Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy"

Transkrypt

1 Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem K nazywamy niepusty zbiór V z dwoma działaniami: dodawaniem wektorów + : V V V tzn vw V v + w V mnożeniem wektorów przez skalar : K V V tzn α K v V αv V spełniającymi następujące warunki: 1 o 4 o (V +) jest grupą przemienną 5 o α K vw V α(v + w) = αv + αw 6 o αβ K v V (α + β)v = αv + βv 7 o αβ K v V α(βv) = (α β)v 8 o 1 K v V 1 v = v Zadanie 1 Sprawdzić czy podany zbiór ze wskazanymi działaniami jest przestrzenią wektorową nad ciałem K = R: a) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx αy) b) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αy αx) c) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (0 αy) d) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = ((α + 1)x αy) e) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 + x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx 2y) f) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (y 1 + y 2 x 1 + x 2 ) α (x y) = (αx αy) g) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) α (x y) = (αx αy) h) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (2x 1 + 3x 2 y 1 + y 2 ) α (x y) = (αx αy) i) R 2 (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) = (0 0) α (x y) = (αx αy) j) C(R R) (f g)(x) = f(x) + g(x) (α f)(x) = αf(x) k) C(R R) (f g)(x) = 2f(x) (α f)(x) = αf(x) l) M 2 2 (R) A B = A + B α A = αa 1

2 m) M 2 2 (R) A B = 2A + B α A = αa Odpowiedzi: a) tak b) nie c) nie d) nie e) nie f) nie g) nie h) nie i) nie j) tak k) nie l) tak m) nie Twierdzenie 1 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz v w V α β K Wtedy zachodzą następujące własności: v V 0v = 0 α K α0 = 0 αv = 0 (α = 0 v = 0) (v 0 αv = βv) α = β (α 0 αv = αw) v = w ( α)v = α( v) = (αv) Zadanie 2 Udowodnić powyższe twierdzenie Definicja 2 Niepusty zbiór W V nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V jeżeli vw W v + w W oraz α K v W αv W Uwaga 1 Powyższe warunki można zastąpić jednym równoważnym: αβ K vw W αv + βw W Zadanie 3 Sprawdzić czy zbiór jest podprzestrzenią danej przestrzeni wektorowej nad ciałem K = R: a) {(x y) R 2 y = x} w R 2 b) {(x y) R 2 y = x} w R 2 c) {(x y) R 2 y = 2x} w R 2 d) {(x y) R 2 y = x + 1} w R 2 e) {(x y) R 2 x y 0} w R 2 f) {(x y) R 2 y x} w R 2 g) {(x y) R 2 x 2 + y 2 1} w R 2 h) {(x y) R 2 xy = 0} w R 2 i) {(x y z) R 3 y = x z = 0} w R 3 j) {(x y z) R 3 x + y + z = 0} w R 3 k) {(x y z) R 3 xy = 0} w R 3 l) {(x y z) R 3 x + y = 1 z = 2x} w R 3 m) GL(n R) w M n n (R) n) {A M 2 2 (R) det(a) = 0} w M 2 2 (R) o) {A M 2 2 (R) A 2 = 0} w M 2 2 (R) p) {f C(R R) f( x) = f(x)} w C(R R) q) {f C(R R) f(0) = 0} w C(R R) r) {f C(R R) f(0) = 1} w C(R R) Odpowiedzi: a) tak b) tak c) tak d) nie e) nie f) nie g) nie h) nie i) tak j) tak k) nie l) nie m) nie n) nie o) nie p) tak q) tak r) nie 2

3 Twierdzenie 2 Niech U W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej V Wówczas 1 zbiór U W jest podprzestrzenią liniową V 2 zbiór U W jest podprzestrzenią liniową V wtedy i tylko wtedy gdy U W lub W U Zadanie 4 Które ze zbiorów W są podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni liniowych V? a) W = {(x y) : x + 2y = 0 2x + 2y = 0 } V = R 2 b) W = {(x y) : x + 2y = 0 2x + 2y = 0 } V = R 2 c) W = {(x y) : 2x + 4y = 0 x = 0 } V = R 2 d) W = {(x y) : 2x + 4y = 0 x = 0 } V = R 2 e) W = {(x y z) : x + y 2z = 0 3x 2y + z = 0 } V = R 3 f) W = {(x y z) : x + y 2z = 0 3x 2y + z = 0 } V = R 3 g) W = {p R[x] : p(1) = 0 p (2) = 0 } V = R[x] h) W = {p R[x] : p(1) = 0 p (2) = 0 } V = R[x] Definicja 3 Podprzestrzeń liniową V nazywamy generowaną (rozpiętą) przez A = {v 1 v 2 v n } i oznaczamy span{v 1 v 2 v 2 } = {w V : w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α n v n α i K 1 i n} Przestrzeń ta zawiera wszystkie kombinacje liniowe tych wektorów Sam zbiór A = {v 1 v n } nazywamy zbiorem generującym (rozpinajacym) podprzestrzeń span{a} Stosuje się również oznaczenia < v 1 v n > lin{v 1 v n } L(v 1 v n ) Zadanie 5 Przestawić wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v i lub pokazać że jest to niemożliwe: a) v = [1 2] v 1 = [0 1] v 2 = [1 5] b) v = [1 3] v 1 = [2 3] v 2 = [3 4] c) v = [1 0] v 1 = [5 3] v 2 = [ 1 2] d) v = [9 3] v 1 = [2 3] v 2 = [4 2] e) v = x 2 1 v 1 = x 1 v 2 = x 2 + x v 3 = x + 2 f) v = x 2 + 3x v 1 = 3x v 2 = x 1 v 3 = x Zadanie 6 Który z wektorów x 1 = [ ] x 2 = [ ] x 3 = [ ] x 4 = [ ] x 5 = [ ] x 6 = [ ] x 7 = [ ] x 8 = [ ] należy do przestrzeni V = span {[ ] [ ] [ ]}? 3

4 Zadanie 7 Wykazać że a) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a + b b + c c} b) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a a + b a + b + c} c) jeśli a b c V to span{a b c} = span{a b a c a} d) span{x 1 x 2 x 3 y} = span{x 1 x 2 x 3 } y span{x 1 x 2 x 3 } Definicja 4 Niech V będzie przestrzenią liniową Mówimy że wektory v 1 v 2 v n V są liniowo niezależne jeżeli α1 α n K α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 α 1 = α 2 = = α n = 0 W przeciwnym wypadku wektory te są liniowo zależne czyli jeden z nich można zapisać jako kombinację liniową pozostałych Zadanie 8 Za pomocą definicji zbadać liniową niezależność wektorów: a) [2 1] [1 2] b) [2 2] [2 2] c) [3 3] [ 3 3] Zadanie 9 Pokazać że a) jeśli v 1 v 2 v 3 są liniowo niezależne to u 1 = v 1 + v 2 u 2 = v 2 + v 3 u 3 = v 1 + v 3 są liniowo niezależne b) jeśli v 1 v 2 v 3 są dowolnymi wektorami z przestrzeni V to u 1 = v 1 v 2 u 2 = v 2 v 3 u 3 = v 3 v 1 są liniowo zależne c) jeśli v 1 v 2 v n są dowolnymi wektorami z przestrzeni V to u 1 = v 1 v 2 u 2 = v 2 v 3 u n 1 = v n 1 v n u n = v n v 1 są liniowo zależne Definicja 5 Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy zbiór B wektorów z tej przestrzeni gdy jest on liniowo niezależny oraz V = span{b} Definicja 6 Jeśli baza składa się z n wektorów to wymiar przestrzeni wynosi dim(v ) = n Wymiar może być też równy 0 (dla przestrzeni zerowej) lub (dla przestrzeni która nie ma bazy skończonej) Twierdzenie 3 Wektory v 1 = (v 11 v 12 v 1n ) v 2 = (v 21 v 22 v 2n ) v n = (v n1 v n2 v nn ) 4

5 tworzą bazę przestrzeni R n wtedy i tylko wtedy gdy v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n 0 v n1 v n2 v nn Zadanie 10 Za pomocą wyznacznika zbadać liniową niezależność wektorów (sprawdzić czy wektory są bazą w R n ): a) [1 1 0] [1 0 1] [1 1 1] b) [5 4 3] [2 1 1] [ ] c) [1 3 2] [2 1 4] [ ] d) [4 3 2] [ 3 2 4] [2 3 1] e) [ ] [ ] [ ] [ ] f) [ ] [ ] [ ] [ ] Definicja 7 (Współrzędne wektora w bazie) Niech B = {b 1 b 2 b n } gdzie n N będzie bazą przestrzeni liniowej V Współrzędnymi wektora v V w bazie B nazywamy współczynniki α i R (ogólnie: α i K) 1 i n kombinacji liniowej przedstawiającej ten wektor v = α 1 b 1 + α 2 b α n b n Współrzędne wektora v w ustalonej bazie zapisujemy v = [α 1 α 2 α n ] Zadanie 11 Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory: a) [1 3 2] [2 2 1] [1 7 7] [ 1 1 7] [1 1 7] b) [ ] [ ] [ ] c) [ ] [ ] [ ] [ ] d) [ ] [ ] [ ] [ ] e) [ ] [ ] [ ] f) [ ] [ ] [ ] g) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Zadanie 12 Wyznaczyć bazę przestrzeni R 3 zawierającą wektory v 1 v 2 gdzie: a) v 1 = [1 2 2] v 2 = [2 2 1] b) v 1 = [3 2 1] v 2 = [2 0 3] c) v 1 = [1 2 3] v 2 = [0 1 1] d) v 1 = [ 1 1 1] v 2 = [1 1 1] 5

6 Zadanie 13 Dla jakich a R poniższe wektory tworzą bazę przestrzeni R? a) [1 1 1] [1 a 2] [2 3 4] b) [2 1 1] [1 0 3] [1 1 a] c) [1 2 3] [3 2 1] [a 0 3] d) [1 1 1] [a 1 2] [ 2 2 1] Zadanie 14 Wyznaczyć bazę przestrzeni R 4 zawierającą wektory v 1 v 2 gdzie: a) v 1 = [ ] v 2 = [ ] c) v 1 = [ ] v 2 = [ ] b) v 1 = [ ] v 2 = [ ] Definicja 8 Niech A M n m (R) w 1 w n Wtedy możemy zdefiniować: Jej kolumny oznaczmy przez k 1 k m a wiersze 1 rząd macierzy A jako największy możliwy stopień niezerowego minora macierzy A i oznaczamy go przez r(a) 2 przestrzeń kolumnową macierzy A C(A) = span{k 1 k m } 3 przestrzeń wierszową macierzy A R(A) = span{w 1 w n } 4 przestrzeń zerową macierzy A N(A) = {x = (x 1 x 2 x n ) T : Ax = 0} Twierdzenie 4 Dla dowolnej macierzy A M n m (R) zachodzą równości r(a) = dimc(a) = dimr(a) Twierdzenie 5 Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy: zamiana między sobą dwóch wierszy (kolumn) pomnożenie wiersza (kolumny) przez niezerową liczbę dodanie do ustalonej kolumny (do ustalonego wiersza) innej kolumny (innego wiersza) Zadanie 15 Obliczyć rząd macierzy: a) [ ] c) b) d)

7 e) f) g) h) i) j) Odpowiedzi: a) 2 b) 2 c) 4 d) 4 e) 4 f) 3 g) 3 h) 4 i) 5 j) 3 Zadanie 16 Wyznaczyć bazę przestrzeni kolumnowej C(A) bazę przestrzeni wierszowej R(A) bazę przestrzeni zerowej N(A) i rząd macierzy r(a) dla macierzy: a) c) e) b) d) f) Uwaga 2 Jeśli r(a) = n oznacza to macierz posiada n kolumn liniowo niezależnych Zadanie 17 Zbadać liniową niezależność wektorów z Zadania 10 przy użyciu rzędu macierzy Definicja 9 (Macierz przejścia z bazy A do bazy B) Niech V będzie przestrzenią liniową oraz niech A = {a 1 a 2 a n } B = {b 1 b 2 b n } będą bazami tej przestrzeni Macierzą przejścia z bazy A do bazy B nazywamy macierz kwadratową PB A stopnia n której kolejnymi kolumnami są współrzędne kolejnych wektorów bazy B w bazie A to znaczy: b 1 = p 11 a 1 + p 21 a p n1 a n p 11 p 12 p 1n b 2 = p 12 a 1 + p 22 a p n2 a n P A p 21 p 22 p 2n B = b n = p 1n a 1 + p 2n a p nn a n p n1 p n2 p nn Uwaga 3 Macierz przejścia z bazy B do bazy A można obliczyć jako macierz odwrotną ( ) 1 PA B = PB A 7

8 Uwaga 4 Niech v A = [α 1 α 2 α n ] A V czyli v = α 1 a 1 + α 2 a α n a n Przy powyższych oznaczeniach współrzędne [β 1 β 2 β n ] wektora v w bazie B (co oznaczamy v B lub [v] B ) wyrażają się wzorem v B = P B A v A czyli 1 β 1 p 11 p 12 p 1n α 1 β 2 = p 21 p 22 p 2n α 2 β n p n1 p n2 p nn α n Uwaga 5 Jeżeli E = {e 1 e 2 e 3 } oznacza bazę standardową przestrzeni V to wtedy dla bazy A = {a 1 a 2 a n } i bazy B = {b 1 b 2 b n } tej samej przestrzeni mamy A = PA E = a 1 a 2 a n B = PB E = b 1 b 2 b n gdzie w oznacza zapis pionowy wektora w Wtedy macierze przejścia z bazy A do bazy B oraz z bazy B do bazy A możemy obliczyć na kilka sposobów: licząc macierze odwrotne i odpowiednie iloczyny P A B = P B A = używając metody eliminacji Gaussa-Jordana ( P E A ) 1 P E B = P A E P E B ( P E B ) 1 P E A = P B E P E A [A B] [B A] [ ] I PB A [ ] I PA B po otrzymaniu jednej macierzy odwrócić ją by otrzymać drugą (Uwaga 3) Zadanie 18 Wyznaczyć wektor współrzędnych [v] B wektora v względem bazy B gdy: a) v = [2 0] B = {[5 6] [1 2]} b) v = [1 2] B = {[4 5] [6 7]} c) v = [0 1 3] B = {[1 1 1] [1 1 0] [1 0 1]} d) v = [1 0 2] B = {[3 2 3] [3 2 1] [1 0 0]} e) v = [ 3 3 4] B = {[ 1 2 0] [2 1 0] [0 1 2]} f) v = [8 3 2] B = {[2 2 3] [4 6 6] [0 1 2]} g) v = 1 + x + 7x 2 B = { 1 + x 2 x + x 2 2x + x 2} h) v = 3 + x 6x 2 B = { 1 x 2 x x 2 2x + x 2} 8

9 Zadanie 19 Wyznaczyć wektor v gdy dana jest baza B i wektor współrzędnych [v] B : a) [v] B = [2 0] B = {[5 6] [1 2]} b) [v] B = [1 2] B = {[4 5] [6 7]} c) [v] B = [0 1 3] B = {[1 1 1] [1 1 0] [1 0 1]} d) [v] B = [1 0 2] B = {[3 2 3] [3 2 1] [1 0 0]} e) [v] B = [ 3 3 4] B = {[ 1 2 0] [2 1 0] [0 1 2]} f) [v] B = [8 3 2] B = {[2 2 3] [4 6 6] [0 1 2]} Zadanie 20 Wyznaczyć bazę B w przestrzeni R 2 taką że [ 7 11] B = [2 3] [ 1 2] B = [1 1] Zadanie 21 Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B do bazy C oraz [v] C gdy: a) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = 6b 1 2b 2 c 2 = 3b 1 + 2b 2 [v] B = [2 4] b) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = b 1 + 2b 2 c 2 = 3b 1 b 2 [v] B = [1 1] c) B = {b 1 b 2 } C = {c 1 c 2 } gdzie c 1 = b 1 b 2 c 2 = b 1 + b 2 [v] B = [ 1 1] d) B = {b 1 b 2 b 3 } C = {c 1 c 2 c 3 } gdzie c 1 = b 1 + b 2 + b 3 c 2 = b 1 + b 2 b 3 c 3 = 3b 1 + 2b 2 b 3 [v] B = [1 2 3] e) B = {b 1 b 2 b 3 } C = {c 1 c 2 c 3 } gdzie c 1 = 4b 1 b 2 c 2 = b 1 + b 2 c 3 = b 2 2b 3 [v] B = [1 1 1] f) B = {[3 1] [2 2]} C = {[5 2] [ 1 1]} [v] B = [1 2] g) B = {[1 1] [ 1 1]} C = {[2 3] [3 0]} [v] B = [2 2] h) B = {[7 2] [2 1]} C = {[4 1] [5 2]} [v] B = [0 1] i) B = { 1 x x 2} C = { 1 2x + x 2 3 5x + 4x 2 2x + 3x 2} [v] B = x + 1 j) B = { 1 x x 2 x 3} C = { x 3 x 2 x 2 x x 1 x } [v] B = x + 1 Twierdzenie 6 (Kroneckera-Capellego) Układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy r (A) = r ([A B]) Fakt 1 Niech AX = B (jak w poprzednim twierdzeniu) ma następującą ilość rozwiązań: 1 jeżeli r (A) = r ([A B]) = n to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie 2 jeżeli r (A) = r ([A B]) = r < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n r parametrów 3 jeżeli r (A) r ([A B]) to układ nie ma rozwiązania 9

10 Zadanie 22 Określić liczbę rozwiązań układu równań używając rzędu macierzy: a) b) c) { 2x 6y = 5 x +3y = 2 2x +y +3z = 4 x +2y z = 1 x y +4z = 3 x +2y +2z = 1 y +z = 1 x +y +2z = 3 3y +4z = 4 d) e) f) 3x +y +z t = 1 x +y +z = 1 x y z t = 0 x +y z t = 1 x +y +z +t = 1 x +y = 3 x +2y +3z +4t = 5 2x +3y +4z +5t = 1 3x +4y +5z +t = 2 4x +5y +z +2t = 3 Bibliografia: 1 K Jankowska T Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1 Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania GiS Wrocław T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 2 Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 2 Przykłady i zadania GiS Wrocław A Romanowski Algebra liniowa PG Gdańsk J Rutkowski Algebra liniowa w zadaniach PWN Warszawa J Topp Algebra liniowa PG Gdańsk

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo