1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
|
|
- Mirosław Bednarek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:. ((p q) p) q. p ( p q) ( p q) są tautologiami. 3. Sprawdź, czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i a dzieli się przez 7, to z faktu, że a nie dzieli się przez 7 wynika, że a dzieli się przez 3 jest prawdziwe dla dowolnego a. 4. Sprawdź, czy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierszą, to o ile n jest liczbą złożoną to n dzieli się przez 7 jest prawdziwe dla dowolnego n.. Funkcje logiczne 5. Narysuj wykresy funkcji logicznych:. f : R {, }, f(x) = x < 5. f :,, {, }, f(x, y) = x < y 3. f :,, {, }, f(x, y) = x + y < 4. f : {,..., } {, }, f(n) = n 3 n. Kwantyfikatory 6. Jakie zachodzą implikacje pomiędzy zdaniami:. x φ(x) oraz xφ(x). x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y) 3. x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y)
2 4. x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y) 5. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 6. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 7. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 8. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 7. Zapisz poniższe zdania bez używania kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:. x: x x. x: x< x = 3. 4 a b a = b 8. Zapisz poniższe zdania używając kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:. x x < y (y < xy < ). x x y (y, π sin(x + y) = sin(y)) 9. Zaneguj wyrażenia:. x A x. x A y x f(y) < f(x) 3. x A ((x < 3) ( y B y = /x)) 4. x y z (z = y ) (xyz = ) 5. x, y z ((x < y) (x < z) (z < y)). Zapisz za pomocą kwantyfikatorów zdania i zaneguj je:. k n (liczba n jest podzielna przez k). liczba a jest liczbą pierwszą 3. każda liczba całkowita dzieli się przez z resztą równą lub 4. x da się przedstawić jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych 5. nie istnieje największa liczba naturalna 6. ciąg {a n } jest dodatni
3 7. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca dodatni. 8. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca niemalejący 9. ciąg {a n } jest ograniczony. funkcja f : R R jest parzysta. dla dowolnych wartości parametru m funkcja f m jest parzysta albo nieparzysta.. funkcja f : X R posiada dokładnie jedno miejsce zerowe. 3. funkcja f : X R jest stała. Zbiory (3h). Zbiory A, B, C R definiowane są następująco: A = {x : (x ) < } B = {x : x 3 } C = {x : x = 4 } Zaznacz na osi liczbowej: A C, B C, A \ C, C \ B, (A C) \ B, B \ C, A \ (B \ C).. Podzbiory,, (kwadratu jednostkowego) definiowane są następująco: A = {(x, y) : x + y < } B = {(x, y) : x y} Zaznacz w kwadracie zbiory: A, B, A B, A B, A \ B, B \ A, A c, B c. 3. Korzystając z praw rachunku zdań udowodnij prawa rachunku zbiorów:. (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) 5. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) 6. (A C) \ (A B) = (A \ B) (C \ A) Zaznacz prawe i lewe strony równości na diagramach Venna. 4. Udowodnij zachodzenie implikacji: 3
4 . (A B) (A C) A (B C). (A B) (A C) A (B C) 3. (A C) (B C) (A B) C 4. (A C) (B C) (A B) C. Iloczyn kartezjański 5. Wyznacz wszystkie elementy iloczynów kartezjańskich A B C i C B A zbiorów: A = {, }, B = {}, C = {, 3}. 6. Jak wygląda iloczyn kartezjański zbiorów (I - odcinek jednostkowy, S - okrąg):. I I. I S 3. S S 4. S R 5. I R 6. S N 7. I N 8. N R 9. S S N. Indeksowane rodziny zbiorów 7. Znajdź wszystkie elementy indeksowanej rodziny zbiorów (A i ) i I, gdzie I = {,, 3, 4}, A i = {n N : n i } 8. Znajdź trzy pierwsze elementy indeksowanej rodziny zbiorów: (A n ) n N, gdzie A n = {x R : n > x > n + }. 9. Znajdź trzy dowolne elementy indeksowanej rodziny zbiorów: (A r ) r R+, gdzie A r = {(x, y) R : x + y < r }.. Znajdź n N oraz n N dla zbiorów:. {x R : x n+ }. {x R : ( ) n > x > 5 + ( ) n } 3. {x R : n < x < (n + ) } 4. {x R : sin(x) = n}. Znajdź i I oraz i I gdy:. I =, ), A i = {x R : i x} 4
5 . I =,, A i = {x R : i < x < i+ } 3. I = R, A i = {(x, y) R : x + y > i }. Jakie zachodzą inkluzje pomiędzy zbiorami:. i N(A i B i ) oraz ( i N A i ) ( i N B i ). i N(A i B i ) oraz ( i N A i ) ( i N B i ) 3. i I 3 Relacje j J A i,j oraz j J i I A i,j 3. Ogólne własności relacji (h) 3. Narysuj diagramy i grafy relacji R {,..., 5} :. xry x = y. xry x < y 3. xry x y 5. xry x y y x 6. xry x + y 4. xry x y 4. Zbadać czy relacje z powyższego zadania są zwrotne, symetryczne, przechodnie, symetryczne, antysymetryczne, słabo antysymetryczne, są funkcjami. 5. Jakie własności geometryczne posiada diagram relacji zwrotnej, symetrycznej, przechodniej, symetrycznej, antysymetrycznej, słabo antysymetrycznej, funkcji? 6. Zbadaj jakie własności spełnia relacja:. R Z x, y Z xry 3 x y. R N x, y N xry x + y 3. R N x, y N xry x x y 4. R N + x, y N + xry x y x y 5. R R x, y R xry x = y 6. R R x, y R xry x < y 7. R X p, q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 5
6 8. R X p, q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 7. Zbadaj czy relacja jest funkcją:. R = {(a, a), (a, b)} {a} {a, b}. R = {(a, a), (b, a)} {a} {a, b} 3. R = {(x, y) : x = y } R R 4. R = {(x, y) : x = y } R R + 5. {(x, y) : x = y 3 } N Z 6. {(x, y) : xy = } R 3. Relacje równoważności i konstrukcje zbiorów liczbowych (h) 8. Udowodnij że relacja R X jest relacją równoważności i opisz jej klasy abstrakcji. X-zbiór liczb parzystych, xry 3 x y. X = N, xry x + y 3. X = R, xry x y Z 4. X = {,... 6}, xry 4 x y 5. X - zbiór prostych na płaszczyźnie, xry x y 6. X - klasa zbiorów o skończonej liczbie elementów, ARB Φ:A B Φ jest bijekcją 9. Dane są relacje równoważności R, R X. Zbadaj czy relacje:. R R. R R 3. R c = X R 6
7 są relacjami równoważności. Jeżeli tak, to jak się mają ich klasy abstrakcji do klas abstrakcji R i R? 3. Dany jest podział prostej R na odcinki R = n= n, n + ). Wskaż relację równoważności, której klasami abstrakcji są te odcinki. 3. Dany jest podział płaszczyzny R na sumę koncentrycznych promieni o środku (,) i grubości od wewnątrz domkniętych, od zewnątrz otwartych oraz otwartego koła o środku (,) i promieniu. Znajdź relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. 3. Udowodnij że relacja R (N ), (n, m )R(n, m ) n + m = m + n jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 33. Połącz liniami w zbiorze par liczb naturalnych punkty odpowiadające parom będącym ze sobą w relacji 34. Udowodnij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par, tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((n, m )R(n, m ) n + m = m + n ):. (n, m ) + (n, m ) = (n + n, m + m ). (n, m ) (n, m ) = (n + m, m + n ) 3. (n, m ) (n, m ) = (n n + m m, n m + m n ). 35. Udowodnij że relacja R (Z Z \ {}), (p, q )R(p, q ) p q = p q jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 36. Połącz liniami w zbiorze par liczb całkowitych punkty odpowiadające parom będącym ze sobą w relacji 37. Udodownij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par, tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((p, q )R(p, q ) p q = p q ):. (p, q ) (p, q ) = (p p, q q ). (p, q )/(p, q ) = (p q, p + q ) 3. (p, q ) + (p, q ) = (p q + p q, q q ). 4. (p, q ) (p, q ) = (p q p q, q q ). 7
8 38. Udowodnij, że relacja R Z, prq 5 (n m) jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 39. Udowodnij, że poniższe działania określone w zbiorze liczb całkowitych, są dobrze określone na klasch abstrakcji powyższej relacji, czyli że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym (prq 5 (n m)):. dodawanie. odejmowanie 3. mnożenie 3.3 Relacje porządku(h) 4. Udowodnij, że poniższe relacje są relacjami częściowego porządku:. R N +, xry x y. R (R ), (x, y )R(x, y ) x x y y 3. R ( N ), A R B A B 4. R - relacja w zbiorze trójkątów na płaszczyźnie. A R B S(A) = S(B) (mają równe pola) 5. R - relacja w zbiorze trójkątów na płaszczyźnie. A R B A B Dla każdej relacji znajdź przykład łańcucha i antyłańcucha (długości min. 4), oraz przukłąd podzioru nie będącego ani łańcuchem ani antyłańcychem. 4. Dla relacji porządku. R {,..., 5}, xry x y. R ( {,,3} ), A R B A B 3. R ( {,,3} \ {, {,, 3}}), A R B A B 4. R ({,, 3} {,, 3}), (x, y )R(x, y ) x < x y < y narysuj diagramy Hassego. Na diagramach zaznacz łańcuch, antyłańcuch oraz elementy wyróżnione. 4. Narysuj przykład diagramu Hassego relacji, która posiada:. dokładnie jeden element maksymalny i żadnego największego. dokładnie dwa elementy minimalne i jeden największy 3. dokładnie jeden element minimalny i żadnego najmniejszego 8
9 4. dokładnie dwa elementy maksymalne i jeden najmniejszy 5. dokładnie jeden element maksymalny, ale żadnego największego 6. element minimalny będący jednocześnie elementem maksymalnym oraz nie posiada elementu największego i najmniejszego 4 Funkcje(3h) 43. Dla podanych funkcji sprawdzić, czy jest injekcją i surjekcją: f : R R + {} f(x) = x f : R + {} R f(x) = x f : (, ) R f(x) = x x 44. Dla funkcji, które nie były injekcjami tak ograniczyć przeciwdziedzinę, by były. 45. Dla funkcji, które nie były surjekcjami tak ograniczyć dziedzinę, by były. 46. Dla funkcji, który były bijekcjami znaleźć funkcję odwrotną. 47. Znaleźć złożenia f g i g f jeżeli to możliwe: f : N N N, f(n, m) = n + m g : N N N, g(n) = (n, n + 4) f : R (, ), f(x) = e x +e x g : (, ) R, g(x) = x x f : N N N, f(n, m) = n + m g : N N Z, g(n) = (n, n 4) 48. Udowodnić, że złożenie dwóch injekcji jest injekcją. 49. Udowodnić, że złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją. 5. Udowodnić, że złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją. 5. Udowodnić własności obrazów: A, B f(a B) = f(a) f(b) 9
10 A, B f(a B) f(a) f(b) A, B f(a) \ f(b) f(a \ B) ogólniej: f( i I A i ) = i I f(a i ) f( i I A i ) i I f(a i ) 5. Udowodnić, że dla funkcji różnowartościowych: A, B f(a B) = f(a) f(b) A, B f(a) \ f(b) = f(a \ B) ogólniej: f( i I A i ) = i I f(a i ) 53. Udowodnić własności przeciwobrazów: A, B f (A B) = f (A) f (B) A, B f (A B) = f (A) f (B) A, B f (A \ B) = f (A) \ f (B) ogólniej: f ( i I A i ) = i I f (A i ) f ( i I A i ) = i I f (A i ) 54. Udowodnić, że: A f (f(a)) f(f (B)) B 55. Udowodnić, że jeżeli: A, B f(a B) = f(a) f(b), to funkcja jest różnowartościowa. 56. Udowodnić, że jeżeli: A f (f(a)) = A, to funkcja jest różnowartościowa. 57. Udowodnić, że jeżeli: B f(f (B)) = B, to funkcja jest na. 5 Liczby zespolone 58. Znajdź sumę, różnicę oraz iloczyn podanych liczb:
11 . + 4i, 6i. i, 5 i i, 9 i i, i i,.8 +.i i,.4 + i i, 3 3i 8. i, 59. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x i y spełniające równanie:. ( + i)x + ( + i)y = 4i. (3 + i)x + ( 3i)y = 4 9i 6. Znajdź odwrotność podanej liczby:. + i 3. i 5. 4i i. 3i i i 6. Rozwiąż równania:. (+i) z+4 i 4+3i = i 5. (4+3i) z 3 i 5 i = 3i. (3 i) z +3i i = 4i 6. ( 4i) z +4i +3i = + i 3. (+i) z 4+3i 3 i = + i 7. ( 4i) z +i 4 i = i 4. (i+3) z+4 3i 4+i = i 8. (+i) z+5+7i i = + 3i 6. Rozwiąż układ równań liniowych:. { ( + i) z + ( i) z = + i ( i) z + ( + i) z = + 3i. { i z + ( + i) z = + i i z + (3 + i) z = 5 + 3i 3. { ( i) z 3 z = i z + (3 + 3i) z = 3 i 4. { z ( + i) z = i (4 i) z 5 z = i
12 5. równania kwadratowe 63. Rozwiąż równanie:. z + 8 6i =. z i = 3. z ( + i)z + i = 4. 3z + ( + i)z + i = 5. z + ( + 3i)z 4 + 3i = 6. ( + i)z + ( 3i)z = 7. z + ( + i)z + ( + i) = 8. z (3 + 3i)z + 5i = 9. ( i)z (3 + i)z + + i =. (+i)z +( 3+4i)z 3 i =. ( i)z +( 5+5i)z+3 4i =. (+i)z +3(+i)z+(+i) = 5. postać trygonometryczna 64. Przekształć liczbę zespoloną do postaci kartezjańskiej:. e i π. e iπ 3. 4e i π 3 4. e i π 4 5. ei 5π 3 6. e i 5π e i 4π Przekształć liczbę zespoloną do postaci wykładniczej:. + 3i. i i i i 66. Wyznacz liczby zespolone:. sprzężone do swojego kwadratu. sprzężone do swojego sześcianu 67. Obliczyć:. (+i) 5 ( i) 3. (3 + i) 3 + (3 i) 3 3. i i i ( + i) 7. ( + i 3) 5 8. ( ) 3 3+i i 9. ( + i) n. ( ) n 3i 68. Wyprowadź wzory na:
13 . sin(x), cos(x). sin(3x), cos(3x) 3. sin(4x), cos(4x) 4. sin(5x), cos(5x) 5. sin(nx), cos(nx) 69. Wyznacz wszystkie pierwiastki z stopnia 3, 4, 5, 6, 9,. Wskaż wśród nich pierwiastki pierwotne. 7. Wyznacz pierwiastki:. 3 i i i 5( 3i) 8 8 ( i) i 4 7( i 3) i i Wynik podaj w postaci wykładniczej i algebraicznej Zadanie świąteczne: Znajdź wszystkie zespolone pierwiastki równania z 3z 5 3. Połącz liniami na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki o najbliższych sobie argumentach (Pomoc: = = ). 7. Oblicz wartość główną logarytmu oraz podaj wszystkie wartości, które może przyjmować logarytm:. log (4). log ( 4) 3. log (4i) 4. log ( + i) 5. log ( + 3i) 6. log ( 3 i) 7. ln( ) 8. ln( ie) 9. ln e. log 3 ( 9). log 3 ( 9i). log 3 (9i) 7. Udowodnij, że i i = i i 73. Oblicz:. i i 3. ( + 3i) i. i i 4. ( + 3i) +i 5. ( + 3i) 6 + i 6 6. i + i Wynik podaj w postaci wykładniczej 3
14 5.3 *Geometria płaszczyzny zespolonej Odwzorowanie homograficzne f : C C definiujemy wzorem: f(z) = (az + b/(cz + d)), gdzie a, b, c, d C 74. Pokaż, że odwzorowanie homograficzne przekształca dowolny okrąg z +Re iφ (w szczególności prostą) w inny okrąg (w szczególności prostą). 75. Znajdź wszystkie odwzorowania homograficzne przekształcające koło jednostkowe w lewą półpłaszczyznę. 76. Znajdź wszystkie odwzorowania homograficzne przekształcające lewą półpłaszczyznę w koło jednostkowe. 6 Macierze 77. Podaj wynik działań na macierzach: i + i + i i + i Wykonaj działania:. 3 ( ), ( 3 4 ) 3 4 4
15 . 3, , Oblicz macierz transponowaną oraz ślad macierzy:,,, i 8. Oblicz wyznaczniki macierzy (wiersze lub kolumny równoległe wyznacznik równy zero): 3 3 i,,, 5 6 i 8. Oblicz wyznaczniki korzystając z rozwinięcia Laplace a (każda transpozycja wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika, cykl nie zmienia): , 3, 3 3, ,
16 8. Uprość wyznaczniki(od wiersza można odjąć wielokrotność innego wiersza, podobnie dla kolumn), a następnie oblicz z rozwinięcia Laplace a: 4 3 4, 4, , Oblicz wyznaczniki: , , , Wyznacz rząd macierzy: 3 4 3, , 85. Wyznacz macierz odwrotną do: 4 4, , ,, , Oblicz: + + wykorzystując wzór na szereg geometryczny
1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.
ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/15 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka, że: Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas
Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas klasa I 1)Działania na liczbach: dopuszczający: uczeń potrafi poprawnie wykonać cztery podstawowe działania na ułamkach
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowo