ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Transkrypt

1 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU; DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO

2 PRZYPOMNIENIE: Ale dv ZASADA ZACHOWANIA PĘDU dv d a ( V) Jeśl na cało dzałają sły, to cało a pzyśpeszene popocjonalne do całkowtej dzałającej sły: p V F a Iloczyn asy pędkośc nazyway pęde cała. F dp F Pęd jest wektoe! Całkowty pęd n cał o asach wynos: p n 1 V jeśl na cało ne dzała żadna sła, to jego pęd jest zachowany: p pzed p po

3 ZACHOWANIE PĘDU UKŁADU DWÓCH CZĄSTEK układ odzolowany kulek: nc za wyjątke saych kulek na te kulk ne dzała 1 V 1k F 1 : sła dzałająca na kulę pochodząca od kul 1, F 1 : sła dzałająca na kulę 1 pochodząca od kul F 1 -F 1 F 1 +F 1 0 Skutke dzałana sły jest nadane cału pzyśpeszena: F 1 V / t F 1 1 V 1 / t V 1p V p zdezene swobodnych kul V k F 1 +F 1 0 V / t + 1 V 1 / t0. V + 1 V 1 0. V jest óżncą ędzy pędkoścą początkową końcową: V k -V p, czyl: (V k -V p ) - 1 (V 1k -V 1p ) V k + 1 V 1k 1 V 1p + V p V -pęd układu kulek. p p p k Jeśl na układ ne dzałają sły zewnętzne, to całkowty pęd układu p V jest stały

4 ZDERZENIA Popęd sły w czase zdezena jest dużo wększy nż skutek dzałana jakchkolwek nnych sł. F 1 W zdezenu całkowty pęd układu tuż pzed zdezene jest ówny całkowteu pędow tuż po zdezenu p pzed p po F F 1 nne sły czas Zdezena elastyczne Zdezena neelastyczne 1 V 1p V 1k 1 V 1p V 1k V k W każdy zdezenu, nawet neelastyczny, pęd jest zachowany V p V k V p neelast p pzed p po E Kpzed E Kpo p pzed p po elast, ozne elast, owne

5 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU: PRZYKŁAD Wey, ze gdy jedna kula udeza w 3 stojące, to kule udezająca najdalsza od udezena zaenają sę ejsca. Ten sa pzypadek ay, jeśl zdezają sę kule (jedna stojąca neuchoo): ta któa stała pousza sę teaz z dentyczną pędkoścą jak pewsza, a ta pewsza sto. Dlaczego tak jest? Poneważ zdezene jest elastyczne, to zachowany jest zaówno pęd jak enega knetyczna: P pzed p po E Kpzed E Kpo V+0V 1 +V VV 1 +V V 1 V-V V /V 1 /+ V / V V 1 + V V V (V-V ) + V V V -VV + V 0 V (V -V) V 0 lub V V V 1

6 ŚRODEK MASY Jeśl zucy do góy kje, to jego uch jest badzo skoplkowany. Jednak dla kogoś patzącego z oddal wdzącego tylko zays wydaje sę, że jest to posty zut ukośny punktu. Czy stneje zate punkt kja, któy o skoplkowanego uchu całośc pousza sę posto, tak jak w zuce ukośny? śodek asy Jeśl była jest zboe as to współzędna śodek asy układu N punktów atealnych o asach położonych w punktach o wektoach, jest punkte któego położene opsane jest wektoe : R s x z R s y Jeśl zbó punktów stanow byłę to współzędna śodka asy takej były a postać d R s M

7 ZNAJDOWANIE ŚRODKA MASY: PRZYKŁAD Znaleźć śodek asy układu tzech cząstek o asach 1 1kg, kg 3 3kg, ueszczonych w ogach ównobocznego tójkąta o boku 1. Poneważ wynk ne zależy od wybou układu odnesena to ożey pzyjąć układ tak jak na ysunku. 1 y 3 3 R s x R s x s x, y s y x ś ( 1 x 1 + x + 3 x 3 )/M (1kg 0 + kg 1 + 3kg 0.5)/6kg 7/1 3 y ś ( 1 y 1 + y + 3 y 3 )/M (1kg 0 + kg 0+3kg )/6kg 3 4

8 WŁASNOŚCI ŚRODKA MASY Pęd śodka asy Poneważ R s M węc dr s V s V M MV s V Całkowty pęd układu cząstek jest ówny pędow cząstk o ase ównej całkowtej ase cząstek M ponożonej pzez pędkość śodka asy układu Pzyśpeszene śodka asy ale MV s V a F j Ma s a F j F j j dla każdej pay sł wewnętznych: F j -F j. F j + F j 0 w sue zostaną tylko sły zewnętzne Ma s F z śodek asy cała pousza sę tak, jak cząstka o ase M do któej pzyłożone są wszystke sły zewnętzne dzałające na układ cząstek sodek asy

9 RUCH ŚRODKA MASY Śodek asy cała pousza sę tak, jak cząstka o ase M do któej pzyłożone są wszystke sły zewnętzne dzałające na układ cząstek nawet wtedy, gdy cało stanow zbó nezależnych punktów atealnych.

10 NAPĘD RAKIETOWY V + p (+ )V V+ V V- V w V w -pędkość gazów względe akety

11 NAPĘD RAKIETOWY Pęd akety zena sę jeśl część gazu z dużą pędkoścą zostaje wyzucona wstecz. Całkowty pęd akety wyzuconych gazów ne zena sę. (+ )V (V+ V)+ (V-V W ) V V W ale: V dv, -d ( to asa gazów, a d to asa-ujena-o jaką znejszy sę asa akety) dv-v W d ozdzelając zenne całkując dostajey: V + p (+ )V V+ V Vf dv V V f W d V f V V W ln f V- V w V w -pędkość gazów względe akety -początkowa asa akety palwa f -końcowa asa akety palwa Wnosk: -jak najwyższa pędkość wyzutu gazów -jak najwększa lość palwa Cąg akety: sła wyweana na aketę pzez wyzucone gazy. Poneważ dv-v W d, to cag dv V W d

12 RÓWNANIA DLA RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO obekty punkt atealny śodek asy były Ne wey jednak jak obaca sę cało wokół śodka asy ops uchu dlaczego uch zachodz (pzyczyny uchu) defncje (t) d(t) V dv a E K p V V a dp pawa F F a s F zew dp s F zewn pzykłady (t) (0) + V t (t) (0) + V(0)t + at

13 WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRĘDKOŚĆ KĄTOWA Ruch cała obacającego sę względe stałej os ożna opsać szybkoścą zan kąta θ zakeślonego pzez wekto wodzący dowolnego punktu ω dθ ω Pędkość kątowa jest wektoe Keunek wektoa pędkośc kątowej zależy od keunku obotu ω dθ V θ θ ω V V v ω Keunek wektoa pędkośc kątowej okeślony jest egułą pawej dłon

14 WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE Pzyśpeszene cała w uchu obotowy ożna opsać szybkoścą zan pędkośc kątowej ω ε dω V Pzyśpeszene kątowe jest wektoe ε dω V a s a s ω ε θ

15 WIELKOŚCI W RUCHU OBROTOWYM: PRZYŚPIESZENIE KĄTOWE Pzyśpeszene punktu w uchu po okęgu ożna opsać szybkoścą zan pędkośc kątowej θ ε dω ε Pzyśpeszene kątowe jest wektoe ε dω a s V θ Keunek wektoa pzyśpeszena kątowego zależy od keunku zan ω a s ε a s a s - pzyśpeszene styczne do tou Keunek wektoa pzyśpeszena kątowego okeślony jest egułą pawej dłon a s ε ε a s

16 ELEMENTY DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO: MOMENT SIŁY Efekt pzyłożene sły F do cała, któe oże sę obacać zależy od: welkośc sły odległośc punktu pzyłożena od os obotu kąta pzyłożena sły w stosunku do pędkośc punktu pzyłożena o. sły Ruch obacającego sę cała ożna zenć pzykładając do nego oent sły z N F Moent sły F pzyłożonej do były w punkce o wektoze wodzący, w stosunku do początku necjalnego układu odnesena wynos x F y N F

17 ELEMENTY DYNAMIKI RUCHU OBROTOWEGO: MOMENT SIŁY Efekt pzyłożene sły F do cała, któe oże sę obacać zależy od: welkośc sły odległośc punktu pzyłożena od os obotu kąta pzyłożena sły w stosunku do pędkośc punktu pzyłożena o. sły Ruch obacającego sę cała ożna zenć pzykładając do nego oent sły z F 1 N F Moent sły F pzyłożonej do były w punkce o wektoze wodzący, w stosunku do początku necjalnego układu odnesena wynos x 1 F y N F N 1 1 F 1 Jeśl sł jest węcej, to całkowty oent jest suą wektoową wszystkch oentów

18 MOMENT PĘDU; ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PEDU Efekte pzyłożene oentu sły N do cała, jest nadane u uchu obotowego Jeśl do cała pzyłożony jest oent sły, to zena sę oent pędu cała dl N zewn p 1 ω z LΣ p Moent pędu były w stosunku do początku necjalnego układu odnesena wynos L p x y Zas. Zachowana oentu pędu Jeśl bak jest zewnętznego oentu sły to oent pędu układu as jest zachowany N zewn 0 L const o. pędu

19 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: KONSEKWENCJE Ruch obotowy były ożna węc opsać oente pędu.ale wey też, że uch obotowy względe os oznacza, że wzdłuż tej os była a pędkoścą kątową ω. Mus zate stneć zwązek ędzy L ω Jeśl obacająca sę była jest syetyczna względe os obotu, to jej całkowty oentu pędu wynos L ω I L z ω Moent bezwładnośc I ów jak ozłożona jest asa względe os obotu ω y x I oenty bezwładnośc I R M R M I MR R M I ML 1 L M

20 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO dl Jeśl do były pzyłożony jest zewnętzny oent sły, to jej oent pędu zena sę: Jednak dla syetycznej były: d(iω) N N zewn zewn dω I N zewn dl L ωi N zewn N zewn I ε Składowa zewnętznego oentu sły, ównoległa do os obotu ustalonej w układze necjalny (lub pzechodzącej pzez śodek asy), dzałającego na obacające sę cało ówna jest loczynow oentu bezwładnośc pzyśpeszena kątowego względe tej os L z ω y x y T G R x am R εi N R + G + T + N + G N T Opsuje uch śodka asy Opsuje uch obotowy względe śodka asy L α

21 ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Jeśl była obaca sę wokół stałej os to całkowta enega knetyczna jest suą eneg knetycznych poszczególnych as : E K 1 v 1 ( ω) 1 ω E K 1 ω I PRZYKŁAD: Kozystając z zasady zachowana eneg oblczyć pędkość śodka asy walca u podnóża ówn T E p gh Enega potencjalna na szczyce pzekształca sę w enegę knetyczna uchu postępowego obotowego E p E (V +Iω )/gh Ale: K I / ωv/, to V V V gl sn α V gl sn α 4 3 gl sn α h L α E K (V +Iω )/

22 RUCH OBROTOWY SYMETRYCZNEJ BRYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM STAŁEJ OSI obekt Syetyczna była sztywna ops uchu defncje α(t) pawa pzykłady ω ε dα(t) dω zˆ Ruch obotowy jednostajny Ruch obotowy jednostajne pzyśpeszony α( t) α(0) + ω t α (t) α(0) + ω(0)t + εt dlaczego uch zachodz (pzyczyny uchu) N L E K F p ω I I L Iω I ε dl N N zewn

23 ANALOGIE W RUCHU OBROTOWYM I POSTĘPOWYM Odpowadające sobe welkośc ównana dla uchu postępowego obotowego welkośc Równana kneatyczne Ruch lnowy położene pędkość pzyśpeszene asa pęd sła ε N Ruch obotowy kąt pędkość kątowa pzyśpeszene kątowe oent bezwładnośc oent pędu oent sły εt ε( Równana dynaczne N ε E K E K

24 PRECESJA Ruch były sztywnej jest czase badzo ne ntucyjny. Zawsze jednak ożna to wyjaśnć posługując sę zasadą zachowana oentu pędu kęcołek