Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji Ekonomia Menederska 2008, nr 4, s. 53 69 Henryk Gurgul *, Rober Syrek ** Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji 1. Wsp Inwesorzy giedowi powinni uwzgldnia przede wszyskim dwa paramery charakeryzujce dan inwesycj na giedowym rynku akcji. S nimi oczekiwana sopa zysku oraz sopie ryzyka. Ta osania wielko mówi nam, o ile zrealizowana sopa zwrou moe si róni od oczekiwanej. Rónica a wynika z faku, i rzeczywise warunki gospodarowania mog by inne od ych, kóre przewidywa inwesor. Niekiedy pojcia ryzyka i niepewnoci sosuje si zamiennie [1], [4], [5], [6], [11], [17], [19], [20], [22], [24], [27], [28], [33], [37]. W lieraurze finansowej nie s o jednak pojcia osame. Ryzyko jes rodzajem niepewnoci, kór mona skwanyfikowa. Mona wic powiedzie, e niepewno jes pojciem szerszym ni ryzyko. Inwesor poraficy okreli ryzyko jes w lepszej syuacji ni inwesor naraony na niepewno, nieporaficy rónym moliwym zdarzeniom przypisa prawdopodobiesw ich zajcia. Oczekiwana sopa zysku jes jednym z podsawowych kryeriów, jakimi kieruje si inwesor przy podejmowaniu decyzji o zakupie papierów warociowych. Oczekiwana sopa zysku oznacza w isocie przysz sop zwrou zn. sop zwrou, kóra moe by osignia w bliszej lub dalszej przyszoci. Sopa zysku papierów * Kaedra Ekonomii i Ekonomerii, Wydzia Zarzdzania, Akademia Górniczo-Hunicza, al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, e-mail: h.gurgul@neosrada.pl ** Zakad Meod Ilociowych w Ekonomii, Wysza Szkoa Ekonomii i Informayki w Krakowie, ul. w. Filipa 17, 31-150 Kraków, e-mail: rsyrek@wsei.edu.pl 53
Henryk Gurgul, Rober Syrek warociowych jes zmienn losow. Oznacza o, e sopa zysku moe przyjmowa okrelone waroci z pewnymi prawdopodobieswami, kórych suma wynosi jeden. Waro oczekiwanej sopy zysku mona wyznaczy w posaci redniej waonej moliwych do uzyskania sóp zwrou danego papieru warociowego, dla kórej wagami s prawdopodobieswa osignicia ych sóp zwrou. Moliwe jes ake inne podejcie do okrelenia sopy zysku. Warunkiem wyznaczenia oczekiwanej sopy zwrou jes znajomo rozkadu prawdopodobieswa ych sóp. Najczciej prawdopodobieswa e szacuje si na podsawie danych z przeszoci. Ma o sens, gdy zachowanie si papieru warociowego w przyszoci jes w duym sopniu zdeerminowane ym, jak kszaoway si jego sopy zwrou w przeszoci. Drug podsawow wielkoci charakeryzujc papier warociowy jes jego ryzyko. Chodzi u gównie o ryzyko niezrealizowania si oczekiwanej sopy zwrou. Ryzyko o wynika gównie z faku, e nabywca danego papieru warociowego, w szczególnoci akcji, uzyskuje prawo do czerpania dochodów z yuu posiadania ego papieru dopiero w przyszoci. Chodzi u na przykad o prawo do orzymania dywidendy lub procenu. Na wiksze ryzyko naraone s akcje w porównaniu z obligacjami, bo np. emien akcji moe, ale nie musi wypaca akcjonariuszom dywidend. Jeli chodzi o obligacje, o ich posiadacze w momencie zakupu wiedz, jakiego oprocenowania mog si spodziewa. Ryzyko obligacji moe wynika z zagroenia bankrucwem emiena. Przyjmuje si, e obligacje rzdowe s cakowicie wolne od ryzyka. Wyspowanie ryzyka papierów warociowych wynika ze zrónicowaniem moliwych do realizacji sóp zwrou z yuu posiadania danego papieru warociowego lub obrou nim. Im wiksze o zrónicowanie, czyli im wiksza wariancja sóp zwrou, ym mniejsze prawdopodobieswo realizacji oczekiwanej sopy zysku, a zaem ym wiksze ryzyko. Na moliwo prognozowania sóp zwrou, a wic i ryzyko ma wpyw isnienie lub brak zw. dugiej pamici w szeregach czasowych zmiennych charakeryzujcych giedowe rynki akcji [24], [30]. Duga pami, zwana e wasnoci dugoerminowej zalenoci, ujawnia si poprzez auokorelacj obserwacji worzcych szereg czasowy i o auokorelacj wysokiego rzdu [2], [3] [7], [8], [13], [18], [25], [26], [30], [31], [32], [34], [35], [36]. Auokorelacja a moe oznacza isnienie zalenoci pomidzy obserwacjami nawe znacznie odlegymi czasowo. Zjawisko dugiej pamici odkry bryyjski hydrolog Harold Edwin Hurs [25], kóry zajmowa si badaniem auokorelacji wylewów Nilu w Egipcie. Wanymi charakerysykami szeregu czasowego s funkcja auokorelacji (ang. auocorrelaion funcion, skró ACF) i funkcja auokorelacji czskowej (ang. parial auocorrelaion funcion, skró PACF). W przypadku isnienia wasnoci dugiej pamici funkcja auokorelacji ACF opada w empie hiperbolicznym, a wic powoli. Szereg czasowy posiadajcy wasno dugiej pamici ma 54
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji w dziedzinie spekralnej rozkad o niskiej czsoliwoci. Szeregi czasowe o krókiej pamici, cechuj si isonymi auokorelacjami ylko niskich rzdów. Oznacza o, e obserwacje, kóre oddziela nawe sosunkowo niewielki przedzia czasu nie s ju skorelowane. Szeregi z krók pamici daj si sosunkowo awo rozpozna, bowiem z jednej srony w dziedzinie czasu ACF szybko zanika, a z drugiej w dziedzinie spekralnej wyspuj rozkady o wysokiej czsoliwoci. Szeregi czasowe, kóre daj si opisa za pomoc modelu liniowego ypu ARMA maj krók pami. Wyspowanie dugiej pamici ogranicza moliwoci sosowania radycyjnych modeli liniowych szeregów czasowych. Prawa ekonomiczne maj przewanie naur sochasyczn (zn. ujawniaj si dopiero w masie przypadków), poza ym zwizki midzy zmiennymi ekonomicznymi maj najczciej charaker nieliniowy. W zwizku z ym modele maryngaowe (zakadajce prognoz np. ceny akcji na poziomie zrealizowanym w osanim okresie) nie mog wynika z zasady arbirau, poniewa nowa, napywajca na rynek informacja nie moe by cakowicie odizolowana. Isone rudnoci powoduje zjawisko dugiej pamici przy wycenie insrumenów pochodnych za pomoc meod maryngaowych. Jeli odpowiedni cigy proces sochasyczny wykazuje dug pami, o maryngaowe meody wyceny mog zawodzi. Jeli wyspuje duga pami, o najczciej zawodz procedury saysyczne sosowane np. w konekcie modeli wyceny akywów. W eorii finansów rozwaa si rzy rodzaje efekywnoci rynków finansowych: sab, pósiln i siln. W lieraurze przedmiou podaje si wyniki bada empirycznych nad efekywnoci rynków akcji. Z publikacji ych wynika, e rozwinie rynki akcji, a ake zw. rynki wschodzce, wykazuj co najmniej efekywno informacyjn w sensie sabym i pósilnym. Ten osani rodzaj efekywnoci zachodzi wedy, gdy wszyscy uczesnicy rynku maj równy dosp do publicznej informacji, za ceny reaguj naychmias na now, ison informacj, kóra doara na rynek i o ylko w chwili jej doarcia. W lieraurze finansowej panowa pogld, e isnienie dugiej pamici jes, przynajmniej do pewnego sopnia, sprzeczne z hipoez efekywnoci rynku w sensie pósilnym. W nowszych pracach auorzy doszli do przekonania, e jes o ylko sprzeczno pozorna. Jeli wyspuje duga pami, o ceny i/lub wielko obroów mog reagowa nie ylko w dniu doarcia informacji do uczesników rynku. Reakcja moe rwa przez wiele dni. Wyspowanie dugiej pamici wiadczy o isnieniu skadowej sysemaycznej w szeregu czasowym, kóra moe by prognozowana. Nawe odlege czasowo sopy zwrou czy wielkoci obroów wykazuj ison auokorelacj. Sd mona wyprowadzi wniosek, e znajomo hisorycznych sóp zwrou bd hisorycznych wielkoci obroów moe by pomocna w odgadniciu przyszych sóp zwrou lub przyszych wielkoci obroów. Sd wynika moliwo zy- 55
Henryk Gurgul, Rober Syrek sków spekulacyjnych na ego rodzaju rynku. W wiele eorii rynku efekywnego spekulacyjne zyski nie s jednak moliwe. Wida wic, e isnienie dugiej pamici w szeregach finansowych, pochodzcych z danego rynku, jeli nawe nie przeczy efekywnoci informacyjnej, o co najmniej sawia j pod znakiem zapyania. Duga pami moe wyspowa nie ylko w sopach zwrou, ale i w ich warunkowej wariancji. Nasz podsawow hipoez badawcz, jes i uwzgldnienie dugiej pamici w warunkowej wariancji jes isone, bo poprawia wasnoci saysyczne modeli a co za ym idzie jako oparych na nich prognoz. Drug ez jes, e kombinacje modelu FIAPARCH z rozkadem uwzgldniajcym grube ogony (lub/i asymeri) pozwala na uzyskanie wiarygodnych prognoz VaR (a ake na waciwie oszacowane miary ryzyka VaR w próbie). W pracy wykorzysano naspujce modele: modele dla warunkowej wariancji (warunkowego odchylenia sandardowego): RISKMETRICS (paramer 0.94), GARCH, APARCH, FIGARCH, FIA- PARCH, modele dla warunkowego rozkadu resz: normalny, -Sudena oraz skony -Sudena. Naspn cz arykuu sanowi rozdzia drugi powicony miarom ryzyka i modelom dugiej pamici dla warunkowej wariancji. W rozdziale rzecim zosay przedsawione empiryczne wyniki bada doyczcych posawionych w pracy hipoez badawczych. W rozdziale czwarym zamieszczono podsumowanie uzyskanych wyników. 2. Miary ryzyka i modele dugiej pamici dla szeregu czasowego warunkowej wariancji 2.1. Miary ryzyka Waro naraona na ryzyko (ang. Value a Risk VaR ) jes definiowana jako maksymalna sraa z yuu posiadania danego porfela przy zaoonym horyzoncie czasowym i przy zaoonym poziomie ufnoci. VaR jes miar ryzyka, na kóre s naraone banki i inne insyucje finansowe [5], [29]. Wielko a daje moliwo przyjcia inuicyjnych wymaga, doyczcych regulacji w obszarze insyucji finansowych. Waro VaR umoliwia usalenie bardzo prosej poliyki przez inwesora, a mianowicie dla danego poziomu goówki wybiera si aki porfel, e prawdopodobieswo sray przekraczajcej zadany poziom goówki (w wybranym horyzoncie czasowym) jes odpowiednio niskie. Z echnicznego punku widzenia VaR na poziomie isonoci nie jes niczym innym jak kwanylem zysku i sray rozkadu prawdopodobieswa porfela. Jeli 56
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji pierwonym celem jes zabezpieczenie regulacyjne, akie jak na przykad wymogi kapiaowe dla banku, wówczas kwanyl en jes zwykle bardzo niski (czso jes przyjmowany na poziomie 1% oraz 5%). Oznaczmy przez L zmienn losow, okrelajc sra insrumenu finansowego. Waro naraon na ryzyko na poziomie (poziom olerancji) definiujemy jako VaR = inf{ l R, P( L > l) 1 }, czyli najmniejsz liczb l ak, e prawdopodobieswo syuacji, gdy L przekracza l jes niewiksze ni 1. Paramerem, kóry nie wyspuje w powyszej definicji, a jes ake okrelany przez inwesora jes zw. okres przerzymania (horyzon czasowy T, w kórym moe wyspi obliczona sraa). Horyzon czasowy moe wynosi od kilku godzin dla akywnych plaform handlowych do nawe roku dla funduszy emeryalnych. Na pyanie, jaka bdzie poencjalna sraa, gdy ryzyko bdzie zagregowane (gdy przekroczymy VaR ) odpowiada ES (ang. expeced shorfall), nazywane e warunkowym VaR [25] [26] [28], [38]. Formalnie jes o ES = E L L VaR ), ( gdzie przez E oznaczamy waro oczekiwan (w ym wypadku jes o warunkowa waro oczekiwana). Klasyczne meody esymacji VaR przynale do jednej z dwóch grup: ujcie analiyczne (parameryczne) poprzez wykorzysanie macierzy wariancji i kowariancji oraz klasa meod symulacyjnych, akich jak symulacja hisoryczna lub symulacja Mone Carlo. 2.2. Modele dugiej pamici Pojcie dugiej pamici (o czym ju wyej pisalimy) i pojcie uamkowych ruchów Browna wprowadzili do lieraury naukowej H. E. Hurs [25] oraz Benoi B. Mandelbro i John W. Van Ness [30]. Ich idee zosay uje w sposób naukowy za pomoc modeli w laach osiemdziesiych przez Cliva W. J. Grangera i Rosalyn Joyeux [21] oraz Jonahana R. M. Hoskinga [24]. Pojcie dugiej pamici jes cile zwizane z isnieniem auokorelacji wysokiego rzdu danego szeregu czasowego. Sacjonarny kowariancyjnie proces sochasyczny wykazuje dug pami z paramerem d jeli funkcja jego gsoci spekralnej f () spenia warunek: f 2d ( ) ~ c, gdy + 0, (1) przy czym c jes skoczon sa dodani, za symbol ~, e iloraz lewej i prawej srony powyszej zalenoci zmierza do jednoci. Jeli proces sochasyczny 57
Henryk Gurgul, Rober Syrek (szereg czasowy) spenia en warunek oraz d > 0, o funkcja auokorelacji ego procesu opada w empie hiperbolicznym (por. [21], [24] ), co oznacza, e 58 2 d 1 k ~ c k as k. (2) Jeli d > 0, o gso spekralna jes nieograniczona w pobliu poczku ukadu wspórzdnych i proces sochasyczny wykazuje dug pami. Jeeli d < 0,5, o proces jes sacjonarny. Gdy d = 0, o gso spekralna jes ograniczona w zerze i mówimy, e aki proces wykazuje krók pami. Paramer dugiej pamici moe by szacowany za pomoc meod paramerycznych i semiparamerycznych. Jedn z najbardziej rozpowszechnionych z ej drugiej grupy meod jes klasa semiparamerycznych lokalnych esymaorów While (por. [32] ). Najbardziej znan klas procesów o dugiej pamici s procesy opisywane za pomoc modelu ARFIMA wprowadzonego do ekonomerii przez C. W. J Grangera and R. Joyeux [21]. Proces y jes nazywany procesem ARFIMA(p, d, q) jeli: d φ( B )( 1 B) ( y ) = ( B) e. (3) p q Jeli φ( B) = 1 φ 1 B φ pb oraz θ ( B ) = 1 θ B θ B 1 q s wielomianami opónie rzdu odpowiednio p oraz q operaora B, przy czym pierwiaski ych wielomianów le na zewnrz koa jednoskowego czyli ich moduy s wiksze od jednoci, e jes i.i.d. o waroci redniej 0, o operaor rónicowania uamkowego (1 B) d zdefiniowany jes za pomoc wzoru dwumianowego Newona: d ( j d) j ( 1 B) = B. (4) = ( d)( j + ) j 0 1 Jeli d > 0,5, o proces ARFIMA jes odwracalny i posiada liniow reprezenacj Wolda. Jeli jeszcze d < 0,5, o proces jes kowariancyjnie sacjonarny. Jeli zaem 0 < d < 0,5, o proces jes sacjonarny i posiada dug pami. Paramery modelu ARFIMA mog by esymowane za pomoc meody maksimum najwikszej wiarygodnoci. Fallaw Sowell dowiód [34], e esymaor dokadnej meody najwikszej wiarygodnoci (EML) jes zgodny i asympoycznie normalny. Inne jego wasnoci zosay omówione szczegóowo w pracach F. Sowella oraz Jurgena Doornika i Mariusa Oomsa (por. [14] i [34]). Klasa modeli ARFIMA zosaa rozwinia w celu modelowania procesów z dug pamici przy zaoeniu, e maj one sa wariancj. Ekonomiczne szeregi czasowe najczciej jednak nie speniaj ego warunku. Doyczy o na przykad kwadraów lub moduów resz lub sop zwrou. W ych szeregach obserwuje si dug pami oraz zmieniajc si warunkow wariancj. W ych przypadkach najbardziej popularne s modyfikacje modeli GARCH lub EGARCH jak uam-
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji kowo zinegrowany GARCH (FIGARCH) lub uamkowo zinegrowany model EGARCH nazywany FIEGARCH. Poniej przedsawiamy króko modele dugiej pamici w szeregu czasowym warunkowej wariancji. Klasyczny model GARCH( pq, ) ma naspujc posa (por. [9], [10], [12], [14], [15], [16],[23], [27], [29]): 2 2 2 = + ( B) ( B), (5) + p k gdzie: ω > 0, = B s α ( ) α, k β ( B) = βsb ( k B k= 1 q s= 1 α oraz β s nieujemne dla ka- s dego k i s). W przypadku, gdy paramery modelu GARCH sumuj si do jedynki orzymujemy model zinegrowany, czyli IGARCH (p, q) (ang. inegraed GARCH): 1 ( B) 2 1 2 = + { 1 ( B)( 1 B)[ 1 ( B)] }, gdzie φ (B) = [1 (B) (B)](1 B) 1 jes wielomianem sopnia max {p, q} 1. Popularna meodologia RiskMerics jes opara na modelu IGARCH (1,1) (por. [2], [3], [8], [13, [17], [18]). W modelu ym wspóczynniki przy 2 1 oraz 2 1 s usalone: 2 2 ( ) 2 = + 1 1 + 1 (7) Zazwyczaj wynosi 0,94. Innym uogólnieniem modelu GARCH, kóre dopuszcza asymeri w odpowiedzi na pozyywne i negaywne szoki jes APARCH( pq, ) [12], [13]: (6) = + p k= 1 ( k k ) k k + q s= 1, s s (8) gdzie > 0, > 0, k 0, s 0 oraz k < 1 dla wszyskich k i s. reprezenuje ransformacj Boxa-Coxa, naomias efek dwigni. Zauwamy, e dla = 2 oraz k = 0 (k=1,,p) model en redukuje si do wspomnianego powyej GARCH(p, q). W powyszych modelach dopuszczono moliwo uamkowej inegracji w szeregu kwadraów resz, a wic wyspowanie dugiej pamici. Uamkowo zinegrowane modele warunkowej wariancji nosz odpowiednio nazwy FIGARCH(p, d, q) oraz FIAPARCH(p, d, q). Moemy je przedsawi w posaci (por. [7], [12], [35]): FIGARCH(p, d, q): 2 = [ φ 1 1 d 2 1 ( 1)] + [ 1 [ 1 ( B)] ( B)( 1 B) ] (9) 59
Henryk Gurgul, Rober Syrek FIAPARCH(p, d, q): 1 d = + { 1 [ 1 ( B)] ( φ B)( 1 B) }( ), (10) przy czym φ (B) = [1 (B) (B)](1 B) 1. 3. Wyniki empiryczne W pracy rozwaono szeregi dziennych (w chwili zamknicia) logarymicznych sóp zwrou (wyraonych w procenach) spóek Henkel, RWE oraz MAN. Okresem noowa jes okres od 1992-12-02 do 2008-02-15 (zawiera 3822 obserwacji). Tabela 1 przedsawia saysyki opisowe szeregów czasowych wymienionych spóek. Tabela 1 Saysyki opisowe procenowych sóp zwrou spóek Henkel RWE MAN rednia 0,03668 0,04909 0,05795 odchyl.sand. 1,70506 1,70952 2,12816 kuroza 6,57326 6,98072 5,48404 skono 0,02838 0,20196 0,05522 minimum 8,17373 7,73270 11,39151 pierwszy kwaryl 0,82210 0,79964 1,08757 mediana 0,01368 0,02424 0,00000 rzeci kwaryl 0,88203 0,90693 1,19425 maksimum 12,00347 11,67343 11,17412 Przed przyspieniem do esymacji modeli zbadano sacjonarno szeregów czasowych z wykorzysaniem esów KPSS, Phillipsa-Perrona oraz DF-GLS. Analizowane szeregi czasowe nie s zinegrowane, czyli s ypu I(0). Odbiciem dugiej pamici w warunkowej wariancji jes duga pami w zmiennoci sóp zwrou (rozumianej jako kwadray sóp zwrou lub waroci bezwzgldne sóp zwrou). Zasosowane klasyczne esy zaprzeczay sobie nawzajem (odrzucajc zarówno 60
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji hipoez o sacjonarnoci, jak i jej braku). W zwizku z ym wykorzysano esy na uamkowe zinegrowanie szeregu [18], [31], [32] (es Geweke i Porer-Hudak, jego zmodyfikowan wersj zaproponowan przez Phillipsa oraz es Robinsona). Tesy e (podobnie jak wykresy funkcji auokorelacji), wraz z esem Engle, powierdziy przypuszczenie o uamkowej inegracji i koniecznoci zasosowania uamkowo zinegrowanych modeli ypu GARCH. Do opisu sóp zwrou wykorzysano naspujc specyfikacj: y = c +, = z, gdzie: z jes procesem i.i.d. o redniej zero i jednoskowej wariancji. Do opisu warunkowej wariancji wykorzysano model FIAPARCH(1,d,1): = 1 ( 1 φ B)( 1 B) + 1 1 B d ( ). Naomias do opisu warunkowego rozkadu resz zasosowano rozkad -Sudena (spóki Henkel i Man) oraz skony rozkad -Sudena (spóka RWE). Ponisza ablica przedsawia wyniki esymacji modeli (w nawiasach zamieszczono bdy rednie szacunku). Tabela 2 Wyniki esymacji paramerów modeli paramer Henkel RWE MAN c 0,040271 (0,020781) 0,066086 (0,020989) 0,045801 (0,026958) 0,077859 (0,039563) 0,076506 (0,033446) 0,123375 (0,038185) d 0,631827 (0,25810) 0,611620 (0,19814) 0,531896 (0,092738) 0,275065 (0,13831) 0,234230 (0,067136) 0,277555 (0,056257) 0,791538 ( 0,13119) 0,719508 (0,14838) 0,695340 (0,067414) 0,173748 (0,095827) 0,190156 (0,051963) 0,241394 (0,069702) 1,527397 ( 0,35214) 1,704662 (0,18826) 1,727082 (0,23617) 5,777447 (0,50362) 6,751092 (0,66954) 8,733417 (1,0616) ---- 0,039001 (0,022057) ---- 61
Henryk Gurgul, Rober Syrek Poprawno specyfikacji modeli zosaa powierdzona esem Ljunga- Boxa, Engle oraz Tse (na heeroskedasyczno resz). Oszacowane paramery s sabilne na poziomie isonoci 0,01 (es Nybloma). Obserwujc wyniki esymacji mona swierdzi, e wyspuje silna zaleno warunkowej wariancji w okresie od wariancji w okresie 1 (paramer przekracza lub jes bliski 0,7). Paramer jes isony i wikszy od zera, co oznacza wyspowanie efeku dwigni ujemnych resz w modelu warunkowej wariancji. W przypadku spóki RWE logarym parameru jes ujemny, co oznacza, e waro naraona na ryzyko w przypadku pozycji dugiej bdzie wiksza ni dla krókiej (co do waroci bezwzgldnej i w przypadku ej samej warunkowej wariancji). Paramer d jes isony w przypadku kadej spóki (co sygnalizoway esy na uamkow inegracj). 3.1. VaR w próbie Zbudowane modele posuyy do oszacowania jednodniowego VaR na poziomach 1 oraz 5 procen (duga pozycja inwesora) i 95 oraz 99 procen (króka pozycja inwesora). Tesowanie przeprowadzono z wykorzysaniem dynamicznego kwanylowego esu Engle-Manganelli oraz esu Kupca. Tabele 3 oraz 4 przedsawiaj wyniki oblicze. Tabela 3 Wyniki esu Engle-Manganelli kwanyl saysyka esowa p-value Henkel 0,01 3,215 0,86441 0,05 3,3548 0,85036 0,95 11,598 0,11458 0,99 2,2543 0,94444 RWE 0,01 2,8246 0,90074 0,05 19,180 0,00764 0,95 5,2400 0,63070 0,99 4,2809 0,74691 62
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji Tabela 3 cd. MAN 0,01 4,2433 0,75137 0,05 11,116 0,13365 0,95 8,8694 0,26217 0,99 10,504 0,16179 kwanyl wskanik przekrocze Tabela 4 Wyniki esu Kupca saysyka esowa Henkel p-value 0,01 0,01020 0,01597 0,89943 5,2140 0,05 0,04945 0,02438 0,87593 3,5977 0,95 0,94636 1,04070 0,30767 3,4745 0,99 0,99058 0,13282 0,71552 5,2483 RWE 0,01 0,00916 0,28198 0,59541 4,8051 0,05 0,05259 0,53126 0,46608 3,4479 0,95 0,94741 0,53126 0,46608 3,4767 0,99 0,98927 0,19952 0,65511 5,0671 MAN 0,01 0,00890 0,48881 0,48446 5,9344 0,05 0,04945 0,02438 0,87593 4,3371 0,95 0,94505 1,90900 0,16707 4,4077 0,99 0,98770 1,89850 0,16824 5,5241 ES Powysze wyniki wiadcz o waciwym dopasowaniu modeli do danych empirycznych i moliwoci ich wykorzysania do prognozowania waroci zagroonej. Na rysunkach 1, 2 i 3 zamieszczono wykresy waroci naraonej na ryzyko na poziomach 5% oraz 95% wraz ze sopami zwrou spóek. 63
Henryk Gurgul, Rober Syrek 15 10 sopa zwrou 5% VaR 95% VaR 5 0-5 -10-15 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Rys. 1. VaR w próbie na poziomie 5% oraz 95% dla spóki Henkel 15 10 95% VaR 5% VaR sopa zwrou 5 0-5 -10-15 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Rys. 2. VaR w próbie na poziomie 5% oraz 95% dla spóki RWE 64
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji 15 10 95% VaR 5% VaR sopa zwrou 5 0-5 -10-15 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Rys. 3. VaR w próbie na poziomie 5% oraz 95% dla spóki MAN 3.2. Prognozy VaR Na podsawie oszacowanych modeli dokonano prognoz. Zbiorem walidacyjnym by okres 5 la (1260 obserwacji), naomias modele byy reesymowane z wykorzysaniem okna zawierajcego 50 obserwacji. Tabele 5 oraz 6 zawieraj wyniki esów dla prognoz waroci naraonej na ryzyko. Tabela 5 Wyniki esu Engle-Manganelli dla prognoz VaR kwanyl Saysyka esowa p-value Henkel 0,01 1,1221 0,43421 0,05 6,9490 0,43421 0,95 2,8115 0,90188 0,99 1,1937 0,99107 65
Henryk Gurgul, Rober Syrek Tabela 5 cd. kwanyl Saysyka esowa p-value RWE 0,01 1,2981 0,98849 0,05 5,6388 0,58250 0,95 7,2810 0,40022 0,99 13,4740 0,06136 MAN 0,01 11,2450 0,12827 0,05 9,3291 0,22988 0,95 10,1990 0,17758 0,99 6,3193 0,50300 Tabela 6 Wyniki esu Kupca dla prognoz VaR kwanyl Failure rae Saysyka esowa p-value ES Henkel 0,01 0,00794 0,58318 0,44507 5,0281 0,05 0,04524 0,62051 0,43086 3,0608 0,95 0,95079 0,01679 0,89689 2,9348 0,99 0,98889 0,15167 0,69695 4,2102 RWE 0,01 0,00714 1,1539 0,28274 4,8318 0,05 0,04444 0,84916 0,35679 3,2103 0,95 0,94603 0,40764 0,52317 3,0732 0,99 0,98810 0,43522 0,50944 3,6883 66
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji Tabela 6 cd. MAN 0,01 0,011111 0,15167 0,69695 5,7924 0,05 0,042857 1,41920 0,23353 4,5370 0,95 0,94444 0,79149 0,37365 4,1253 0,99 0,98810 0,43522 0,50944 5,1050 Analizujc orzymane wyniki moemy swierdzi, e oszacowane modele mog by wykorzysane w procesie prognozowania sóp zwrou i ich warunkowej wariancji, a co za ym idzie waroci naraonej na ryzyko. Powierdzeniem ego s waroci p-value z obu esów. Dla wszyskich spóek i dla kadego sopnia olerancji ryzyka waroci p s wiksze ni 0,1. 4. Podsumowanie W arykule rozwaono zasosowanie rónych modeli do prognozowania waroci zagroonej. W wyniku bada powierdzenie znalaz fak wyspowania dugiej pamici w zmiennoci sóp zwrou a ym samym w warunkowej wariancji resz z modelu dla warunkowej redniej. Tym samym klasyczne modele, kóre nie uwzgldniaj ego zjawiska: (model RiskMerics, GARCH, APARCH) nie s w peni adekwane. W pracy wykorzysano model FIAPARCH, kóry pozwala na modelowanie uamkowej inegracji szeregu warunkowej wariancji, a ake efeku dwigni, czyli asymerycznej reakcji na pojawienie si dobrych i zych informacji. Do opisu warunkowego rozkadu resz wykorzysano rozkad -Sudena oraz jego skon wersj, co pozwalio na uchwycenie grubych ogonów i asymerii. Tak skonsruowany model sa si podsaw do oszacowania waroci naraonej na ryzyko. Porównanie wyników esów powierdzio wyszo modelu FIAPARCH nad modelami nieuwzgldniajcymi cho jednego z wymienionych wyej czynników. Lieraura [1] Acerbi C., Nordio C., Sirori C., Expeced Shorfall as a Tool for Financial Risk Managemen, Working Paper, 2001, www.gloriamundi.org/var/wps.hml. [2] Andrews D., Guggenberger P., A bias-reduced log-periodogram regression esimaor for he long-memory parameer, Economerica 2003, vol. 71, s. 675 712. 67
Henryk Gurgul, Rober Syrek [3] Andrews D., Sun Y., Adapive local polynomial While esimaion of longrange dependence, Economerica 2004, vol. 72, s. 569 614. [4] Angelidis T. and Degiannakis S., Modeling Risk for Long and Shor Trading Posiions, Journal of Risk Finance 2005, vol. 6(3), s. 226 238. [5] Angelidis T., Benos A., Degiannakis S., The Use of GARCH Models in VaR Esimaion, Saisical Mehodology 2004, vol. 1(2), s. 105 128. [6] Arzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heah D., Coheren Measures of Risk, Mahemaical Finance 1999, vol. 9, s. 203 228. [7] Baillie R. T., Bollerslev T., Mikkelsen H. O., Fracionally inegraed generalized auoregresssive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economerics 1996, vol. 74, s. 3 30. [8] Barkoulas J.T., Baum C.F., Long erm dependence in sock reurns, Economics Leers 1996, vol. 53, s. 253 259. [9] Bollerslev T., Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics 1986, vol. 31, s. 307 327. [10] Bollerslev T., Mikkelsen H., Modelling and Pricing Long Memory in Sock Marke Volailiy, Journal of Economerics 1996, vol. 73, s. 151 184. [11] Brooks C., Persand G., Volailiy Forecasing for Risk Managemen Journal of Forecasing 2003, vol. 22, s. 1-22. [12] Degiannakis S., Volailiy Forecasing: Evidence from a Fracional Inegraed Asymmeric Power ARCH Skewed- Model, Applied Financial Economics 2004, vol. 14, s. 1333 1342. [13] Ding Z., Granger C.W.J., Engle R.F., A Long Memory Propery of Sock Marke Reurns and a New Model, Journal of Empirical Finance 1993, vol. 1, s. 83 106. [14] DOORNIK J.A., OOMS, M., Compuaional aspecs of maximum likelihood esimaion of auoregressive fracionally inegraed moving average models, Compuaional Saisics and Daa Analysis 2003, vol. 42, s. 333 348. [15] Engle R.F., Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of he Variance of U.K. Inflaion, Economerica 1982, vol. 50, s. 987 1008. [16] Engle R.F., Bollerslev T., Modelling he Persisence of Condiional Variances, Economeric Reviews 1986, vol. 5(1), s. 1 50. [17] Engle R. F., Manganelli S., CAViaR: Condiional Auoregressive Value a Risk by Regression Quaniles, Universiy of California, San Diego, Deparmen of Economics Working Paper 1999, s. 99 20. [18] Geweke J., Porer-Hudak S., The Esimaion and Applicaion of Long- Memory Time Series Models, Journal of Time Series Analysis 1983, vol. 4, s. 221 238. [19] Gio P., Lauren S., Value-a-Risk for Long and Shor Trading Posiions, Journal of Applied Economerics 2003, vol. 18, s. 641 664. [20] Granger C. W. J., Ding Z., Some properies of absolue reurns: an alernaive measure of risk, Annales d Economie de Saisique 1995, vol. 40, s. 67 95. 68
Ryzyko i duga pami w modelach warunkowej wariancji [21] GRANGER C.W.J., JOYEUX R., An inroducion o long-memory ime series models and fracional differencing, Journal of Time Series Analysis 1980, vol. 1, s. 15 29 [22] Guerma C., Harris, R.D.F.,Forecasing Value-a-Risk Allowing for Time Variaion in he Variance and Kurosis of Porfolio Reurns, Inernaional Journal of Forecasing 2002, vol. 18, s. 409 419. [23] Hansen P.R., Lunde A., Consisen Ranking of Volailiy Models, Journal of Economerics 2006, vol. 131, s. 97 121. [24] HOSKING J.R.M., Fracional differencing, Biomerika 1981, vol. 68, s. 165 176. [25] Hurs H. R., Long-erm sorage capaciy of reservoirs, Transacions of he American Sociey of Civil Engineers 1951, vol. 1, s. 519 543. [26] Hurvich C.M., Deo R.S., Brodsky J., The mean squared error of Geweke and Porer-Hudak s esimaor of he memory parameer of a long memory ime series, Journal of Time Series Analysis 1998, vol. 19, s. 19 46. [27] Inui K., Kijima M., On he Significance of Expeced Shorfall as a Coheren Risk Measure, Journal of Banking and Finance 2005, vol. 29, s. 853 864. [28] Kupiec P.H., Techniques for Verifying he Accuracy of Risk Measuremen Models, Journal of Derivaives 1995, vol. 3, s. 73 84. [29] Lauren S., Peers J. P., GARCH 2.2: an Ox package for esimaing and forecasing various ARCH models, Journal of Economic Surveys 2002, vol. 3, s. 447 485. [30] MANDELBROT B.B., VAN NESS J.W., Fracional Brownian Moion, Fracional Noises and Applicaions, SIAM Review 1968, vol. 10 (4), s. 422 437. [31] PHILLIPS P.C., SHIMOTSU K., Local While esimaion in nonsaionary and uni roo cases, Annals of Saisics 2004, vol. 34 (2), s. 656 692. [32] ROBINSON, P.M., Log-periodogram regression of ime series wih long range dependence, Annals of Saisics 1995, vol. 23, s. 1048 1072. [33] Sarma M., Thomas S., Shah A., Selecion of VaR models. Journal of Forecasing 2003, vol. 22(4), s. 337 358. [34] SOWELL F.B., Maximum likelihood esimaion of saionary univariae fracionally inegraed ime series models, Journal of Economerics 1992, vol. 53, s. 165 188. [35] Tse Y.K., The Condiional Heeroskedasiciy of he Yen-Dollar Exchange Rae, Journal of Applied Economerics 1998, vol. 193, s. 49 55. [36] Velasco, C., 1999a, Non-saionary log-periodogram regression, Journal of Economerics, vol. 91, s. 325 371. [37] Velasco, C., 1999b, Gaussian semiparameric esimaion of non-saionary ime series, Journal of Time Series Analysis, vol. 20, s. 87 127. [38] Yamai Y., Yoshiba T., Value-a-risk Versus Expeced Shorfall: A Pracical Perspecive, Journal of Banking and Finance 2005, vol. 29(4), s. 997 1015. 69