Wykresy i własności funkcji

Transkrypt

1 Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P jest równy Oblicz współczynniki b i c, a następnie narysuj wykres funkcji f w przedziale ; b) Funkcja f przyjmuje w przedziale ; wartość najmniejszą dla argumentu x oraz wartość największą dla argumentu x Oblicz pole trójkąta ABP, gdzie A = (x, f(x )), B = (x, f(x )) Odp: a) b = 9, c = ; f(x) = x 6x + 9x ; b) P = (A = (, 0), B = (,0)) Zad : Dana jest funkcja f(x) = x (m )x + a) Dla m = znajdź zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych spełniających nierówność f(x) x + x 8 b) Dla m = rozwiąŝ równanie f(x) = 8(x + ) *c) Zbadaj liczbę pierwiastków równania f(x) = 0 w zaleŝności od wartości parametrów m Odp: a) x = lub x = ; b) x =, x = lub x = ; c) Równanie f(x) = 0 ma jeden pierwiastek dla m ( ;), ma dwa pierwiastki dla m = oraz trzy pierwiastki dla m (;+ ) Zad : Dla jakich wartości parametru m pochodna funkcji f ( x) = m + m x m x + ( m + ) x + m ma stały znak w całym zbiorze liczb rzeczywistych? Odp: m ( ; ) ; + ) ( ) ( ) 7 Zad : Dane są funkcje f(x) = x i g(x) = 6 x x a) RozwiąŜ równanie (f(x)) 6f(x) = 7 b) Sporządź wykres funkcji h(x) = f(x ), a następnie określ liczbę pierwiastków równania h(x) = a w zaleŝności od wartości parametru a c) RozwiąŜ nierówność f(x) < g(x) Odp: a) x = ; b) Równanie nie ma pierwiastków dla a ( ;0), ma jeden pierwiastek dla a ;+ ) {0}, ma dwa pierwiastki dla a (0;); c) x ( ; log ) (;+ ) Zad : Wykres funkcji f(x) = log (x + m) + k, której dziedziną jest zbiór ( ;+ ), przechodzi przez punkt (, ) Oblicz m i k, a następnie naszkicuj wykres funkcji i znajdź zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne Odp: m =, k = ; funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ( ;6) Zad 6: (profil matematyczno-fizyczny) x 9 Przekształcając wykres funkcji y = log x, sporządź wykres funkcji y = log x Narysuj wykres funkcji, która kaŝdemu argumentowi a przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania

2 log x 9 = a x Zad 7*: (profil matematyczno-fizyczny) Dane są funkcje f(x) = ln(x + ) i g(x) = ln(kx), gdzie k R\{0} Znajdź wszystkie wartości parametru k, dla których wykresy funkcji f i g: a) nie mają punktów wspólnych; b) mają jeden punkt wspólny; c) mają dwa punkty wspólne W kaŝdym z tych przypadków naszkicuj, dla wybranego k, wykresy funkcji f i g Naszkicuj wykres funkcji, która kaŝdemu argumentowi k R\{0} przyporządkowuje liczbę punktów wspólnych wykresów funkcji f i g Odp: a) k (0;); b) k ( ;0) {}; c) k (;+ ) Zad 8: x x Znajdź dziedzinę funkcji y = log ( x ) x + Odp: x 0;) (;) Zad 9: Znajdź dziedzinę funkcji f( x) = Odp: x ( ) ( ) ( ; ; ; x x log ( x ) x Zad 0: Dana jest funkcja f(x) = x + a b, gdzie a jest większym, a b mniejszym pierwiastkiem równania log x + log x = 0 a) Naszkicuj wykres funkcji f b) Dla jakich wartości argumentu x funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie? Odp: a) a =, b =; b) x ( ; Zad : Dana jest funkcja f(x) = log a(x + b) c, gdzie: a = log (log 8), b = ( ) ( ) [( ) ( ) ] c = + 6, a) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) i y = f(x) b) Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) ustal liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zaleŝności od wartości parametru m Odp: a =, b =, c = ; b) Równanie nie ma rozwiązań dla m ( ;0), ma jedno rozwiązanie dla m = 0, ma dwa rozwiązania m (0;+ ) Zad : Wykres funkcji f(x) = log (x + m) + k, której dziedziną jest zbiór ( ;+ ), przechodzi przez punkt A = (, ) a) Oblicz m i k b) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) oraz y = f(x)

3 c) Dla jakich argumentów x funkcja f przyjmuje wartości ujemne? Odp: a) m =, k = ; c) x ( ;) Zad : Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = log x i g( x) = x Wyznacz zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości ujemne? Odp: x ( ; ) Zad *: 7 Dana jest funkcja f(x) = log a(x + b) c, gdzie: a = +, b = log, + c = K Naszkicuj wykres funkcji f Znajdź wzór funkcji odwrotnej do funkcji f i naszkicuj jej wykres Odp: a =, b =, c = ; f(x) = log (x + ) Funkcja g(x) = x + jest funkcją odwrotną do funkcji f Zad : Dana jest funkcja f(x) = log ( x + 6x ) a) Znajdź dziedzinę funkcji f b) Znajdź największą wartość funkcji f Dla jakiej wartości argumentu x funkcja osiąga tę wartość? Odp: a) x (;); b) Dla x = funkcja osiąga wartość największą równą Zad 6: Znajdź najmniejszą wartość funkcji f( x) = log ( x x ) Odp: Dla x = funkcja osiąga wartość najmniejszą równą Zad 7: Dana jest funkcja f(x) = (x )(x ) a) RozwiąŜ równanie f(cos x) - 0 b) RozwiąŜ nierówność f( x ) < x c) Znajdź dziedzinę funkcji g(x) = log(f(x)) Odp: a) x = + k, gdzie k C; b) x (0;); c) x ( ) ( + ) ; ; Zad 8: Znajdź dziedzinę funkcji Odp: x ( ) y = ( x x ) log + 6 x + ; ; + ; + Zad 9: Dana jest funkcja f(x) = log 0, (x x + ) log 0, (x ) a) Znajdź dziedzinę i miejsce zerowe funkcji f b) RozwiąŜ nierówność f(x) 6

4 Odp: a) Dziedziną funkcji jest zbiór (;+ ), miejscem zerowym jest x = 9 b) x (; Zad 0: Znajdź dziedzinę funkcji f( x) = log ( sin x) log ( + cosx) Odp: x + k; 6 + k), gdzie k C Zad : f( x) = log x log x Dana jest funkcja ( ) ( ) a) Znajdź dziedzinę funkcji f b) RozwiąŜ równanie f(x) =, *c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = log a w zaleŝności od wartości parametru a Odp: a) x ( ; ) (;) (;+ ); b) x = lub x = ; c) Równanie ma dwa rozwiązania dla a ( 0 + 8) dla a ( + 8; + ) ;, ma trzy rozwiązania dla a = + 8, ma cztery rozwiązania Zad : Dana jest funkcja f(x) = log 0, (x x + ) log 0, (x ) a) Znajdź dziedzinę i miejsce zerowe funkcji f b) RozwiąŜ nierówność f(x) Odp: a) Dziedziną funkcji jest zbiór (;+ ), miejscem zerowym jest x = 9 b) x (; Zad : Znajdź dziedzinę funkcji f( x) = log ( sin x) log ( + cosx) Odp: x + k; 6 + k), gdzie k C Zad : f( x) = log x log x Dana jest funkcja ( ) ( ) a) Znajdź dziedzinę funkcji f b) RozwiąŜ równanie f(x) =, *c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania f(x) = log a w zaleŝności od wartości parametru a Odp: a) x ( ; ) (;) (;+ ); b) x = lub x = ; c) Równanie ma dwa rozwiązania dla a ( 0 + 8) dla a ( + 8; + ) ;, ma trzy rozwiązania dla a = + 8, ma cztery rozwiązania Zad : Znajdź dziedzinę funkcji f ( x ) log, = 0 + x x log ( x 6) 7 Odp: x ( ) ( + ) 7 ; ; 7

5 Zad 6: Znajdź dziedzinę funkcji f( x) log ( x x ) Odp: x { } ) ( ) ; ; = + + x+ x Zad 7: x Naszkicuj wykresy funkcji a) y = 8 ; b) y = x ; c) x y = Zad 8: Wyznaczyć warunki, jakie muszą spełniać liczby a i b ( a 0, b 0 ), aby wykresy funkcji y a x = + b i y = b x + a posiadały dokładnie jeden punkt wspólny Wyznaczyć współrzędne tego punktu Zad 9: Dla jakich wartości parametru a punkt (,-) naleŝy do wykresu funkcji x sin a f ( x) =, x R? Odp a = + k, k C Zad 0: Wyznacz dziedzinę funkcji: a) y = log (x ) + log ( x) b) 0, 0, Odp: a) x,, ; b),0) ( 0, log(9 x ) y = c) y = log ( ) x x x + x ; c) (, ) x Zad : Wyznacz dziedzinę i zbadaj parzystość funkcji: x + a) f ( x) = x log b) f ( x) = log( x + + x ) x Zad : Dla jakich liczb a i b punkty A(6,), B(0,) naleŝą do wykresu funkcji y = log ( ax + b)? Odp: a =, b = Zad : Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? m, Odp: ( ) y = log (m ) x + (6 m) x + ( m 9) 7 Zad : Naszkicuj wykres funkcji y = log x 8

6 Zad : Wiedząc, Ŝe a Odp: a log = a, oblicz log 6 6 Zad 6: log log Oblicz bez pomocy tablic (kalkulatora): x = 6, Odp: x =, y = 6 log 8 log 6 y = Zad 7: Wykres funkcji y = ( x + m) + k punkt A=(,-) a) Oblicz m i k b) Dla jakich x funkcja ta przyjmuje wartości ujemne? x,6 Odp: m =, k = -, ( ) log, której dziedziną jest przedział (, ) przechodzi przez 9