χ 2 = + 2π 2 Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej: σ

Transkrypt

1

2 χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep d π Rozważy dwie iezależe ziee losowe i z tego saego rozkład oralego, i zajdźy µ µ rozkład zieej losowej: + Szkay rozkład a postać: dt X X t X t dt ep ep π t( t) 0 0 M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -

3 χ Postępjąc tak dalej zajdjey rozkład sy kwadratów iezależych stadaryzowaych zieych losowych każda z rozkład Gassa, zway rozkłade χ : X ep, >, 0 0 Γ Math Math gdzie ideks ozacza liczbę stopi swobody. Player Player Wartość oczekiwaa i wariacja: E [ ] V [ ] Math Player Zachowaie dla dżych : z + z M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -3

4 χ Jak ziei się rozkład zieej losowej w przypadk gdy: Wychodząc z łączego rozkład p-twa zieych,,, : f (,,..., ; µ, ) N ( i; µ, ) ep ( i µ ) i ( π ) i oża pokazać, że łączy rozkład p-twa zieych oraz a postać: ( µ ) g(, ;, ) ep ep µ ;, X N µ π Γ Wioski:. Ziee i są statystyczie iezależe.. Rozkład zieej to rozkład χ o - stopiach swobody (życie średiej ziejsza liczbę iezależych składików w sie). M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -4

5 χ Korzystając z rozkład zieej losowej zajdjey rozkład zieej: v s ( i ) i który a postać: ( ) v ( ) v f ( v;, ) ep Γ Wartość oczekiwaa zieej v: [ ] v s [ ] E E E Wariacja zieej v: [ ] v s [ ] V V V Wartość oczekiwaa i wariacja estyatora s : E V V [ s ] [ s ] ˆ[ s ] s Podoba aaliza prowadzi do wiosk, że statystyką o - stopiach swobody jest też: s s gdzie s i ( ) M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka i 4 Wykład -5

6 Stdeta Aby ikąć proble iezaej dyspersji rozkład oralego w zieej typ χ, rozważy statystykę postaci (Stdeta): µ µ µ s s Uogólijy rozważaą zieą losową a zieą: gdzie jest zieą pochodzącą z rozkład oralego o paraetrach µ i (z jest stadaryzowaą zieą gassowską), atoiast ziea podlega rozkładowi χ o stopiach swobody. Łącza gęstość p-twa zieych z oraz a postać: (, ) ep z ep h z π Γ M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka µ t t z Wykład -6

7 Stdeta W stadardowy sposób zajdjey rozkład zieej losowej t: z z z t v v t z t t v / J v v v t v 0 Łączy rozkład p-twa zieych t oraz v: g t, v h z t, v, t, v J t, v + v v t v v t v ep v ep + + π Γ Γ π Rozkład brzegowy zieej t: S t t g t, v dv q v t q Γ t + q ep dq + + π Γ Γ 0 π + + M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka v Wykład -7

8 Stdeta Rozkład Stdeta o stopiach swobody: ( Γ + ) ( + ) t S t g( t, v) dv +,,... < t < 0 π Γ Dla rozkład Stdeta przechodzi w rozkład Cachy ego: S( t) π + t Uwaga: Dla rozkład Cachy ego ie istieją wartość oczekiwaa ai wariacja. Wartość oczekiwaa rozkład Stdeta (dla >): E[ t] ts t dt 0 Wariacja (dla >): [ t] V t S t dt Math Player M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -8

9 Stdeta Przykład: Sprawdzay rzetelość prodceta ckr. Ważyy 5 toreb ckr (których waga etto powia wyosić kg) otrzyjąc 960 g oraz s 0 g. Czy prodcet jest czciwy w raach trzech odchyleń stadardowych? Rozkład oraly: P(µ3 < < µ+3) Obliczay wartość statystyki Stdeta: Obliczy p-two: P( ) P( -4 t 4) Dla rozkład Stdeta: P( t 66. ) P( 934 < < 066) µ t -4 s 0 M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -9

10 Sedecora-ishera Rozważy dwie ziee losowe oraz każda o rozkładzie χ, odpowiedio o i stopiach swobody. Kostrjey statystykę ishera: Łącza gęstość p-twa zieych oraz a postać: h, (, ) ( ) ep ( ) ep Γ Γ Iteresje as rozkład zieej losowej : v v v J v v v 0 v ( ) v g, (, v) v + ep + + Γ Γ M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -0 0

11 Sedecora-ishera Rozkład brzegowy zieej azyway rozkłade - ishera o (,) stopiach swobody:, Wartość oczekiwaa (dla >): Wariacja (dla >4): V[ ] Zachowaia graicze: : rozkład S (t) : rozkład χ () ( Γ + ) ( ),, > 0, 0 ( + ) Γ Γ ( + ) [ ] E ( + ) ( ) ( 4) i : r. Gassa Math Player M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -

12 Sedecora-ishera Przykład: Porówaie odchyleń stadardowych. Kostrjey dwie statystyki oraz y podlegające rozkładowi χ o - i - st. swobody: s s (y y) i y y i i i Z wielkości tych ożey zbdować zieą ishera: y s s y s s y Ziea ta podlega rozkładowi ishera o (-,-) stopiach swobody i dostarcza arzędzia do testowaia hipotez o rówości wariacji w dw próbach prostych wylosowaych z rozkład oralego. M. Przybycień Rachek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład -