 y = + log 4 9 x + y 0 = 0 { x y = 576 log (y x) = 4 { log x + log y = log x log y = { log5 x + log y = 7 x y = 5 III.97* Zbadaj parzystość (nieparzystość) funkcji:

12 a) f(x) = x log x + x f(x) = log cos x f(x) = log(x + + x ) III.98* Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których: a) równanie 4 x + log (m + ) x + log (m + ) + = 0 ma dwa różne rozwiązania nierówność x log m + x < 0 spełnia każda liczba rzeczywista nierówność log (m(x + )) log (4x + 4x + 7) ma co najmniej jedno rozwiązanie Odpowiedzi III.: a) x = 4, x =, x = 4, x = III.4: a) [ 5, 5 ], [9, 6], [, 0], [8, ] III.5: a) x > 5, x < 4 x < 8, x > 8, e) x < 6, f) x > 8, g) x ( 5, 7 5 ], h) x (, ) III.6: a) nad wykresem, pod wykresem III.7: a) [, 7), (, ), {}, [ π, π] III.8: III.9: III.0: πr = πd f(x) = x + π lub f(x) = ( x) π p(t ) = T V III.: ( : ) (a : a) 6b, 5b, ( + 5)b, π 5b, III.: a) y = ( ) x +, y = x, y = x + ( + ) III.: y =, y = x, y = x III.4: y = 0, y = x + III.5: y = x 8 III.6: y = x III.7: f(x) = x III.8: a) f(x) = x, f(x) = x +, f(x) = x +, f(x) = x +, e) f(x) = x +, f) f(x) = x III.9: a) y = x +, y = x + 7, y = x, y = x 9 III.0: a) y = x + 7, y = x 4, y = x + 0, y = x + 9 III.: a) y = x + 4, y = x 4, y = x + 9 4, y = x III.: a) y = x +, y = x + 7 III.: a)równoległy: (, ), prostopadły: (, ), Równoległy: (, 5), prostopadły: (5, ), Równoległy: (, ), prostopadły: (, ) III.4: a) równoległa: x y + 4 = 0, prostopadła: x + y 7 = 0, równoległa: x + 4y + 4 = 0,prostopadła: 4x y = 0, równoległa: x + y + = 0,prostopadła: x + y 7 = 0, równoległa: x y = 0,prostopadła: x + y 4 = 0, e) równoległa: x = 0,prostopadła: y 4 = 0, f) równoległa: y + 4 = 0,prostopadła: x = 0 III.5: a) (, ), (, ), (, 4), nieskończenie wiele punktów, proste pokrywajace się, e) (, ), f) brak punktów wspólnych, proste równoległe

13 III.6: a) dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m = brak rozw., dla R {, } jedno rozw. postaci x = m ; y = m, dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m jedno rozw. postaci x = ; y = + m, dla m {, } nieskończenie wiele rozw., dla R {, } brak rozw., dla m = nieskończenie wiele rozw., dla m = brak rozw., dla m R {, } jedno rozw. postaci x = m+ ; y = m+ III.7: a)m R, m R \ {, } III.8: a) y = (x ) 4, y = (x ), y = (x ) +, y = (x ) 9, e) y = (x 5 ) 4, f) y = (x ) + 4, g) y = (x ) 4, h) y = (x + ) 5 4 III.0: a) (x )(x ), x(x ), brak, (x )(x + ), e) (x )(x ), f) brak, g) (x + )(x ), h) (x + 4)(x ) III.: a) (x )(x + ), brak, (x + ), (x )(x + ), e) brak, f) brak III.: a) {, 5}, {, }, {0, 6}, {, }, e) {, }, f) { 6, 4,, }, g) {a+b, a b}, h) { a, b }, i) {b, a b} III.: a) x R \ (, ), x R \ [, ], x R \ [, 7], x R, e) x [ 7, ], f) x R \ [0, ] III.4: a) [, ) (0, ], [, ) (0, ],, (0, 6) {}, e) (, 5 ] [ + 5, ), III.5: a) [, 7), (, ] III.6: a) b b c, a c b a, ac, b a + cb a III.7: a) m (, 0 ) (, 5) (5, ), m (, ) (, 5 ) III.8: a) dla dodatnich : m (, ], dla ujemnych m [5, ), dla ujemnych m (, 0], dla dodatnich m [4, ) III.9: m (, 5 9 ) III.40: m = m = III.4: m = m = III.4: m = 64 III.4: a) m (, ), m (, ) III.44: Wierzchołek: ( m, m m 5) III.45: m = III.46: a) m ( 55 III.47: kwadrat, 55 ), m ( 0, ) III.49: a) 45, 5, 0, 0, e) 0, f) 80, g) 6, h) 48 III.50: a) π 6, π 4, π, π, e) 5 4 π, f) π, g) 9 80π, h) 60 π III.5: a) π, π, 6π III.5: a) sin =, cos =, tg =, ctg =, sin =, cos =, tg =, ctg =, sin =, cos =, tg =, ctg =, sin = 0, cos =, tg = 0, ctg nie istnieje, e) sin =, cos =, tg =, ctg =, f)sin =, cos =, tg =, ctg =, g) sin =, cos =, tg =, ctg =, h) sin =, cos = 0, tg nie istnieje, ctg = 0, i) sin =, cos =, tg =, ctg =, j) sin =, cos =, tg =, ctg =, k) sin =, cos =, tg =, ctg =, l) sin = 0, cos =, tg = 0, ctg nie istnieje III.5: a) 6 4, 6 4, +,, e), f), g), h), i), j) III.54: a) sin α, trzeba zmienic kat tg(a p ) odp. ctg α, sin α, cos α, e) tg α, f) sin α, g) cos α III.55: a) sin α, cos β, sin α, cos α, e)

14 III.56: a) jest, jest, jest, jest, e) jest, f) jest, III.57: a) tak, nie (podstaw α = 90 ), tak, nie sin α sin α cos α III.58: a) = + cos α cos α = tg α ctg α tg α + ctg α = tg α tg α + = cos α cos α cos α = cos α cos α = cos α + sin α sin α sin α cos α = sin α sin α cos α tg α tg β = sin α cos β sin β cos α = sin(α + β) sin(α β) cos α cos β cos α cos β cos α cos α sin α sin α + cos α cos α = cos α cos α sin α cos α + cos α9 cos α sin α) = = sin α cos α = tg α tg α (sin α cos β sin β cos α)(sin α cos β + sin β cos α) cos α cos β III.59: a) (cos α cos β) + (sin α sin β) = (cos α cos β + sin α sin β) = ( cos(α β)) = 4 sin α β ( + cos α) sin α = 4 cos α 4 sin α cos α = 4 cos α ( sin α ) = 4 sin4 α sin x(sin x tg x + cos x) = sin x sin x+cos x cos x = tg x III.60: III.6: III.6: a) α = kπ, k Z, α = π 4 + kπ, k Z, (zał. α π + kπ) α = π 4 + kπ, k Z, x = π + 4kπ, k Z, e) x = π 6 + kπ lubx = π 9 + kπ, k Z, f) x = π 6 + kπ lub x = π 6 + kπ, k Z, g) x = π +kπ lub x = π 6 +kπ, k Z, h)x = kπ lub x = π +kπ, k Z, i) x = kπ lub x = π +kπ lub x = π + kπ, k Z, j) (zał. x π 0 + kπ 5 oraz x π 6 + kπ ) x = kπ 8, k Z, k) x = π + kπ lub x = kπ, k Z, l) (zał. x π + kπ) x = π + kπ lub x = π + kπ, k Z, m)x = kπ, k Z \ {0}, n) x = kπ, k Z, k 0 III.6: (dla k C ) a) x = π 6 + kπ, x = π + kπ x = ± 4 π + kπ, x = kπ x = ± 4π + kπ, x = π 4 + k π x = ± π +kπ x = 5 π+kπ, e) x = kπ x = π+kπ, f) x = k π x = π 6 +kπ x = 5 6 π+kπ, g) x = k π x = kπ x = π π+kπ, h) x = π +kπ x = π 6 +kπ x = π 6 +kπ, i) x = π +kπ x = π 4 +kπ, j) x = k π x = π 4 + kπ, III.64: r-nie ma jedno rozwi azanie x = 0 dla wszystkich m, które nie s a całkowite III.65: a) k [0, 4 ] dwa rozwi azania, k [, 0) jedno rozwi azanie, k [, ], k [, 5] III.66: a) x = p + kπ, k Z, x = kπ, k Z III.67: a) x (π + kπ, π + kπ), k Z, x ( π + kπ, π + kπ), k Z, x ( π 6 + kπ, + π 8 + kπ ), k Z, x ( 5π 8 + kπ, π 8 + kπ), k Z, e) x ( π 6 + kπ, kπ) (kπ, π 6 + kπ), k Z, f) x ( π +kπ; π +kπ), g)x [0+kπ; π 6 +kπ] [ 5π 6 +kπ; π+kπ], h) x ( π +kπ; π +kπ), i)x R \ ( ( π + kπ; π + kπ) {π + kπ}), j) x ( π + kπ; π + kπ), k) x ( π + kπ; π + kπ), l) x ( π 8 + π k; π 8 + π k), m) x ( π 6 + kπ; π 6 + kπ), n) x ( π + kπ; π + kπ), o) x [ 4 + k; 4 + k] III.68: zauważ, że cos(0 ) = cos(90 70 ) = sin 70, a następnie użyj wzoru sin x = sin x cos x III.70: a) k = 5, k = 4, k = 6, k = 7 III.7: a), 4, x =, x =, e) 4, f) x = III.7: a) x =,, x =, 7, x =, x =, e) x = 0,, f) t =, g) x =, h) x = 4, i) x =., j) x = ±, k) x =, 5, l) x =, m) x = ±, n) x = 0 { III.7: a) x {, }, x, x, + } {, x = , e) x 6, 6 + }, 5 5 f) x {, 4} III.74: a) x = 0, x {, }, x {0, }, x =, e)x {0,,, } = 4

15 III.75: a) x {, }, x = 0, x {, 4}, x =, e) x =, f) x {, }, g) równanie sprzeczne, h) x {0,, }, i) x {0, }, j) x {, }, k) x = 6, l) x {0, } III.76: a) x (, ), x (, 6 ), x (, 5), x (4, ), e) x (, ), f) x (, ] x [, ), g) x ( 7, + ), h) x (, 4), i) x [0, ], j) x [, ) { } III.77: a) x (0.6; ), x (; 4), x (; ), x ( ; 0) (. ), x < 5, e) x >, g) x [, ) III.78: a) x [ 5, + 5 ], x R, dla żadnego x, x (, ] [ 4, ) e) x R, f) x (, 4 4 ] [ 4 + 4, ) III.79: a) x = 6, y = 4 ; x = 4, y = 6, x =, y =, x = 4, y = III.8: x = + m + 6, x = m + 6, dla m 6. Dla m = 5, otrzymujemy x =, x = 0 III.84: a) gdy m (, 4) brak rozwiązań, gdy m = 4 jedno rozwiązanie, dla m (4, + ) dwa rozwiązania, gdy m (, ) (, + ) brak rozwiązań, gdy m (, ) jedno rozwiązanie, dla m {, } nieskończenie wiele rozwiązań, dla m (, ) brak rozwiązań, dla m (, ) (, + ) jedno rozwiązanie, gdy m {, } nieskończenie wiele rozwiązań III.85: a) (x, y) = (, ), (x, y) = (, ), (x, y) = (0, ) (x, y) = (, 0), (x, y) = (4, ) III.86: a) parzysta, nieparzysta, nie III.87: a) m (, 5 ) ( 7, + ), m (, 0) (, + ), m ( 5 (, ) (, + ). III.88: a)4, 0, 8, 00, e) 8 III.89: a) x ( 9, + ), x (, ) (, ) (0, + ), x (, + ) \ {} 8, ), m III.9: a) x =, x = lub x =, [4, + ), (, ), e)(x, y) = (, 0) (x, y) = (0, ), f) (x, y) = (, ), g) (x, y) = (0, ) III.9: a) x = 4, x =, x =, x = 0, e) x = 0, f) x = 5, g) x = 8, h) x = 4, i) x = 8, j) x = III.9: a) x = 9, równanie sprzeczne, x {, }, x = 5, e) x = +, f) x =, g) x {, }, h) x {, 4}, i) x { 00, 00}, j*) x { 00, 00}, k*) x { 4, } III.94: a) x (, 9 ), x ( 4, 5 4 ), x (4, + ), x (9, + ), e) x ( 5, ), f) x, ) (, 7, g) x (, ) (, + ), h) x, ) ( +,, i) x (, 9), j) x (, ) (4, 5), k) x ( 4 5, + ), l) x 7, 5) 5, 5), m) x (, 6) ( 6, ), n) x (0, ) (, + ), o)x (, ) (, 0) (, ) (, + ). III.95: a)wszystkie rzeczywiste oprócz ±, ± i 0, x [ ; 0) (; ) [4, ), x [ π 6 + kπ; π + kπ), k Z, α ( π 6 + kπ; π + kπ) ( π + kπ; 5π 6 + kπ), k Z, jeżeli w treści zadania w wykładniku bȩdzie zamiast +. III.96: a) (x, y) = (, 8) (x, y) = (8, ), (x, y) = (00, 0), (x, y) = (, 6), (x, y) = (5, 4) (x, y) = (5 4, ) III.97: a) parzysta, parzysta, nieparzysta III.98: a) m (, 0) (, + ), m (0, ), m [, 8] 5

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3 ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Prace semestralne luty 2011 czerwiec 2011 Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Praca semestralna nr 1a Semestr II Funkcje, funkcja liniowa. Zadania na ocenę dopuszczającą:

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze Równania kwadratowe Zad : Dany jest wielomian W(x) = x mx + m m + a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? *b) Przyjmij, Ŝe

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Przykłady zadań do standardów.

Przykłady zadań do standardów. Przykłady zadań do standardów 1 Wykorzystanie i tworzenie informacji 1 Oblicz wartośd wyrażenia: log 5 log8 log Odp: 1 1 3 5 8 Wyrażenie 5 1 0,5 : 3 zapisz w postaci p, gdzie p jest liczbą całkowitą Odp:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności

Układy równań i nierówności Układy równań i nierówności Zad : Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: + y m = 0 + y = 0 y jest para liczb x, y spełniająca warunek: =? x Odp: m = lub m = 4 Zad : Dla jakich wartości

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2. Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte. 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd:

Zadania otwarte. 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd: Klasa II Zadania otwarte 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd: 1 cos = tg. cos 1+sin. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-3,5) i nachylonej do osix pod katem 60 0.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy CZERWIEC 2014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1. Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem

1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1. Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem 1 S t r o n a ZDASZ MATURĘ! Cz.1 Do każdego zadania dodano film z rozwiązaniem S t r o n a Autor: ADAM CZYŻ E-book Zdasz maturę! w całości napisał, przygotował i dokonał poprawek: Adam Czyż prywatny korepetytor

Bardziej szczegółowo