METODY TWORZENIA MODELI DYNAMIKI MOBILNYCH ROBOTÓW KOŁOWYCH

Transkrypt

1 MODELOWAIE IŻYIESKIE n 48, ISS X MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH Macej ojnack Pzemysłowy Instytut Automatyk Pomaów PIAP, e-mal: mtojnack@pap.pl Steszczene W pacy zapezentowano stosowane w lteatuze metody twozena model dynamk moblnych obotów kołowych. Omówono zalety, wady oganczena poszczególnych metod oaz poblemy zwązane z modelowanem dynamk takch układów. Opsano autoską, unwesalną metodykę twozena modelu dynamk dla moblnych obotów kołowych opatą na fomalzme ewtona-eulea. Opacowana metodyka umożlwa kompleksowe podejśce do modelowana dynamk moblnych obotów kołowych, pozwalając na opacowane model dynamk dla dowolnej lczby kół stykających sę z podłożem na uwzględnene w modelu występowana poślzgów kół jezdnych. Słowa kluczowe: moblne oboty kołowe, modelowane dynamk MEHODS OF DEVELOPME OF DYAMICS MODELS OF WHEELED MOBILE OBOS Summay In ths pape, the methods of development of dynamcs models of wheeled moble obots ae pesented. Advantages, dawbacks and lmtatons of patcula methods as well as poblems assocated wth modelng of dynamcs of such systems ae dscussed. he ognal unvesal methodology of development of the analytcal dynamcs model of wheeled moble obots based on ewton-eule fomalsm s descbed. It enables a compehensve appoach to modelng of dynamcs of wheeled obots by povdng means to develop models fo any numbe of wheels beng n contact wth the gound and by takng nto account the occuence of wheels slps. Keywods: moblne oboty kołowe, modelowane dynamk 1. WSĘP Do modelowana dynamk moblnych obotów kołowych stosuje sę óżne metody. Do najczęścej stosowanych można zalczyć fomalzm ewtona-eulea Lagange a. Z fomalzmu Lagange a powstało klka fomalzmów pochodnych, w tym ównana Maggego Appella. ekedy kozysta sę ówneż z zasady d Alembeta, któa stanow nejako nne ujęce fomalzmu ewtona-eulea. Stosunkowo nowym fomalzmem, bo opacowanym w XX w., jest metoda Kane a, któa została okeślona pzez jej twócę jako foma Lagange a zasady d Alembeta. Coaz wększe zastosowane do twozena model dynamk szeokej gamy układów mechancznych znajduje także metoda układów weloczłonowych, któa jest metodą numeyczną. 2. MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH W amach nnejszej pacy na początku opsano najczęścej stosowane metody twozena model dynamk moblnych obotów kołowych, co umożlw omówene ch zalet wad. ależy podkeślć fakt, że co pawda nnejsza paca 150

2 Macej ojnack jest ukeunkowana na modelowane moblnych obotów kołowych, to jednak spoa część omawanych zagadneń poblemów dotyczy także nnych układów mechancznych ÓWAIA EWOA-EULEA Stosując fomalzm matematyczny ewtona-eulea do opsu dynamk moblnych obotów kołowych, należy na początku dokonać dekompozycj układu na podukłady zwązane z poszczególnym członam układu. Wówczas dla każdego -tego członu (podukładu), dla któego pzyjmuje sę układ odnesena {}, można zapsać dynamczne ówna uchu w postac [15]: m O ( ) ( ) a = F +, gdze: m, I masa tenso bezwładnośc -tego członu; O O O ( ) ( ) φ& + φ& I φ& = M, (1) I + O a, O φ&, φ& & wektoy: pzyspeszena śodka masy -tego członu oaz pędkośc pzyspeszena kątowego tego członu względem neuchomego układu odnesena {O}, wyażone w układze odnesena {} wybanego członu; F (), () wektoy wypadkowe zewnętznych sł momentów sł dzałających na człon; (), M () wektoy wypadkowe wewnętznych sł momentów sł eakcj dzałających na człon. ównana (1) zapsywane są dla układu współzędnych zwązanego ze śodkem masy danego członu. ależy zwócć uwagę, że ównana (1) mogą być także w aze potzeby zapsane dla całego analzowanego układu mechancznego. Wektoy zewnętznych sł momentów sł są zwązane pzede wszystkm z słą cężkośc ozpatywanego członu, eakcjam podłoża ewentualnym nnym zewnętznym słam momentam sł, co można zapsać jako: ( ) ( ) ( ) ( ) F = m g + F, =, (2) gdze: () F k, k k () k dodatkowe zewnętzne sły momenty sł dzałające na -ty człon obota; g wekto pzyspeszena gawtacyjnego wyażony w układze odnesena tego członu. Z kole wektoy wewnętznych sł momentów sł eakcj (w tym momentów napędowych), wynkające ze współpacy -tego członu ze współpacującym z nm członam, są okeślane jako: ( ) ( ) ( ) ( ) = j, M = M j, (3) j gdze ndeks j oznacza nume członu współpacującego z -tym członem. Ponadto zapsuje sę ównana wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych podukładów (członów), tj. ównana dla poszczególnych wektoów wewnętznych sł momentów sł eakcj: ( j) ( ) j =, j k ( j) ( ) M j O k M =. (4) ównana ewtona-eulea pozwalają na kompleksową analzę dynamczną dowolnego układu mechancznego, są węc badzo unwesalne. Zastosowane metody ewtona-eulea pozwala na dekompozycję układu, tj. jego podzał na mnejsze elementy, co ułatwa twozene złożonych model. Ponadto możlwa jest łatwa numeyczna mplementacja modelu dynamk układu. ekedy zastosowane fomalzmu ewtona-eulea ma jednak tę wadę, że w ównanach występują wewnętzne sły momenty sł wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych był układu. Welkośc te ne wykonują pacy, a ch wyznaczene ne zawsze jest potzebne, co w takm pzypadku czyn metodę mnej efektywną w poównanu z fomalzmem Lagange a czy Kane a ÓWAIA LAGAGE A II ODZAJU Z MOŻIKAMI I FOMALIZMY POCHODE ÓWAIA LAGAGE A II ODZAJU Z MOŻIKAMI ównana Lagange a II odzaju z mnożnkam są najczęścej stosowane do twozena model dynamk moblnych obotów kołowych, co znajduje odzwecedlene m.n. w pacach [9] [25]. Wynka to z faktu, że fomalzm ten jest dobze znany pozwala na wyznaczene modelu dynamk całego obota, a otzymany model jest w welu pzypadkach wystaczająco dokładny do wykozystana w zagadnenach paktycznych zwązanych, np. ze steowanem uchem obota. a początek wpowadza sę wekto współzędnych uogólnonych q, któy zawea współzędne chaakteystycznego punktu należącego do obota wyażone w układze neuchomym, kąty okeślające oentację platfomy moblnej oaz zmenne konfguacyjne, któym są np. kąty obotu własnego skęcena kół jezdnych. uch modelu jest ostateczne opsywany pzy użycu ównana Lagange a II odzaju z mnożnkam, któe w zapse macezowo-wektoowym ma postać [9]: 151

3 MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH d E t q d & E q = Q + J λ, (5) gdze: E stanow enegę knetyczną układu; Q jest wektoem sł uogólnonych; J jest macezą jakobanową; a λ jest wektoem mnożnków Lagange a. Wekto sł uogólnonych Q może być wyznaczony pzez oblczene pacy pzygotowanej wykonanej pzez sły czynne dzałające na układ. Inna postać ównań Lagange a II odzaju z mnożnkam okeślana z zależnośc [15]: d L t q d & L q = Q + J λ, (6) kozysta z tzw. funkcj Lagange a, któa stanow óżncę eneg knetycznej potencjalnej układu, czyl: L = E V, (7) gdze V jest enegą potencjalną układu. Zaówno enega knetyczna, jak enega potencjalna układu są ówne sume algebacznej tych eneg dla poszczególnych członów tego układu, czyl: ( ) ( ) E = E, V = V. (8) Enega knetyczna dla -tego członu układu jest okeślana z zależnośc: ( ) 1 O O 1 O E = m ( v ) v + ( ω ) I ω 2 2 natomast enega potencjalna jako: gdze: O v, V ( ) O = m ( g) O O, (9) O ω wektoy: pędkośc śodka masy -tego członu oaz pędkośc kątowej tego członu względem neuchomego układu odnesena {O}, wyażone w układze odnesena {} tego członu; O g, O wektoy: pzyspeszena gawtacyjnego oaz pozycj śodka masy członu wyażone względem neuchomego układu odnesena {O}. We wzoze (9) zamast wektoów układze odnesena {O}. O v, (10) O ω mogą być użyte analogczne wektoy wyażone w neuchomym Znak we wzoze (10) wynka z faktu, że składowa ponowa pzyspeszena gawtacyjnego (na keunku os z neuchomego układu odnesena {O} ) ma watość ujemną. Dodatną watość eneg potencjalnej pzyjmuje sę w pzypadku, gdy masa członu znajduje sę nad powezchną zeowego potencjału. Zakłada sę, że powezchnę zeowego potencjału stanow płaszczyzna Oxy neuchomego układu odnesena {O}. Moblne oboty kołowe są układam neholonomcznym, co wynka z necałkowalnośc ównań węzów (zob. [16]). Dla tego typu układu wpowadza sę ównane: J q& = 0, (11) któe jest ównanem węzów nazuconych na pędkośc. Wekto sł uogólnonych Q zawea zewnętzne sły momenty sł dzałające na obota oaz momenty napędowe dzałające na poszczególne koła jezdne. Uwzględnene w tych ównanach momentów napędowych stanow pewną neścsłość, gdyż de facto są one wynkem dzałana sł wewnętznych układu. W pzypadku pewszej wesj ównań Lagange a II odzaju z mnożnkam (ównana (5)) wekto sł uogólnonych Q zawea także sły cężkośc. Z kole w dugej wesj tych ównań (zależnośc (6)), sły cężkośc są uwzględnone w eneg potencjalnej układu. Sły taca leżące w płaszczyźne stycznośc kół jezdnych z podłożem wpowadzone są jako mnożnk Lagange'a [9]. ależy podkeślć fakt, że wyznaczene ównań dynamk układu wymaga zastosowana pzekształceń symbolcznych zwązanych z wyznaczanem óżnczek pochodnych, co stanow najwększą wadę stosowana fomalzmu Lagange a w stosunku do fomalzmu ewtona-eulea, któy pozwala na wyłączne numeyczne ozwązywane poblemów. Ponadto ównana Lagange a ne nadają sę do bezpośednego zastosowana w pzypadku układów mechancznych, w któych na uch poszczególnych członów mają wpływ sły wewnętzne ÓWAIA MAGGIEGO ównana Maggego, podobne jak ównana Lagange a II odzaju z mnożnkam, pozwalają na ops uchu układu we współzędnych uogólnonych. Ogólną postać tych ównań z uwzględnenem występujących węzów zapsuje sę w postac układu [9], [10]: 152

4 Macej ojnack C d E E Θ q q =, (12) dt & & q & = C e& + G, (13) gdze: C, G współczynnk; e chaakteystyk knetyczne układu we współzędnych uogólnonych; Θ wekto współczynnków wynkających z ozwązana ównań: Θ δ e = Q j δq j = δe Cj Q j. (14) j ównana Maggego zostały użyte pzez autoów pacy [9] do wypowadzena modelu dynamk obota tzykołowego ÓWAIA APPELLA Do nnych, zadzej stosowanych do modelowana dynamk moblnych obotów kołowych fomalzmów wywodzących sę z ównań Lagange a II odzaju z mnożnkam można zalczyć ównana Appella, któe można uzyskać z ównań Maggego dopowadzając je do badzej zwatej postac. ównana te zapsuje w postac układu [10]: S && e j = Θ, (15) q & = C e& + G, (16) gdze S jest tzw. enegą pzyspeszena lub funkcją Appella. Funkcja Appella może być wyznaczona w funkcj pzyspeszeń bezwzględnych a z zależnośc: 1 O O S = ( m ( a ) a ). (17) 2 Jak zauważono w [2], wadą ównań Appella jest bak jasnych zasad dotyczących sposobu geneowana funkcj pzyspeszeń. Pzykłady model dynamk opacowanych na podstawe ównań Appella dla obota tzykołowego można odnaleźć np. w pacach [4] [18] IE FOMALIZMY WYWODZĄCE SIĘ Z ÓWAŃ LAGAGE A II ODZAJU Z MOŻIKAMI W lteatuze można znaleźć także nelczne pzypadk zastosowana nnych fomalzmów wywodzących sę z ównań Lagange a II odzaju do modelowana dynamk moblnych obotów kołowych. Jednym z takch pzykładów jest paca [6], w któej autozy zastosowal zasadę d Alembeta-Lagange a do opacowana modelu dynamk obota tzykołowego MEODA KAE A (FOMA LAGAGE A ZASADY D ALEMBEA) Metoda Kane a została okeślona pzez jej autoa jako foma Lagange a zasady d Alembeta [12]. W metodze tej, podobne jak w pzypadku ównań Lagange a, pzyjmuje sę na początek wekto współzędnych uogólnonych q = [q1, q2,..., qm] dla analzowanego układu. a tej podstawe wyznacza sę wekto pędkośc uogólnonych u = [u1, u2,..., um], któe w typowym pzypadku są pochodnym po czase współzędnych uogólnonych, czyl u = &, gdze: = 1,, m; m lczba stopn swobody analzowanego układu. q W dalszej kolejnośc wyznacza sę wektoy pędkośc pzyspeszeń lnowych chaakteystycznych punktów układu ( v, a) oaz wektoy pędkośc pzyspeszeń kątowych poszczególnych był ( ωj, εj) względem układu odnesena {}, w któym ówneż welkośc te są wyażane. W pzypadku analzy uchu moblnych obotów kołowych chaakteystycznym punktam układu są śodk mas poszczególnych był, węc lczba analzowanych punktów jest ówna lczbe analzowanych był (czyl j = ). Kluczową koncepcją metody są tzw. pędkośc cząstkowe (ang. patal veloctes), któe wyznacza sę jako pochodne cząstkowe pędkośc lnowych kątowych po poszczególnych pędkoścach uogólnonych, tj.: v v =, u ω ω =. (18) u a ch podstawe wyznacza sę tzw. uogólnone sły czynne (F) dla poszczególnych był jako loczyny skalane pędkośc cząstkowych v ω oaz sł momentów sł czynnych F dzałających na te były, czyl: ( F ) = v F + ω. (19) 153

5 MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH ależy zauważyć, że stosowane pzez twócę metody okeślene uogólnone sły czynne stanow w tym pzypadku neścsłość, gdyż w powyższym wyażenu pod uwagę mogą być bane także sły bene. Badzej adekwatnym okeślenem byłoby uogólnone sły pawdzwe, tj. take, któe ne są tzw. słam bezwładnośc lecz wyłączne słam wynkającym z mechancznego oddzaływana cał na sebe. astępne wyznacza sę sły momenty sł bezwładnośc dla poszczególnych był kozystając z zależnośc: F = m a, = ε I ω I ω gdze: m, I są odpowedno masą tensoem bezwładnośc -tej były., (20) a tej podstawe oblcza sę uogólnone sły bezwładnośc ( F ) dla kolejnych był jako loczyny skalane pędkośc cząstkowych v wykozystując ównana: ω oaz sł momentów sł bezwładnośc ( F ) v F + ω F wynkających z uchu tych był, tj. =. (21) Weszce wyznacza sę uogólnone sły czynne uogólnone sły bezwładnośc dla całego układu, sumując wynk uzyskane dla poszczególnych był: F ( F ), F ( F ). (22) = n = 1 a konec fomułuje sę ównana uchu jako sumę uogólnonych sł czynnych uogólnonych sł bezwładnośc: = n = 1 F + F = 0, = 1,, m, (23) czyl podobne jak ma to mejsce w pzypadku zasady d Alembeta. Stosując metodę Kane a pzyjmuje sę oznaczena członów układu dużym lteam, nazwy układów małym lteam, a dla os układu wpowadza sę oznaczena 1, 2, 3. Uważa sę, że metoda Kane a zawea zalety fomalzmów ewtona-eulea Lagange a, ne posadając ch wad. Metoda ta jest jednak jak dotąd stosunkowo mało ozpowszechnona. Jedną z nelcznych pac dotyczących modelowana obotów moblnych z zastosowanem metody Kane a jest publkacja [19]. W pzypadku tego fomalzmu ne zachodz koneczność wpowadzana sł momentów sł wynkających z nteakcj poszczególnych był. Poneważ ne wpowadza sę funkcj enegetycznych, węc ne ma konecznośc symbolcznego wyznaczana óżnczek pochodnych. Paamety knematyczne take, jak pędkośc pzyspeszena są wyznaczane w postac loczynów wektoowych. Zachodz natomast koneczność symbolcznego wyznaczana tzw. pędkośc cząstkowych. Jako wadę metody Kane a w stosunku do fomalzmu ewtona-eulea można zalczyć stosunkowo dużą pacochłonność wyznaczana ównań dynamk układu MEODA UKŁADÓW WIELOCZŁOOWYCH W metodze układów weloczłonowych, z któej kozysta m.n. pogam MD Adams, stosuje sę współzędne absolutne, któe defnuje sę w postac wektoa: gdze: wekto [ ] φ q =,, (24) = [ x, y, z ] okeśla pozycję śodka masy -tego członu, a wekto φ = [ ψ, θ, φ ] członu zdefnowaną za pomocą kątów Eulea w sekwencj obotów okeślanych symbolczne jako 313 [23]. Stąd współzędne opsujące położene oentację wszystkch n członów układu można zapsać w postac: [ q q, q ] 1, 2 n oentację tego q =...,. (25) Współzędne te wykozystuje sę w algoytmach oblczenowych do opsu knematyk dynamk poszczególnych członów układu. W pzypadku opsu dynamk układu współzędne te oaz ch pochodne muszą spełnać następujące ównana uchu [23]: M u& L + Φ λ H F = 0, (26) F 3 n 1 p & L + Φ λ H = 0, (27) φ φ 3 n 1 3 n 1 p Lφ& = 0, (28) u & = 0, (29) 3 n 1 ε φ& = 0, (30) 3 n 1 oaz ponższe ównane węzów pa knematycznych węzów keujących: Φ = 0 m 1, (31) a w konsekwencj wynkające z nego lnowe ównana węzów względem pędkośc pzyspeszeń uogólnonych, gdze: L funkcja Lagange a; φ φ& L, L, L jej óżnczk podług, φ φ& ; λ wekto mnożnków Lagange a; p składowa pędu uogólnonego odpowadająca współzędnym kątowym; F, wektoy zewnętznych sł momentów 154

6 Macej ojnack sł dzałających na układ; F H, H maceze pojekcj odpowedzalne za pzelczane wektoów sł momentów sł na sły uogólnone; u, ε wektoy opsujące wyażena na pędkośc lnowe kątowe. W pzypadku pojedynczego, swobodnego członu układ ównań (26) (30) odpowada 12 skalanym ównanom óżnczkowym pewszego zędu 3 skalanym ównanom algebacznym (ównane (28)). Układ ten można ozwązać metodą ewtona-aphsona względem newadomych, φ oaz λ, znajdując poszukwaną konfguację układu mechancznego oaz sły eakcj węzów [23]. Układ ównań (26) (31) z matematycznego punktu wdzena stanow nelnowy meszany układ ównań óżnczkowych pewszego zędu (z czasem jako zmenną nezależną) oaz ównań algebacznych (ównana (28) (31) uzupełnone o dodatkowe ównana defnujące sły momenty sł w postac funkcj wektoowych zależnych od czasu). Zagadnene całkowana takego układu ównań jest znaczne badzej skomplkowane, nż całkowane układu ównań złożonego tylko z układu ównań óżnczkowych zwyczajnych. Poblemy z tym zwązane są podobne do tych, jake występują w całkowanu ównań óżnczkowych zwyczajnych źle uwaunkowanych [23]. Podsumowując, w ogólnym pzypadku zastosowane metody układów weloczłonowych będze wymagało zastosowana wększej lczby ównań w stosunku do wcześnej opsanych fomalzmów opsu dynamk. Metoda układów weloczłonowych ma jednak tę zaletę, że można ją stosować dla paktyczne dowolnego układu mechancznego, jest węc pzez to badzo unwesalna. Jej popawne zastosowane wymaga dobej znajomośc metod numeycznych odpowednego dobou metody całkowana (solvea) do danego poblemu ALEAYWE MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH ależy zauważyć, że obok metod klasycznych coaz częścej można spotkać pzykłady zastosowana altenatywnych metod modelowana dynamk moblnych obotów kołowych. Stosuje sę w tym celu ntelgentne systemy oblczenowe opate na układach z logką ozmytą, sztucznych secach neuonowych, algoytmach ewolucyjnych nnych. W takm pzypadku model dynamk obota jest twozony na podstawe znajomośc sygnałów wejścowych wyjścowych układu. Jako pzykład takego podejśca do twozena modelu dynamk obota kołowego można podać tzw. emulato, któy został opacowany w pacy [11] na podstawe sztucznych sec neuonowych. Z kole w pacy [26] zastosowano w tym celu układy z logką ozmytą, w [3] algoytmy genetyczne, a w [8] zaówno sztuczne sec neuonowe, jak układy z logką ozmytą POÓWAIE MEOD WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH Poównując opsane w popzednch podpunktach metody twozena model dynamk moblnych obotów kołowych, można wycągnąć ponższe główne wnosk. ównana Lagange a II odzaju z mnożnkam fomalzmy pochodne, jak ównana Maggego Appella, spawdzają sę dobze wówczas, gdy ne ma potzeby znajomośc wewnętznych eakcj węzów układu (sł momentów sł eakcj wynkających ze wzajemnego oddzaływana na sebe był wchodzących w skład układu). Pozwala to wówczas na wyznaczene tylko nezbędnych newadomych, pzez co występuje mnejsza lczba ównań w stosunku do fomalzmu ewtona-eulea. Wadą tych fomalzmów jest jednak koneczność ealzacj pzekształceń symbolcznych duża pacochłonność wyznaczana ównań dynamk. Zaletą ównań ewtona-eulea jest dekompozycja układu na mnejsze elementy, co upaszcza poces modelowana pozwala na łatwejsze zozumene dzałana układu. Wadą tego fomalzmu jest natomast koneczność zapsu dodatkowych ównań dla wewnętznych eakcj węzów, któe ne zawsze są pzedmotem badań, a któe powodują zwększene ogólnej lczby ównań nezbędnych do ozwązana. Metoda Kane a pozwala na wyznaczene tylko nezbędnych newadomych dla danego modelu dynamk dzęk temu, że ne zachodz koneczność wpowadzana wewnętznych eakcj węzów. W stosunku do fomalzmu Lagange a z mnożnkam pochodnych fomalzmów ne ma konecznośc symbolcznego wyznaczana óżnczek pochodnych, natomast zachodz koneczność symbolcznego wyznaczana tzw. pędkośc cząstkowych. Ponadto wadą tej metody jest stosunkowo duża pacochłonność wyznaczana ównań dynamk układu. Metoda układów weloczłonowych jest w dużej meze unwesalna, co pozwala na zastosowane jej do modelowana dynamk szeokej gamy układów mechancznych. estety, występuje dla nej duża lczba ównań dla ogólnego pzypadku. Ponadto ozwązane otzymanego układu ównań jest badzej skompl- 155

7 MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH kowane w stosunku do popzednch metod modelowana dynamk oaz wymaga dobej znajomośc metod numeycznych odpowednego dobou metody całkowana (solvea) do danego poblemu. Altenatywne metody modelowana dynamk moblnych obotów kołowych opate na ntelgentnych systemach oblczenowych spawdzają sę tam, gdze ne są znane dokładne paamety /lub stuktua modelu oaz w pzypadku, gdy badacz ne ma nezbędnej wedzy na temat zjawsk mechank. Model dynamk obota jest twozony na podstawe znajomośc sygnałów wejścowych wyjścowych układu, pzez co metoda ta jest stosunkowo unwesalna. Wadą takego podejśca są jednak tudnośc w fzycznej ntepetacj otzymanego modelu, szczególne w aze zastosowana sztucznych sec neuonowych. Ponadto otzymany model może być nadmene ozbudowany, co może być zwązane np. z jego zbytnm dopasowanem sę do ejestowanych sygnałów, któe mogą być zaszumone /lub obaczone óżnym błędam. 3. POBLEMY ZWIĄZAE Z WOZEIEM MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH ezależne od wybanej metody twozena modelu dynamk ostateczne ównana dynamk obota mogą być zapsane w następującej zwatej postac macezowo-wektoowej: M q& + C q& = Q + B, (32) gdze: M macez bezwładnośc; C q& wekto sł odśodkowych Coolsa; Q, B wektoy odpowedno uogólnonych sł zewnętznych uogólnonych sł wewnętznych. W pzypadku moblnych obotów kołowych wekto B zawea momenty napędowe w [m], węc wówczas jednostką wyażena C q& jest także [m]. Jeżel stosowany jest fomalzm ewtona-eulea, wówczas wekto B może zaweać także sły momenty sł wynkające ze wzajemnego oddzaływana na sebe poszczególnych był układu. Jeżel do opsu dynamk obota stosowany jest fomalzm ewtona-eulea, w mejsce ównana (32) można zapsać dwa ponższe ównana wynkające odpowedno z dynamk całego obota poszczególnych kół jezdnych, tzn.: M & q + C q& = Q, (33) W W W W W M & q + C q& = Q + B. (34) Opacowany model dynamk obota umożlwa w ogólnym pzypadku ozwązane zadana postego dynamk, czyl wyznaczene szukanych paametów uchu obota na podstawe znanych momentów napędowych z zależnośc: 1 q & = M Q + B C q&, (35) ( ) lub zadana odwotnego dynamk, tj. wyznaczene momentów napędowych dla znanych paametów uchu tego obota, co w pzypadku opsu dynamk obota w postac ównań (33) (34) może spowadzać sę do wyznaczena paametów uchu obota z ównana (33) momentów napędowych zawatych w wektoze BW z ównana (34). Jako paamety uchu układu ozume sę pzemeszczena, pędkośc pzyspeszena zaówno lnowe (pzede wszystkm śodka masy był układu) jak kątowe (tj. poszczególnych był). W paktyce, pzy podejścu klasycznym, z opacowanem modelu dynamk moblnego obota kołowego wąże sę szeeg poblemów, do któych można zalczyć m.n.: potzebę opacowywana modelu osobno dla każdego odzaju obota, a nawet dla poszczególnych jego konfguacj (w szczególnośc dla óżnej lczby kół jezdnych stykających sę z podłożem); newyznaczalność ównań dynamk, któa wynka z faktu, że do wyznaczena jest węcej newadomych nż jest dostępnych ównań (zwłaszcza w pzypadku, gdy poszukwane są wszystke składowe sł momentów sł eakcj zwązane z kontaktem kół jezdnych z podłożem); koneczność uwzględnena występowana poślzgów wzdłużnych popzecznych kół jezdnych, co ma szczególne znaczene w pzypadku obotów z kołam nekeowanym (np. dla obotów czteokołowych opsanych w pacach [13] [20]) oaz nnych obotów kołowych, któe pouszają sę z dużą pędkoścą /lub po podłożu o óżnych właścwoścach (np. uch obota tzykołowego w pzypadku zmany podłoża z betonu na lód opsany w atykule [21]). Poblem newyznaczalnośc ównań dynamk układu jest nekedy ozwązywany popzez wpowadzene dodatkowych ównań wynkających z pzyjętych założeń upaszczających. ależy zauważyć także, że o le ozwązane zadana postego dynamk polegającego na wyznaczenu paametów uchu platfomy moblnej jej kół jezdnych na podstawe ównana (32) jest możlwe dla dowolnej lczby kół jezdnych, to ne jest już możlwe ozwązane zadana odwotnego dynamk polegającego na wyznaczenu zaówno sł momentów sł dzałających na platfomę moblną (zwązanych pzede wszystkm z eakcjam podłoża), jak momentów napędowych. Wynka to z faktu, że w ogólnym pzypadku lczba newadomych składowych sł momentów sł jest zbyt duża w stosunku do możlwych do zapsu ównań. Można natomast wyznaczyć wektoy wypadkowe W 156

8 Macej ojnack tych sł momentów sł. Można także w mejsce klku zeczywstych kół jezdnych wpowadzać tzw. koła zastępcze. ake podejśce zastosowano w pacy [25] do modelowana dynamk obota tzykołowego czteokołowego. W badanach dynamk moblnych obotów kołowych nekedy uwzględna sę modele opon, bazując na wynkach badań empycznych dla opon pojazdów samochodowych. Do zadkośc należą natomast pace zwązane z badanam opon małych obotów moblnych. Wynk takch pac można znaleźć m.n. w [5]. 4. UIWESALA MEODYKA WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH W zwązku z wymenonym poblemam została opacowana autoska unwesalna kompleksowa metodyka twozena model dynamk moblnych obotów kołowych, uwzględnająca występowane poślzgu kół jezdnych, któa może być zastosowana dla obota o dowolnej lczbe kół jezdnych stykających sę z podłożem. Unwesalność poponowanej metodyk polega na możlwośc zastosowana jej do szeokej gamy moblnych obotów kołowych. Kompleksowość metodyk wynka z uwzględnena zjawsk (poślzg kół jezdnych, tace w paach knematycznych), któe są często pomjane, a mają wpływ na uch obota. Istotą metodyk jest zastosowane modelu kontaktu efektoów z podłożem oaz podzał modelu dynamk obota na część zwązaną z platfomą moblną (tj. opsującą uch całego obota) na częśc zwązane z poszczególnym efektoam. Pzez efektoy ozume sę te zespoły obota, któe oddzałują na jego otoczene. W omawanym pzypadku moblnych obotów kołowych są nm koła jezdne, natomast w pzypadku nnych obotów mogą to być manpulatoy, pedpulatoy td. W modelu dynamk kozysta sę z ównań ewtona-eulea. W opacowanej metodyce dla znanego położena efektoów danego modelu otoczena następuje wyznaczene składowych nomalnych sł eakcj dzałających na poszczególne efektoy na podstawe modelu ch kontaktu z podłożem. astępne z model efektoów (w analzowanym pzypadku z model opon) wyznaczane są pozostałe składowe sł momentów sł eakcj w mejscach kontaktu. Ostateczne są one edukowane do punktów zamocowana efektoów do platfomy moblnej. a podstawe uzyskanych ównań możlwe jest ozwązane zadana postego lub odwotnego dynamk. ależy podkeślć fakt, że dzęk zastosowanu poponowanego podejśca opacowany model składa sę z modułów, co pozwala na łatwą modyfkację modelu w celu opacowana nnego obota, np. zaweającego nną lczbę kół jezdnych. Opacowane modelu moblnego obota kołowego wg poponowanej metodyk pzebega węc w nżej opsanych kokach. a) Wyznaczene z modelu otoczena współczynnków taca / pzyczepnośc opou toczena chaakteyzujących współpacę opony z podłożem. Szukane współczynnk chaakteyzujące współpacę opony z podłożem okeśla sę kozystając z zależnośc: gc( O O µ = x, y ), (36) gdze: gc( O xa, O ya) funkcja zwacająca wekto współczynnków chaakteyzujących współpacę opony z podłożem w wybanym mejscu podłoża (tj. dla danych współzędnych O xa O ya śodków kół), któe zależą od pzyjętego modelu opony, np. µ = [µp, f]. b) Oblczene defomacj pomenowej opon na podstawe: odzaju podłoża, znanej geomet podłoża opon oaz położena śodków geometycznych kół jezdnych.w pzypadku pozomego podłoża newelkego pzechylena/pochylena obota defomację pomenową -tego koła można wyznaczyć ze wzou: A A O O O ( x, y ) + z, 0) = max gh(, (37) A gdze: pomeń geometyczny koła jezdnego (w pzypadku neodkształconej opony); O za ponowa współzędna śodka geometycznego tego koła w neuchomym układze odnesena; gh( O xa, O ya) funkcja wyznaczająca wysokość podłoża dla danych współzędnych O xa O ya. c) Wyznaczene składowych nomalnych sł eakcj dzałających na poszczególne koła jezdne na podstawe modelu ch kontaktu z podłożem w układach zwązanych z mejscam kontaktu. Składowe te mogą być wyznaczone w układach zwązanych z mejscam kontaktu, np. z zależnośc: d F z = k + c sgn ( ) &, & =, (38) dt w któej zakłada sę, że podłoże jest sztywne, oaz że k c są odpowedno współczynnkam sztywnośc tłumena opony, a sgn( ) jest funkcją zwacającą znak agumentu. d) Oblczene watośc współczynnka poślzgu wzdłużnego λ kąta popzecznego znoszena α dla kół jezdnych na podstawe aktualnych watośc składowych pędkośc śodków geometycznych tych kół oaz ch pędkośc kątowych obotu własnego. A A 157

9 MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH Stosowane są tutaj óżne wzoy (zob. [17] [24]) zależne od pzyjętej konwencj układu odnesena koła jezdnego oaz od tego, czy dane koło jezdne jest napędzane, czy hamowane. Unwesalna zależność na watość współczynnka poślzgu wzdłużnego obejmująca paktyczne wszystke możlwe pzypadk uchu obota do pzodu może być zapsana w sposób zapoponowany pzez autoa pacy jako: λ sat( λ, 1, + 1), (39) λ = 1 (& θ & θ ) 0 (& θ & θ ) 1 & θ & θ dla dla dla dla dla τ 0, & y θ 0, & θ = 0 τ < 0, & y θ 0 & θ = 0, & θ = 0 τy 0, & θ 0 τ < 0, & θ = 0, & θ 0 y = gdze: & θ aktualna pędkość kątowa -tego koła jezdnego; - koło pzesuwa sę bez obacana - koło jest hamowane - koło jest neuchome lub toczy sę bez poślzgu - koło jest napędzane lub toczy sę swobodne - koło obaca sę bez pzesunęca A O vx dla pzypadku swobodnego toczena (w waunkach baku poślzgu wzdłużnego); (40) & θ = teoetyczna pędkość kątowa tego koła A O v x watość składowej wzdłużnej pędkośc kątowej śodka geometycznego tego koła w układze zwązanym z tym kołem; sat(,, ) funkcja oganczająca watość poślzgu wzdłużnego do pzedzału ±1. Analogczna zależność może być użyta dla pzypadku uchu obota do tyłu, pzy czym wówczas zmenają sę na pzecwne znak & θ, & θ τ y oaz znak neównośc. Z kole poślzg popzeczny jest defnowany za pomocą tzw. kąta popzecznego znoszena α (ys. 1a). angens tego kąta dla układu współzędnych odpowadającego konwencj ISO (zob. [17]) może być oblczony ze wzou: A O A O tg(α ) = v v, (41) gdze: kołem. y A O v y watość składowej popzecznej śodka geometycznego koła jezdnego w układze zwązanym z tym x ys. 1. a) Konwencja opsu welkośc knematycznych modelu koła, b) lustacja sł momentów sł zwązanych z kontaktem opony z podłożem, c) sły momenty sł eakcj w mejscu zamocowana koła do platfomy moblnej e) Wyznaczene watośc składowych sł momentów sł eakcj w mejscach kontaktu kół jezdnych z podłożem z pzyjętego modelu opony na podstawe obcążena kół jezdnych (tj. watośc składowych nomalnych Fz) oaz watośc: współczynnka poślzgu wzdłużnego λ, kąta popzecznego znoszena α, kąta pzechylena koła γ (ang.: cambe angle) współczynnków pzyczepnośc/taca dla -tego koła jezdnego podłoża, po któym sę ono pousza, a któe zależą m.n. od odzaju ogumena, obcążena koła, cśnena powetza w opone (dla opon pneumatycznych) (zob. [24]). Do modelowana współpacy opony z podłożem mogą być stosowane modele empyczne (np. model Magc Fomula opacowany pzez H.B. Pacejkę [17] użyty m.n. w pacach [22] [21]), modele szczotkowe (np. model opacowany w pacy [7]), modele stuktualne (zob. [1]), modele bazujące na metodze elementów skończonych (zob. [14]) nne modele, np. model M. Kełdysza opsany w pacy [16]. W pzypadku model empycznych kozysta sę ze współczynnka pzyczepnośc pzylgowej µp (ang.: peak adheson coeffcent). W nektóych modelach obok współczynnka pzyczepnośc pzylgowej µp koneczne jest użyce dodatkowo współczynnka pzyczepnośc poślzgowej lub zamast nch współczynnków taca statycznego knetycznego (np. tzw. model szczotkowy patz [7] model LuGe [1]). Ostateczne wyznaczane są następujące watośc składowych sł momentów sł eakcj w mejscach kontaktu (patz ys. 1b): Fx watość składowej wzdłużnej sły eakcj podłoża, Fy watość składowej popzecznej sły eakcj podłoża, x watość tzw. momentu pzechylającego (ang.: ovetunng moment), 158

10 Macej ojnack z watość tzw. momentu stablzującego (ang.: self-algnng toque), oaz moment opoów toczena (ang.: ollng esstance moment) wyznaczany z zależnośc: = F f sgn & θ, (42) y z gdze: f współczynnk opoów toczena, zależny od odzaju podłoża, cśnena powetza w opone (w pzypadku opon pneumatycznych), pędkośc nnych czynnków (zob. [24]). f) Zedukowane sł momentów sł eakcj dzałających na koła jezdne do początków układów odnesena tych kół (zakładając, że układy te ne obacają sę waz z nm). W typowym pzypadku pojedynczego kontaktu kozysta sę ze wzoów: ( ) A F = A A F, = F +. (43) g) Oblczene na podstawe dynamcznych ównań uchu zapsanych dla kół jezdnych paametów kątowych uchu kół jezdnych dla znanych momentów napędowych (w pzypadku zadana postego dynamk) lub momentów napędowych dla założonych paametów kątowych uchu tych kół (zadane odwotne dynamk) oaz sł momentów sł eakcj wewnętznych. W tym celu można skozystać z dynamcznych ównań uchu (ównań ewtona-eulea) zapsanych w układach odnesena zwązanych z kołam jezdnym, tj.: gdze: m masa -tego koła jezdnego; A O CM A A m a = F + + m ( ) A A O A O A O A A ( ) A ( ) ( θ& + φ&& ) + ( θ& + φ& ) I ( θ& + φ& ) = + M τ g, (44) I & +, (45) A O a CM wekto pzyspeszena śodka masy tego koła; A (), A () M wektoy sły momentu sły eakcj wewnętznych, dzałające na to koło w mejscu jego zamocowana do platfomy moblnej (patz ys. 1c); A g wekto pzyspeszena gawtacyjnego; I tenso bezwładnośc tego koła; A A θ &, & θ wektoy pędkośc oaz O O &, & wektoy pędkośc pzyspeszena kątowego platfomy moblnej; φ φ& pzyspeszena kątowego obotu koła jezdnego względem platfomy moblnej; A () τ wekto momentu napędowego dzałający na to koło. ównana (44) (45) umożlwają ówneż wyznaczene składowych sł momentów sł eakcj wewnętznych A () A M () w mejscu zamocowana koła jezdnego do platfomy moblnej (tj. w punkce A). Jeżel z modelu dynamk obota ne mają być wyznaczane te welkośc, wówczas zamast ównań (44) (45) można zapsać tylko dynamczne ównana uchu obotowego, czyl dla nekeowanych kół jezdnych będą to pojedyncze ównana skalane. a tym etape oblczeń można także uwzględnć występowane opoów uchu w paach knematycznych, jak to zobono np. w pacy [21]. h) Wyznaczene paametów uchu platfomy moblnej na podstawe dynamcznych ównań uchu zapsanych dla całego obota. ównana take dla pzypadku, gdy kopus obota składa sę z jednej były sztywnej, na któą dzałają wyłączne sły cężkośc oaz sły momenty sł zwązane z kontaktem kół jezdnych (efektoów) z podłożem (ys. 2), mogą być zapsane z użycem metody ewtona-eulea jako: O m a = F + m g, (46) gdze: m O acm I CM A ( + ( ) F ) O O O φ& + φ& I φ& = A A CM A (47),, I, masa, tenso bezwładnośc wekto pzyspeszena śodka masy obota. ys. 2. Ilustacja układów odnesena {O} {}, kątów Eulea oaz sł momentów sł zwązanych z -tym efektoem (kołem jezdnym) dzałających na platfomę moblną 159

11 MEODY WOZEIA MODELI DYAMIKI MOBILYCH OBOÓW KOŁOWYCH W pzypadku, gdy platfoma moblna składa sę z klku członów, wówczas należy zapsać dodatkowe układy dynamcznych ównań uchu. W tak sposób postąpono w pzypadku obota tzykołowego opsanego w pacy [21]. Opsana metodyka umożlwa kompleksowe podejśce do poblematyk modelowana dynamk moblnych obotów kołowych. Dotychczas została ona użyta do opacowana opsanych w pacach [22] [21] model dynamk moblnego obota tzykołowego Ponee 2DX z pzednm kołam napędzanym tylnym samonastawnym kołem podpeającym, oaz obota tzykołowego z pzednm kołem napędzanym keowanym, któego platfoma moblna składała sę z dwóch połączonych ze sobą członów. W pzygotowanu jest także kompleksowy model obota czteokołowego z nekeowanym kołam. a podkeślene zasługuje fakt, że poponowana metodyka jest na tyle unwesalna, że może zostać wykozystana do opacowana modelu dynamk obota moblnego o dowolnej lczbe kół stykających sę z podłożem. W metodyce zastosowano koncepcję modelowana fzycznego, podobną do stosowanej w pzybonku SmScape paketu Matlab/Smulnk. Idea takego podejśca polega na dekompozycj modelu na szeeg mnejszych elementów składowych, odpowadających fzycznym komponentom układu. Każdy pojedynczy komponent (blok) może zostać wykozystany do opacowana modelu nnego układu. W analzowanym pzypadku opacowane modele platfomy moblnej kół jezdnych, uwzględnające modele kontaktu opony, mogą być po zmane ch paametów wykozystane do opacowana nnych model obotów moblnych, tj. zaweających np. nną lczbę kół jezdnych. Schemat deowy modelu dynamk moblnego obota kołowego opacowanego z użycem opsanej metodyk jest wdoczny na ys. 3. ys. 3. Schemat deowy modelu dynamk moblnego obota kołowego opacowanego z użycem poponowanej metodyk Poponowana metodyka umożlwa wyznaczene dla zadanego wymuszena uchu szukanej odpowedz układu, tj. wyznaczene paametów kątowych uchu kół jezdnych dla dzałających momentów napędowych (zadane poste dynamk) lub wyznaczene momentów napędowych dla zakładanych paametów kątowych tych kół (zadane odwotne dynamk). ależy zwócć uwagę, że w obu pzypadkach wyznaczany jest uch platfomy moblnej wynkający z okeślonych z model kontaktu oaz opon sł momentów sł eakcj podłoża. 5. PODSUMOWAIE W amach pacy opsano wybane metody twozena model dynamk moblnych obotów kołowych dokonano ch poównana. Omówono poblemy zwązane z modelowanem dynamk tego typu układów, a następne pzedstawono autoską, unwesalną metodykę umożlwającą opacowane model dynamk dla moblnych obotów kołowych o dowolnej lczbe kół jezdnych stykających sę z podłożem z uwzględnenem poślzgów tych kół. ależy zauważyć, że opacowana metodyka może być po modyfkacj użyta ówneż do modelowana nnych układów mechancznych, w szczególnośc obotów koczących, czy hybydowych (łączących cech lokomocj cągłej dysketnej). W tym celu należy modele opon zastąpć modelam nnych efektoów. nejsza paca została zealzowana w amach pojektu pt. Modelowane dynamk moblnego obota czteokołowego steowane jego uchem nadążnym z oganczenem poślzgu kół jezdnych. Pojekt jest fnansowany ze śodków aodowego Centum auk pzyznanych na podstawe decyzj nume DEC-2011/03/B/S7/ Auto pacy chcałby złożyć podzękowana Panu Doktoow Józefow Petusze za cenne uwag sugeste dotyczące nnejszego atykułu. 160

12 Macej ojnack Lteatua 1. Andzejewsk.:Dynamka pneumatycznego koła jezdnego. Waszawa: W, Blaje W.: Metody dynamk układów weloczłonowych. adom: Wyd. Pol. adomskej, Buatowsk., Petzyk A., Uhl., Zylsk W.: Identfcaton n paallel stuctue of emulato moble obot ponee 2DX wth the use of genetc algothms. In: hd Intenatonal Wokshop on obot Moton and Contol (omoco '02), Poznań: Unvesty of echnology, 2002, p Bughadt A.: Modelowane dynamk moblnego obota kołowego ównanam Appella. "Acta Mechanca et Automatca" 2010, 4(1), s Dąbek P., Szosland A.: Identyfkacja paametów skętnych opony nepneumatycznej obota moblnego. "Pomay Automatyka obotyka" 2011(2), 2011, s , dodatek na CD. 6. Deng Z., Bady M.: Dynamcs and contol of a wheeled moble obot. In: IEEE "Amecan Contol Confeence", 1993, p Gäfvet M., Svendenus J.: A novel sem-empcal tye model fo combned slps. "Vehcle System Dynamcs" 2005, 43(5), p Gegel J., Kuc K.: Identfcaton of the mathematcal model of an nspecton moble obot wth fuzzy logc systems and neual netwoks. "Jounal of heoetcal and Appled Mechancs" 2011, 49(1), p Gegel M.J., Hendzel Z., Żylsk W.: Modelowane steowane moblnych obotów kołowych. Waszawa: PW, Gutowsk.: Mechanka analtyczna. Waszawa: PW, Hendzel Z., Bughadt A.: euonowy emulato moblnego obota kołowego. Zesz. auk. Pol. zeszowskej, sea "Mechanka" 2002, 60(197), s Kane.., Levnson D.A.: Dynamcs: theoy and applcatons. McGaw-Hll Book Company, Kozłowsk K., Pazdesk D.: Modelng and contol of a 4-wheel skd-steeng moble obot. "Intenatonal Jounal of Appled Mathematcs and Compute Scence" 2004, 14(4), p Le L. et al.: Fnte element analyss of adal tes based on the softwae of MAC. In: 3d Intenatonal Confeence on Advanced Compute heoy and Engneeng (ICACE), IEEE, Chengdu, Chna, 2010, V V Moeck A., Knapczyk J.: Podstawy obotyk : teoa elementy manpulatoów obotów. Waszawa: W, ejmak J.I., Fufajew.A.: Dynamka układów neholonomcznych. Waszawa: PW, Pacejka H.B.: e and vehcle dynamcs. 2nd ed..sae Intenatonal and Elseve Pu-Sheng., L-Sheng W., Fan-en C.: Modelng and heachcal tackng contol of t-wheeled moble obots. "IEEE ansactons on obotcs" 2006, 22(5), p hanjavu K., ajagopalan.: Ease of dynamc modellng of wheeled moble obots (WMs) usng Kane's appoach. In: IEEE Intenatonal Confeence on obotcs and Automaton", Pscataway, USA, 1997, p ojnack M.: Analyss of nfluence of dve system confguatons of a fou wheeled obot on ts moblty. "Jounal of Automaton, Moble obotcs and Intellgent Systems" 2012, 6(4), p ojnack M.: Modelng and moton smulaton of a thee-wheeled moble obot wth font wheel dven and steeed takng nto account wheels slp. "Achve of Appled Mechancs" 2013, 83(1), p ojnack M.: Modelowane symulacja uchu moblnego obota tzykołowego z napędem na pzedne koła z uwzględnenem poślzgu kół jezdnych. "Modelowane Inżyneske" 2011, n 41, t. 10, s Wojtya M., Fączek J.: Metoda układów weloczłonowych w dynamce mechanzmów. Ćwczena z zastosowanem pogamu ADAMS. Waszawa: Ofc. Wyd. Pol. Wasz., Wong J.Y.: heoy of gound vehcles. 3d ed. Wley-Intescence Żylsk W.: Knematyka dynamka moblnych obotów kołowych. zeszów: Ofc. Wyd. Pol. zesz., Żylsk W., Buatowsk.: Identyfkacja off-lne moblnego obota Ponee 2DX z zastosowanem logk ozmytej. Zesz. auk. Pol. zesz. sea " Mechanka" 2002, 60(197), s