MODELE COPULA M-GARCH O ROZKŁADACH NIEZMIENNICZYCH NA TRANSFORMACJE ORTOGONALNE

Mateusz Ppeń Unwersytet Ekonomczny w Krakowe MODELE COPULA M-GARCH O ROZKŁADACH NIEZMIENNICZYCH NA TRANSFORMACJE ORTOGONALNE Wprowadzene W analzach emprycznych przeprowadzonych z wykorzystanem welorównanowych model GARCH (ang. Multvarate GARCH, M-GARCH) powszechne zakłada sę, ż rozkład warunkowy wektora stóp zman względem całej przeszłośc jest rozkładem normalnym (por. Bauwens, Laurent Rombouts, 2006). Pommo ż modele klasy M-GARCH są wykorzystywane w modelowanu prognozowanu dynamcznych zależnośc pomędzy nstrumentam fnansowym, wydaje sę, że nne cechy rozkładów warunkowych, take jak możlwa asymetra lub grube ogony, także odgrywają dużą rolę są empryczne stotne. Osewalsk Ppeń (2004) przeprowadzl badana nad porównanem dopasowana alternatywnych specyfkacj M-GARCH. Z powyższych badań wynka, że warunkowy rozkład normalny jest kompletne neprawdopodobny w śwetle danych. Pommo płynących z analz emprycznych wyraźnych przesłanek dla cech rozkładu warunkowego, w lteraturze można znaleźć newele propozycj uchylena założena normalnośc wprost (por. Bauwens Laurent, 2005). Nowoczesne modele dynamk zmennośc zależnośc są raczej konstruowane przez skomplkowaną strukturę stochastyczną ze zmennym ukrytym (por. Osewalsk Pajor, 2009, 2010; Osewalsk Osewalsk, 2011, 2012). Zaprezentowany w powyższych pracach zestaw model hybrydowych stanow przykład uogólnena założena o warunkowej normalnośc rozkładu, jednak rozkład ten jest generowany pośredno w ramach odrębnego procesu stochastycznego opsującego zmenność dynamczne korelacje, tak jak w procesach welowymarowej stochastycznej zmennośc (ang. Multvarate Stochastc Volatlty, MSV). Zasadnczym celem nnejszego opracowana jest omówene propozycj uogólnena rozkładu warunkowego w ramach model M-GARCH omawanych

Modele Copula M-GARCH 135 szczegółowo w pracach Ppeń (2006) (2007). Proponuje sę rodznę rozkładów nezmennczych na transformacje ortogonalne (por. Fang, Kotz Ng, 1990) zgodne z koncepcją zaproponowaną w pracy Ferrera Steel (2006), przy jednoczesnym rozważenu funkcj powązań (ang. Copula functons) jako mechanzmu umożlwającego badane złożonej natury zależnośc pomędzy stopam zman różnych nstrumentów fnansowych. W częśc emprycznej rozważono dwuwymarowy szereg czasowy dzennych stóp zman kursów SPOT FUTURES ndeksu WIG20, w okrese od 21.12.1999 do 27.02.2008, t = 2053 obserwacj. Na podstawe bayesowskego podejśca do testowana mocy wyjaśnającej konkurencyjnych model wskazano na empryczną zasadność proponowanego uogólnena, jak równeż wnoskowane a posteror o grubośc ogonów rozkładu warunkowego. 1. Propozycja konstrukcj rozkładów nezmennczych na transformacje ortogonalne W konstrukcj rodzny rozkładów prawdopodobeństwa, zastosowanej w dalszej częśc opracowana, w modelu M-GARCH wykorzystano uogólnone podejśce do defncj skośnośc rozkładu, które zaproponowal Ferrera Steel (2006). W wersj jednowymarowej podejśce rozwnęto w pracach Ppeń (2006, 2007), zaś w pracy Ppeń (2010) jest proponowane uproszczone podejśce w wersj welowymarowej. Gęstość s jest skośną wersją gęstośc f(. θ) (o dystrybuance F(. θ)), jeśl jest zadana w następujący sposób: s(x θ,η) = f(x θ) p(f(x θ) η), dla x R, (1) gdze p(. η) oznacza gęstość rozkładu określonego na przedzale jednostkowym [0,1]. Zgodne z (1) asymetryczna gęstość s(. θ,η) jest uzyskana poprzez zastosowane gęstośc p(. η) jako funkcj wagowej narzuconej na gęstość f(. θ). Przypadek, w którym gęstość p oznacza rozkład jednostajny (p(. η) = 1), przywraca symetrę. Mechanzmem uskośnena będze nazywana dowolna rodzna rozkładów prawdopodobeństwa p(. η), dla η H. Wyczerpujący przegląd mechanzmów uskośnena prezentuje Ppeń (2006). Rozważono m-wymarowy wektor losowy ε = (ε 1,...,ε m )` oznaczono przez f 1 (. θ 1 ),..., f m (. θ m ) jednomodalne gęstośc (o modalnej w zerze) parametryzowane przez wektory θ 1,...,θ m odpowedno. Narzucając mechanzmy uskośnena dla każdego = 1,...,m, o gęstoścach p (. η ), uzyskano skośne gęstośc s (. θ,η )

136 Mateusz Ppeń zgodne z formułą (1). Zauważono, że w przypadku ogólnym dla każdego = 1,...,m jest możlwe narzucene nnego mechanzmu uskośnena. W częśc emprycznej zbadano przypadek uproszczony, w którym na każdej ze współrzędnych wektora losowego dzała ten sam mechanzm uskośnena. Uzyskane gęstośc s przyjmują postać: s (x θ,η ) = f (x θ ) p (F (x θ ) η ), dla x R oraz = 1,...,m. Jako punkt wyjśca zdefnowano dla wektora losowego rozkład prawdopodobeństwa o gęstośc danej ponżej: m p(ε θ,η) = s ( ε θ, η ), (2) gdze θ = (θ 1`,...,θ m`)`, η = (η 1`,...,η m`)`. W artykule Ppeń (2010) przedstawono grafczne lustracje gęstośc (2), wskazując na ogranczone możlwośc w modelowanu grubych ogonów asymetr przez proponowaną rodznę rozkładów. Zgodne z defncją gęstośc (2) jako loczynu jednowymarowych gęstośc s możlwe efekty generowane przez obserwacje netypowe oraz skośność mogą być uwzględnone jedyne w przypadku, gdy cechy te występują wzdłuż kerunków w przestrzen, które są zdefnowane przez wektory bazy kanoncznej. W dalszej kolejnośc rozważono transformację afnczną wektora ε: =1 y = A`ε, (3) z neosoblwą macerzą transformacj A [mxm]. Gęstość rozkładu wektora losowego y przyjmuje formę: p(y θ,η,a) = det(a) -1 s ( y' m = 1-1 A θ, η ), (4) gdze A -1 oznacza -tą kolumnę macerzy A -1. Macerz transformacj A narzuca zależnośc o charakterze lnowym na współrzędne wektora losowego y, podczas gdy parametry wektora η defnują ewentualną asymetrę rozkładu. Ne narzucono tu standardowych restrykcj na macerz transformacj rozważono jej postać w wersj ogólnej zgodne z ponższą jednoznaczną dekompozycją typu QR (Golub Van Loan, 1993): A = O m U, dla O m macerzy ortogonalnej o wymarach [mxm] oraz macerzy U [mxm] trójkątnej górnej o dodatnch elementach na przekątnej. Przy rozkładze macerzy A

Modele Copula M-GARCH 137 według dekompozycj QR jej dzałane może zostać przedstawone jako złożene dwóch odwzorowań lnowych, zgodne z ponższą formułą: y = A`ε = (O m U)`ε = U`O m`ε. (5) W perwszym kroku wektor losowy ε podlega rotacj (jeśl deto m = 1) lub nwersj (jeśl deto m = -1). Następne wektor ξ = O m`ε jest przekształcany zgodne z transformacją o macerzy przyjmującej postać macerzy kowarancj. Rozkład wektora ξ wskazuje na stnene układu współrzędnych, według którego elementy wektora ξ są nezależne; gęstośc rozkładów brzegowych są znane analtyczne. Zasadnczą różncą pomędzy rozkładem wektora losowego ε oraz ξ jest nny układ współrzędnych, w którym uzyskuje sę nezależność. W przypadku dwuwymarowym, tj. gdy m = 2, jako macerz O m rozważono macerz Householdera w postac: 2 H ( υ) = Im υυ', υ' υ gdze υ = (υ 1,υ 2 )` HS 1, dla jednowymarowej dodatnej półsfery HS 1. Wektory υ sparametryzowano wykorzystując współrzędne begunowe, tj. υ 1 = sn(ω 1 ) oraz υ 2 = cos(ω 1 ) ω 1 (-π/2; π/2). 2. Zbór konkurencyjnych specyfkacj Przez y j oznaczono dwuwymarowy wektor logarytmcznych stóp zwrotu w chwl j, tj. nech y j = (y j1,y j2 )`, gdze y j = 100ln(x j /x j-1, ), a x j oznacza wartość -tego nstrumentu fnansowego w chwl j. Przyjęto następujące równane obserwacj dla y j : y j = H j 0.5 (β,ψ j-1 )`H(υ ω )`z j, j = 1,...,t, (6) gdze ψ j-1 = (...,y j-2,y j-1 ) oznacza zbór nformacj w chwl j. Zmenne losowe z j = (z j1,z j2 )` mają rozkład określony przez formułę (2), w której jednowymarowe gęstośc s (. θ,η ) są zdefnowane jako skośne wersje standaryzowanych rozkładów t-studenta o lczbe stopn swobody ν > 0 (stąd θ = ν ) parametrach skośnośc η. Macerz H(υ ω ) jest macerzą Householdera, gdze υ ω = (snω 1,cosω 1 ) oraz ω 1 (-π/2; π/2). Macerz H j (β,ψ j-1 ) jest zdefnowana przez proces BEKK(1,1): H j (β,ψ j-1 ) = A+B y j-1 y j-1` B`+C H j-1 (β,ψ j-2 ) C`

138 Mateusz Ppeń wektor β grupuje parametry, tj. β = (a 11,a 12,a 22,b 11,b 12,b 21,b 22,c 11,c 12,c 21,c 22,). Przyjmując W j = H(υ ω ) H j 0.5 (β,ψ j-1 ), ponżej zapsano formułę na rozkład warunkowy, względem ψ j-1, wektora y j : p(y j ψ j-1,ν 1,ν 2,η 1,η 2,ω 1,β, M 1 ) = = detw j -1 s 1 (y j`w -1 j(1) ν 1,η 1 ) s 2 (y j`w -1 j(2) ν 2,η 2 ) c d (S 1 (y j`w -1 j(1)),s 2 (y j`w -1 j(2)) θ cop ), gdze W -1 j() oznacza -tą kolumnę macerzy W j -1, zaś s (. ν,η ) to skośne gęstośc t-studenta: s (z ν,η ) = f st (z 0,1,ν ) p(f st (z 0,1,ν ) η ), z R. Przez f st (. 0,1,ν ) F st (. 0,1,ν ) oznaczono odpowedno gęstość dystrybuantę rozkładu t-studenta o ν stopnach swobody, zerowej modalnej jednostkowej odwrotnośc precyzj. W częśc emprycznej rozważono pęć funkcj powązań, tzn. gaussowską, Claytona, Franka, Placketta Gumbela. Zbór funkcj powązań zawera zatem tylko te specyfkacje, które opsują zależność pomędzy elementam dwuwymarowego wektora losowego za pomocą jednego parametru θ cop. Model próbkowy można zapsać w następującej postac: t+ k p(y,y f ν 1,ν 2,η 1,η 2,ω 1,β, M 1 ) = j= 1 p(y j ψ j-1,ν 1,ν 2,η 1,η 2,ω 1,β, M 1 ), (7) gdze y = (y 1,...,y t ) oznacza zbór dostępnych obserwacj, zaś wektor y f = (y t+1,...,y t+k ) grupuje zmenne podlegające prognoze. W modelu bayesowskm rozkłady a pror zaczerpnęto z poprzednch prac autora. W przypadku wektora β zastosowano rozkład omawany szerzej w pracy Osewalsk Ppeń (2004), dla parametru skośnośc η oraz lczby stopn swobody ν rozważono rozkład a pror z pracy Ppeń (2007). Macerz ortogonalna H(υ ω ) jest parametryzowana przez jeden parametr ω 1 (-π/2; π/2), stąd rozkład a pror dla tego parametru przyjęto jako jednostajny na dzedzne określonośc. 3. Analza empryczna W częśc emprycznej poddano analze dwuwymarowy szereg czasowy dzennych logarytmcznych stóp zman kursu SPOT kursu FUTURES ndeksu WIG20 w dnach od 21.12.1999 do 27.02.2008, t = 2053 obserwacj. Modelowany szereg czasowy wraz z podstawowym statystykam opsowym zameszczono na rysunku 1. Natura zależnośc badanych szeregów czasowych wydaje

Modele Copula M-GARCH 139 sę być złożona. Współstnene obserwacj netypowych o tym samym znaku czyn rozkład empryczny bardzej rozproszonym w perwszej trzecej ćwartce układu współrzędnych. Jednocześne brak współwystępowana obserwacj netypowych o różnych znakach czyn rozkład empryczny w drugej czwartej ćwartce znaczne bardzej skoncentrowanym. Statystyk opsowe WIG20 FWIG20 Średna 0.0215 0.0284 Odchylene 1.557 1.579 Skośność 0.1612 0.1149 Kurtoza 4.5503 4.8788 Maksmum 7.3724 9.8815 Mnnmum -6.3286-7.7057 Korelacja 0.3738 Rys. 1. Wykres dzennych stóp zman kursu SPOT (oś odcętych) FUTURES (oś rzędnych) ndeksu WIG20 w dnach od 21.12.1999 do 27.02.2008, t = 2053 obserwacj Analzowany szereg czasowy pokrywa dość dług okres handlu ndeksem WIG20 zwązanym z nm nstrumentem termnowym FWIG20, jednak kończy sę przed wybuchem kryzysu fnansowego. W nnejszym opracowanu ne aktualzowano szeregu czasowego dla zachowana porównywalnośc wynków z pracą Ppeń (2010). Poszerzoną dyskusję wynków emprycznych dotyczącą analzowanej klasy model zameszczono w pracy Ppeń (2012). Wartośc oczekwane odchylena standardowe (w nawasach) parametrów lczby stopn swobody dla współrzędnych modelowanego wektora dzennych stóp zman Rodzaj funkcj powązań BRAK Gaussowska Claytona Franka Placketta Gumbela Macerz Householdera włączona do modelu próbkowego ν 1 5.64 (1.03) ν 2 18.93 (3.45) ν 1 6.94 (1.26) ν 2 18.37 (3.40) ν 1 5.77 (1.05) ν 2 19.13 (3.49) ν 1 6.93 (1.27) ν 2 19.65 (3.59) ν 1 6.61 (1.21) ν 2 18.95 (3.43) ν 1 5.51 (1.01) ν 2 19.34 (3.55) Bez macerzy Householdera w modelu próbkowym ν 1 7.49 (1.98) ν 2 10.85 (1.98) ν 1 7.49 (1.35) ν 2 10.84 (1.97) ν 1 7.25 (1.32) ν 2 11.00 (2.01) ν 1 8.57 (1.59) ν 2 11.42 (2.08) ν 1 8.82 (1.61) ν 2 12.00 (2.20) ν 1 7.46 (1.33) ν 2 10.36 (1.83) Tabela 1 W nnejszym opracowanu skupono sę na analze wpływu wprowadzena do modelu próbkowego macerzy Hauseholdera H(υ ω ) na wnoskowane o gru-

140 Mateusz Ppeń bośc ogonów jednowymarowych rozkładów elementów wektora losowego y j. W tabel 1 przedstawono wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror parametrów lczby stopn swobody ν w przypadku modelu bez funkcj powązań oraz w każdym z pęcu model Copula M-GARCH. Wynk estymacj slne potwerdzają empryczną zasadność proponowanego uogólnena. W każdym z model wprowadzene elementu H(υ ω ) zasadnczo zmena wnoskowane o grubośc ogonów współrzędnych. W modelach, w których ne ma macerzy ortogonalnej H(υ ω ), rozkłady a posteror wskazują na podobne zachowane w ogonach gęstośc s 1 oraz s 2, poneważ parametry położena tych rozkładów lokują lczbę stopn swobody w okolcach wartośc około 8 do 9. Slne rozproszene tych rozkładów ne wyklucza hpotezy, że rozkłady jednowymarowe s charakteryzują sę tą samą lczbą stopn swobody w konsekwencj ch łączny rozkład mógłby być opsany dwuwymarowym rozkładem t-studenta. Wprowadzene macerzy H(υ ω ) do modelu próbkowego zmena zasadnczo tę sytuację. Zaobserwowany szereg czasowy nese wyraźną nformację o stnenu układu współrzędnych, według którego jednowymarowe rozkłady elementów analzowanego wektora losowego charakteryzują sę odmennym zachowanem w ogonach. Perwsza współrzędna charakteryzuje sę cężkm ogonam, poneważ wartośc oczekwane a posteror parametru ν w każdym z model przyjmują wartość około 6. Natomast rozkład drugej współrzędnej ma gęstość blską rozkładow normalnemu, gdyż rozkłady a posteror parametru ν są zlokalzowane blsko wartośc 18 do 19. Wynk powyższy jest wyraźne wdoczny zarówno w modelu bez funkcj powązań, jak w każdym z pęcu analzowanych przypadków funkcj copula gaussowskej, Franka, Gumbela, Placketta Claytona. Podsumowane Zasadnczym celem nnejszego opracowana było omówene propozycj uogólnena rozkładu warunkowego w ramach model M-GARCH omawanych szczegółowo w pracach Ppeń (2006, 2007). Zaproponowano rodznę rozkładów nezmennczych na transformacje ortogonalne (por. Fang, Kotz Ng, 1990) zgodne z koncepcją zaproponowaną w pracy Ferrera Steel (2006). Analzowany w częśc emprycznej dwuwymarowy szereg czasowy dzennych stóp zman kursów SPOT FUTURES ndeksu WIG20 w okrese od 21.12.1999 do 27.02.2008, t = 2053 obserwacj, dostarczył cennych nformacj na temat emprycznej zasadnośc proponowanego uogólnena. Szczególne wnoskowane o zachowanu w ogonach gęstośc rozkładu warunkowego uległo

Modele Copula M-GARCH 141 zasadnczej zmane w modelach z czynnkem ortogonalnym. W standardowych modelach Copula-M-GARCH lczba stopn swobody wskazywała na podobną grubość ogonów jednowymarowych elementów rozkładu wektora y j. W modelach z macerzą Householdera kerunk, wzdłuż których jest badane zachowane gęstośc, są zasadnczo nne nż te perwotne, zdefnowane kanonczne. Zmena sę także wnoskowane o grubośc ogonów jednowymarowych gęstośc. Lteratura Bauwens L., Laurent S. (2005): A New Class of Multvarate Skew Denstes wth Applcaton to Generalsed Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty Models. Journal of Busness and Economc Statstcs 23, s. 346-254. Bauwens L., Laurent S., Rombouts J. (2006): Multvarate GARCH Models: A Survey. Journal of Appled Econometrcs 21, s. 79-109. Fang K.-T., Kotz S., Ng K.-W. (1990): Symmetrc Multvarate and Related Dstrbutons. Chapman and Hall, New York. Ferrera J.T.A.S, Steel M.F.J. (2006): A Constructve Representaton of Unvarate Skewed Dstrbutons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 101, s. 823-839. Golub G.H., Van Loan C.F. (1983): Matrx Computatons. John Hopkns Unversty Press, Baltmore. Osewalsk J., Osewalsk K. (2011): Modele hybrydowe MSV-MGARCH z trzema procesam ukrytym w badanu zmennośc cen na różnych rynkach. Fola Oeconomca Cracovensa 52, s. 71-85. Osewalsk J., Osewalsk K. (2012): Modele hybrydowe z dwoma procesam ukrytym. Zeszyty Naukowe UEK, Sera Fnanse 895 (w druku). Osewalsk J., Pajor A. (2009): Bayesan Analyss for Hybrd MSF SBEKK Models of Multvarate Volatlty. Central European Journal of Economc Modellng and Econometrcs 1, s. 179-202. Osewalsk J., Pajor A. (2010): Bayesan Value-at-Rsk for a Portfolo: Mult- and Unvarate Approaches usng MSF SBEKK Models. Central European Journal of Economc Modellng and Econometrcs 2, s. 253-277. Osewalsk J., Ppeń M. (2004): Bayesan Comparson of Bvarate ARCH-Type Models for the Man Exchange Rates n Poland. Journal of Econometrcs 123, s. 371-391. Ppeń M. (2006): Bayesan Comparson of GARCH Processes wth Skewness Mechansm n Condtonal Dstrbutons. Acta Physca Polonca B 37, s. 3105-3121. Ppeń M. (2007): An Approach to Measurng the Relaton between Rsk and Return. Bayesan Analyss for WIG Data. Fola Oeconomca Cracovensa 48, s. 97-119.

142 Mateusz Ppeń Ppeń M. (2010): A Coordnate Free Condtonal Dstrbutons n Multvarate GARCH Models. W: Fnancal Markets. Prncples of Modellng Forecastng and Decson Makng. Eds. W. Mlo, P. Wdowńsk. FndEcon Conference Monograph Seres 8, Łódź Unversty Press, Łódź, s. 99-111. Ppeń M. (2012): Orthogonal Transformaton of Coordnates n Copula M-GARCH Models Bayesan Analyss for WIG20 SPOT and FUTURES Returns. Fola Oeconomca Cracovensa, 53, s. 21-40. COPULA M-GARCH MODELS WITH COORDINATE FREE CONDITIONAL DISTRIBUTIONS Summary We dscuss generalsaton of the condtonal dstrbuton n GARCH model and present emprcal analyss ndcatng ts emprcal mportance. The model s a generalsed verson of those presented n Ppeń (2007, 2010). The flexblty of the construct nvolves the exstence of a set of coordnates along whch the fat tals and asymmetry can be modelled. In the condtonal dstrbuton both lnear and nonlnear dependence between ndvdual returns can be modelled, whle the latter beng descrbed by the copula functon. In the emprcal part of the paper the dynamcs and dependence of daly returns of WIG20 SPOT and FUTURES are dscussed.