KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)"

Halina Kurek
8 lat temu
Przeglądów:

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K) Streszczene W artykule pokazano, że jakość koncydentnego modelu ekonometrycznego określonego przez regularną parę korelacyjną (R(, R (), merzona wartoścą współczynnka r 2 (, gdze: r 2 T ( = R ( R ( R ( spełna warunek: r 2 ( Sr 1, gdze S = a 1 + a a k. Zarówno r 2 ( jak S oblczamy, stosując macerz brzegową Q postac: R( R ( Q = T R (, gdze 1 wektor werszowy k-wymarowy, którego każda składowa jest równa jednośc. Po wykonanu (na macerzy Q) przekształceń elementarnych typu α β dostajemy: ( R ( Q ~ 2 r (, S stąd odczytujemy welkośc r 2 ( oraz S. Słowa kluczowe: macerz korelacj, koncydentność, jakość modelu.

wartoścą współczynnka r 2 (, gdze: r 2 T ( = R ( R ( R ( spełna warunek: r 2 ( Sr 1, gdze S = a 1 + a 2 + + a k.

2 196 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Rozpatrujemy model ekonometryczny określony przez regularną parę korelacyjną (R(, R (), gdze R( = [r j ] jest macerzą korelacj stopna k, natomast wektor R ( = [r ] stanow wektor korelacj. Jest to k-wymarowy wektor kolumnowy o składowych r,. = 1, 2,, k, będących współczynnkam korelacj mędzy zmenną endogenczną Y a poszczególnym zmennym objaśnającym Z, to znaczy, że r = r(y, Z ), = 1, 2,, k. Z kole elementam r j macerzy R( są współczynnk korelacj mędzy param zmennych objaśnających Z oraz Z j, czyl r j = r(z, Z j ), ), = j = 1, 2,, k. Przypomnamy, że para korelacyjna (R(, R () jest regularną parą korelacyjną, to znaczy, że jest spełnona zależność [1]: < r 1 r 2 r k < 1 (1) natomast parze korelacyjnej (R(, R () odpowada model: Y = α 1 Z 1 + α 2 Z α k Z k + e (2) Mówmy, że zmenna Z modelu (2) jest zmenną koncydentną, jeżel: sgnr gdze: a oszacowane parametru α, ( = 1, 2,, modelu (2) uzyskane MNK. = sgn a (3) Zatem składowe a tworzą wektor A(, który jest rozwązanem układu równań: R(A( = R ( (4) Poneważ para korelacyjna (R(, R () jest z założena regularną parę korelacyjną, węc równość (3) przechodz w równość: sgn = +1 (5) Chcąc rozstrzygnąć, czy dana zmenna objaśnająca modelu (2) jest zmenną koncydentną, korzystamy z następującego twerdzena [2]: Twerdzene (Kolupa 1986) Warunkem konecznym dostatecznym na to, aby zmenna objaśnająca Z ( 1 k ) była koncydentna, jest spełnene warunku: a r ρr R > (6)

= 1, 2,, k, będących współczynnkam korelacj mędzy zmenną endogenczną Y a poszczególnym zmennym objaśnającym Z, to znaczy, że r = r(y, Z ), = 1, 2,, k.

3 MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 197 gdze: r = r(y, Z ), ρ -ty wersz macerzy R( bez -tego elementu. R powstaje z wektora R ( przez odrzucene -tej jego składowej, a macerz R powstaje z macerzy R( przez odrzucene -tego wersza równeż -tej kolumny. Przypomnamy, że stneje macerz odwrotna do macerzy R, poneważ macerz korelacj jest macerzą dodatno określoną. Chcąc zatem zbadać koncydentność zmennej Z, korzystamy z macerzy brzegowej U o postac: U = R R ρ r (7) na której werszach wykonujemy elementarne przekształcena typu α (macerz R przechodz w górną macerz trójkątną (zera ponżej głównej przekątnej) z jedynkam na głównej przekątnej) oraz przekształcena typu β (wektor ρ przechodz w wektor zerowy). Po wykonanu tych przekształceń macerz U przechodz w macerz U o postac: U = R d (8) gdze: d = r ρr R (9) Jeżel d > (d < ), to zmenna Z jest koncydentna (ne jest koncydentna). Przypomnjmy, że jakość pary korelacyjnej (R(, R () merzymy wartoścą współczynnka r 2 ( o postac: 2 T r 2 ( k ) = R ( R ( R ( = a1r1 + a2r a k r k (1) Współczynnk ten możemy oblczyć, wykorzystując macerz brzegową V o postac: V = R( R( T R ( (11)

Przypomnamy, że stneje macerz odwrotna do macerzy R, poneważ macerz korelacj jest macerzą dodatno określoną.

4 198 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Wykonujemy na nej przekształcena elementarne typu α oraz β. Po ch wykonanu macerz V przechodz w macerz V o postac: V = ( R ( 2 r ( (12) z której bezpośredno odczytujemy wartość r 2 (. Z uwag na zależnośc (1) (5) współczynnk r 2 ( dany wzorem (1) spełna nerówność [3]: 2 r ( ( a 1 + a ak ) r1 (13) Dla wygody w dalszych rozważanach oznaczono: a1 + a ak = S (14) Wówczas nerówność (13) zapsujemy w równoważnej postac: 2 r ( Sr Pokażemy, w jak sposób można jednocześne oblczyć r 2 ( skorzystamy z macerzy brzegowej Q o postac: R( R( Q = T R ( 1 (15) S. W tym celu (16) gdze 1 wektor werszowy k-wymarowy, którego każda składowa jest równa jednośc. Na macerzy Q danej wzorem (16) wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Po ch wykonanu otrzymujemy: ( Q ~ Q = R ( 2 r ( S (17) Odwołajmy sę do przykładu lustrującego opsane postępowane.

Z uwag na zależnośc (1) (5) współczynnk r 2 ( dany wzorem (1) spełna nerówność [3]: 2 r ( ( a 1 + a2 +... + ak ) r1 (13) Dla wygody w dalszych rozważanach oznaczono: a1 + a2 +.

5 MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 199 Przykład. Dana jest regularna para korelacyjna (R(2), R (2)), gdze: 1,2 R(2) =,,2 1 R (2) =,3,4 (18) Sprawdzamy, czy jest to para koncydentna. Innym słowy, czy model o postac: jest koncydentny. Y = α 1 Z 1 + α 2 Z 2 + e (19) U 1 = 11 ρ1 R1 1 = r 1,2,4,3 (2) oraz: U 2 = ρ2 22 R2 1 = r 2,2,3,4 (21) Na macerzach brzegowych U 1 oraz U 2 wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Mamy zatem: 1,4 U 1 ~,,22,22 >, węc zmenna Z 1 jest koncydentna. Analogczne: 1,3 U 2 ~,,34,34 >, węc zmenna Z 2 jest koncydentna. Wobec tego para korelacyjna dana wzorem (18) jest koncydntna regularna. W dalszym cągu korzystamy z macerzy brzegowej Q danej wzorem (16): Q = 1,2,3,2 1,4,3,4 (22)

Y = α 1 Z 1 + α 2 Z 2 + e (19) U 1 = 11 ρ1 R1 1 = r 1,2,4,3 (2) oraz: U 2 = ρ2 22 R2 1 = r 2,2,3,4 (21) Na macerzach brzegowych U 1 oraz U 2 wykonujemy przekształcena elementarne typu α β.

6 2 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII Na tej macerzy wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Mamy wówczas: Q ~ 1,2,96,34,8 1,3,34 ~,9,3,2 1, (23) Z macerzy danej wzorem (22) odczytujemy: 11 7 r 2 ( = ; S = (24) 7 Poneważ r 1 =,3, węc Sr 1 =. Jest zatem spełnona nerówność (15) ( > ) Istota przedłożonej propozycj polega na tym, aby móc od dołu oszacować wartość współczynnka r 2 ( merzącego jakość danej regularnej koncydentnej pary korelacyjnej. Oszacowane to pownno być łatwe do wyznaczena pod względem rachunkowym. Chodz tu o podane welkośc Sr 1, która zgodne z nerównoścą (15) jest oszacowanem od dołu współczynnka r 2 (. Zauważmy, że wyznaczene sumy S danej wzorem (15) jest możlwe wyłączne za pomocą macerzy brzegowej, poneważ wykorzystane układu (4) jest necelowe. Posługujemy sę macerzą brzegową o postac: ( R( F = (25) Jak zawsze na macerzy tej wykonujemy przekształcena elementarne typu α β. Po ch wykonanu z macerzy F o postac: F R ( R( = S (26) odczytujemy wartość S.

Jest zatem spełnona nerówność (15) 4 11 7 ( > ).

7 MICHAŁ KOLUPA, JOANNA PLEBANIAK KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO 21 Lteratura 1. Hellwg Z., Przechodność relacj skorelowana zmennych losowych płynące stąd wnosk ekonometryczne, Przegląd Statystyczny 1976, nr Kolupa M., O kryterum służącym do badana koncydentnośc danej zmennej objaśnającej, Przegląd Statystyczny 1986, nr Kolupa M., Marcnkowska-Lewandowska W., Radzo A., Koncydencja model ekonometrycznych teora zastosowana, Instytut Cybernetyk Zarządzana, SGPS Warszawa COINCIDENCE OF THE ECONOMETRICS MODEL AND ITS QUALITY MEASURED BY THE VALUE OF COEFFICIENT R 2 (K) Summary In the paper t was proved that the qualty of the concdence model defned by a regular correlaton par (R(, R () measured by the value of coeffcent r 2 ( where: r 2 T ( = R ( R ( R ( s the soluton to the equaton: r 2 ( Sr 1, where S = a 1 + a a k. Value r 2 ( and S can be derved from a bordered matrx Q of: R( R( Q = T R (, where 1 row vector of order 1xk, whose every coeffcent s one. When elementary operatons type α and β are performed (on the matrx Q), we arrve at: ( R ( Q ~ 2 r (, S thus the value of r 2 ( and S can be read. Keywords: correlaton matrx, concdence, the qualty of models. Translated by Joanna Plebanak

, O kryterum służącym do badana koncydentnośc danej zmennej objaśnającej, Przegląd Statystyczny 1986, nr 4. 3. Kolupa M., Marcnkowska-Lewandowska W., Radzo A.

8 22 METODY ILOŚCIOWE W EKONOMII

Podobne dokumenty

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy: