jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery"

Transkrypt

1 Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia: reprezentacje jednowymiarowe A, B A, np. taie dla tórych χ = 1 E dwuwymiarowe, F trójwymiarowe parzyste wzgl. inwersji lub σ h zna + nieparzyste - zna - ila przyładów 1. grupy cyliczne C n i S n grupy abelowe - h = liczbie las => wszystie rep. 1D liczba nieprzywiedlnych reprezentacji = h n n χ c = χ c = χ e = 1 n to muszą być to pierwiasti z liczby 1... n χ = c n e πim n M = 0, 1,,..., n-1; numeruje olejne reprezentacje... tworzenie tabeli charaterów

2 np. dla grupy C dwie lasy, h=, => dwie nreps. o wym. =1 lasy ---> ozn. reprezentacji e C A 1 1 B 1-1 jeśli wybierzemy oś obrotu jao oś Z, to funcja bazowa reprezentacji A nie może zależeć od, y; budując ją ze sładowych wetora X, możemy wybrać np.: φ A,y,z = z lub dowolna funcja sferycznie symetryczna grupa taich obrotów może dotyczyć zarówno uładu hamiltonianu o symetrii sferycznej ja i o symetrii osiowej... dla reprezentacji B : φ B,y,z = lub φ B,y,z = y lub dowolna funcja dla tórej C przeprowadza -> - jeśli to mają być funcje H, to muszą dodatowo być pomnożone przez niezmienniczy czynni zapewniający wadratową całowalność {np. φ B mogłoby być funcją wodorową p r, tóra jest ombinacją liniową p 111 i p 11-1, a p 111 ~ r e -r/a sinϑe iϕ, p 111 ~ r e -r/a sinϑe -iϕ, ale r sinϑcosϕ= } grupa C 3 3 lasy, h=3, => 3 nreps o wymiarze =1 C 3 E C 3 C 3 A B 1 1 p p B 1 p p p = e πi/3 możliwe funcje bazowe jao sładowe wetora biegunowego X

3 A : z tzn. f A,y,z = z, B 1 : iy tzn. f A,y,z = iy, itd.; B : + iy rzeczywiście: po obrocie woół Z o π/3 -> cosπ/3 + y sinπ/3 -iy -> i sinπ/3 iy cosπ/3 co w rezultacie daje epiπ/3 iy epiπ/3 = epiπ/3 * iy. grupa D 3 lub izomorficzna do niej C 3v nie jest abelowa, h = 6, 3 lasy zatem wymiary reps. niereduowalnych: 1, 1, = 6 jedna z nreps 1D ma wszystie charatery = 1 A 1 z warunu ortogonalności charaterów musimy mieć dla A : χe=1, χc 3 =1, χu = -1, D 3 E C 3 3u A A E -1 0 charater χ e E =, natomiast pozostałe wyniają z warunów ortogonalności ćwiczenia funcje bazowe reprezentacji A 1 nie mogą zależeć liniowo od z u przenosiłoby wówczas z -> -z, możliwe są np: φ A1,y,z = z lub φ A1,y,z = + y dla A możemy mieć φ A,y,z = z 1 bazę E mogą stanowić φ B,y,z = i φb,y,z = y

4 zauważmy podobieństwo w postaci tych funcji to funcji wodorowych czy orbitali atomowych Reprezentacje grupy translacji grupa jest abelowa wszystie reprezentacje nieprzywiedlne są 1D zatem dla wetorów bazowych a 1, a, a 3, generatorów grupy mamy e a ϕ = λ ϕ i funcję bazową oznaczymy jao ϕ λ λ 1 λ 3 z unitarności reprezentacji wynia λ i = 1 dla translacji o dowolny wetor a i a = m + 1a1 + ma m3a3 m1 m m3 e a ϕλ 1λ λ = λ 31 1 λ λ3 ϕλ 1λλ 31 trója liczb λ i jednoznacznie definiuje reprezentację grupy; wprowadzając oznaczenie A6 λ i = ep -ia i możemy reprezentację numerować za pomocą wetora ; oznaczenie to nie jest jednoznaczne: wprowadzając pojęcie wetorów sieci odwrotnej:

5 b i [ a a ] π = Ω 0 i+ 1 i+ gdzie np. dla i= y, i+1=3 z, i+=1 a Ω 0 = a 1 [a a 3 ] mamy i zatem A7 wetory b = b i a j = πδ i i j e b a ij = 1 n + 1b1 + nb n3b3 tworzą sieć odwrotną o taiej samej grupie puntowej ja sieć prosta choć w ogólności w innym typie z A7 i A6 wynia, że są oreślone z doładnością do dowolnego wetora sieci odwrotnej tzn. jeśli = + b to ep-i a i =ep-ia i ep-in i π= ep-ia i co daje to samo λ i Strefa Brillouina omóra Wignera-Seitza w sieci odwrotnej obejmuje wszystie nierównoważne sobie wetory b, jest niezmiennicza wzgl. wszystich operacji grupy puntowej i ma obj. om. elementarnej

6 Reprezentacje grupy przestrzennej reprezentacje grupy przestrzennej G P można zbudować w oparciu o jednowymiarowe reprezentacje grupy translacji G T będącej podgrupą grupy G p weźmy dowolną reprezentację D grupy przestrzennej; niech dimd = s, a baza ϕ 1, ϕ,, ϕ s D - jest reduowalna ze względu na podgrupy translacji w G P tzn. jeśli operacje G P ograniczymy do translacji, to wszystie odpowiadające tym translacjom macierze z rep. D dadzą się zreduować do jednowymiarowych tzn.: jeśli olejne ϕ i wybierzemy obrócimy ta aby stały się jao bazy jednowymiarowe niereduowalnych reprezentacji grupy G T to macierz Dt a = De a będzie diagonalna; ażdy diagonalny element Dt a będzie postaci λ = ep -ia, a macierz Dt a ma wymiar s;

7 wśród s wetorów, nietóre mogą być identyczne, lub równoważne, tzn. różniące się o wetor sieci odwrotnej K zbudowany jao K = n 1b1 + nb + n3b3 def. gwiazda {GR} reprezentacji D to zbiór n różnych i n s pamiętamy, że cały czas mamy na myśli reprezentację grupy G P wszystie różne i tworzące gwiazdę, tworzą tzw. promienie gwiazdy tu jeszcze nie wiemy czy gwiazda jest symetryczna Tw. gwiazda reprezentacji jest niezmiennicza względem operacji grupy G P, tzn. = g = r {GR} albo inaczej mówiąc: jeśli w {GR} jest, to jest tam też ażdy = r przyłady gwiazd nieprzywiedlnych symbol g=r α+a rozumiemy jao r α, bo translacja o a odpowiada przejściu do równoważnego dowód: niech r α jest elementem G o translacji ułamowej α elemencie obrotowym r i ponieważ:

8 pamiętamy, że r a= t a r, oraz, że rt a = t r-1 a r translacje są przemienne, zatem: t a et α r = t α et a r = t α e r t r-1 a = t α r e t r-1 a w iloczynie salarnym.r -1 a, obrót na a to to samo co obrót przeciwny na, formalnie nie powinniśmy rysować razem i a bo należą do różnych przestrzeni, ale tu chodzi o ilustrację iloczynu salarnego niech e a ϕ = e ia ϕ tzn. jest to funcja bazy reprezentacji G P będąca funcją własną operatora translacji t a o wetor a, zatem, e a r α ϕ = r α e r 1 a ϕ = r α e ~ α ir 1 ϕ = e a ira a to dowodzi, że funcja ϕ = r ϕ jest funcją własną operatora translacji t a odpowiadającą wetorowi falowemu = r r α ϕ uwaga: wybraliśmy jedną z funcji bazowych reprezentacji D, odpowiadającą wetorowi z {GR}, dla translacji t a, i oazało się, że = r odpowiada tej samej translacji t a, zatem też musi należeć do {GR} bo właśnie rozpatrywaliśmy macierz Dt a zauważmy, że teraz operacji grupy G doonujemy na grupie wetorów z sieci odwrotnej biorąc jaiolwie wetor 1 z gwiazdy, możemy podziałać na niego wszystimi operacjami r, r 1 = j

9 jeśli zbiór j wyczerpuje całą gwiazdę reprezentacji D, to taa gwiazda nazywa się nieprzywiedlną jeśli zbiór j nie wyczerpuje całej gwiazdy, to jest ona przywiedlna; można rozłożyć ją na nieprzywiedlne, onstruując różne zbiory g i, o rozłącznych zespołach wetorów falowych j, taie rozłączne zbiory wetorów falowych tworzą oddzielne nieprzywiedlne gwiazdy reprezentacji D, {NGR} funcje { ϕ }, dla {NGR} tworzą bazy dla różnych nieprzywiedlnych gwiazd niereduowalnych reprezentacji grupy G P = transformują się między sobą pod wpływem operacji r є G p Grupa wetora falowego def. Podgrupa G, grupy G P, sładająca się z elementów nie zmieniających wetora falowego, lub przeprowadzających go w równoważne = + K, nazywa się grupą wetora falowego ila własności: w G istnieje niezmiennicza podgrupa translacji jeśli G = G P to gwiazda reprezentacji grupy G P słada się z jednego wetora przyłady: a wetor =0

10 b dla płasiej sieci wadratowej przyład gdy G <> G P tylo e, C, σ y stanowią G Mała reprezentacja - - to reprezentacja D grupy wetora falowego po co nam RGWF? - funcja Blocha: ψ = e ir u, funcje u powinny zostać wybrane jao bazy reprezentacji nieoniecznie całej grupy G P, ale GWF; podobnie w metodzie p - pytanie - ja wybrać funcje u n r dla onretnego... Tw. mała reprezentacja D, grupy wetora falowego jednoznacznie wyznacza reprezentację D grupy przestrzennej z nieprzywiedlną gwiazdą {} bez dowodu oczywiście: wymiar N wynosi: nieprzywiedlnej reprezentacji grupy przestrzennej N = s n s - dim D n - ilość promieni w gwieździe

11 Symetria w mechanice wantowej typ widma operatora zależy od symetrii tego operatora lasyfiacja stanów eletronowych np. hamiltonian dla eletronu w zewnętrznym potencjale V polu potencjalnym; np. periodycznym dla ryształu V z y m H = E in - niezmienniczy względem dowolnej operacji grupy przestrzennej - obrotów i translacji, to symetria H wyznaczona jest przez symetrię V gdyż symetria V jest na ogół niższa niezmienniczość H względem operacji g G grupy symetrii hamiltonianu uładu fizycznego oznacza: X1 1 H g H = albo inaczej 1 1 ψ ψ ψ φ g D H g g H H g D = = a to oznacza: X g HD H g D = ale z X1 1 1 = g E g H ψ ψ

12 widać, że funcjom ψ, ψ g 1 odpowiada ta sama wartość własna E, działając operacjami Dg na dowolną funcją ψ j pozostajemy w zbiorze funcji odpowiadających E, zatem: funcje własne H odpowiadające zdegenerowanej wartości własnej H tworzą bazę reprezentacji D grupy symetrii G hamiltonianu one mogą być reduowalne lub nie ale ażdej reprezentacji nieprzywiedlnej powinna odpowiadać inna wartość własna energii za wyj. degeneracji tzw. przypadowej grupa symetrii H może być wyższa niż grupa symetrii V np. z powodu niezmienniczości wzgl. odwrócenia czasu za pomocą teorii reprezentacji można lasyfiować też widma częstości drgań cząstecze i ryształów znoszenie degeneracji pod wpływem zaburzenia niech H = H 0 + H 1 niech grupą symetrii H 0 jest G 0, a grupą symetrii H 1 jest G 1, będąca podgrupą G 0 tzn. H ma niższą symetrię od H 0 znając charatery nieprzywiedlnych reprezentacji G 0 i G 1 można ustalić ja zdegenerowane poziomy energetyczne H 0 rozszczepią się na poziomy H gdyż niereduowalna reprezentacja grupy G 0 może być reduowalna w podgrupie grupy G 0 - podobnie ja z podgrupą translacji w grupie przestrzennej G P jeśli zaburzenie jest małe i wielość rozszczepienia mała w porównaniu z odległością poziomów energetycznych H 0, to ażdy poziom H powstaje w wyniu rozszczepienia tylo jednego poziomu H 0 i poziomy się nie przecinają wtedy:

13 nieprzywiedlne reprezentacje grupy G 0 rozłada się na nieprzywiedlne reprezentacje grupy G 1, bo dana rep. G 0 może być przywiedlną rep. G 1 oczywiście może się zdarzyć, że rep. G 0 pozostanie nieprzywiedlna w G 1 - odpowiadający jej poziom H 0 - nie ulegnie rozszczepieniu rozładu danej D reprezentacji G 0 na nieprzywiedlne reprezentacje G 1 doonuje się w oparciu o charatery Dg dla tych g, tóre należą do G 1 przyłady Rozszczepienie poziomów atomowych w polu rystalicznym np. 5 rotnie zdegenerowany poziom atomowy o symetrii orbitalnej d funcje te { ϕ l,m } stanowią reprezentację D grupy obrotów H niezmienniczy ze wzgl. na operacje grupy obrotów - l=, dim reprezentacji jest =5 po umieszczeniu atomu, jao domieszi, w sieci ubicznej o symetrii sześciennej T d, poziom ten rozpada się na poziomy -rotnie i 3 rotnie zdegenerowany odpowiadające reprezentacjom E i F 1 grupy T d ; T d ma 4 elementy w 5-ciu lasach => 5 reprezentacji niereduowalnych o wymiarach: 1,1,,3,3 ; => to jest jedyny możliwy rozpad 5-ti na i 3! formalnie możliwy byłby też 1,1,3, ale z tabel charaterów i z analizy transformacji funcji { ϕ l,m } wynia, że jest to niemożliwe uwaga: o wielości rozszczepienia decyduje potencjał pola rystalicznego można je oszacować rachuniem zaburzeń dalej -> przy rozciągnięciu ryształu np. wzdłuż osi z, symetria dalej obniża się z T d do D d - D d izomorficzna z D 4 ma 8 elementów w 5-ciu lasach, to 5 rep.nrd. o wymiarach 1,1,1,1, i wówczas: E - rozłada się na dwie jednowymiarowe A 1 i B 1

14 a F 1 na jednowymiarową B i dwuwymiarową E,... dla przypomnienia D d jest podgrupą T d, tóre jest podgrupą O 3...

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

C h można przedstawić w bazie wektorów bazowych grafenu (*) (**) Nanorurki węglowe (jednościenne)

C h można przedstawić w bazie wektorów bazowych grafenu (*) (**) Nanorurki węglowe (jednościenne) Nanorurki węglowe (jednościenne) zwinięte paski arkusza grafenu (wstęgi grafenowej) (węzły sieciowe Bravais i węzły podsieci) wstęgi: chiralna fotelowa zykzak komórka elementarna jednoznacznie definiuje

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Colloquium 3, Grupa A

Colloquium 3, Grupa A Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

Poniższe eseje zostały opublikowane w Encyklopedii Szkolnej - Fizyka, która została wydana w marcu 2006 r. przez:

Poniższe eseje zostały opublikowane w Encyklopedii Szkolnej - Fizyka, która została wydana w marcu 2006 r. przez: Poniższe eseje zostały opubliowane w Encylopedii Szolnej - Fizya, tóra została wydana w marcu 6 r przez: Wydawnictwo Zielona Sowa Sp z o o PL--45 Kraów, ul Wadowica 8A, POLAND Tel/Fax: +(48-) 66-694; Tel:

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura

Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 ) MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p,

3 k a 2k + 3 k b 2k = φ((a k ) k=1 ) + φ((b k) k=1 ). a 2k p 3 q (1 3 q ) 1 (a k ) k=1 p, Zadanie 1. Sprawdzić, czy formuła φa ) ) = 3 a 2 zadaje funcjonał liniowy na l p dla p [1, ] i na c, jeśli ta, to czy zadaje funcjonał ciągły, i jeśli ta, policzyć normę. Dowód. Sprawdzam liniowość: φλa

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Zmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Zmienna losowa ozszerzenie znaczenia funcji zmiennej rzeczwistej na przpadi, ied zmienna niezależna nie jest liczbą rzeczwistą: odległość to funcja par puntów, obwód trójąta, to funcja oreślona na zbiorze

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów Wykład Symetria Budowy Kryształów Ciała krystaliczne i amorficzne Każda substancja ciekła (z wyjątkiem helu) podczas oziębiania traci swoje własności ciekłe i przechodzi w ciało stałe. Jednakże proces

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Spektroskopia Ramana drgania i widmo rozpraszania

Spektroskopia Ramana drgania i widmo rozpraszania Spektroskopia Ramana drgania i widmo rozpraszania drian Kamiński, Instytut Fizyki UM I. Czym jest spektroskopia ramanowska Spektroskopia Ramana jest istotną metodą badania widm rotacyjnych i oscylacyjnych

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Informatyka medyczna

Informatyka medyczna Informatya medyczna Wczytywanie pliu: Wczytujemy cały pli do pamięci operacyjnej według specyfiacji: agłówe RIFF FMT opcjonalne inne bloi DATA azwa pola Wielość w bajtach Opis chunid Test ASCII RIFF -

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 3 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Andrzej Marciniak GRAFIKA KOMPUTEROWA. Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu

Andrzej Marciniak GRAFIKA KOMPUTEROWA. Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Andrzej Marciniak GRAFIKA KOMPUTEROWA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku przez studentów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii.

Kombinacje elementów symetrii. Klasy symetrii. Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakładu Krystalografii ul. Bankowa 14, pok. 133, 40-006 Katowice tel. 0323591503, e-mail: izajen@wp.pl, opracowanie: dr Izabela Jendrzejewska Laboratorium z Krystalografii

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z przedmiotu matematyka w III klasie gimnazjum w roku szkolnym 2013/2014 Wymagania edukacyjne dostosowane do obowiązującej

Bardziej szczegółowo

Liczby kwantowe n, l, m l = 0 l =1 l = 2 l = 3

Liczby kwantowe n, l, m l = 0 l =1 l = 2 l = 3 Liczby kwantowe Rozwiązaniem równania Schrödingera są pewne funkcje własne, które można scharakteryzować przy pomocy zestawu trzech liczb kwantowych n, l, m. Liczby kwantowe nie mogą być dowolne, muszą

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki dla klasy III gimnazjum. Osiągnięcia przedmiotowe

Kryteria ocen z matematyki dla klasy III gimnazjum. Osiągnięcia przedmiotowe umiejętności konieczne ocena dopuszczający umiejętności podstawowe ocena dostateczny umiejętności rozszerzające ocena dobry umiejętności dopełniające ocena bardzo dobry umiejętności wykraczające ocena

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA TRZECIA

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA TRZECIA SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA TRZECIA DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na

Bardziej szczegółowo

Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym i elektrycznym

Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym i elektrycznym Atomy w zewnętrznym polu magnetycznym i elektrycznym 1. Kwantowanie przestrzenne momentów magnetycznych i rezonans spinowy 2. Efekt Zeemana (normalny i anomalny) oraz zjawisko Paschena-Backa 3. Efekt Starka

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Strona 1 z 9. prowadzić rozumowania matematyczne sprawnie posługiwać się językiem matematycznym

Strona 1 z 9. prowadzić rozumowania matematyczne sprawnie posługiwać się językiem matematycznym Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 3 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE( 2) PODSTAWOWE (3) ROZSZERZAJĄCE (4) DOPEŁNIAJACE

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych Współczynnik absorpcji w układzie dwuwymiarowym można opisać wyrażeniem: E E gdzie i oraz f są energiami stanu początkowego i końcowego elektronu, zapełnienie tych stanów opisane jest funkcją rozkładu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna przestrzeni

Geometria analityczna przestrzeni ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo