Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
|
|
- Antoni Żurek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie x=0. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-1,4) i B(,-). Szukane równanie to y = a x + b. Ponieważ punkty A i B spełniają to równanie więc po podstawieniu mamy: 4 = a ( 1) + b oraz = a + b i po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy a=- i b=. Szukana prosta to y = x +. Wielomiany Wielomian to funkcja postaci f(x) = a 0 x n + a 1 x n a n x + a n 1 x + a n Stopień wielomianu to najwyższa potęga x, dla której współczynnik przed nią stojący jest różny od zera. Przykładowo wielomian stopnia to trójmian kwadratowy f(x) = ax + bx + c: lub też wielomian trzeciego stopnia:
2 Funkcje Andrzej Musielak Miejsca zerowe funkcji wielomianowej - schemat Hörnera f(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n Dla jakich x spełniona jest nierówność x 3 9x + 3x 15 > 0 Najpierw rozkładamy wielomian na czynniki. Jeżeli miejsca zerowe są całkowite to są podzielnikami wyrazu wolnego. Sprawdzamy, że np x 0 = 1 jest miejscem zerowym i dzielimy wielomian przez x-1 a 0 a 1 a a x 0 b 0 b 1 b reszta Otrzymaliśmy, że x 3 9x + 3x 15 = (x 1)(x 8x + 15) Rozkładamy teraz wielomian x 8x + 15 na czynniki zauważając, że x 0 = 3 jest miejscem zerowym i dzielimy wielomian przez x-3 a 0 a 1 a x 0 b 0 b 1 reszta Otrzymaliśmy, że x 3 9x + 3x 15 = (x 1)(x 8x + 15) = (x 1)(x 3)(x 5) > 0 Zatem wielomian ten przyjmuje wartości dodatnie dla x (1, 3) (5, ) [Jest to tzw. metoda wężykowa ] Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego to: ax + bx + c = a(x p) + q, gdzie p = b a, q = 4a. Znaleźć postać kanoniczną funkcji f(x) = 4x 3x + 7. Korzystając z podanych wzorów: f(x) = 4(x 3 8 ) Podać wzór funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie (-3,) i przechodzącej przez punkt (0,5). Wierzchołek to oczywiście punkt o współrzędnych (p,q) zatem p = b = 3 b = 6a, a q = 4a = 36a +4ac = 9a + c = c = + 9a 4a. Czyli nasza funkcja to f(x) = ax + 6ax + + 9a. Ale skoro f(0) = 5 to + 9a = 5 a = 1 3. Zatem f(x) = 1 3 x + x + 5. Wzory skróconego mnożenia (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 a b = (a + b)(a b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) Obliczyć wartość wyrażenia (x 1) (x +x+1)(x+1) (x 3 1)(x 1). Korzystając z wzorów mamy: (x 1)(x 1)(x +x+1)(x+1) ((x 1)(x +x+1))(x 1)(x+1) = 1 Wartość bezwzględna i funkcja sgn() x, dla x 0 Wartość bezwzględna to: x = { x, dla x < 0 Natomiast funkcja sgn (czyli znak liczby) to: sgn(x) = Rozwiązać nierówność x 5 < 3 Należy rozpatrzeć dwa przypadki 1 0 gdy x 5 0 oraz 0 gdy x 5 < 0 1, dla x 0 0, dla x = 0 1, dla x < 0
3 Funkcje Andrzej Musielak Wtedy x 5 = x 5 czyli nasza nierówność to x 5 < 3 czyli x < 8 ale x 5 czyli x < 5, 8) 0 Wtedy x 5 = (x 5) czyli nasza nierówność to x + 5 < 3 czyli x < czyli x > ale x < 5 czyli x (, 5) Ponieważ całkowite rozwiązanie jest sumą obu rozwiązań więc x (, 8) Funkcja potęgowa f(x) = x k, k R Prawa potęg: Prawa pierwiastków: x n x m = x n+m n x y = n x n y (x 0, y 0) x n = x n m (x 0) x m n x y = n x n (x 0, y > 0) y (x n ) m = x n m n x m = ( n x) m (x 0) (x y) n = x n y n n m x = n m x (x 0) ( x y )n = xn (y 0) x m y n n = n x m (x 0) x = x Obliczyć wartość (( 1 9 ) ) 1,8 (( 1 9 ) ) 1,8 = ( ) = (3 9 ) = 3. Obliczyć wartość ( 3 8)
4 Funkcje Andrzej Musielak 4 ( 3 8) = ((( 3 ) 1 ) 1 3 ) 3 5 (3 3 ) 5 ( 3) 15 = =. Funkcja homograficzna: Jest to funkcja postaci f(x) = ax+b cx+d gdzie a, b, c, d R c 0, ad bc 0 Funkcja wykładnicza f(x) = a x, a R + Gdy a > 1 funkcja jest rosnąca a przy a < 1 funkcja jest malejąca. Zawsze a x jest dodatnie. Rozwiązać równanie 8 x+1 4 x 1 = 0. ( 3 ) x+1 = ( ) x 1 3(x+1) = (x 1) 3x+3 = 4x 3x + 3 = 4x x = 5 Rozwiązać równanie: 5 x x = 0 Korzystamy z własności potęg i otrzymujemy: 5 (5 x ) 30 5 x + 5 = 0 Dzielimy równanie przez 5 i podstawiamy t = 5 x. t 6t + 5 = 0 = 36 0 = 16 t 1 = 5, t = 1 Należy podstawić t 1 = 5 x 5 x = 5 1 x = 1 oraz t = 5 x 5 x = 5 0 x = 0. Rozwiązać nierówność: 5 ( 5 )x ( 4 5 )x Korzystając z własności potęg mamy ( 5 )x 1 ( 5 )x Ponieważ przy a < 1 funkcja a x jest malejąca to powyższa nierówność równoważna jest x 1 x x 1
5 Funkcje Andrzej Musielak 5 Funkcja logarytmiczna Jeżeli y = a x to x = log a (y) albo inaczej y = log a (x), a R +, a 1 Funkcja log a (x) jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej Wartość y = log a (x) obliczamy w ten sposób: do jakiej potęgi trzeba podnieść a aby otrzymać x? Prawa logarytmów: log p x + log p y = log p (x y) log p x log p y = log p ( x y ) log p x n = n log p x log p x = log q x log q p log p p = 1 Wiedząc, że log 5, 3 obliczyć log 10 oraz log 0, 4. log 10 = log ( 5) = log + log 5 = 1 +, 3 = 3, 3 log 0, 4 = log 5 = log log 5 = 1, 3 = 1, 3 Rozwiązać nierówność log 1 3 x log 7 8 Korzystamy z wzoru na zmianę podstawy logarytmu. log 7 8 = log 1 3 Stąd 3 log 1 3 x log (zmiana znaku bo mnożyliśmy przez liczbę ujemną!) log 1 3 x 3 log x 3 3 x 3 ( 1 ) 3 (zmiana znaku bo przy a < 1 log jest funkcją malejącą!) x 3 ( 1 )3 x 1. Funkcje trygonometryczne y = f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tg(x), f(x) = ctg(x) Przykładowe wzory trygonometryczne: sin x + cos x = 1 dla każdego x R sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin 1 cos x x = 1+cos x cos x = Obliczyć sin 10 0, cos 10 0, tan 585 0, sin( ). sin 10 0 = sin 60 0 = 3 cos 10 0 = cos = cos 30 0 = 3 tan = tan( π) = tan 45 0 = 1 sin( ) = sin( π) = sin 45 0 =. Rozwiązać równanie sin x cos x = 8 log 13 7 = log
6 Funkcje Andrzej Musielak 6 sin x cos x = sin x (1 sin x) = sin x + sin x 1 = sin x + sin x 1 = sin x + sin x + 1 = 0 (podstawienie sin x = t) t + t + 1 = 0 (t + 1) = 0 t = 1 czyli sin x = 1 a to jest spełnione gdy x = 3 π + kπ, k C Funkcje cyklometryczne y = f(x) = arcsin(x), f(x) = arccos(x), f(x) = arctan(x), f(x) = arcctg(x) Jeżeli y = sin(x) to x = arcsin(y) albo inaczej y = f(x) = arcsin(x), x < 1, 1 >
7 Funkcje Andrzej Musielak 7 Funkcja arcsin(x) jest funkcją odwrotną do funkcji sin(x) Analogicznie y = f(x) = arccos(x), x < 1, 1 > jest funkcją odwrotną do funkcji cos(x) Dziedziną funkcji arcsin(x) oraz arccos(x) jest zbiór < 1, 1 > Jeżeli y = tan(x) to x = arctan(y) jest funkcją odwrotną do funkcji tan(x) Analogicznie jeżeli y = ctg(x) to x = arcctg(y) jest funkcją odwrotną do funkcji ctg(x) Obliczyć arcsin 1 3 arctan 3 3 Oznaczmy sobie arcsin 1 = t. Z definicji funkcji wynika, że to jest równoważne sin t = 1 czyli t = π 6. Analogicznie oznaczmy arctan 3 3 = t. Z definicji funkcji wynika, że to jest równoważne tan t = 3 3 czyli t = π 6. Zatem arcsin 1 3 arctan 3 3 = π 6 3 π 6 = π 6 Ćwiczenia 1.Narysuj wykres funkcji: a) f(x) = (x ) + 3 b) f(x) = x 1 1 c) f(x) = log 3 (x 3) d) f(x) = 3 4x x+1 e) f(x) = x f) f(x) = 1 + sin(x + π ).Oblicz wartość: a) ( ) b) 6 3 (6 ) 5 ( 1 36 )6 c) 5 3 (0, 5) 6 d) sin x, gdy cos x = 7 3.Rozwiąż równania i nierówności: a) x + = 3 x b) x + x + 4 < 0) c) 5x x + 6x + 1 > 0 d) 3x 3 x x 1 < 0 e) 3x 4x 7 1 3x 5 4x f) x 3 x > 6 4.Rozwiąż równania i nierówności: a) 5x x + 6x + 1 = 0 b) 7 x+3 = 3 81 x c) 5 x 3 5 x 10 > 0 d) log 5 x log 5 36 e) log(x + 1) + log(x ) = log(x + ) f) log g) cos x = cos x + 1 h) 3 cos(5x + π ) =
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan
Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
Literatura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Przygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
WIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3
ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania
Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy
FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia: a+ a) + ; ( pkt.) a+ a a b) + + ; ( pkt.) + m m m c) :. ( pkt.) m m+ Zadanie ( pkt.) Oblicz wartość liczbową wyrażenia
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].
Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie