RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd () oże isć w ostci cierowej AXB Jeżeli kolu B jest cierą erową to ukłd w ukłde jedorod w reciw wdku w go ukłde iejedorod
96 Wor Crer Ukłde Crer w ukłd rówń liiowch iewidoi w któr cier A jest ieosoliw Ukłd Crer dokłdie jedo rowiąie de wori W W W W () gdie W det A toist W k oc wcik owstł wcik cier A ore stąieie w cier A k-tej kolu koluą wrów wolch W W Prkłd Określić dl jkich wrtości retru ukłd jest ukłde Crer i leźć rowiąie r rjętch łożeich Rowiąie Wcik cier ukłdu jest rów W ( )( )
D ukłd jest ukłde Crer gd W więc i M W ( )( ) W ( ) - W ( ) Zte dl i ( ) otruje Mcierow etod rowiąwi ukłdów Crer W celu rowiąi ukłdu Crer etodą cierową ostęuje według schetu: Ukłd Crer isuje w ostci cierowej AX B det A Moż lewostroie rówie re A A AX A B Wkorstując leżość A A I otruje rówie cierowe X A B
Prkłd Rowiąć ukłd rówń etodą cierową Rowiąie: W rowż rkłdie det A cli ukłd jest ukłde Crer Wc cier odwrotą do cier A A Zte B A X
Twierdeie KroeckerCellego Dl ukłdu rówń określ cier roseroą (uuełioą) U doisując do cier wsółcików A koluę wrów wolch U Ukłd rowiąie wted i tlko wted gd R(A) R(U) r r c gd r to ukłd dokłdie jedo rowiąie gd r < to ukłd ieskońceie wiele rowiąń leżch od r retrów Prkłd Zdć rowiąlość oiżsch ukłdów rówń i leźć ich rowiąi (o ile istieją) ) ) Rowiąie ) Tutj cier wsółcików or cier rosero są stęujące
6 A U Poiewż det A suk ieerowego ior stoi drugiego Jest i co oc że rąd cier wsółcików jest rów Ntoist rąd cier roseroej jest rów owie Stąd R(A) R(U) więc ukłd te jest srec ) Ukłd jest jedorod Mcier wsółcików or cier rosero są stęujące A U Wc rąd cier roseroej Wierjąc ior że R(A) R(U) więc ukłd ieskońceie wiele rowiąń leżch od dwóch retrów Wjściow ukłd jest rówowż ukłdowi łożoeu dwóch ierwsch rówń
któr rowiąuje iorąc od uwgę wlico ior e wględu i Po dodiu stroi rówń otruje rówie którego wc t Po odstwieiu do drugiego rówi wrżei wc Osttece rowiąie ukłdu jest stęujące: R R Wektor włse i wrtości włse cier setrcch Mcier kwdrtow A oże ć iterretow jko ewie sosó rekstłcei -wirowch wektorów rorądkowując dowoleu wektorowi restrei - wirowej wektor R Diłie oercji liiowej A wektor rejwi się ogół w iie: długości wektor kieruku wektor (t wektor ie jest wcj rówoległ do wektor ) Odróżi to oercję liiową A od ożei wektor re sklr
Jeśli dl ewego ieerowego wektor okże się że wektor A jest rówoległ do to ówi że wektor jest wektore włs cier A Istieje te ewie sklr tki że A Licę w wrtością włsą cier A Woec tego wik diłi cier A wektor włs srowd się do oożei tego wektor re licę (wrtość włsą cier A) Wrtości włse cier A są ierwistki wieloiu chrkterstcego w( ) ( A I ) gdie I oc cier jedostkową det tej cier; Prkłd: Zleźć wektor włse i wrtości włse cier A Rowiąie: Twor cier której wcik twor wieloi chrkterstc: : A I
9 Wcik cier ( ) ( ) I A w det rrów do er rjuje o uorądkowiu ostć rówi Dieliki wru wolego to 6 Dieleie e rest otr r wrtości Stąd ( ) ( ) : Zte iejsc erowe wcik cier to lic 6 A leźć wektor włse tre rowiąć rówie A t dl kżdej wrtości rówie Dl otruje skąd iorąc dw ierwse rówi i rjując dl wrtość otruje Stąd wektor włs o orliowiu V / /
Dl otruje rjując dl skąd iorąc dw ierwse rówi i wrtość otruje Stąd wektor włs Dl 6 otruje o orliowiu V / / 9 rjując 9 dl skąd iorąc dw osttie rówi i wrtość otruje Stąd wektor włs / / o orliowiu V 69
W te sosó kolet wrtości włsch i wektorów włsch Zdi Nisć rówie: rostej rechodącej re ukt A( ) i B( ) roli rechodącej re ukt A( ) B( ) C( ) c wieloiu stoi treciego którego wkres rechodi re ukt A( ) B( ) C(;) D( 6) Dl jkich wrtości retru R ode ukłd rówń są ukłdi Crer: ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( c) d) Korstjąc e worów Crer rowiąć ukłd rówń: ) c) d)
Rowiąć ukłd rówń di orediego etodą cierową Dietetk luje osiłek ie trech skłdików wierjącch iłko tłusce i ewą wrtość eergetcą Zwrtość iłk tłuscu i klorcości w g dl skłdik I jest stęując: g iłk g tłuscu klorii dl skłdik II: g iłk g tłuscu klorii dl skłdik III: g iłk klorii Jki owiie ć skłd osiłku gd o wierć dokłdie g iłk g tłuscu i ieć 9 klorii? 6 Trech getów hdlowch sredje rtkuł A B i C Pierws get sredł 6 jedostek rtkułu A jedostki B or jedostkę C Drugi get sredł jedostki A or jedostkę rtkułu B Ntoist treci get sredł o jedostki rtkułu A or B i jedostki rtkułu C Włw (w ts ł) e sredż dl oscególch getów są stęujące: get I - get II - get III - Wcć ce oscególch rtkułów Rowiąć ukłd rówń: ) ) 6 c)
d) e) f) 9 g) h) i) Zdć rowiąlość odch ukłdów rówń i leźć ich rowiąie ( o ile istieje): ) t t ) c) d) e) 9 6 f) t t t t g) 9 Predskutowć ilość rowiąń ukłdu w leżości od retru : ) ) 6 6) ( ) ( ) (
c) d) e)