F p. F o. Modelowanie złożonych systemów biocybernetycznych. Na poprzednim wykładzie uczyliśmy się, jak tworzyć modele prostych obiektów biologicznych

Transkrypt

1 Modelowanie złożonych ytemów biocybernetycznych Wyład nr 6 z uru Biocybernetyi dla Inżynierii Biomedycznej prowadzonego przez Prof. Ryzarda Tadeuiewicza Na poprzednim wyładzie uczyliśmy ię, ja tworzyć modele protych obietów biologicznych Na przyład rozważane ości można przedtawić jao modele biocybernetyczne Model biocybernetyczny ości obciążonej oiowo F p σ p Niewątpliwie jet to bardzo proty model F o σ o To taże bardzo proty model F p σ p F o σ 0 Pozotałe rozważane modele też były taie prote, bo właśnie według tego ryterium: prototy były wybierane. Cza jedna zająć ię ytemami bardziej złożonymi, bo modele biocybernetyczne na ogół dotyczą właśnie złożonych ytemów. 1

2 Dla wielu obietów biologicznych onieczna jet budowa modeli wielowymiarowych mających wiele wejść i wiele wyjść 1 1 Na przyład oba wyżej dyutowane modele ości obciążanej oiowo lub 2 Model wielowymiarowy 3 2 poprzecznie można złożyć do potaci jednego modelu obietu o dwóch wejściach i dwóch wyjściach Ta wygląda dwuwymiarowy (w enie informacyjnym) model ości. Przedtawiony model dwuwymiarowy nie zawiera interacji: ażde wyjście zależy tylo od jednego wejścia. F p σ p F p σ p F o σ 0 F o σ 0 Jedna dla typowych modeli wielowymiarowych ażde wejście wpływa na ażde wyjście więc funcja przejścia ma charater macierzy 2 3 A 12 A 31 1 A 1 11 A 21 A 22 A

3 2 Opi ytemu wielowymiarowego jet wygodniejzy, gdy można tratować ygnały wejściowe i wyjściowe jao wetory Model 3 wielowymiarowy 2 2 Model wielowymiarowy można tratować jao tranformacje wetorów z przetrzeni wejść do wetorów z przetrzeni wyjść Model 3 wielowymiarowy Model 3 wielowymiarowy Rozważmy proty przyład Wejście ytemu wariant 2 Reprezentacja tych amych ygnałów w różnych uładach wpółrzędnych może być bardziej lub mniej wygodna z puntu widzenia celu modelowania. Wejście ytemu wariant 1 To jet ytem, w tórym chcemy regulować dwa ygnały wyjściowe: ilość wody i temperaturę 3

4 Wariant 1 ma uład wpółrzędnych związany ze poobem zailania Uład wpółrzędnych i efety regulacji Regulacja ilości wody gorącej Regulacja ilości wody zimnej Dopływ wody gorącej Coraz więzy przepływ coraz zimniejzej wody Coraz mniejzy przepływ coraz zimniejzej wody Dopływ wody zimnej Wariant 1 ma uład wpółrzędnych związany ze poobem użytowania Uład wpółrzędnych związany ze poobem użytowania Regulacja temperatury Zmiana przepływu przy tałej temperaturze Uład wpółrzędnych i efety regulacji Coraz cieplejza woda przy małym tałym przepływie Zmiana przepływu przy tałej temperaturze. Coraz zimniejza woda przy dużym tałym przepływie Korzytna zmiana uładu wpółrzędnych ułatwia terowanie Regulacja przepływu 4

5 Przyładem doboru wygodnego uładu wpółrzędnych jet Analiza Sładowych Głównych (ang. Principal Component Analyi). PCA jet technią pozwalającą zreduować duży wymiar danych do niewieliej liczby najbardziej itotnych wpółrzędnych PCA jet tatytyczna metoda obróbi danych znanej również pod nazwa tranformacji Karhunena-Loeve a Obrót i przemiezczenie uładu wpółrzędnych, będące itotą metody PCA, pozwalają uzyać orzytniejzą obliczeniowo reprezentację rozwiązywanego problemu Analiza PCA jet uteczna gdy rozrzut danych wejściowych wyazuje dominacje pewnych ierunów. Tu PCA da dobre rezultaty Tu PCA oaże ię nieuteczna 5

6 Analiza Sładowych Głównych (PCA) pozwala reduować wymiar problemu bez znaczącej utraty ilości informacji Tranformacja PCA polega na deorelacji zmiennych wejściowych Polega ona na znalezieniu w n-wymiarowej przetrzeni wejść, ortogonalnych wetorów leżących w ierunach najwięzej wariancji danych. Liczba pierwzych głównych ładowych jet zwyle dużo mniejza niż wymiar przetrzeni wejść (m << n ). Przyjmuje ię, że pierwza główna ładowa leży wzdłuż ierunu maymalnej wariancji, druga główna ładowa jet ograniczona do podprzetrzeni protopadłej do pierwzej, trzecia główna ładowa ma ierune maymalnej wariancji w podprzetrzeni protopadłej do dwóch pierwzych, itd. Związe pomiędzy oryginalnymi wetorami danych, tworzącymi macierz oznaczoną jao i macierzą wetorów ładowych głównych (Principal Component) Z dany jet wzorem: Korzyść z PCA wynia z fatu, że ładowe wetorów ładowych głównych ą uporządowane wg. topnia ich informatywności (użyteczności z puntu widzenia rozwiązywanego zadania) gdzie: z i wetory ładowych głównych, u i wetory włane macierzy owariancji. Do ozacowania, ile ładowych głównych trzeba użyć dla dobrej reprezentacji wielowymiarowych danych ogląda ię zwyle wyre zależności wielości olejnych wartości włanych macierzy owariancji (będących miarą olejnych ładowych głównych wyznaczanych za pomocą wetorów włanych tej macierzy) Wyre tai noi potoczną nazwę oypia i poazuje, że niewiela część wetorów włanych przenoi zdecydowaną więzość informacji 6

7 Zwyle można wziąć pod uwagę niewielą liczbę ładowych głównych żeby przenieść prawie taą amą ilość informacji, ja ta, tóra mieści ię w dużej liczbie ładowych oryginalnego wetora danych źródłowych. Przyład: Reducja liczby danych pochodzących z proteomicznej diagnotyi nowotworów Uzyano 500 wymiarów roboczych z danych oryginalnie wymiarowych Przyład modelowania cybernetycznego bardziej złożonych ytemów biologicznych przepływ rwi Schemat rążenia płucnego oraz obwodowego Podtawowym parametrem uładu rążenia jet ilość rwi Q dotarczana w jednotce czau do narządów całego ciała. Przy pomocy rwi do tane dociera tlen, tórego ilość oznaczymy przez Q t. Tlen jet ściśle powiązany z mocą rozwijaną przez pozczególne mięśnie. 7

8 Zbadamy, od czego zależy ciśnienie rwi Wyobrażając obie rew wypompowaną przez erce w jednotce czau jao łup o wyoości odpowiadającej prędości wypływu V i o przeroju równym przerojowi aorty S otrzymujemy wzór oreślający jet ilość rwi Q dotarczaną w jednotce czau do mięśni Q S V Prędość przepływu rwi V zależy od ciśnienia urczowego p wywołanego przez erce V f ( p ) Serce rozwija iłę wytłaczającą rew zgodnie ze wzorem F S W nazych rozważaniach ograniczamy ię jedynie do jednego parametru oreślającego cechy mięśnia ercowego, to znaczy do jego jednotowej wytrzymałości mechanicznej σ oraz do jednego parametru opiującego rozmiary i ztałt rozważanego erca, to znaczy do powierzchni pola jego przeroju poprzecznego S. Można zauważyć, że iła F rozwijana przez mięień erca, jet równoważona przez iłę pochodzącą od ciśnienia rwi F F S p p p S S S S Sprawdzimy, czy rozmiar ciała rozważanego zwierzęcia wpływa na wartość ciśnienia rwi. 2 S S _ new 2 S S _ new p S S Wyni ten wazuje na bra zależności pomiędzy ciśnieniem rwi p, a rozmiarami ciała 8

9 Badamy czętość tętna. Przeanalizujmy wzór oreślający ilość rwi dotarczanej do mięśni w jednotce czau Q w odnieieniu do wpółczynnia β. Q Q _ new S n V 2 S n S _ new 2 S n n V Moc mięśni jet zależna od wadratu rozmiarów ciała. Serce poiada oreśloną pojemność, tórą oznaczamy Q. Parametr ten jet oczywiście zależny od wielości ciała 3 Q Q _ new W utalonym czaie t przez erce mui zotać przepompowana rew przepływająca przez aortę: S V n Przy oreślonej objętości Q erce mui urczyć ię n razy zgodnie ze wzorem t S Vt Q 2 n n 3 Im więze zwierzę, tym niżza wartość tętna. Tętno myzy jet dużo wyżze od tętna człowiea i wynoi o Słoń, pomimo tego, że jet dużo więzy od człowiea poiada tętno o połowę mniejze, o. 30. Po uprozczeniu dotajemy wzór: SnV n Q Z tórego wynia taa reguła: Im więze zwierzę, tym niżza wartość tętna. 9

10 To był elementarz. A teraz wyżza zoła jazdy Zaady tworzenia matematycznego opiu wielich ytemów złożonych z wielu obietów Wiemy już, że ta ię opiuje proty obiet A =A Złożoność wpółczenych ytemów biocybernetycznych prawia, że ich badacze muzą obie radzić z ich analizą toując pewne zabiegi uprazczające. Do najuteczniejzych z nich należą agregacja i deompozycja A co zrobić, gdy obiet jet złożony? Metoda deompozycji Metoda agregacji 10

11 Mówiąc wprot jeśli oryginalny ytem biologiczny jet zbyt złożony to dzielimy go na części, tóre łatwiej jet opiać. Dzielenie złożonych ytemów na elementy ładowe wraz z oncentracją uwagi topniowo na coraz drobniejzych zczegółach bywa używane w wielu dziedzinach Przy deompozycji ażdy ompliowany fragment ytemu jet dzielony na części, tóre ą z natury protze. Można to powtarzać wiele razy! Podzielić łatwo, znaleźć opiy (modele) małych i protych fragmentów też łatwo. Ale ja z tego potem odbudować cały ytem? A Z Z B Z Z A Z B 11

12 Zaady łączenia obietów Zaady łączenia obietów A Z =A Z Z B =BZ A Z =A Z Z = B A B =BZ = BA B A Połączenie zeregowe wielu obietów Przyłady reducji złożonych ytemów do protych chematów zatępczych przy uwzględnieniu jedynie połączeń zeregowych Z 1 A 1 Z 2 A 2 Z n 1 A n Z n Z 1 =A 1 Z 2 =A 2 Z 1 =Z n = A n Z n 1 = A A n 1 A 2 A n A A 2 1 ` Inny przyład analizy złożonego ytemu śledzenie tylo jednej ścieżi w złożonej truturze 12

13 Nie wzytie deompozycje złożonych obietów prowadzą do trutur zeregowych 1 A 1 2 A 2 Σ Połączenie równoległe Połączenie równoległe 1 1 A 1 A 2 2 Σ A 1 A 2 2 Σ = = A 1 +A 2 =(A 1 +A 2 ) A 1 +A 2 Użyteczny element chematów bloowych modeli węzeł zaczepowy W automatyce obowiązuje poób pecjalnego oznaczania graficznego miejca umowania ygnałów (tzw. węzeł umacyjny) 1 1 Sygnał jet powielany i rozyłany do wielu odbiorniów Ze względów czyto graficznych czaem ryuje ię jeden węzeł jao erię węzłów 1 2 Σ 2 2 Wariant (najczęściej toowany) gdy ygnał 2 jet odejmowany a nie dodawany 13

14 Poprawne i niepoprawne węzły na chemacie bloowym? A 1 A n 1 Σ Połączenie równoległe wielu elementów A n 1 n A n Które z pozotałych węzłów ą poprawne, a tóre niepoprawne? ` A 1 + A A n Przyład reducji ompliowanego ytemu do protego uładu A B C L M F G W D E S T U H K J Σ N O P R Wyróżnijmy wzytie znane trutury A B C L M F G W D E S T U H K J Σ N O P R 14

15 Doonujmy ich olejnej reducji A B C L M F G W D E S T U H K J Σ N O P R C B A L M F G W D E S T U H K J Σ C B A L M F G W D E S T U H K J Σ N O P R N O P R C B A D+ E L M F W G S T U H K J Σ Kontynuując to dalej N O P R 15

16 C B A D+ E L M F W G S T U H K J Σ Otrzymujemy: N O P R C B A D+ E L+ M U T S G F W K H J Σ A potem R P O N (D + E) C B A U T S (L+ M) GF K H +J Σ I wrezcie ońcowy etap reducji: W + R P O N 16

17 (D + E) C B A U T S (L+ M) GF K H +J W + R P O N Σ Pozornie wydaje ię, że toując opiane metody agregacji powinniśmy obie poradzić z ażdym złożonym ytemem (D+E) C B A + U T S (L+M)+ (K H+J) G F + W + R P O N Rozważmy jedna tai ytem A B Taa trutura nazywa ię przężeniem zwrotnym =A =B??? Jej właściwości omówimy na olejnym wyładzie 17