Komputerowa symulacja doświadczenia Rutherforda (rozpraszanie cząstki klasycznej na potencjale centralnym

Transkrypt

1 Pojekt n C.8. Koputeowa syulacja doświadczenia Ruthefoda (ozpaszanie cząstki klasycznej na potencjale centalny (na podstawie S.. Koonin "Intoduction to Coputational Physics") Wpowadzenie Cząstka o asie i pewnej pędkości początkowej U 0, pouszająca się w tójwyiaowej pzestzeni napotyka na swojej dodze nieskończenie ciężkie centu oddziaływujące z nią potencjałe o syetii sfeycznej V(). To cząstki ulega odchyleniu od piewotnego kieunku o kąt Θ (iezony w dużej odległości od centu), patz ys.. Kąt Θ, nazywany kąte ozposzenia, zależy od potencjału V(), enegii początkowej cząstki i tzw. paaetu ozpaszania. Doświadczalnie wyznacza się tzw. óżniczkowy pzekój czynny na ozpaszanie, definiowany wzoe: dσ = d dω sinθ d θ () gdzie σ jest pzekoje czynny, a dw eleentany kąte byłowy o ozwatości Θ []. Występująca w ty wyażeniu zależność kąta ozposzenia od paaetu ozpaszania Θ() dla zadanego potencjału V() stanowić będzie pzediot naszych achunków.

2 V φ θ Rys.. Rachunki analityczne Kozystay z pawa zachowania enegii, dla nieskończenie dużych zakładay V()=0, oaz pędkość U=U 0. = U 0 = U d + V() = ( ) dt + V() () zapisujey je we współzędnych biegunowych: = [& + φ ] + V() & (3) Z pawa zachowania kętu ay: L = U0 = = (4)

3 3 Ponieważ we współzędnych biegunowych: L = φ & (5) ożey wyliczyć: φ & = (6) i wstawić do (3). Otzyujey: = [& + ] + V() (7) z (7) wyliczay: & = (( ) V()) (8) z dugiej stony pochodną po czasie w (8) ożna zaienić na pochodną po φ: d d dφ d d & = = = φ& = (9) dt dφ dt dφ dφ z (8) i (9) otzyujey: d = dφ [( ) V()] (0) lub φ = [( ) V() ] d () d dzięki () wyliczay Θ:

4 4 V() θ = π d [ ] () gdzie 0 wyliczay z waunku d/dφ=0 dla 0, co dzięki (0) daje waunek: ( ) V() = 0 (3) Θ wyliczona z () jest natualnie funkcją paaetu ozpaszania, ale ównież zależy od i potencjału V(). Całkę () i waunek () udaje się wyliczyć analitycznie tylko dla szczególnych pzebiegów potencjału V(). Na ogół ozwiązujey je nueycznie. Poble ten stanowi istotę tego ćwiczenia. Pocedua nueyczna Naszy zadanie jest wykonanie całki (). Ponieważ góna ganica całkowania jest, należałoby całkę obciąć pzy pewny ax, dla któego funkcja podcałkowa jest odpowiednio ała. Jednakże, ponieważ funkcja podcałkowa dla dużych jest stosunkowo słabo alejąca (/ ), bezpośednie całkowanie nueyczne z obcięcie jest ało efektywne. Dla uspawnienia poceduy posłużyy się następujący tikie: Załóży, że potencjał V() zieza szybko do zea dla dużych i dla pewnego ax ożna go zaniedbać. Pzybliżay go zate nowy potencjałe U() = V() dla < ax i U()=0 dla > ax. Wtedy: (4) z dugiej stony, jeżeli potencjał V() byłby ówny 0 dla dowolnego, 0 wyliczone z (3) jest ówne, a Θ z () powinno być ówne 0 (bak ozpaszania). Zate: π = V() θ = π d ( ) d ( ) d d d _ ( ) = ( ( ) _ + ( ) ) (5)

5 5 kobinując (4) i (5) uzyskujey: (6) Rachunek poównawczy testowanie popawności poceduy. W każdy pobleie achunkowy kozystne jest pzetestowanie opacowanej etody w pzypadku uposzczony, ganiczny lub ożliwy do policzenia inną etodą. W naszy pobleie nueyczny (wyliczenie całki () lub (6)) do testowania etody oże posłużyć na potencjał V(), dla któego całkę () potafiy wyliczyć analitycznie. Taki potencjałe jest: α V() = (7) I. Potencjał (7) wstawiay do (3) w celu wyliczenia 0. α ( ) = 0 0 (8) jeżeli podstawiy e + a = b, otzyujey: = 0_ = (9) 0 II. Wstawiając to do () otzyujey: d d V() θ = [ ( ) ( ) ] d d V() θ = [ ( ) ( ) ] (0) zieniay zienną całkowania:

6 6 = z, =, z dz d = _ () z Otzyujey: θ = π π dz z = π (z) = π = π( ) acsin () Po ozszyfowaniu podstawienia (9) otzyujey: θ = π( ) = π( ) (3) α + α + (Łatwo zauważyć, że dla a ziezającego do 0, Θ ównież dąży do zea, czego oczekujey.) Zadania do wykonania Pzygotować pojekt uożliwiający dyskusję ozpaszania cząstek oddziaływujących ze sobą popzez potencjał LennadaJonesa opisujący w pzybliżeniu oddziaływanie iędzyatoowe w olekułach dwuatoowych (np. O ). 6 α α V() = 4V0 (4) Pojekt powinien zawieać poga liczący zależność kąta ozposzenia od paaetu ozposzenia Θ() dla wczytywanej z klawiatuy enegii cząstki, paaetów potencjału V 0 i α, oaz wybou punktów. Na wyjściu znaleźć się powinna zależność Θ() a) w postaci tabelki b) w postaci wykesu.

7 7 Wskazówki etodyczne Pojekt wyaga wykozystania dwóch pocedu nueycznych, któe powinny być osobno pzygotowane i wstępnie pzetestowane.. Rozwiązanie ównania (3) w celu wyliczenia 0 (poga na szukanie ze funkcji jednej ziennej f(x) = 0). Wykonanie całki (4) Uwaga: Dla potencjału Lennada Jonesa, występującą w (4) góną ganicę całkowania wystaczy pzyjąć ax = 3α. Po pzygotowaniu i połączeniu obu pocedu w jeden poga testujey pojekt pzy poocy potencjału V() = α/. ( W ty pzypadku ax należy dobać inaczej!) Wynik testu poównujey z wynikie (). Język pogaowania dowolny, ożna kozystać z dowolnych pogaów bibliotecznych. Liteatua [] L. Landau, Mechanika Teoetyczna [] S.. Koonin "Intoduction to Coputational Physics"