REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

Transkrypt

1 REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu różnych czynniów, decyduje zaopatrzenie ludności w wodę, tórej właściwą jaość oreślają przepisy rajowe, Unii Europejsiej i Światowej Organizacji Zdrowia. Wciąż dosonalone są ułady technologiczne oczyszczania wody aby sprostać coraz wyższym wymaganiom. W ogólnym cylu obiegu wody w przyrodzie niezwyle ważną rolę odgrywają rzei, tóre jao ciągle odnawialne źródło słodiej wody stanowią zasadniczy element gospodari wodnej. Jaość ich wód zmienia się wsute przenoszenia rozmaitych substancji, tóre podlegają ewolucji w czasie i przestrzeni w wyniu procesów biologicznych, chemicznych i fizycznych. Jao ważny element gospodari i życia, rzei były i są przedmiotem dużego zainteresowania. Analiza dynamii zmian podstawowych wsaźniów zanieczyszczeń, jaimi są Biochemiczne Zapotrzebowanie Tlenu (BZT) oraz poziom Rozpuszczonego Tlenu (RT), lub inaczej deficyt Rozpuszczonego Tlenu, jest niezwyle interesującym i złożonym problemem nauowym. Szeroie zastosowanie ma tutaj modelowanie matematyczne. Należy pamiętać, że modele matematyczne stanowią zawsze pewne uproszczenie obietów rzeczywistych. Celem pracy jest doonanie badań symulacyjnych modelu matematycznego rzei oraz zaprojetowanie uładu monitorującego jej stan. Aby przeprowadzić symulację taiego systemu sformułowano model matematyczny rzei zanieczyszczonej biochemicznie wyorzystując równania Streetera-Phelpsa. Dostosowanie tych równań do warunów naturalnych rzei prowadzi do równania różniczowego cząstowego hiperbolicznego pierwszego rzędu czyli modelu o parametrach rozłożonych. Praca ta stanowi pewien etap badań, tóre w całości mają doprowadzić do realizacji uładu sterującego jaością wody w rzeach poprzez napowietrzanie. Wymagać to będzie przeprowadzenia procesu estymacji stanu jaości wody otrzymując pełny obraz stanu rzei. Zatem będzie to uład monitorujący z możliwością predycji. Realizację

2 taiego uładu przeprowadzono w oparciu o ideę filtru Kalmana-Bucy z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Zaproponowany system mierząc tylo Rozpuszczony Tlen (RT) będzie w stanie generować ograniczoną w czasie prognozę stanu jaości wody będąc jednocześnie częścią globalnego uładu sterowania.. Model matematyczny rzei zanieczyszczonej biochemicznie. Zawartość rozpuszczonego w wodzie tlenu (RT) jest wsaźniiem niezwyle istotnym dla organizmów żywych tworzących eosystem rze. Jego niedobór prowadzi do obumierania organizmów. Sładnii organiczne trafiające do cieów wodnych jao zanieczyszczenia zużywają rozpuszczony tlen na proces utleniania, co w onsewencji może prowadzić do niedotlenienia wody. Aby temu przeciwdziałać prowadzi się szacunowe ograniczanie zrzutu ścieów do rze lub doonuje się jej napowietrzania. Obecnie możliwości techniczne i technologiczne pozwalają chronić środowiso naturalne chociażby przez wyorzystanie modelowania matematycznego i sztucznych sieci neuronowych oraz aeratorów lub innych urządzeń natleniających. Z obecnością tlenu rozpuszczonego w wodach płynących nierozerwalnie wiąże się proces samooczyszczania, tóry w ujęciu ogólnym polega na usuwaniu zanieczyszczeń organicznych na wsute ich utleniania. Przy ocenie przebiegu samooczyszczania wody zasadnicze znaczenie ma zawartość substancji organicznych. Należą do nich: Ogólny Węgiel Organiczny (OWO), Chemiczne Zapotrzebowanie Tlenu (ChZT) oraz Biochemiczne Zapotrzebowanie Tlenu (BZT). BZT odpowiada ilości tlenu zużywanego przez tlenowe miroorganizmy. Wartość ta wyznacza zawartość substancji organicznych podatnych na biodegradację. Zanieczyszczenia organiczne wprowadzane do rzei są utleniane co prowadzi do jej odtlenienia. Ubyte tlenu rozpuszczonego w wodzie oreśla się mianem tzw. deficytu tlenu. Równocześnie z procesem odtleniania wody zachodzi jej natlenianie (reaeracja) w wyniu stałego ontatu powierzchni wody z powietrzem atmosferycznym. Proces zmian BZT i RT można modelować matematycznie za pomocą równań różniczowych (Streeter-Phelps): dx dt x, x ( t ) x gdzie: x wartość BZT (mg O /dm 3 ) w czasie t; stała szybości reacji (współczynni biochemicznego zapotrzebowania tlenu). ()

3 Zmiana rozpuszczonego tlenu w przedstawia się w następujący sposób: dx N dt x 3( xs xn ) a, xn ( t ) xn gdzie: x N wartość RT (mg O /dm 3 ) w czasie t; współczynni szybości wpływu BZT na RT; 3 współczynni szybości pobierania tlenu (współczynni rozpuszczonego tlenu); x s stan nasycenia RT; a źródło generowania lub pochłaniania tlenu (np. osady denne, glony). Oznaczając przez x deficyt RT rozumiany jao: gdzie: x deficyt RT (mg O /dm 3 ), x xn xs otrzymujemy wzór na zmianę deficytu RT w czasie: dx dt Równania () i (4) można zapisać w formie wetorowej jao: gdzie: 3 dx dt Ax x () (3) 3 x a, x ( t ) x Bw, x( t x A macierz stanu; x wetor x col[ x x ]; B macierz sterowań; w wetor wymuszeń zewnętrznych (załócenia) i sterowań. Równanie (5) będzie puntem wyjścia do dalszych rozważań czyli do zaproponowania modelu matematycznego rzei, tóry w celu uproszczenia oreślany będzie jao reator z ciągłym mieszaniem (RCM) (rys. ). Nie będą uwzględnione procesy dyfuzji. ) (4) (5) Rys.. Reator z ciągłym mieszaniem. Interpretacja taiego podejścia (rys. ) dotyczy fragmentu rzei o bardzo małej długości. Dla dłuższego odcina należy zbudować szereg taich reatorów. Wynia 3

4 RT [mg O /dm 3 ] BZT [mg O /dm 3 ] stąd, że odcine rzei można podzielić na wiele fragmentów i ażdy z nich interpretować oddzielnie jao reator. Rozważany fragment objętości wody w rzece unoszony jest swobodnie z nurtem rzei. Czas przepływu od początu do ońca odcina jest zdeterminowany przez szybość przepływu rzei. Po uwzględnieniu prędości rzei można oreślić również rozład BZT i RT wzdłuż długości. Rozwiązując równanie (5) otrzymano rzywe przebiegu procesu samooczyszczania (rys. ). 8 Samooczyszczanie wód płynących - BZT czas [doby] Samooczyszczanie wód płynących - deficyt RT czas [doby] Rys.. Rozład BZT i RT w czasie. Przyjmując specyfię interpretacji zjawis w rzece otrzymuje się zależność, że stan zanieczyszczenia czyli wetor x zależy od czasu i długości. Zatem obszar rozważań wyznacza się przez długość rzei i ores obserwacji. W tym obszarze można uzysać bardzo dużo przebiegów oreślających rozład BZT i RT dotyczących pewnej objętości wody przemieszczającej się zgodnie z prędością rzei. Te wędrujące objętości wody wyznaczają charaterystyi. Oznacza to, że charaterystyi te mogą rozpoczynać się na dowolnej długości (od do Z) i w dowolnym czasie (od do T). Otrzymamy wówczas zespół charaterysty porywających z pewnym roiem cały obszar odcina rzei ja na rys. 3. Ja łatwo zauważyć w odcinu II rzei prędość wody jest mniejsza niż w odcinu I i III. 4

5 Rys. 3. Charaterystyi dla rzei w uładzie przestrzenno-czasowym. Biorąc pod uwagę, że wartości biochemicznego zapotrzebowania tlenu (BZT) oraz deficytu rozpuszczonego tlenu (RT) będą zmieniały się zgodnie z zależnościami () i (4) w obszarze {...Z}, {...T} otrzymamy hiperpowierzchnię uazującą dynamię zmian BZT i RT na całym odcinu rzei. Rezultaty symulacji przedstawia hiperpowierzchnia na rys. 4, w tórej waruni brzegowe oreślają stałą wartość BZT i RT na początu rzei. Został również uwzględniony przypade występowania bocznego dopływu zanieczyszczeń na setnym ilometrze długości rzei. Rys. 4. Przestrzenny rozład BZT i RT. Powyższe rozważania opierały się na równaniach Streetera-Phelpsa, tóre nie zawierały bezpośrednio informacji o długości rzei. W innym podejściu rozważa się, że wetor stanu w sposób jawny zależy od długości rzei i czasu. Zatem równania Stre- 5

6 etera-phelpsa po uwzględnieniu bilansu masowego stają się równaniami różniczowymi cząstowymi hiperbolicznymi pierwszego rzędu: x t V x z gdzie: x wetor stanu; t czas; z długość; A macierz stanu (patrz równanie 5); V macierz prędości; w wetor załóceń; B macierz oddziaływania załóceń. Ax Bw W równaniu (6) należy uwzględnić waruni graniczne czyli: - waruni brzegowe na początu rozważanego odcina w dziedzinie czasu: (6) x b ( t) x(, t) (7a) - oraz waruni początowe czyli w chwili t t na całej długości odcina: x z, t ) x ( ) (7b) ( z Należy zwrócić uwagę, że równanie różniczowe cząstowe hiperboliczne pierwszego rzędu (6) stanowi bardziej ogólne podejście do modelu rzei niż równanie z modelu Streetera-Phelpsa (por., 4, 5) na charaterystyach. Rozwiązanie zależności (6, 7a, 7b) doonano metodą różnic sończonych, aprosymując pochodne. Rezultat symulacji przedstawia rys. 5. Rys. 5. Przestrzenny rozład BZT i RT ze zmiennymi warunami brzegowymi dla modelu matematycznego odcina rzei bez dopływów bocznych reprezentowanego przez równanie różniczowe cząstowe hiperboliczne pierwszego rzędu. Interesujące zjawiso zachodzi, gdy do rzei, w tórej występuje nisi deficyt tlenowy dopływają zanieczyszczenia o znacznej wartości BZT. Taa sytuacja 6

7 przedstawiona jest na rys. 6, gdzie najwięszy deficyt występuje w znacznej odległości od miejsca zrzutu zanieczyszczeń. Rys. 6. Przestrzenny rozład w rzece BZT i RT przy dużych wartościach BZT i nisich wartościach RT. Inny przypade uwzględnia boczne dopływy oraz zróżnicowane zanieczyszczenia (rys. 7). Ja widać ślad pierwszego sou zanieczyszczenia przenosi się nawet poniżej dopływu bocznego i przebiega równolegle do drugiego sou. Rys. 7. Przestrzenny rozład BZT i RT ze zmiennymi warunami brzegowymi dla modelu matematycznego odcina rzei ze zmiennym w czasie dopływem bocznym reprezentowanego przez równanie różniczowe cząstowe hiperboliczne pierwszego rzędu. 7

8 Zatem prezentowany w pracy model matematyczny umożliwia dopasowanie jego parametrów do warunów rzeczywistych (boczne dopływy, zmiany prędości przepływu). Na rys. 5-7 łatwo można wyodrębnić charaterystyi wyznaczone przez prędość przemieszczania. Z pratyi wiadomo, że pomiary dla RT są natychmiastowe i łatwe do realizacji, natomiast pomiary BZT są długotrwałe i wymagają obsługi laboratoryjnej, dlatego też w uładzie regulacji są bezużyteczne. Zatem należy doonać estymacji BZT dla potrzeb sterowania. Pomiar RT w rzece można doonać przy pomocy stacji pomiarowych zloalizowanych wzdłuż rzei. Przyjmując interpretację modelu BZT-RT wzdłuż charaterysty pomiary opisane są równaniem dysretnym: y t ) C x ( t ) v ( t ) (8) i ( i i pi gdzie: y i wartości pomiarów w dysretnych chwilach pomiarowych t, C i macierz pomiarowa, v pi załócenia pomiarowe. Zatem problem estymacji realizowany na podstawie idei filtru Kalmana-Bucy dla rzei opisanej równaniami ciągłymi (5) i pomiarami dysretnymi (8) można podzielić na dwa etapy: filtrację i predycję. W fazie filtracji oblicza się estymaty stanu w puntach pomiarowych dla danej chwili pomiarowej t na podstawie wartości estymat z chwili poprzedniej t - oraz bieżących pomiarów w chwili t. Sprowadza się to do rozwiązania równania dla BZT i RT: x ( t / t ) xˆ( t / t ) K ( t ) y( t ) Cxˆ( t / t ) (9) ˆ F gdzie: xˆ - estymata; y wartości pomiarów w dysretnych chwilach pomiarowych t ; K F wzmocnienie filtru na podstawie rozwiązania równania Riccatiego. Między dysretnymi puntami pomiarowymi następuje faza predycji w tórej wyznacza się estymatę stanu na przyszłość do następnej chwili pomiarowej, tzn. dla t ( t t ), biorąc za wartości początowe estymaty otrzymane w fazie filtracji: d dt xˆ ( t / t ) A( t ) xˆ( t / t ), xˆ( t / t ) () Aby wyznaczyć estymatę należy zatem obliczać na przemian równania dla filtracji i predycji, przy czym wartości w procesie z filtracji stanowią warune początowy w procesie predycji. Procedura powtarza się do nadejścia następnych 8

9 Deficyt RT [mg O /dm 3 ] BZT [mg O /dm 3 ] pomiarów. Wybrane rezultaty procesu estymacji przedstawia rys. 8 dla pojedynczej charaterystyi. a) Estymacja RT Pomiar RT 5 b) Rezultat filtracji Krzywa deficytu RT z modelu Estymacja RT Estymacja BZT Rezultat filtracji Krzywa BZT z modelu Estymacja BZT odległość [m] odległość [m] Rys. 8. Estymacja stanu rzei zrealizowana z wyorzystaniem filtru Kalmana-Bucy; a) wynii dla RT; b) wynii dla BZT. Tai sam sposób postępowania można zastosować dla pozostałych charaterysty aby otrzymać hiperpowierzchnię z przestrzennym rozładem estymat BZT i RT. 3. Sztuczne Sieci Neuronowe w badaniach symulacyjnych obietu eologicznego. Zastosowanie filtru Kalmana-Bucy w procesie estymacji stanu wymaga znajomości cech charaterystycznych procesów stochastycznych. Alternatywnym rozwiązaniem są Sztuczne Sieci Neuronowe (SSN). Ze względu na złożoność zagadnień wyniających z zestawienia pomiarów dysretnych i ciągłego obietu trudno jest znaleźć jedną taą struturę sieci neuronowej, tóra wyonywałaby jednocześnie proces filtracji i predycji dając zadowalające wynii. Dlatego dla zagadnienia estymacji podzielonej na filtrację i predycję zaprojetowano odpowiednio oddzielne strutury sieci neuronowych. Koncepcję budowy i funcjonowania uładu filtracji i predycji z wyorzystaniem SSN przedstawiono na rys. 9. Na wejście uładu podawana jest wartość estymat z rou poprzedniego (wartości ońcowe predycji) oraz wartość pomiaru. W pierwszej struturze SSN realizowany jest proces filtracji. Sygnałami wyjściowymi z tej części uładu są wartości estymat w chwilach dysretnych pomiarów; stanowią one sygnały wejściowe do drugiej strutury SSN realizującej proces predycji czyli estymowanie stanu między dysretnymi puntami pomiarowymi. W rezultacie 9

10 otrzymujemy estymowane wartości BZT i RT, tóre podawane są w pętli sprzężenia zwrotnego na wejście uładu. Rys. 9. Uład filtracji i predycji. Strutura sieci neuronowej dla procesu filtracji wynia z jego natury tj. posiada trzy sygnały wejściowe i dwa sygnały wyjściowe (rys. ). Strutura sieci dla procesu predycji jest bardzo podobna (dwa wejścia i dwa wyjścia; bez sygnału pomiarowego). Rys.. Sieć neuronowa realizująca proces filtracji. Działanie przedstawionego na rys. 9 uładu realizującego estymację przedstawia rys.. Otrzymane rezultaty estymat (linia ciągła) dobrze odwzorowują symulowany obiet pomimo intensywnych załóceń wzdłuż długości rzei oddziaływujących na BZT i RT (rzywa łamana). Inne esperymenty symulacyjne dawały podobne wynii. Należy zwrócić uwagę na fat, że prezentowane podejście odnosi się do jednej charaterystyi zgodnie z oncepcją zaprezentowaną wcześniej. W celu otrzymania rozładu przestrzenno-czasowego należy przeprowadzone rozważania wyonać dla pozostałych charaterysty (por. rys. 3), a wynii przedstawić w formie hiperpowierzchni.

11 Deficyt RT [mg O /dm 3 ] BZT [mg O /dm 3 ] 5 Estymacja BZT za pomocą SSN Rezultat filtracji Krzywa zmian BZT Estymacja BZT odległość [m] - Estymacja deficytu RT za pomocą SSN Pomiar RT Rezultat filtracji - Krzywa zmian RT Estymacja RT odległość [m] Rys.. Przebiegi estymat stanu rzei otrzymane za pomocą Sztucznych Sieci Neuronowych oraz symulowane BZT i RT. Proponowany uład monitorujący mógłby na podstawie pomiarów oraz wartości wygenerowanych przez sieci neuronowe w procesie estymacji oreślić atualne wartości zanieczyszczeń rzei w dowolnym puncie domeny przestrzenno-czasowej, a nawet przewidzieć ich zmiany z wyprzedzeniem czasowym do otrzymania pomiarów. Koncepcję uładu monitorującego zanieczyszczenie rzei zaprezentowano na rys.. Rys.. Uład monitorujący stan zanieczyszczeń w rzece.

12 Cechą proponowanego systemu monitorowania jest możliwość rozbudowy o inne wsaźnii jaości wody oraz poazanie atualnego stanu jaości wody w rzece. Wyorzystując predycję system jest w stanie przewidzieć zachowanie się obietu w przyszłości o ile nie nastąpią znaczące zmiany wpływu otoczenia. Cecha ta jest niezwyle cenna dla uładów prognozujących i sterujących. System tai będąc elementem uładu automatycznej regulacji będzie mógł w porę wygenerować ostrzeżenie przed zbliżającym się zagrożeniem. W innym przypadu system tai może uruchomić aeratory napowietrzające wodę w rzece aby wspomóc proces utleniania zanieczyszczeń organicznych. 4. Podsumowanie. W pracy przedstawiono oncepcję budowy uładu monitorującego stan zanieczyszczenia wody w rzece. Dla zrealizowania tematyi przeprowadzono rozważania związane z modelowaniem matematycznym stanu obietu eologicznego. Zaproponowano dwa podejścia: - wzdłuż charaterysty, otrzymując wiele równań różniczowych zwyczajnych, - z wyorzystaniem opisu doładniejszego, otrzymując równanie różniczowe cząstowe. Opracowano zagadnienia estymacji stanu BZT i RT na podstawie pomiarów RT obarczonych błędami urządzenia pomiarowego oraz załóceniami środowisa. Wyorzystano do tego celu ideę filtru Kalmana-Bucy zastępując go sztucznymi sieciami neuronowymi. Analizując otrzymane wynii symulacji oraz przedstawione podejście do realizacji zadania wydaje się, że stanowi to interesujące zagadnienie do realizacji rzeczywistych uładów automatycznej regulacji z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Przedstawione w pracy zagadnienia są dosonałą podstawą do rozwijania tematyi modelowania matematycznego stanu rze oraz wyorzystania sztucznych sieci neuronowych w problemach budowy systemów automatycznie reagujących na dynamicznie zmieniający się stan obietów eologicznych. Systemy taie przyczyniają się do ochrony środowisa naturalnego i dbają o bezpieczeństwo eologiczne Świata. Dalszym etapem badań nauowych może być rozwijanie zaprezentowanej tematyi realizując w sposób bardziej szczegółowy poszczególne jej sładnii.