Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

Transkrypt

1 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y nazywamy funkcją ze zbioru X w zbiór Y i oznaczamy f: X Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f.

3 Różnowartościowość funkcji Definicja Mówimy, że funkcja f: X Y jest różnowartościowa, jeśli z tego, że x 1 x 2 wynika, że f(x 1 ) f(x 2 ) dla dowolnych x 1, x 2 X. Inna forma tej definicji:

4 Przykład Funkcja f: R R, f x = x 2 nie jest różnowartościowa, ale funkcja f: < 0, ) R, f x = x 2 jest.

5 Funkcja na Definicja Mówimy, że funkcja f: X Y jest na, jeśli dla dowolnego y Y istnieje takie x X, że y = f(x). Można to powiedzieć prościej, funkcja f: X Y jest na, jeśli f X = Y, tzn. zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie. Przykład f: R R, f x = sin x, f: R < 1,1 >, f x = sin x

6 Przykład (szukanie funkcji odwrotnej) f: < , ) < 459,67, >, f(x) = 1.8x + 32

7 Funkcje elementarne Definicja Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, operacji złożenia funkcji oraz odwracania funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi.

8 Przegląd funkcji elementarnych: wielomiany i funkcje wymierne wielomian f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 funkcja wymierna w 1 (x) w 2 (x), w 1, w 2 wielomiany

9 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje potęgowe Funkcja potęgowa funkcja postaci f x = x α ; dziedzina i zbiór wartości zależą od α α = α = 0.5 α = 1.52

10 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje wykładnicze Funkcja wykładnicza funkcja postaci f x = a x, gdzie a > 0, a 1, x R; dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór R, zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Własności a x+y = a x a y 20 a x y = a x /a y a 0 = 1 (a x ) y = a xy

11 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje logarytmiczne Funkcja logarytmiczna funkcja postaci f x = log a x, gdzie a > 0, a 1, x R + ; dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór rzeczywistych dodatnich, zbiór wartości to R. Własności log a x = y a y = x log a (xy) = log a x + log a y log a (x/y) = log a x log a y log a x b = b log a x log a x = log b x log b a Funkcja logarytmiczna g x = log a x jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej f x = a x, co wynika z definicji. Można to też zobaczyć na wykresach obu funkcji. 5 5

12 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje trygonometryczne sinus i cosinus Funkcja sinus funkcja f: R R, f x = sin x; dziedziną funkcji sinus jest zbiór rzeczywistych, zbiór wartości to < 1,1 >. Funkcja sinus jest okresowa, okres wynosi 2π, funkcja ta jest nieparzysta. Funkcja cosinus funkcja f: R R, f x = cos x; dziedziną funkcji cosinus jest zbiór rzeczywistych, zbiór wartości to < 1,1 >. Funkcja cosinus jest okresowa, okres wynosi 2π, funkcja ta jest parzysta

13 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje trygonometryczne tangens i cotangens Funkcja tangens funkcja f x = tg x; jej dziedziną zbiór R { nπ π, nπ + π }, zbiór wartości to R. Funkcja tangens jest 2 2 n=0 okresowa, okres wynosi π, funkcja ta jest nieparzysta. Funkcja cotangens funkcja f x = ctg x; jej dziedziną zbiór R n=0 { nπ, nπ}, zbiór wartości to R. Funkcja cotangens jest okresowa, okres wynosi π, funkcja ta jest nieparzysta

14 Przegląd funkcji elementarnych: funkcje cyklometryczne Funkcja arcsin(x): sin 1 x: < 1,1 > < π, π > 2 2 Funkcja arccos(x): cos 1 x: < 1,1 > < 0, π > Funkcja arctg(x): tg 1 x: R ( π, π ) 2 2 Funkcja arcctg(x): ctg 1 x: R (0, π)

15 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 2

16 ZD Znajdź zbiór wartości funkcji f: R R, f x = x 2 + 3x

17 Różnowartościowość i na Podaj przykład (wzór i wykres) funkcji: f: < 0,2 > < 2,5 > różnowartościowej i na, f: < 0,2 > < 2,5 > różnowartościowej i nie na, f: < 0,2 > < 2,5 > nieróżnowartościowej i na, f: < 0,2 > < 2,5 > nieróżnowartościowej i nie na,

18 Składanie funkcji Znajdź f g, g f, jeśli: f x = x 3, g x = 2x, f x = 2 x, g x = x 2.

19 Funkcja odwrotna Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: f: R R, f x = 3x + 5 f: R R, f x = 2x 1 dla x 1 3x 2 dla x > 1

20 Funkcja homograficzna Znajdź dziedzinę, zbiór wartości, a następnie naszkicuj wykres funkcji f(x), jeśli: f x = 1 x 1 f x = 2x+1 x+1

21 Logarytmy Oblicz wartości: 1 log 2 4, log 2 1, log 2 16 log log 3 1/5, log 3 4 log 3 12 log log 3 2

22 Wykresy funkcji Naszkicuj wykres funkcji: f x = 2 x f x = log 1/2 2x

23 Funkcje trygonometryczne Naszkicuj wykres funkcji: f x = sin( 2x) f x = tg( x/2)

24 Funkcje cyklometryczne Oblicz wartości: arctg 1, arcctg( 3), arcsin( 2 3 ), arccos( ). 2 2

25 Zadanie domowe 1. Znajdź dziedzinę, zbiór wartości oraz naszkicuj wykres funkcji f x = 3x 2. 2x+1 2. Naszkicuj wykres funkcji: f x = ( 1 2 )x 1 f x = log 2 4x 3. Oblicz wartości: log 2 sin( π 6 ), log 2 cos(π 4 ) arctg 3/3, arcctg 1, arcsin 1 4. Zadanie ze slajdu 23.