Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Transkrypt

1 Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

2 Rozkład normalny wykres funkcji gęstości i interpretacja f(x σ x µ Parametry rozkładu N(µ,σ, µ - Wartość oczekiwana σ 2 - Wariancja

3 Cechy charakterystyczne funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym: jest symetryczna względem prostej x µ w punkcie x µ osiąga wartość maksymalną ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x µ -σ oraz x µ + σ Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów: µ,σ: - parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej, - parametr σ decyduje o smukłości krzywej.

4 Rozkład normalny Reguła 3 sigma Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(µ,σ to: - 68,3 % populacji mieści się w przedziale (µ -σ; µ + σ - 95,5 % populacji mieści się w przedziale (µ - 2σ; µ + 2σ - 99,7 % populacji mieści się w przedziale (µ - 3σ; µ + 3σ

5 Prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym Prawdopodobieństwo w rozkładzie normalnym ( podobnie jak w każdym innym rozkładzie ciągłym wyznaczane jest dla wartości zmiennej losowej z określonego przedziału, P(a<X b P(a<X b F(b- F(a, Dla uproszczenia obliczeń prawdopodobieństwa P(a<X b dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, z wartością oczekiwanąµi odchyleniem standardowym σ, dokonuje się standaryzacji zmiennej losowej.

6 Rozkład normalny - standaryzacja Standaryzacja polega na sprowadzeniu dowolnego rozkładu normalnego N(µ,σ, o danych parametrach µ i σ do rozkładu standaryzowanego (modelowego o wartości oczekiwanej µ 0 i odchyleniu standardowym σ 1. Zmienną X zastępuje się zmienną standaryzowaną U u x σ µ która ma rozkład N(0,1 Wtedy otrzymujemy następujące zależności : f(x ϕ(u, F(x Φ(u, czyli: x µ P( X x F( x Φ( σ

7 Własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego: ( ( ( 1 ( 1 ( ( 1 ( ( ( ( ( ( u u U P u u U P u U P u u u U P u u U P x X P x F Φ > Φ > Φ Φ Φ

8 gdzie Φ(u oznacza wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1 Wartości te znajdziemy w tablicach statystycznych Φ Φ < Φ Φ < < < σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ a b a F b F b X a P a b b U a P b X a P b X a P ( ( ( ( Obliczanie prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnym Obliczanie prawdopodobieństwa, że zmienna losowa X, o rozkładzie N (µ, σ, przyjmie wartości z przedziału (a, b

9 Zadanie: Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny N(165,15. Oznacza to, iż zmienna losowa jaką jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście: a do 160 cm, b w przedziale cm, c powyżej 175 cm d dokładnie 150 cm

10 Rozwiązanie: a do 160 cm X P( X 160 P P( U 0, Φ( 0,33 1 Φ(0,33 1 0,6293 0,3707 a innym sposobem P( X 160 F(160 Φ 15 Φ( 0,33 1 Φ(0,33 1 0,6293 0,3707

11 Rozwiązanie: b w przedziale cm X P(165 < X 170 P < 15 P(0 < U 0,33 Φ(0,33 Φ( ,6293 0,5 0,1293 P( X 1 c powyżej 175 cm. X > 175 P > P( U > 0, P( U 0,67 1 Φ(0,67 1 0, , d dokładnie 150 cm. P( X 150 P(150 X 150 F(150 F(150 0

12

13 Parametry pozycyjne rozkładu zmiennej losowej Moda Dominanta. Mediana. Modą Mo ( Dominantą Do zmiennej losowej X nazywamy tę wartość zmiennej losowej, której odpowiada: Największe prawdopodobieństwo w przypadku zmiennej dyskretnej Maksimum lokalne funkcji gęstości w przypadku zmiennej losowej ciągłej. Medianą Me zmiennej losowej X nazywamy wartość x, spełniającą nierówności P(X x 0,5 i P (X x 0,5 natomiast dla dystrybuanty mamy 0,5 F(x 0,5+P(Xx dla zmiennej dyskretnej F(x0,5 dla zmiennej ciągłej

14 Symetria rozkładu zmiennej losowej Zmienna losowa ma rozkład symetryczny jeśli istnieje taka wartość a, że: W przypadku zmiennej dyskretnej każdemu punktowi skokowemu x i a odpowiada punkt x j a, taki, że P(X x i P(Xx j oraz a- x i x j -a W przypadku zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości f(x : f(a-xf(a+x dla każdego x w punktach ciągłości f(x. Punkt a nosi nazwę środka symetrii, a prosta xa jest osią symetrii rozkładu zmiennej losowej. Jeśli rozkład jest symetryczny, to środkiem symetrii jest wartość oczekiwana W rozkładzie symetrycznym wszystkie momenty centralne nieparzystego rzędu równe są zero

15 Asymetria rozkładu zmiennej losowej Zmienna losowa ma rozkład asymetryczny jeśli nie istnieje taka wartość a (taki punkt a, który spełnia warunki rozkładu symetrycznego. Ze względu na to, że w rozkładzie asymetrycznym momenty centralne rzędu nieparzystego są różne od zera, do określenia współczynnika asymetrii (skośności rozkładu wykorzystuje się trzeci moment centralny µ 3, mianowicie γ D µ 3 ( 3 X Jeśli γ>0, asymetria rozkładu jest dodatnia prawostronna (wydłużenie w kierunku dużych wartości Jeśli γ<0, asymetria rozkładu jest ujemna - lewostronna (wydłużenie w kierunku małych wartości

16 Wyznaczyć wskaźniki położenia zmiennej X: wartość oczekiwaną, modę, medianę, kwantyl rzędu 0,75, Dla zmiennej losowej, której funkcja gęstości dana jest wzorem f ( x x < x < 1 wprzeciwnymprzypadku E(X 7/12 Mo 1 Me obliczę z równania F(Me 1/2; Me 9/24 Q 3 F(Q 3 3/4 stąd Q 3 41/64

17 Zmienna losowa wielowymiarowa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P i w tej przestrzeni n zmiennych losowych X 1,X 2,...,X n Definicja Uporządkowany układ n zmiennych losowych, oznaczony X (X 1,X 2,...,X n nazywamy wektorem losowym lub n -wymiarową zmienną losową, co oznacza, że każdemu zdarzeniu ω Ω przyporządkowano punkt przestrzeni euklidesowej R n Funkcję P X (A P({ω: X(ω A} nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa wektora losowego X, a jego dystrybuanta jest określona wzorem F X (x P(X 1 <x 1,X 2 <x 2,...,X n <x n

18 Przykłady Badamy trzy cechy człowieka : wiek, ω 1 [18,100] [lat] wzrost, ω 2 [140, 210][cm] waga, ω 3 [40,150][kg] ω (ω 1, ω 2, ω 3 Ω Zmienne losowe definiuję następująco: X 1 ( ω ω 1 X 2 ( ω ω 2... X n ( ω ω n

19 Tablicowa reprezentacja dwuwymiarowego rozkładu zmiennej losowej skokowej Yy 1 Y y 2 Y y 3 Y y 4 Y y 5 Y y 6 Rozkład brzegowy zmiennej X X x 1 p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 1. X x 2 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 p 26 p 2. X x 1 p3. p Rozkład brzegowy zmiennej Y p p.2 p.3 p.4 p.5 p.6.1 1

20 Dwuwymiarowa zmienna losowa (para zmiennych typu skokowego Def. Dwuwymiarowa zmienna losowa jest typu skokowego jeśli przyjmuje skończoną lub co najwyżej przeliczaną liczbę wartości (x 1,y j, (i,j1,2,. odpowiednio z prawdopodobieństwami p i,j Zachodzi przy tym warunek: (* p 1 i gdzie p i j j i j ( X x, Y y ( i, 1,2,... P j i Uwaga, w celu właściwej interpretacji wartości p i,j, należy pamiętać, że zapis (Xx i,yy j oznacza iloczyn zdarzeń Xx i i Yy j j

21 Niezależność zmiennych losowych typu skokowego Para (X, Y jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego, Zmienne X i Y nazywamy niezależnymi, jeśli dla każdej pary wartości (x i, y j spełniony jest warunek: P(Xx i,yy j P(Xx i *P(Yy j czyli p ij p i. * p. j Dla zmiennych niezależnych musi być spełniony warunek: pij P ( X xi Y y j pi. P( X p oraz. j x i Oznacza to, że zmienne losowe X i Y są niezależne jeśli prawdopodobieństwa w łącznym rozkładzie tych zmiennych są równe iloczynowi odpowiednich prawdopodobieństw ich rozkładów brzegowych. pij P ( Y y j X xi p. j P( Y p i. y j

22 Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej nazywamy funkcję rzeczywistą określoną wzorem: dla zmiennej losowej typu skokowego F ( x, y pi j x i x y j y dla zmiennej losowej typu ciągłego (, (, (, F x y P X x Y y f u v dudv x y

23 Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego Funkcją gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y typu ciągłego nazywamy funkcję rzeczywistą określoną wzorem:, ( f x, y lim x 0 y 0 o następujących własnościach: f ( x y, 0 dla x, y R ( < < +, < < + P x X x x y Y y y x y x2 y2 + ( f x, y d x d y 1 (, (, f x y dxdy P x < X x y < Y y x1 y

24

25 Dwuwymiarowy rozkład normalny Funkcja gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego N(µ1,µ2,σ1,σ2,ρ

26 Brzegowe funkcje gęstości + ( ( f1 x f x, y dy; + ( (, f2 y f x y dx

27 Warunkowe funkcje gęstości: ( / f x y (, ( y f x y f 2 ; ( / f y x f ( x, y ( x f 1

28 Niezależność dwuwymiarowych zmiennych losowych ciągłych Zmienne losowe X i Y typu ciągłego są niezależne, jeśli dla dowolnej pary liczb rzeczywistych (x,y zachodzi równość: ( x, y f ( x f ( y f 1 2

29 Momenty zwykłe dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem zwykłym rzędu kl, dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y nazywamy wyrażenie m kl E ( k l X Y i x k j y l x f i k y ( x j, l p i j y dxdy Na przykład ( XY E ( X E ( Y m m 11 E m

30 Parametry rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego Wartością oczekiwaną dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego nazywamy wyrażenie: E ( X, Y E ( X E ( Y x i y j p i j i j Wariancją dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego nazywamy wyrażenie: D 2 ( [ ( ] 2 [ ( ] 2 X, Y E X E X Y E Y i j 2 [ x E( X ] y E( Y i [ ] 2 j pi j

31 Momenty centralne dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem centralnym rzędu k+l (k,l 0,1,2,... dwuwymiarowego rozkładu zmiennej losowej (X,Y nazywamy wyrażenie µ i kl j E ( x i ( x m k l ( X m ( Y m m k k 10 Wzór dla zmiennej skokowej ( y Wzór dla zmiennej ciągłej ( y m j m l l 01 p i j f ( x, y dxdy

32 Parametry dwuwymiarowych zmiennych losowych Kowariancja Def. Kowariancją zmiennej losowej dwuwymiarowej (X,Y nazywamy wyrażenie: cov cov ( X, Y E ([ X E ( X ][ Y E ( Y ] ( X, Y cov xy µ 11 σ xy

33 Wzory na obliczanie kowariancji cov( dla zmiennej losowej skokowej X, Y i dla zmiennej losowej ciągłej j [ x E ( X ] y E ( Y i [ ] j p i j σ xy + + ( x m ( y m f ( x dx dy dla danych empirycznych 1 n S ( x x ( y y xy i i n i 1 Jeśli zmienne X i Y są niezależne to cov(x,y0, Twierdzenie odwrotne w ogólności nie jest prawdziwe x y

34 Parametry dwuwymiarowych zmiennych losowych Współczynnik korelacji liniowej ρ cov( D( X X, Y D( Y ρ µ 11 µ 02 µ 20

35 Współczynnik korelacji liniowej Współczynnik korelacji opisuje siłę liniowego związku pomiędzy dwiema zmiennymi. Przyjmuje on wartości z przedziału domkniętego <-1; 1>. Wartość -1 oznacza występowanie doskonałej korelacji ujemnej (to znaczy sytuację, w której punkty leżą dokładnie na prostej, skierowanej w dół, a wartość 1 oznacza doskonałą korelację dodatnią (punkty leżą dokładnie na prostej, skierowanej w górę. Wartość 0 oznacza brak korelacji liniowej

36 Przykłady układów punktów przy różnych wartościach współczynnika korelacji liniowej

37 Analiza rozkładu łącznego zmiennej dwuwymiarowej (X,Y Y pęknięcie Y zgorzelina Y mat.pow Y wżery Y skaza Y inne Rozkład zmiennej X X duże X średnie X małe Rozkład zmiennej Y Rozkłady brzegowe zmiennych losowych Y i X

38 Analiza rozkładu łącznego (JPD zmiennej dwuwymiarowej (X,Y Na podstawie tablicy JPD można obliczać prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń losowych (każde zdarzenie jest sumą zdarzeń elementarnych/atomowych W wierszu j oraz kolumnie i tabeli JPD, znajduje się prawdopodobieństwo zdarzenia atomowego polegającego na jednoczesnym przyjęciu wartości y i przez zmienną Y oraz wartości x j przez zmienną X, np. P(X średnia,y skaza W ostatnim wierszu tabeli nr 1 zamieszczono rozkład zmiennej Y, który uzyskuje się w wyniku sumowania wartości pól w kolumnach, W ostatniej kolumnie zamieszczono rozkład zmiennej X, uzyskany w wyniku sumowania wartości pól w wierszach, są to rozkłady brzegowe zmiennej (X,Y. Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń atomowych wynosi 1 (jest to warunek konieczny, wynikający z definicji rozkładu prawdopodobieństw

39 Zastosowania tablicowej reprezentacji JPD Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowano wyrób ze skazą lub jakąkolwiek małą wadą (Y skaza lub X mała można obliczyć z tabeli JPD dodając wszystkie wartości w kolumnie Y skaza i wierszu X mała, licząc zawartość pola na przecięciu kolumny skaza i wiersza mała tylko jeden raz Wynik ten jest taki sam jak dla prawdopodobieństwa sumy zdarzeń (X Y, bo: P (X Y P(X + P(Y P(X,Y

40 Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo łączne Prawdopodobieństwa warunkowe można obliczyć korzystając z tablicy JPD, np. P(pęknięcie/małe P(pęknięcie,małe : P(małe 0,244 0,1 : 0,41 P(małe/pęknięcie P(pęknięcie,małe :P(pęknięcie 0,1: 0,25 0,4 Prawdopodobieństwo łączne: P(A,B P(A B P(A/B * P(B

41 Zadanie Dany jest rozkład zmiennej losowej (X,Y X Y ,2 0, ,1 0,2 0,3 1. Znaleźć rozkłady brzegowe i obliczyć E(X i D(X. 2. Wyznaczyć rozkład warunkowy P(X/Y1 i obliczyć wartość oczekiwaną w tym rozkładzie. 3. O czym świadczy porównanie wyników E(X i E(X/Y1?

42 Zadanie 2 Dwuwymiarowa zmienna losowa (XY posiada następujący rozkład: x i y j ,1 0,1 4 0,1 0,2 7 0,0 0,5 Wyznaczyć momenty zwykłe rzędu pierwszego zmiennej losowej X oraz (X/Y0. Jaki wniosek wynika z porównania obliczonych wartości? Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej (XY Wiedząc, że E(Y0,8 obliczyć kowariancję w tym rozkładzie. Czy jej wynik potwierdza wniosek z punktu a?