Teoria i metody optymalizacji
|
|
- Magdalena Nowicka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teora metoy optymalzacj Nelowe zaae optymalzacj bez ograczeń umerycze metoy teracyje optymalzacj m x R f = f x Algorytmy poszuwaa mmum loalego zaaa programowaa elowego: Bez ograczeń Z ograczeam Algorytmy zbeŝe o mmum loalego x*, jeŝel ta put steje. I. Tech optymalzacj loalej A.I Iteracyje algorytmy optymalzacj Algorytmy optymalzacj w eruu Algorytmy optymalzacj bez ograczeń Algorytmy optymalzacj z ograczeam Algorytmy zbeŝe o mmum loalego x*, jeŝel ta put steje. Algorytm optymalzacj loalej - przemerzae obszaru rozwązań opuszczalych w poszuwau estremum fucj celu weług teracyjego schematu. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Schemat algorytmu optymalzacj loalej bez ograczeń ( Wyberz put startowy xo=x. ( Oblcz wartość fucj f(x oraz jeŝel jest to wymagae to jej graet f(x (3 Zbaaj przyjęte ryterum zbeŝośc. Jeśl ryterum jest spełoe to oec algorytmu uzysao rozwązae optymale x optymalą wartość fucj celu f(x JeŜel e, to przejź o (4 Do mmalzacj w eruu moŝa uŝyć lu algorytmów tach ja p.: Algorytmy bez-graetowe: złotego pozału, aprosymacj waratowej, (4 Wyzacz ustaloy erue poszuwań : (5 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T( x, (6 Postaw przejź o ( x x + oraz + Algorytmy graetowe: espasj otracj geometryczej z testem jeosośym, logarytmczy złoty pozał oca ze wstępą espasją otracją geometryczą, aprosymacj parabolczej z testem jeosośym, bsecj z testem wusośym Golste a, Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Iteracja metoy poszuwaa mmum w eruu Przebeg typowej -tej teracj owolej metoy realzującej eę poszuwaa wzłuŝ eruu:. Oreśl erue poszuwań. ZbeŜość cągu putów { x } Defcja. Mówmy, Ŝe cąg putów = jest zbeŝy o putu x jeŝel cąg róŝc -tych przyblŝeń putu optymalego (putu mmum h = x x zbega o zera, co w przestrze R ozacza, Ŝe h ~. Zajźα mmalzujące f ( α = f + α ze wzglęu a α. 3. Postaw x = x + α. + Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya
2 Teora metoy optymalzacj Krytera zbeŝośc: Algorytmy optymalzacj loalej. Test teoretyczy f fˆ, x xˆ. PrzyblŜoa stacjoarość rozwązaa = g 3. Testy pratycze: x x, =,..., lub f f + g Algorytmy bezgraetowe Algorytm Hooe a-jeeves a Algorytm Neler -Meae a Algorytm Gauss a-sela Algorytm Powella Algorytmy graetowe Algorytm ajwęszego spau Zmoyfoway algorytm Newtoa Algorytm Zagwlla Algorytm Fletchera-Reeves a Algorytm Polaa-Rbery Algorytm Fletchera-Powella-Davoa Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Metoy postawowe eruów poprawy. Metoa Gaussa-Sela (bezgraetowa.. Metoa ajwęszego spau (graetowa. 3. Metoa Newtoa (graet hesja. x ( ( ( H= = e ( = = Hx { h } ( ( ( ( f j = x xj, j {,,..., } Metoa Gaussa-Sela (barzo wola zbeŝość lowa Metoa ajwęszego spau (zbeŝość lowa Metoa Newtoa (zbeŝa waratowo ale osztowa e zawsze stabla Ilustracja metoy Gaussa-Sela Najefetywejsze są tzw. metoy quas-ewtoowse, w tórych w olejych teracjach ostruuje sę przyblŝee owrotośc hesjau. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc x Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm Gauss a-seela Istotą metoy jest mmalzacja fucj f(x wzłuŝ olejych eruów ortogoalej bazy, tóra utworzoa jest z wersorów ułau współrzęych artezjańsch. Algorytm Gaussa-Seela polega a cylczym stosowau owzorowaa T o eruów. Wyoae jeego taego cylu azywa sę -tą terację. Owzorowae T: T( x, = { x } : f = mf + τ, x = x + τ τ σ Algorytm oblczeń metoa Gauss a-sela ( Wyberz put startowy x o =x. Oblcz wartość fucj f(x ( Zbaaj ryterum zbeŝośc: x x + +, =,..., oraz f f gze ε [, δ ] p.: ε = 6 Jeśl ta, to oec, jeśl e, to przejź o (3 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya
3 Teora metoy optymalzacj (3 Wyzacz erue poszuwań : są to oleje eru ortogoalej bazy =e Np. e = [,,...,] (4 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T, (5 Postaw x x + oraz + powtórz ( Metoa ajwęszego spau NS jest to metoa graetowa, tóra pozwala szuać mmum róŝczowalej fucj elowej f(x. Kocepcja metoy wya z lematu, w tórym wyazao, Ŝe jeśl steje erue w przestrze R to ta, Ŝe, < f +τ < f Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm oblczeń metoa NS ( Wyberz put startowy x o =x. Oblcz wartość fucj f(x oraz jej graet f(x ( Zbaaj ryterum zbeŝośc: f, = czyl, (3 Wyzacz erue poszuwań : = ( x (4 Wyoaj mmalzację eruową wybraą metoą: + x T, (5 Postaw x x + oraz + powtórz ( gze ε [, δ ] p.: ε = 6 Jeśl ta, to oec, jeśl e, to przejź o (3 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Algorytm bsecj z testem wusośym Golste a algorytm graetowy Do mmalzacj w eruu zastosowao graetowy algorytm bsecj z testem wusośym Golste a : Pratycze o wyszuaa putów spełających test wusośy Golstea stosuje sę astępujący algorytm bsecj: ( Oblcz pochoą w eruu p= o T oraz współczy rou τ R > ta, Ŝe f + τ R < f ( Wyzacz τ = ( τl+ τr. Oblcz f + τ. (3 Jeśl f + τ < f + ( β pτ to postaw τ L przejź o rou (, w przecwym raze przejź o rou (4 (4 Jeśl f + τ > f + βpτ to postaw τ R przejź o rou (, w przecwym przypau oec. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 3
4 Teora metoy optymalzacj Dzałae algorytmu bsecj z testem wusośym Golste'a la fucj: Pochoa w eruu zatem mamy: p= o T f(x, x = (x + (x 6x + x x put początowy x = [, ] T erue = [, ] T współczy testu β = początowa wartość współczya rou τ R = 9 ołaość la testu ε = 5 5 la x = x = [, ] T = f, f = x 6+ x,4x + x x x = [ 6,] Otrzymujemy wartość pochoej p: o T p= = [ 6 ] = 6 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya ( Oblczamy τ = ( τl+ τr oraz f + τ. τ = ( τr = (9 = 4,5 f + τ = f(, + (4,5, =,5-7= - 6,75 (3 JeŜel f + τ < f + ( β pτ to postaw τ L przejź o rou (. W przecwym wypau przejź o rou (4 Przechozmy o rou (3 sprawzamy: -6,75 <? NIE + ( 6 (,6 (4,5 = 6, Przechozmy o rou (4 Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya (4 JeŜel to postaw f + τ > f + βpτ τ R przejź o rou (. W przecwym wypau KONIEC ( 8 sprawzamy: -6,75 >? TAK + ( 6,4 (4,5 =, przechozmy o rou ( DRUGA ITERACJA (... Po trzecej teracj otrzymujemy wy τ=3,375 Dzałae algorytmu ajszybszego spau la fucj: f(x, x = (x + (x x x put początowy x = [, 3] T współczy testu β = 4 początowa wartość współczya rou τ R = Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 4
5 Teora metoy optymalzacj Oblczamy = = [, ] T PoewaŜ perwsza stosowaa wartość współczya rou τ R = speła test wusośy Golstea, węc: x = x + τ = [ ] T = = [ ] T W rugej teracj mamy: f + τ = τ 8τ + Otrzymujemy: T p= = [ ] = 8 Zatem test wusośy ma postać -6 τ - 8τ - Za pomocą algorytmu bsecj (test wusośy Golstea w trzecej próbe zajujemy wartość współczya τ =,5 Stą x = x + τ = [ ] T Postępując zgoe z algorytmem otrzymujemy oleje wartośc putów optymalzowaej fucj. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Kolejo poae są puty wyzaczoe za pomocą algorytmu ajszybszego spau la fucj: f(x, x = (x + (x x x Fucja celu f(x x = [ 3] x = [ ] x = [ ] 3 x = [ ] 4 4 x = [ ] t I ta olejo, aŝ o mometu gy zostae spełoy warue ^, ^ < ε = 3 Ta uzysao rozwązae optymale x =[,] f(x =. M Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Koleje teracje metoy ajwęszego spau NS Algorytmy optymalzacj z ograczeam x W celu uwzglęea ograczeń moŝa postąpć w poŝszy sposób: ooać trasformacj zmeych ecyzyjych ooać trasformacj fucj celu wprowazając fucje ary. Przyłay trasformacj zmeych la typowych ograczeń: x x 5 x 3 x^ x 4 x.. 3. x x a x b x = u x = exp( u x = u x s = u exp( u x = exp( u + exp( u x = a + ( b a s ( u Teora metoy Moptymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 5
6 Teora metoy optymalzacj Algorytmy optymalzacj z ograczeam c. Algorytmy optymalzacj z ograczeam c. Trasformacja fucj ryteralej: m P( x, σ, θ = f + σϕ ( g + θ H ( g + θ = Fucja ary charateryzuje sę tym, Ŝe w zborze rozwązań opuszczalych X przyjmuje wartość rówą zeru lub blsą zeru, a poza tym obszarem przyjmuje barzo uŝe wartośc. Gze: σ >, σ = [ σ, σ,..., σ ] m θ >, θ = [ θ, θ,..., θ ] m φ( fucja ary jest wetorem współczyów ary jest wetorem przesuęć ary ϕ ( g + θ : p. ( g + θ lub ( g + θ Fucja H ma poŝszą własość: H ( g + θ = lag + θ > lag + θ. Metoy zewętrzej fucj ary (metoa Courata, metoa Schmta Foxa. Metoy wewętrzej fucj ary (metoa Rosebroca, metoa Carolla 3. Metoy przesuwaej fucj ary (metoa Powella. Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya Teora metoy optymalzacj Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Eletro stua II st. er. Automatya Robotya 6
Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji
Nelnowe zadane optymalzacj bez ogranczeń numeryczne metody teracyjne optymalzacj mn R n f ( ) = f Algorytmy poszuwana mnmum loalnego zadana programowana nelnowego: Bez ogranczeń Z ogranczenam Algorytmy
Bardziej szczegółowomin h = x x Algorytmy optymalizacji lokalnej Nieliniowe zadanie optymalizacji bez ograniczeń numeryczne metody iteracyjne optymalizacji x x
Nelnowe zaane optymalzacj bez ogranczeń numeryczne metoy teracyjne optymalzacj mn n x R ) = f x Algorytmy poszuwana mnmum loalnego la: f zaana programowana nelnowego bez ogranczeń zaana programowana nelnowego
Bardziej szczegółowoTechnika optymalizacji
Algorytmy bezgraientowe Algorytmy optymalizacji loalnej c. Nieliniowe zaanie optymalizacji statycznej bez ograniczeń - nieliniowe algorytmy optymalizacji loalnej c. r inŝ. Ewa Szlachcic Wyział Eletronii
Bardziej szczegółowoTeoria i metody optymalizacji
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f( : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Bardziej szczegółowon R ZałóŜmy, Ŝe istnieje d, dla którego: Metody optymalizacji Dr inŝ. Ewa Szlachcic otwarte otoczenie R n punktu x, Ŝe
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f() : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowowykład nr 2 Metody obliczeniowe metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji
Metody oblczeowe - Budowctwo semestr 4 - wyład r Metody oblczeowe wyład r metody rozwązywaa rówań elowyc zadae optymalzacj Metody oblczeowe - Budowctwo semestr 4 - wyład r Postać rówaa elowego Rówae elowe
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoMetoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr 8 METODY CYFROWE POSZUKIWANIA MINIMUM FUNKCJI. Zadania minimalizacji funkcji bez ograniczeń można wyrazić następująco
WYKŁAD r 8 METODY CYFROWE POSZUKIWANIA MINIMUM FUNKCJI Zaaia miimalizacji fucji bez ograiczeń moża yrazić astępująco f ˆ mi f R gzie f : R R, przy czym załaa się, że fucja f jest ograiczoa z ołu. Istieje
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoTechnika optymalizacji
Nelowe zde optymlzj sttyzej ez ogrzeń - PN ez ogrzeń dr Ŝ. Ew Szlh Wydzł Eletro Ker.: Eletro III r. EZI Sformułowe owe zd optymlzj elowej ez ogrzeń: Fuj elu f( : Zde optymlzj poleg zlezeu wetor zmeyh deyzyjyh,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoX i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoBezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych. informacje dodatkowe
Bezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych informacje dodatkowe Wybór kierunku poszukiwań Kierunki bazowe i ich modyfikacje metody bezgradientowe. Kierunki oparte na gradiencie funkcji
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Sztuczne sieci neuronowe. Algorytmy gradientowe optymalizacji. Uczenie z nauczycielem. Wykład 4: Algorytmy optymalizacji
Pla wyładu yład 4: Algorytmy optymalizacji Małgorzata Krtowsa Katedra Oprogramowaia e-mail: mmac@iipbbialystopl Algorytmy gradietowe optymalizacji Algorytm ajwiszego spadu Algorytm zmieej metryi Algorytm
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoNumeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe
Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji x F x = min x D x F(x) Problemy analityczne: 1. Nieliniowa złożona funkcja celu F i ograniczeń
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoVIII. NIELINIOWE ZAGADNIENIA MECHANIKI
Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana 57 VIII. NIELINIOWE ZAGADNIENIA MECHANIKI. Rozaje nelnowośc a) Nelnowość fzyczna: nelnowe zwązk konstytutywne, plastyczność, lepkoplastyczność,
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoNadokreślony Układ Równań
Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).
Bardziej szczegółowo5. Maszyna Turinga. q 1 Q. Konfiguracja: (q,α β) q stan αβ niepusta część taśmy wskazanie położenia głowicy
5. Maszyna Turnga = T Q skończony zór stanów q 0 stan początkowy F zór stanów końcowych Γ skończony zór symol taśmy T Γ alfaet wejścowy T Γ symol pusty (lank) δ: Q Γ! 2 Q Γ {L,R} funkcja
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoi i i = (ii) TAK sprawdzamy (i) (i) NIE
Egzam uaruszy z aźdzera 009 r. Maemaya Fasowa Zadae ( ) a a& a ( Da) a&& ( Ia) a a&& D I a a&& a a ( ) && ( ) 0 a a a 0 ( ) a 4 0 ( ) a () K srawdzamy () ( ) a& a ( ) a ( ) a&& a&& ( ) a&& ( ) a&& () NIE
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE W POSTACI OGÓLNEJ
ZAGADNINI W POSAI OGÓLNJ s e ˆ - sygał - sygał -sygał obserwoway -sygał skoreloway z e eskoreloway z s -moel sygału s e ˆ -błą Szukae: 0,,..., M ] - ooweź mulsowa fltru FIR, - trasozycja Kryterum: m ]
Bardziej szczegółowoBadanie stabilności układu sterowania statkiem z nieliniowym autopilotem
Baaie stabilości ułau sterowaia statiem z ieliiowym autopilotem Zliearyzowae rówaie wiążące ochyleie ursu statu (zmiaę ąta ursu wzglęem ursu zaaego) ψ z ątem wychyleia steru δ jest astępujące (tzw. moel
Bardziej szczegółowoReferaty wygłoszone w roku akademickim 2007/08
Referaty wygłoszoe w rou aaec 27/8 Dzezc Karola Atoa Wojcech 2.6.28r. Wstęp Referaty prezetowae poczas spotań SKN TRADA są uzupełee o wyłau ateatya baowa 2 prowazoego przez prof. r hab. Kazerza Włoarczya.
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analiza częstotliwościowa dyskretnych sygnałów cyfrowych
ora Sygałów III ro Ioray Sosowaj Wyła Rozważy sończoy sygał () spróboway z częsolwoścą : Aalza częsolwoścowa ysrych sygałów cyrowych p óra js wa razy węsza o częsolwośc asyalj a. Oblczy jgo rasorację Fourra.
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZA ITELIGECJA WYKŁAD. SYSTEMY EUROOWO-ROZMYTE Częstocow 4 Dr b. ż. Grzegorz Dude Wdzł Eletrcz Poltec Częstocows SIECI EUROOWO-ROZMYTE Sec euroowo-rozmte pozwlją utomtcze tworzee reguł podstwe przłdów
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Algorytm simpleks. Organizacja zajęć. Zaliczenie. Literatura. Program zajęć
Algorytm smpleks adaa operacyje Wykład adaa operacyje dr hab. ż. Joaa Józefowska, prof.pp Istytut Iformatyk Orgazacja zajęć 5 godz wykładów dr hab. ż. J. Józefowska, prof. PP Obecość a laboratorach jest
Bardziej szczegółowoIX. ZAGADNIENIA TEORII PLASTYCZNOŚCI
Koerla P. Metoa Elemetów Skończoych, teora zastosowaa 67 IX. ZAGANIENIA EORII PLASYCZNOŚCI Oraczymy sę o cał sprężysto-plastyczych.. Zaaee jeowymarowe Postawowe moele cała sprężysto plastycze oraz ch aalo
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. II Inżynierii Obliczeniowej. Wykład /2019 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Tora Sygałów II Iżyr Oblczowj Wyład 8 8/9 Rozważy sończoy sygał δ () spróboway z częsolwoścą : Aalza częsolwoścowa dysrych sygałów cyfrowych f p óra js dwa razy węsza od częsolwośc asyalj f a. Oblczy jgo
Bardziej szczegółowoPojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Bardziej szczegółowo1. Struktura montażowa
. Struktura montażowa.. Podział na jednostki montażowe - Zespół wałka-zębnika (wałka wejściowego). Zespół wałka-zębnika Nr na rysunku Nazwa części Liczba sztuk 3 Wał - zębnik 37 Łożysko stożkowe 30305
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ
ELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ Optyka to dział fizyki, zajmujący się badaiem atury światła, początkowo tylko widzialego, a obecie rówież promieiowaia z zakresów podczerwiei i adfioletu. Optyka - geometrycza
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoDokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)
Wyład 4 Blas rówań teor srężystośc Dooamy zestawea wszystch rówań teor srężystośc Gra rówań. Różczowe rówaa rówowag (war Navera Lczba rówań Lczba ewadomych X 6 (. Zwąz geometrycze (rówaa Cachy ego ( 6
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
Bardziej szczegółowoTeoria i metody optymalizacji
eoria i metody optymalizaci Programowaie liiowe całowitoliczbowe PCL Metodologia podziału i ograiczeń Brach ad Boud (B&B) ma c A Z echique Metodologia podziału i ograiczeń B&B { A b i Z } Podstawą metodologii
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji nieliniowej (metody programowania nieliniowego) Ewa Niewiadomska-Szynkiewicz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej
Metody optymalizacji nieliniowej metody programowania nieliniowego Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz Instytut Automatyi i Inormatyi Stosowanej Ewa Niewiadomsa-Szyniewicz ens@ia.pw.edu.pl Instytut Automatyi i
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoMinimalizacja globalna. Algorytmy genetyczne i ewolucyjne.
Mnmalzacja globalna Algorytmy genetyczne ewolucyjne. Lnearyzacja nelnowego operatora g prowadz do przyblżonych metod rozwązywana zagadnena odwrotnego. Wynk takej nwersj jest slne uzależnony od wyboru modelu
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i
ZAJĘCIA NR Dzsaj omówmy o etro, redudacj, średej długośc słowa odowego o algorytme Huffmaa zajdowaa odu otymalego (od ewym względam; aby dowedzeć sę jam doczeaj do ońca). etro JeŜel źródło moŝe adawać
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Wykład FIZYKA I 6. Zasada zachowaa pęd Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Istytt Fzyk Poltechk Wrocławskej http://www.f.pwr.wroc.pl/~wozak/fzyka.htl Dr hab. ż. Władysław Artr
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY. Zakład Teletransmisji i Technik Optycznych (Z-14)
INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowo