Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Transkrypt

1 Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba adnych transformacji uładów współrzdnych, eby łatwiej operowa geometri analizowanego systemu. Element ma dwa wzły definiujce jego oce. i wzeł element j wzeł x Jeli sztywno spryny opisuje stała, a ady wzeł moe przemieci si tylo w ierunu osi x (ma jeden stopie swobody), to macierz sztywnoci elementu zdefiniowanego dwoma wzłami (a wic dwoma stopniami swobody) zapisuje si jao macierz 2x2 (ady wymiar macierzy to liczba stopni swobody całego elementu): K =, jeli w całym uładzie wielu połczonych ze sob spryn wystpi n wzłów, to macierz sztywnoci bdzie miała wymiar nxn. Z fizyi pamitamy, e ugicie spryny jest proporcjonalne do siły, jaa na ni działa, zatem: F = *u, gdzie : F siła, stała sprystoci spryny, u przemieszczenie (ugicie), zapisujemy to macierzowo: [K]{u} = {f} gdzie: [K] macierz sztywnoci, {u} wetor przemieszcze wzłów, {f} wetor sił działajcych w wzłach. Jeli znamy sztywno spryny oraz przemieszczenia wzłów moemy wyliczy działajce siły, a jeli znamy siły, to po rozwizaniu równania moemy wyliczy przemieszczenia. Funcje realizujce obliczenia MES na elementach sprynowych w Matlabie (naley je przepisa w osobnych pliach M-File, nadajc im nazwy taie, jaie maj zawarte w nich funcje): ponisz funcj zapisujemy w pliu: SztywnoscElementSprezynowy.m function y = SztywnoscElementSprezynowy() %funcja tworzy macierz sztywnosci dla pojedynczego elementu sprezynowego %wymiar wyniu : 2x2 y = [ -; - ];

2 ponisz funcj zapisujemy w pliu: ZlozSztywnoscSprezyn.m function y = ZlozSztywnoscSprezyn(K,,i,j) %funcja slada w jedna macierz sztywnosci K wszystie sprezyny %w zadaniu laczac wszystie sztywnosci pojedynczych elementow %zdefiniowanych wezlami i j %UWAGA! Funcja moze byc wywolana po wczesniejszym uruchomieniu %funcji SztywnoscElementSprezynowy! %sladanie K(i,i) = K(i,i) + (1,1); K(i,j) = K(i,j) + (1,2); K(j,i) = K(j,i) + (2,1); K(j,j) = K(j,j) + (2,2); %i wyni zwracany przez funcje y = K; ponisz funcj zapisujemy w pliu: SilyElementSprezynowy.m function y = SilyElementSprezynowy(,u) %funcja wylicza sily wezlowe na podstawie znanych przemieszczen u i %sztywnosci y = * u; Przyład nr 1. Dla podanego uładu elementów o znanych sztywnociach 1 = 1N/m i 2 = 2N/m oraz sile obciajcej P = 15N wyznaczy: 1. macierz sztywnoci uładu 2. przemieszczenia wzłów nr 2 i 3 3. reacj w wle 1 4. sił w adym elemencie (sprynie) P Rozwizanie: Kro 1 dysretyzacja zadania Zadanie jest ju podzielone na elementy i wzły : - element nr 1 zdefiniowany jest wzłami nr i=1 i j=2 - element nr 2 zdefiniowany jest wzłami nr i=2 i j=3 wzeł nr 2 jest wspólny dla obu elementów elementy s połczone w wle nr 2. Kro 2 utworzenie macierzy sztywnoci dla adego elementu Mamy dwa elementy, zatem tworzymy dwie macierze sztywnoci : 1 i 2 omendami: >>1=SztywnoscElementSprezynowy(1) >>2=SztywnoscElementSprezynowy(2)

3 Kro 3 sładanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego uładu Poniewa w uładzie mamy 3 wzły, wic globalna macierz sztywnoci bdzie miała wymiar 3x3. Macierz K naley przed sładaniem wyzerowa, co wyonujemy omend: >>K=zeros(3,3) Poniewa mamy dwa elementy, to funcj ZlozSztywnoscSprezyn trzeba wywoła dwa razy niezalenie dla adego elementu, podajc jao parametry globaln macierz K (tóra jest wyniiem), macierz elementu (1, a potem 2) i numery wzłów definiujce dany element (najpierw 1 i 2, a potem 2 i 3): >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,1,1,2) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,2,2,3) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawi si sumowane sztywnoci poszczególnych elementów. Kro 4 uwzgldnienie warunów brzegowych Stworzona macierz sztywnoci ma posta: 1 K = a uład równa [K]{u}={f} mona rozpisa w posta: u1 f1 2 u2 = f 2 2 u3 f 3 Warunami brzegowymi w naszym zadaniu s: - przemieszczenie wzła nr 1 jest niemoliwe podpora: u1 = - nie ma obcienia w wle nr 2 f2 = - w wle nr 3 zaczepiona jest siła P: f3 = 15N (w prawo, zgodnie z dodatnim zwrotem osi x) Po uwzgldnieniu powyszych wiadomych, uład równa przyjmuje posta: f1 2 u2 = 2 u3 15 nie znamy zatem przemieszcze u2 i u3, a tae reacji f1 (podpora). Kro 5 rozwizanie równa Przygldajc si uładowi równa zauwaymy, e mona go rozwiza po awału, wyrelajc pierwszy wiersz i olumn dla znanego przemieszczenia, zostawiajc reszt dla nieznanych u2 i u3:

4 f1 2 u2 = 2 u u2 = 2 u3 15 w Matlabie realizujemy to poleceniami: przepisanie tylo 2 i 3 wiersza i olumny z K do : >>=K(2:3,2:3) stworzenie wetora f ze znanymi siłami f2=n i f3=15n: >>f=[;15] wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=\f i otrzymujemy w wyniu: u2 =.15m oraz u3 =.225m. Kro 6 obróba wyniów (postprocessing) Majc przemieszczenia wszystich wzłów, moemy obliczy reacj w podporze. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wetor (dodajemy u1= do wyniów): >>U=[;u] a potem wyliczmy siły: >>F=K*U otrzymamy: F1 = -15.; F2 =. i F3 = 15.. Zatem reacja w podporze wynosi 15N i jest sierowana przeciwnie do zwrotu osi x (w lewo, zna ujemny). Siły w elementach wyznaczymy dzii funcji SilyElementSprezynowy(,u), tórej parametrami s: macierz sztywnoci elementu (1 i 2) oraz przemieszczenia wzłów definiujcych dany element (czyli u1 i u2, a potem u2 i u3): najpierw przygotujemy pary przemieszcze dla adego elementu: >>u1=[u(1);u(2)] >>u2=[u(2);u(3)] a potem wyznaczymy siły: >>f1=silyelementsprezynowy(1,u1) >>f2=silyelementsprezynowy(2,u2) Wynii wsazuj, e oba elementy s rozcigane zrównowaonymi siłami 15N.

5 Przyład nr 2. Dla podanego uładu elementów o jednaowych sztywnociach = 12N/m oraz sile obciajcej P = 2N wyznaczy: 1. macierz sztywnoci uładu 2. przemieszczenia wzłów nr 3, 4 i 5 3. reacje w wzłach 1 i 2 4. sił w adym elemencie (sprynie) element 2 element element 4 P 5 element 5 4 element 6 2 element 3 Rozwizanie: Kro 1 dysretyzacja zadania Zadanie jest ju podzielone na elementy i wzły : - element nr 1 zdefiniowany jest wzłami nr i=1 i j=3 - element nr 2 zdefiniowany jest wzłami nr i=3 i j=4 - element nr 3 zdefiniowany jest wzłami nr i=3 i j=5 - element nr 4 zdefiniowany jest wzłami nr i=3 i j=5 - element nr 5 zdefiniowany jest wzłami nr i=5 i j=4 - element nr 6 zdefiniowany jest wzłami nr i=4 i j=2 Kro 2 utworzenie macierzy sztywnoci dla adego elementu Mamy sze elementów, zatem tworzymy sze macierzy sztywnoci : od 1 do 6 omendami: >>1=SztywnoscElementSprezynowy(12) >>2=SztywnoscElementSprezynowy(12) >>3=SztywnoscElementSprezynowy(12) >>4=SztywnoscElementSprezynowy(12) >>5=SztywnoscElementSprezynowy(12) >>6=SztywnoscElementSprezynowy(12) Kro 3 sładanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego uładu Poniewa w uładzie mamy 5 wzłów, wic globalna macierz sztywnoci bdzie miała wymiar 5x5. Macierz K naley przed sładaniem wyzerowa, co wyonujemy omend: >>K=zeros(5,5)

6 Poniewa mamy sze elementów, to funcj ZlozSztywnoscSprezyn trzeba wywoła sze razy niezalenie dla adego elementu, podajc jao parametry globaln macierz K (tóra jest wyniiem), macierz elementu (od 1 do 6) i numery wzłów definiujce dany element: >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,1,1,3) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,2,3,4) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,3,3,5) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,4,3,5) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,5,5,4) >>K=ZlozSztywnoscSprezyn(K,6,4,2) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawi si sumowane sztywnoci poszczególnych elementów. Kro 4 uwzgldnienie warunów brzegowych Stworzona macierz sztywnoci ma posta: 12 K = a uład równa [K]{u}={f} mona rozpisa w posta: u1 f1 u2 f 2 24u3 = f 3 12 u4 f 4 36 u5 f 5 Warunami brzegowymi w naszym zadaniu s: - przemieszczenia wzłów nr 1 i 2 s niemoliwe podpory: u1 =, u2 =, - nie ma obcie w wzłach nr 3 i 4 : f3 =, f4 =, - w wle nr 5 zaczepiona jest siła P: f5 = 2N (w prawo, zgodnie z dodatnim zwrotem osi x) Po uwzgldnieniu powyszych wiadomych, uład równa przyjmuje posta: f1 f 2 24u3 = 12 u4 36 u5 2 nie znamy zatem przemieszcze u3, u4 i u5, a tae reacji f1 i f2 (podpory).

7 Kro 5 rozwizanie równa Analogicznie do poprzedniego przyładu, uład równa rozwiemy po awału, wyrelajc dwa pierwsze wiersze i olumny dla znanych przemieszcze u1 i u2, zostawiajc reszt dla nieznanych u3, u4 i u5: f1 f 2 24u3 = 12 u4 36 u u3 12 u4 = 36 u5 2 w Matlabie realizujemy to poleceniami: przepisanie tylo 3, 4 i 5 wiersza i olumny z K do : >>=K(3:5,3:5) stworzenie wetora f ze znanymi siłami f3=n, f4 = N i f5=2n: >>f=[;;2] wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=\f i otrzymujemy w wyniu: u3 =.897m, u4 =.769m oraz u5 =.141m. Kro 6 obróba wyniów (postprocessing) Majc przemieszczenia wszystich wzłów, moemy obliczy reacje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wetor (dodajemy u1= i u2= do wyniów): >>U=[;;u] a potem wyliczmy siły: >>F=K*U otrzymamy: F1 = -1.77; F2 = -9.23; F3 =.; F4 =. i F5 = 2.. Zatem reacja w podporze lewej (wzeł 1) wynosi 1.77N i jest sierowana przeciwnie do zwrotu osi x (w lewo, zna ujemny), a w podporze prawej (wzeł 2) jest równa 9.23N i te jest sierowana w lewo (zna ujemny). Siły w elementach wyznaczymy analogicznie do poprzedniego przyładu dzii funcji SilyElementSprezynowy(,u), tórej parametrami s: macierz sztywnoci elementu (od 1 do 6) oraz przemieszczenia wzłów definiujcych poszczególne elementy (w parach): pary przemieszcze dla adego elementu:

8 >>u1=[u(1);u(3)] >>u2=[u(3);u(4)] >>u3=[u(3);u(5)] >>u4=[u(3);u(5)] >>u5=[u(5);u(4)] >>u6=[u(4);u(2)] a potem wyznaczymy siły: >>f1=silyelementsprezynowy(1,u1) >>f2=silyelementsprezynowy(2,u2) >>f3=silyelementsprezynowy(3,u3) >>f4=silyelementsprezynowy(4,u4) >>f5=silyelementsprezynowy(5,u5) >>f6=silyelementsprezynowy(6,u6) Który element przenosi najwisze obcienie, a tóry najmniejsze? Zadanie nr 1. Zadania do samodzielnego rozwizania: Dla uładu ja na rysunu poniej, majc sztywnoci spryn: 1=2N/m i 2=25N/m oraz sił P=1N, wyznaczy: 1. macierz sztywnoci uładu 2. przemieszczenie wzła nr 2 3. reacje w wzłach 1 i 3 4. sił w adym elemencie (sprynie) Zadanie nr 2. P Dla uładu ja na rysunu poniej, majc jednaowe sztywnoci spryn: =17N/m oraz sił P=25N, wyznaczy: 1. macierz sztywnoci uładu 2. przemieszczenie wzłów nr 2, 3 i 4 3. reacj w wle 1 4. sił w adym elemencie (sprynie) P