PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO

Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH

PROGNOSTYCZNE UWARUNKOWANIA RYZYKA GOSPODARCZEGO I SPOŁECZNEGO Redakor naukowy Włodzimierz Szkunik Kaowice 013

Komie Redakcyjny Krysyna Lisiecka przewodnicząca, Anna Lebda-Wyborna sekrearz, Halina Henzel, Anna Kosur, Maria Michałowska, Grażyna Musiał, Irena Pyka, Sanisław Sanek, Sanisław Swadźba, Janusz Wywiał, Teresa Żabińska Komie Redakcyjny Wydziału Ekonomii Sanisław Swadźba redakor naczelny, Magdalena Tusińska sekrearz, Teresa Kraśnicka, Maria Michałowska, Celina Olszak Rada Programowa Lorenzo Faorini, Mario Glowik, Gwo-Hsiung Tzeng, Zdeněk Mikoláš, Marian Noga, Bronisław Micherda, Miloš Král Recenzenci Jerzy Wiśniewski Tadeusz Sanisz Redakor Barbara Cebo Copyrigh by Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach 013 ISBN 978-83-7875-060-4 ISSN 083-8611 Wszelkie prawa zasrzeżone. Każda reprodukcja lub adapacja całości bądź części niniejszej publikacji, niezależnie od zasosowanej echniki reprodukcji, wymaga pisemnej zgody Wydawcy WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. 1 Maja 50, 40-87 Kaowice, el.: +48 3 57-76-35, faks: +48 3 57-76-43 www.wydawnicwo.ue.kaowice.pl e-mail: wydawnicwo@ue.kaowice.pl

SPIS TREŚCI WSTĘP... 9 Włodzimierz Szkunik CHAOTYCZNE REAKCJE RYNKÓW FINANSOWYCH ASPEKT PROBABILISTYCZNY WYCENY I ZABEZPIECZEŃ PŁATNICZYCH NA RYNKU KAPITAŁOWYM... 11 Summary... 8 Konsancja Poradowska MODELE SUBIEKTYWNE W KONSTRUKCJI PROGNOZ DŁUGOOKRESOWYCH... 9 Summary... 43 Włodzimierz Szkunik STATYSTYCZNA NIEOKREŚLONOŚĆ W WYCENIE CHARAKTERYSTYK RYNKÓW FINANSOWYCH... 45 Summary... 6 Jerzy Zemke RYZYKO W ASPEKCIE ZARZĄDZANIA W ZRÓŻNICOWANYM OTOCZENIU SPOŁECZNO-GOSPODARCZYM... 63 Summary... 76 Maria Balcerowicz-Szkunik UWARUNKOWANIA POZIOMU BEZROBOCIA WYBRANYCH PAŃSTW UE ANALIZA STATYSTYCZNA... 77 Summary... 86 Anna Sączewska-Piorowska PROGNOSTYCZNY WARIANT UBÓSTWA DLA GOSPODARSTW DOMOWYCH MAKROREGIONU POŁUDNIOWEGO... 87 Summary... 98

Mirosław Wójciak METODY BUDOWY DŁUGOTERMINOWYCH PROGNOZ PRZEDZIAŁOWYCH ROZWOJU NOWYCH ZJAWISK... 99 Summary... 113 Alicja Wolny-Dominiak MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI... 115 Summary... 19 Tadeusz Czernik WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH... 131 Summary... 14 Monika Dyduch BANKOWE PAPIERY WARTOŚCIOWE STRUKTURYZOWANE... 143 Summary... 164 Iwona Dimann PODOBIEŃSTWO ZMIAN ŚREDNICH CEN TRANSAKCYJNYCH 1 m POWIERZCHNI MIESZKAŃ W WYBRANYCH MIASTACH WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO... 165 Summary... 18 Daniel Iskra WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE... 183 Summary... 19 Jan Acedański KRYTERIA WYBORU DYNAMICZNYCH MODELI CZYNNIKOWYCH DLA CELÓW PROGNOSTYCZNYCH... 193 Summary... 16 Maciej Pichura ANALIZA WPŁYWU KOSZTÓW TRANSAKCYJNYCH NA OCENĘ EFEKTYWNOŚCI WYBRANEJ STRATEGII INWESTYCYJNEJ... 17 Summary... 31

Agnieszka Przybylska-Mazur REGUŁY POLITYKI PIENIĘŻNEJ A PROGNOZOWANIE WSKAŹNIKA INFLACJI... 33 Summary... 44

WSTĘP W Sudiach Ekonomicznych p. Prognosyczne uwarunkowania ryzyka gospodarczego i społecznego auorzy podjęli emaykę uwarunkowań ryzyka w szerokim spekrum zasosowań gospodarczych i społecznych. Uwaga auorów zwrócona zosała na aspek prognosyczny prowadzonych analiz. W obszarze analiz ryzyka rynku kapiałowego ich emayka objęła reakcje rynków finansowych na nielosowe zaburzenia obserwowane w pewnych uwarunkowaniach o charakerze chaoycznych procedur W. Szkunik. Uwzględniony zosał charaker nieokreśloności saysycznej obserwowany w wycenie charakerysyk rynków finansowych, co oddaje w pewnym sensie nierealność założeń pierwonie skonsruowanego modelu porfelowej analizy Markowiza W. Szkunik. W analizach ych uwzględnia się aspek probabilisyczny wyceny i zabezpieczeń płaniczych na rynku kapiałowym, z czym łączy się pewien wąek prognozowania procesów am obserwowanych. Z ym zakresem rozważań łączy się badanie wpływu niepewności oszacowania zmienności na cenę insrumenów pochodnych T. Czernik oraz warość zagrożona europejskich opcji szacowana przedziałowo D. Iskra. Temaykę ryzyka kapiałowego podejmuje się eż w analizie wpływu koszów ransakcyjnych na ocenę efekywności inwesycji kapiałowej M. Pichura. Z emaami ryzyka kapiałowego sąsiaduje problemayka, jaką generują formy bankowego ryzyka, kórego aspek zabezpieczania wyrażają i są jego emanacją bankowe papiery warościowe srukuryzowane M. Dyduch. Te insrumeny, kórych konsrukcja na niwie nauki jes jeszcze mało rozwinięa zasługują na większe uznanie badaczy niż mogłoby się o wydawać. Propozycje nowych insrumenów, czy o giełdowych czy bankowych, powinny wynikać z propozycji środowiska badaczy i naukowców. Nie jes o w żadnym przypadku domena prakyków bankowości, a bynajmniej nie powinno ak być w realnej sferze działalności bankowej. Pewne paralele ze środowiskiem finansów widoczne są w opracowaniu analizującym wybrane charakerysyki z rynku nieruchomości I. Dimann. Rynek nieruchomości i rynek finansów unifikują się z coraz większym naężeniem, a zaem ryzyko na rynku nieruchomości saje się ekwiwalenne do ryzyka finansowego.

10 Wsęp W innym obszarze badań prognosycznych zachowań o charakerze długofalowym umiejscowione zosały opracowania rakujące o meodach budowy prognoz przedziałowych działań, kórych realizacja może nasąpić w odległej przyszłości, co doyczy np. nowych generaorów energii M. Wójciak oraz subiekywizmu w konsrukcji modeli prognoz długofalowych K. Poradowska. Zjawiska i procesy, kóre mogą być obciążone akże ryzykiem o charakerze społecznym sały się przedmioem badań w opracowaniach, kórych emayka odnosi się do uwarunkowania poziomu bezrobocia w przekroju pewnych pańsw UE M. Balcerowicz-Szkunik, a akże prognosycznego warianu ubóswa A. Sączewska-Piorowska dla makroregionu południowego Polski. Temayka a syka się dosłownie z procesami ekonomicznymi i jej badanie w kaegoriach ryzyka zasługuje na rakowanie jej z całą dozą znaczenia w rozsrzyganiu niepewności byu społeczeńsw. Ryzyko ubezpieczeniowe najbardziej wyrażające jego isoę rozparzono w analizie modelowej liczby szkód w ubezpieczeniach komunikacyjnych A. Wolny-Dominiak. Zwrócono u uwagę na nieprzysawalność w pewnych wypadkach modelowania liczby szkód przez rozkład Poissona i podjęo próbę wykorzysania procedury kroswalidacji, gdy z liczbą szkód pojawia się wysępowanie dużej liczby zer w ubezpieczeniach komunikacyjnych. Isoa celów prognosycznych jes rozwinięa w bardzo wyrafinowanym sylu z pozycji kryeriów wyboru modeli czynnikowych J. Acedański. Propozycje auora naszkicowane w proponowanym ujęciu są wzbogacone szczegółowo omówionymi badaniami empirycznymi. W osaniej propozycji uwarunkowania ryzyka w profilu zarządzania w zróżnicowanym ooczeniu społeczno-gospodarczym, a więc srice łączącym yułowe jego formy, zaware zosały w opracowaniu J. Zemke, w wyprofilowany sposób rakującym o formach, możliwościach i znaczeniu zarządzania ryzykiem, co przekłada się na podejmowanie decyzji menedżerskich w szerokim obszarze aplikacji. Niepełność emayki zarysowanej szeroko w emacie niniejszego Zeszyu Naukowego jes bez wąpienia inspiracją dla dalszych badań ukierunkowanych na bardziej prakyczne pole odkrywczych inspiracji w zakresie ryzyka gospodarczego i społecznego. Temayka a ma duże możliwości rozwojowe i może wyrażać wiele innowacyjnych formuł eoreycznych i prakycznych. Włodzimierz Szkunik

Włodzimierz Szkunik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach CHAOTYCZNE REAKCJE RYNKÓW FINANSOWYCH ASPEKT PROBABILISTYCZNY WYCENY I ZABEZPIECZEŃ PŁATNICZYCH NA RYNKU KAPITAŁOWYM Wprowadzenie Właściwe dla prowadzonych rozważań będą modele finansowych kalkulacji na zupełnych i niezupełnych rynkach z zasosowaniem niesamofinansujących się sraegii. W akich wypadkach nauralnym ujęciem zagadnienia jes odejście od ypowego założenia doyczącego sochasycznej srukury cen akcji przy modelowaniu sóp zwrou ich logarymów i rozparzenie warianowego przypadku, w kórym nie czyni się założeń doyczących rozkładu normalnego logarymów ych sóp. Wymaga o jednak egzemplifikacji modelu finansowego rynku w warunkach saysycznej nieokreśloności, co odpowiada zadaniu modelowania racjonalnego zachowania inwesora. W wypadku niezupełnych rynków rozważone będą kalkulacje opcyjnie i zadania minimalizacji ryzyka. 1. Zupełny rynek i sraegie arbirażowe W analizach porfelowych uwzględniających ryzyko inwesycyjne rozważa się w formalnym ujęciu model finansowego rynku i inwesycyjne sraegie umożliwiające opis ewolucji papierów warościowych na finansowym rynku. Wysarcza wedy przyjąć, że jego posać wyrażona jes przez dwa dyskrene sochasyczne równania opisujące akywa pozbawione ryzyka i akywa ryzykowne. Taki model można zapisać w posaci: =, =

1 Włodzimierz Szkunik Dyskreyzacja sochasyczna ych równań wymaga, aby przesrzeń probabilisyczna będąca opisem losowego rozkładu warości akywów była generowana przez skończony zbiór zdarzeń elemenarnych Ω, przeliczalną rodzinę zdarzeń losowych odpowiadających borelowskiej algebrze zdarzeń =, zbiór całkowiych liczb dodanich. Wprowadzenie oznaczenia dla sum pierwszych n wyrazów sochasycznych ciągów i =, = pozwala sprowadzić równania modelu rynku dyskrenego do posaci sochasycznie ekspoencjalnej: = ℇ, = ℇ 1 Przy akim opisie rynku zakłada się, że =,,, j. F jes minimalną -algebrą, względem kórej mierzalne są zdarzenia,,. Rynek określony w równaniach 1 nazywany jes powszechnie B, S-rynkiem. W dalszej części dla zapobieżenia nieporzebnym echnicznym rudnościom wywody będą prowadzone dla przypadku jednowymiarowego, i w ym wypadku, jak wynika ze znanych z lieraury wyników, najbardziej reściwym modelem zupełnym B, S-rynku jes dwumianowy model, jednak wiele wyników jes akże adekwanych w wielowymiarowym wariancie. Okazuje się akże, że można uzyskać ogólny model B, S-rynku zakładając ylko dodanią warość cen akywów B i S. W ym wypadku pojawia się muliplikaywna forma dla B i S, kóra znowu prowadzi do rozparywanego uaj modelu 1. W analizie inwesycji kapiałowych sosowane jes pojęcie zw. inwesycyjnej sraegii, przez kórą rozumiany jes sochasyczny dwuwymiarowy ciąg =,. Elemeny F, F ego ciągu inerpreowane są jako liczby akywów bez ryzykownych B i z ryzykiem S w momencie czasu. Ponado isone jes akże pojęcie kapiału porfela, kórym w myśl przyjmowanego określenia jes sochasyczny ciąg =, gdzie = +. Na podsawie ych pojęć można wprowadzić klasę samofinansujących się porfeli, przez kórą będziemy rozumieć klasę porfeli oznaczaną przez SF, spełniającą warunek: + =0

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 13 W ym konekście można zauważyć, że kapiał samofinansującego się porfela wyrażony w posaci: = + + jes równoważny warunkowi samofinansującego się porfela, gdzie = =0. Isona w sosowaniu sraegii inwesycyjnych jes dopuszczalność arbirażu na rynku akcji. Dlaego w klasie porfeli samofinansujących się SF można wyróżnić e porfele, kóre realizują arbirażową możliwość na rynku akcji w nasępującym znaczeniu: =0, 0 dla z prawdopodobieńswem prawie na pewno p.n.p i >0 z dodanim prawdopodobieńswem. Ekonomiczna reść, kóra u się przejawia wynika z określenia wysępowania arbirażu na rynku. Polega o na możliwości pojawienia zysku z inwesycji bez ryzyka, gdy na rynku wysępuje arbirażowy porfel. Klasę akich porfeli oznaczymy przez i rynek nazwiemy arbirażowym lub bez arbirażu, gdy odpowiednio w klasie wysępuje chociaż jeden arbirażowy porfel lub gdy akiego porfela nie ma. W dalszej części opracowania będą rozważane finansowe kalkulacje na zupełnym rynku, przy niesamofinansujących się sraegiach. Prowadzenie akich wywodów wymaga jednak pewnych ścisłych określeń z zakresu probabilisyki i wyprowadzonych na ich bazie własności. Wydaje się, że dla pełnego zrozumienia dalszych rozważań niezbędne jes omówienie chociaż podsawowych pojęć z ego zakresu i podanie znanych wyników z eorii procesów sochasycznych.. Maryngałowe miary i arbiraż W probabilisyce miarę prawdopodobieńswa, równoważną P, nazywa się miarą maryngałową lub neuralną względem ryzyka, jeśli względem miary sochasyczny ciąg: / jes maryngałem. Oznacza o sałość warości oczekiwanych względem danej miary probabilisycznej [4] dla wyrazów powyższego ciągu. Miar akich może być cała klasa.

14 Włodzimierz Szkunik Kryerium maryngalności miary Jeśli w modelu rynku 1 sochasyczny ciąg jes prognozowalny i 1, wedy względem miary jednocześnie są maryngałami: = oraz Kryerium o wynika głównie z własności sochasycznej wykładniczości. Maryngałowa miara względem miar równoważnych P W ej syuacji zupełnie nauralnie pojawia się problem poszukiwania maryngałowej miary wśród miar równoważnych P. Oznaczając w ym celu odpowiadającą lokalną gęsość przez: z kryerium maryngalności miary względem względem wynika, że: R jes maryngałem Dla przykładu i upraszczając koneks powyższego formalnego ujęcia przyjmiemy, że V jes maryngałem już względem wyjściowej miary P. Wedy z wierdzenia Girsanowa [4] wynika, że: = / jes maryngałem względem miary. Konsekwencją ego jes sposób wyboru miary, kóra powinna być wybrana w aki sposób, aby odpowiadająca jej gęsość czyniła zadość relacji: = / Przypadek en ma nauralne uogólnienie. Wprowadzone powyżej pojęcia i podane wnioski prowadzą do swierdzenia ścisłego związku arbirażowego rynku, będącego ekonomiczną kaegorią w aspekcie finansowego posrzegania inwesycji na rynku kapiałowym oraz maryngałowej miary. Zachodzi bowiem równoważność między isnieniem miary maryngałowej wśród miar równoważnych P a isnieniem arbirażowego porfela, gdy w modelu rynku 1 o ciągu sóp zwrou

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 15 > 1, założy się deerminisyczną naurę [8]. W nierywialnym dowodzie ego faku wysępują dwa zbiory zmiennych losowych = określonych na Ω,, kóre będą jeszcze wykorzysane w dalszej części rozważań: = :, =0 = = 0: 1 Okazuje się, że przy nieisnieniu arbirażowego porfela wynika, że zbiory e nie mają wspólnych elemenów. 3. Urealnienie kierunków modelu rynku Badanie rynku 1 może być prowadzone w kierunku bardziej realnej syuacji, kiedy zmiany porfela są sowarzyszone albo z przypływem, albo z odpływem kapiału. Modelowanie akiej syuacji na rynku zosanie przeprowadzone w obecności pewnego sochasycznego ciągu = oraz całej klasy akich sraegii =,, kóre będziemy nazywać G-finansującymi, a ich klasę będziemy oznaczać przez GF. Właściwość charakeryzująca ę klasę uwzględnia odpływy i przypływy kapiału z i do porfela, co wyraża równanie: gdzie: + = 3 =, =0 Należy przyjąć, że jeśli 0 odpowiednio 0, o G-finansującą sraegię nazywa się sraegią zaporzebowania odpowiednio sraegią z refinansowaniem lub inwesowaniem. Z powyższego wynika, że na podsawie samofinansowanie oznacza 0-finansowalność. Odpowiednio do równania 3, kóre nazywa się równaniem bilansowym [8] dla kapiału X * sraegii π mamy zależności: = + = + Sąd dla dowolnej sraegii z klasy samo inansujacych się porfeli SF z równania 4 orzymuje się: = + 1+ 4

16 Włodzimierz Szkunik To sochasyczne niejednorodne i liniowe równanie ma rozwiązanie: = + Oznaczając: ℇ ℇ = + ℇ = ℇ, ℇ =0 ze wzoru 5 orzymamy nową posać ego równania: 5 ℇ ℇ 6 Ze swierdzonej już wcześniej własności o równoważności między isnieniem miary maryngałowej wśród miar równoważnych P a isnieniem arbirażowego porfela, gdy w modelu rynku 1 o ciągu sóp zwrou > 1, założy się deerminisyczny charaker, wynika w szczególności, że względem maryngałowej miary wielkość: ℇ jes maryngałem, jeśli G jes maryngałem. Jako wniosek z 6 orzymuje się, że: ℇ = ℇ Dla B, S-rynku 1 z zadanym płaniczym rygorem f, N względem europejskiej lub amerykańskiej opcji zachowane zosają określenia wynikające z określenia płaniczych reguł i inwesycyjnego koszu dla opcji europejskich i odpowiednie własności dla opcji amerykańskich. Poniżej króko wyjaśnimy założenia specyfikujące dodakowe właściwości samofinansującego się porfela spełniającego wprowadzone właściwości. Zobowiązania płanicze i opcje europejskiego rodzaju Rozparując finansowy rynek B, S uwzględnia się zw. zobowiązania płanicze z daą wygaśnięcia N, przez kóre rozumie się parę f, N, gdzie f jes mierzalną nieujemną losową wielkością. Uczesnik rynku, kóry po-

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 17 winien wygasić płanicze zobowiązanie zmuszony jes ak zorganizować swoją inwesycyjną działalność, aby odpowiedni porfel inwesycyjny dosarczył kapiał. Procedura skonsruowania akiego porfela, prowadząca do zrealizowania zobowiązania płaniczego, nazywana jes hedgingiem ego zobowiązania, a sam porfel hedgingowanym porfelem. Charaker płaniczych zobowiązań może być dosaecznie dowolny w ramach dopuszczalnych procedur dozwolonych na rynku akcji. W ym aspekcie jedno z ważniejszych zadań wynikających z hedgingowania płaniczych zobowiązań wynika z przyczynowości łączącej się z wyceną opcji. Z jednej srony może o być niezwykle rudne zadanie, ale jednocześnie odpowiednio sformalizowane i w maksymalnym sopniu oddające realia zobowiązań i warunków rynkowych dość ławe w implemenacji kalkulacyjnej. Przykładowy warian wyceny 1 Na B, S-rynku prowadzi działalność emien określonego papieru warościowego w celu kupna, sprzedaży ip. Aby zosać posiadaczem akiego papieru należy najpierw zapłacić emienowi określona premię C. Przy ym nabywca ma prawo przedsawienia danego papieru do wykupu w momencie N i orzymania wypłay w wysokości f. Taki pochodny papier warościowy jes znany jako opcja europejskiego ypu na zakup, sprzedaż id. akywu, a sama ransakcja konrakem opcyjnym. Oczywise jes, że bardzo ważna jes u kwesia oceny warości sprzedaży i kupna opcji oraz sekuryyzowania hedgingłu płaniczego zobowiązania względem danej opcji. Przede wszyskim należy najpierw sformalizować określenia ych obieków. Przyjmiemy, że na B, S-rynku 1 zadana jes począkowa warość kapiału x > 0 i płanicze zobowiązanie f, N. Samofinansujący porfel nazywa się x, f, N-hedgingiem zabezpieczeniem, jeśli kapiał ma własności: = x, oraz dla dowolnego Ω, 7 Hedging nazywa się minimalnym, jeśli w 7 osiągnięa jes równość. W akim przypadku swierdza się osiągnięcie płaniczego zobowiązania f, N. Oznaczając przez,, zbiór wszyskich x, f, N-hedgingów zabezpieczeń, przyjmuje się określenie inwesycyjnego koszu płaniczego zobowiązania f, N: = >0:Π,, 8

18 Włodzimierz Szkunik Inwesycyjny kosz jes ograniczony, gdyż Ω jes zbiorem skończonym. Wielkość CN nazywa się sprawiedliwą ceną opcyjną. Wynika o sąd, że f, N jako płanicze zobowiązanie opcyjne na zakup, sprzedaż id. niekórych akywów, poprzez formułę 8 realizuje zasadę zadowolenia zarówno sprzedawcy, jak i kupującego. Jes ak, ponieważ sprzedawca może na danym rynku osiągnąć zobowiązanie f, N, a kupujący płaci, w określonym sensie, minimalną premię sprzedawcy. Wnioski z wprowadzonych założeń urealnienia kierunków modelu rynku Dla B, S-rynku 1 z zadanym płaniczym zobowiązaniem f, N przy opcji europejskiego rodzaju zachowują swoje znaczenie określenia 7 i 8. Amerykańskich opcji, jako skonsruowanych odmiennie od europejskich i wymagających nieco innego ujęcia nie rozparujemy w ym opracowaniu, chociaż i dla nich zachowują moc odpowiednie określenia dla kapiału począkowego i kapiału odpowiadającego minimalnemu hedgingowi. W obu przypadkach klasę SF zasępuje klasa GF [8]. Odpowiednie ceny i hedgingi są przy ym nazywane G-cenami i G-hedgingami. W warunkach zupełnego B, S-rynku, przy jedynej maryngałowej mierze P * i założonym ciągu sóp zwrou > 1 akże amerykańskiego, zadanie wyceny i zabezpieczenia opcji ma adekwane rozwiązanie w klasie SF. W podobny sposób analogiczne zadanie można rozparzyć dla klasy G-samofinansujących się sraegii dla uściślenia, sraegii z refinansowaniem lub inwesowaniem. Isone jes przy ym, że można wyjaśnić wedy, o jaką wielkość różni się sprawiedliwa cena od G-ceny. Przy przyjęych wyżej założeniach odnośnie do zupełnego rynku zachodzą bowiem rzy własności: 1. Sprawiedliwa cena opcyjna wyraża się w formule:, = ℇ +. Isnieje minimalny C, f, N-hedging: ℇ 9 określony wzorami: =, = =

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 19 gdzie z rozwinięcia [8]: a =. = +, 3. Isnieje ściśle określony kapiał minimalnego G-hedgingu. Rozparzony model doyczył rynku bez arbirażu charakeryzującego się własnością zupełności. Wiąże się z ym jednoznaczność maryngałowej miary. Względem ej miary prowadzone były wszyskie finansowe kalkulacje i formalne wywody. Jeśli rozważa się niezupełne rynki można akże szacować opcyjnie zabezpieczenia oraz minimalne ryzyko. Maryngałowa miara nie jes wedy jednak jedyna. W ym przypadku należy zredefiniować pojęcie ceny opcji europejskiego rodzaju ze zobowiązaniem płaniczym w ramach niezupełnego modelu rynku 1. Uczesnik rynku może w ym przypadku wysępować w charakerze sprzedawcy i w charakerze kupującego opcje. Różne posrzeganie cen przez sprzedawcę i przez kupującego prowadzi w ym przypadku do wyrażenia, ogólnie określając, rożnych cen sprzedaży i zakupu i do pojawienia niezerowej różnicy między ymi cenami określanymi powszechnie w lieraurze jako spread. Przypadek en jes bardziej złożony meryorycznie i formalnie należy rozparywać go inaczej niż w przypadku ujęcia zaprezenowanego w niniejszym opracowaniu. 4. Chaos deerminisyczny schema sysemu Ujmując zagadnienie generujące chaoyczne warunki kszałowania się cen akcji w warunkach pełnego deerminizmu można wprowadzić pojęcie nieliniowego chaoycznego modelu. Zbadanie akiego efeku umożliwia ocenę sray na efekywności sysemu i przejście sysemu w san chaosu. Konieczna przy ym jes znajomość jednego z isniejących podejść w rozróżnieniu sochasyczności i chaoyczności. Przedsawione eraz rozróżnienie analizowane jes z zasosowaniem korelacyjnego wymiaru badanych ciągów wielkości, kórych bliżej nie będziemy omawiać. Umożliwia o wedy opis meody obliczania górnej i dolnej ceny hedgingowania płaniczego zobowiązania w jednoeapowym modelu rynku dla gwaranowanego przypadku, j. przy warunku, że sopa procenowa akcji jes chaoyczną wielkością.

0 Włodzimierz Szkunik Chaos i rynki Ewolucja logarymicznych sóp zwrou cen akcji zwykle przedsawiana jes jako ciąg: h=h gdzie h = oraz warość ceny w momencie n, wychodząc z hipoezy, że wielkości e mają sochasyczna naurę, j.: =, h =h są wielkościami losowymi, zadanymi na pewnej filrowanej przesrzeni probabilisycznej Ω, Φ, Φ, i kóre modelują sochasyczną nieokreśloność sanów ooczenia. Z drugiej srony swierdzone zosało już dawno, że nawe zupełnie prose nieliniowe sysemy deerminisyczne, kóre można zapisać w posaci: lub: = ;, = 0,1, 10 =,,, ;, 11 gdzie pewien paramer, mogą generować przy odpowiednich począkowych warunkach, ciągi,,, kórych proweniencja jes podobna do sochasycznych ciągów warości. Ta okoliczność uzasadnia pyanie, czy niekóre ekonomiczne, w ym finansowe, szeregi nie są w realnym ich posrzeganiu właśnie nie sochasyczne, a chaoyczne, zn. akie, kóre niejako wymuszają modelowanie ich przez deerminisyczne nieliniowe sysemy. Mogą one prowadzić do efeków obserwowanych przy sochasycznej analizie finansowych danych. Szczególnie znajduje o uzasadnienie w osanim okresie, gdy z jednej srony swierdzono eksperymenalnie reakcję rynków na zachowanie się decydenów poliycznych, a z drugiej obserwowane są mało uzasadnione sochasycznymi szokami perurbacje na rynkach finansowych niedające się ławo wyprofilować meodycznie przez racjonalne działania i nieodpowiadające na łączne losowe reakcje uczesników rynku.

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 1 Przykłady nieliniowych chaoycznych sysemów Przyaczając pewne przykłady nieliniowych chaoycznych sysemów zaprezenujemy ich zachowanie się, a akże umożliwimy uzasadnienie pyania pojawiającego się w nauralny sposób w akich syuacjach, a mianowicie, jak określić, czy realizowany dany szereg generowany jes przez sochasyczny czy chaoyczny sysem. W aspekcie prognozy przyszłego ruchu cen znacząco ważna jes kwesia, w jakim zakresie można prognozować na podsawie nieliniowych chaoycznych sysemów. Okazuje się, że syuacja nie jes zby opymisyczna, gdyż chaoyczne sysemy charakeryzuje, niezależnie od ich deerminisyczności, duża zmienność ich rajekorii, kóra może się pojawiać przy niedokładnych danych począkowych, a ponado zależy isonie od warości parameru. Logisyczne przekszałcenie W logisycznej aplikacji przekszałceń mającej w ekonomii wiele odniesień rozparzymy przekszałcenie logisyczne [7]: 1 i wywołany przez nie jednowymiarowy nieliniowy dynamiczny sysem: = 1, = 0, 1,, 0 < <1 1 Dla warości 1 rozwiązania = maleją i są zbieżne do zera przy i wszyskich 0 < <1. W akim przypadku san =0 można rozparywać, jak en jednoznaczny sabilny san, do kórego zbieżne są wszyskie warości przy. Przy λ = warości są rosnące do 0,5. Zaem w ym przypadku akże isnieje jednoznaczne sabilne rozwiązanie =0,5, kóre przyciąga warości przy. Zwiększając warość parameru λ ławo swierdzić, że w sysemie 3, przy λ < 3 ak jak wcześniej isnieje ylko jedno sabilne rozwiązanie, jednak już przy λ = 3 powsaje jakościowo nowy efek, a mianowicie w miarę wzrosu n wysępują dwa sany sabilności, w kórych na przemian znajduje się sysem. Taki sam charaker zachowuje sysem przy zwiększaniu warości parameru λ, ale sysem zachowuje się nagle inaczej przy niewielkim wzroście parameru λ, i przy λ = 3,5644 akich sanów jes 16, przy λ = 3,5696 jes ich już 64, a przy λ = 3,6 liczba akich sanów jes już nieograniczenie duża. Ten osani przypadek łumaczy się uraą sabilności przez sysem i przejście sysemu w san chaosu.

Włodzimierz Szkunik Dla λ = 4 mamy syuację zbliżoną do losowości probabilisycznej rys. 1. 1, 1 0,8 0,6 0,4 Serie1 0, 0 0 0 40 60 80 100-0, Rys. 1. Przypadek λ = 4, = 0,9 Nieograniczona liczba sanów wyjaśniana jes akże w ym przypadku przez uraę sabilności sysemu i przejście sysemu w san chaosu, przy ym w pełni znika periodyczny charaker zmiany sanów i sysem rozpoczyna wykonywanie błądzenia po nieskończonej liczbie sanów. Ważne jes sposrzeżenie, że chociaż sysem pozosaje deerminisyczny, prakycznie nie można przewidzieć, gdzie znajdzie się po pewnym czasie, ponieważ ograniczona dokładność określenia warości i λ może silnie wpływać na warości prognozowanych wielkości. Nie pozosawia zaem wąpliwości fak, że warości parameru λ, gdzie zachodzi rozgałęzienie, sają się wszyskie bliżej i bliżej. M. Feigenbaum sformułował hipoezę, a O. Lanford wykazał, że dla wszyskich parabolicznych sysemów:, gdzie = 4,66901 sała uniwersalna, nazywana liczbą Feigenbauma. Paramer λ = 4 ma w równaniu 1 szczególną rolę właśnie przy ej warości ciąg obserwacji odpowiadających chaoycznych ciągowi przypomina realizację sochasycznego ciągu ypu białego szumu. W rzeczywisości, jeśli weźmiemy = 0,1 i obliczymy rekurencyjną formułą 1,,,, o empiryczne warości średniej i odchylenia sandardowego wynoszą od-

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 3 powiednio, 0,48887 i 0,3574 z dokładnością do 5 cyfr. Naomias dla 100 powórzeń wyniki są nasępujące: empiryczne warości średniej i odchylenia sandardowego odpowiednio wynoszą: 0,474916 i 0,36161 dokładnością do 6 cyfr. Tabela 1 Warości empirycznej korelacyjnej funkcji, obliczone dla warości,,, 1 0,033 11 0,046 1 0,008 31 0,038 0,058 1 0,00 0,009 3 0,017 3 0,05 13 0,011 3 0,039 33 0,014 4 0,035 14 0,040 4 0,00 34 0,001 5 0,01 15 0,014 5 0,008 35 0,017 6 0,03 16 0,03 6 0,017 36 0,05 7 0,048 17 0,030 7 0,006 37 0,004 8 0,07 18 0,037 8 0,004 38 0,053 9 0,0 19 0,078 9 0,019 39 0,01 10 0,013 0 0,017 30 0,076 40 0,007 Źródło: Opracowanie własne na podsawie [6]. Z podanych w abeli warości funkcji korelacyjnej jes widoczne, że wielkości, wywołane przez logisyczne przekszałcenie z λ = 4 prakycznie można uważać jako nieskorelowane i w ym znaczeniu ciąg może być nazwany chaoycznym białym szumem. Ineresująca jes uwaga, że dla sysemu =4 1, = 1,, 0< <1, isnieje niezmienniczy rozkład P, j. aki, że = dla dowolnego borelowskiego zbioru A z przedziału 0, 1, kórego gęsość: 1 = [ 1 ] / ], 0, 1 13 Wynika z ego, że jeśli przyjąć losową począkową warość z gęsością rozkładu prawdopodobieńswa =, o losowe wielkości, 1 będą z ego samego rozkładu, z kórego pochodzi. Należy u swierdzić, co wynika z eorii probabilisyki, że w uzyskanym w en sposób sochasycznym sysemie cała losowość jes całkowicie określona przez począkową warość, a dynamika przejść zadana jes w deerminisyczny sposób w relacji 1.

4 Włodzimierz Szkunik Przy rozkładzie zadanym funkcją gęsości 4 nierudno jes swierdzić, że warość oczekiwana =0,5, =, = = 0,35355 średnia z warością 0,48887 i odchylenie sandardowe 0,3574, podane wyżej i: 1, jeśli = 0 = 0, jeśli k 0 Przykładowe przekszałcenia w modelowaniu finansowych wskaźników w okresach kryzysu finansowego 1. Przekszałcenie Bernoulliego = mod 1, n = 1,,, 0,1 W ym przypadku niezmienniczy jes jednosajny rozkład z gęsością px = 1, 0,1. Podsawowe charakerysyki w ym rozkładzie dla wielkości losowej wynoszą: =, =, =, =, k = 0,1,.. Przekszałcenie namioowe =1 1, = 1,,, 0,1 Tu akże, jak dla przekszałcenia Bernoulliego, niezmienniczy jes rozkład jednosajny w przedziale 0,1. Ponado =, =, =, =0, 0. 3. Przekszałcenie pierwiaskowe =1, 1,, = 1, 1

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 5 Zmienność rekurencyjna dla warości począkowej 0,1 1 0,8 0,6 Zakres warości 0,4 0, 0-0, -0,4 1 7 13 19 5 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 Serie1-0,6-0,8-1 Rys.. Wykres zmian warości rekurencyjnych w przekszałceniu pierwiaskowym Niezmienniczy jes uaj rozkład jednosajny na odcinku 1, 1 z gęsością =, przy ym =,, =. Wskazane przykłady nieliniowych dynamicznych sysemów są isone w różnych aspekach. Po pierwsze, można zauważyć, na przykładzie logisycznego sysemu, kórego rozwój jes binarny, że wyraziście wyraża się idea chaoyczności. Po drugie, kszałowanie się akich sysemów, scharakeryzowanych własnością chaoyczności, przyacza na myśl ich zasosowanie przy konsrukcji modeli ewolucji finansowych indeksów, a szczególnie w okresach kryzysowych. Dla akich okresów właściwa jes właśnie chaoyczność, a nie sochasyczność. Okoliczność, że formalnie deerminisyczne sysemy mogą przejawiać właściwości ypu sochasycznego białego szumu jes znana od dawna i nie jes czymś nieoczekiwanym. Dlaego powsają dwie kwesie odnoszące się do ego, jak rozróżniać sochasyczne i chaoyczne sysemy oraz czy można w zasadniczy sposób zdecydować, jaka jes isona naura nieregularności finansowych danych sochasyczna czy chaoyczna.

6 Włodzimierz Szkunik Przedsawimy ujęcie mające główne znaczenie przy rozróżnianiu sochasyczności i chaoyczności funkcji: = lim, 14 gdzie, liczba akich par,,,, dla kórych w rozparywanym ciągu elemeny ego ciągu są odległe o mniej niż, zn.: < Oprócz funkcji rozważa się funkcję: = lim, gdzie, liczba akich par,, dla kórych wszyskie współrzędne wekorów,, i,, dla, różnią się nie więcej niż. W wypadku =1 mamy, =,. Dla sochasycznych ciągów mających cechy białego szumu przy małych warościach funkcja spełnia relację: ~ 15 gdzie frakalny wykładnik =. Własnościom w rodzaju 15 czyni zadość akże i wiele deerminisycznych sysemów, w ym logisyczny sysem 1. Wykładnik nazywany jes akże korelacyjnym wymiarem. Idea rozróżniania sochasycznych i chaoycznych ciągów wychodzi z akiej obserwacji, że korelacyjny wymiar w akich ciągach jes różny. W ciągach sochasycznych jes większy niż w chaoycznych. Oceny korelacyjnego wymiaru W charakerze ocen korelacyjnego wymiaru nauralne jes rozparzenie wielkości:, = lub: = gdzie =, 0 < < 1.,

Chaoyczne reakcje rynków finansowych 7 Z wyników znanych z lieraury [8] wynika po pierwsze, jednorodność frakalnej srukury korelacyjnego wymiaru indeksów IBM i S & P500, po drugie, że dla ych indeksów ciągi h z h =, 1 zmierzają do siebie szybciej niż sochasyczny biały szum. Sposrzeżenie o nie jes podsawą do odrzucenia hipoezy o ym, że bliskimi właściwościami mogą charakeryzować się akże inne chaoyczne ciągi z wielkim korelacyjnym rozmiarem. W prakyce analizowania problemu rozróżniania chaoyczności i sochasyczności znajduje akże zasosowanie podejście, w kórym rozparywane jes kszałowanie się rozkładu prawdopodobieńswa sysemu. 5. Warian rozwiązania zadania rekonsrukcji operaora ewolucji dla rynków fuures W zasosowaniach rozparywane są różne możliwe rozwiązania zadania rekonsrukcji operaora ewolucji dla rynków fuures. Podsawową przesłanką jes o, że dowolny wybór nieliniowości bez wprowadzenia apriorycznej informacji lub specjalnego uprzedniego badania obieku nie zawsze umożliwia wybór udanej rekonsrukcji. Dlaego na danym eapie modelowania szerokie zasosowanie ma doąd dla prognozowania rynkowych charakerysyk analiza echniczna. Reguły ej eorii uwzględniają fak, że w dynamice rynku akcji isone są rzy podsawowe źródła informacji: ceny akcji, wielkość sprzedaży i oware zlecenia. Wielkość obroów i oware zlecenia nie są arbiralnie znaczące, ale mimo ego są ważnymi czynnikami wpływającymi na formowanie cen akcji. Oware zlecenia są ilością niezamknięych pozycji na końcu dziennej sesji. Tak zobrazowany proces jes podsawą modelu prognozowania cen na rynku fuures i powinien opisywać zmiany rzech komponen rynkowych cena konraku, wielkość obroów, oware pozycje. Isniejąca relacja między opisanymi wskaźnikami ekonomicznymi wyrażona jes krzyżującymi się iloczynami odpowiednich fazowych zmiennych wysępujących w modelu prognozowania cen na rynku fuures. Dane paramery są zmiennymi na pewnym dosaecznie dużym odcinku czasu, ale kawałkami sałymi na niewielkim badanym przedziale czasu-kroku prognozy. Taki model, analizowany na osnowie eorii deerminisycznego chaosu, wskazuje, że wiele losowych ekonomicznych zjawisk jes bardziej przewidywalnych niż przyjęo sądzić.

8 Włodzimierz Szkunik Lieraura 1. Andrizky B., Sovereign Defaul Risk Valuaaion. Implicaion of Deb Crises and Bond Resrucurings, Verlag, Berlin 006.. Hull J., Fuures and Oher Deivaive Securies, Englewood Cliffs, Prenice-Hall 199. 3. Karazas J., Shreve S.E., Meods of mahemaical finance, Springer Verlag, New York 1999. 4. Lipcer N., Sziriajew A.R., Saysyka procesów sochasycznych, PWN, Warszawa 1981. 5. Mandelbro B., Fracals and scaling in finance: disconinuiy, conceraion, risk, Springer 1997. 6. Podsawy sochasycznej finansowej maemayki, T. 1. Faky. Modele, T.. Teoria, FAZIS, Moskwa 1998. 7. Sziriajew I., Opcje i ryzyko, prawdopodobieńswo, zabezpieczenia i chaos. Maemayka finansów, URSS, Moskwa 1999. 8. Sziriajew W., Fianansowyie rynki: Neironye ei, chaos, nichinejnaia dinamica, Dom Książki Librocom, Moskwa 009. 9. Wilmo P., Howison S., Dewynne J., The Mahemaics of Financial Derivaives, Cambridge Universiy Press 1997. CHAOTIC RESPONSE OF THE FINANCIAL MARKETS PROBABILISTIC ASPECTS OF PAYMENT SECURITY VALUATION AND CAPITAL MARKET Summary Considered in developing he financial model of he exemplificaion of he marke refers o he complee markes. Developed he idea no-self-financing he sraegy a a fair valuaion of he possible opions. The appropriae developmen of his heme is he inroducion o he issue of he financial model of incomplee markes and o srucure he equiy porfolio under he assumpion of saisical indeerminacy. The derived formulas in he aricle is a basic inroducion o he analysis of he financial marke, bu he aspec of perspecive on his subjec wih seemingly very formalized, leading o appraise he relevan hedging approach equivalen securiy. The following aricle abou he chaoic financial daa responsive o capial markes. Examined aspec of disinguishing chaoic and sochasic defined in erms of looking a his problem. Discusses he correlaion dimension as an assessmen of he degree of chaos in ime series daa. Aenion has been reurned o he issue in various applicaions possible soluions o he asks for he reconsrucion of he evoluion operaor of fuures markes. The basic premise is ha any choice of non-lineariies wihou inroducing a priori informaion or special prior sudies do no always objec o selec he successful reconsrucion.

Konsancja Poradowska Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu MODELE SUBIEKTYWNE W KONSTRUKCJI PROGNOZ DŁUGOOKRESOWYCH Wprowadzenie Dynamiczny rozwój gospodarki, cywilizacji i posępu echnologicznego swarza porzebę modelowania i prognozowania nowych zjawisk, czego powierdzeniem może być wciąż wzrasająca w Polsce i na świecie popularność badań ypu foresigh. Główną przyczyną rudności bywa u jednak brak dosaecznej liczby danych empirycznych, pozwalających na klasyczną budowę maemaycznego modelu rzeczywisości. Ruynowym podejściem jes w akiej syuacji wykorzysanie heurysycznych meod prognozowania, oparych na opiniach eksperów, kóre mogą być zebrane np. za pomocą ankiey delfickiej. Badania pokazują jednak, że rafność prognoz formułowanych bezpośrednio przez eksperów rzadko bywa zadowalająca, zwłaszcza w zesawieniu z prognozami orzymanymi na podsawie formalnego modelu prognosycznego [1]. Trudności e nasilają się, gdy np. na porzeby długookresowych scenariuszy rozwoju wymagana jes konsrukcja całej rajekorii prognoz, sięgającej wielu okresów naprzód w przypadku badań foresigh nawe kilkudziesięciu la. Alernaywą dla radycyjnych meod heurysycznych może być wówczas budowa zw. formalnego modelu subiekywnego modelu formalnego II rodzaju, kórego paramery ocenia się na podsawie subiekywnej informacji pozyskanej od eksperów. W zależności od zakresu posiadanej informacji może o być model przyczynowo-skukowy [6; 7] lub model endencji rozwojowej [4; 5; 14]. Wybrane aspeky budowy i prakycznego wykorzysania subiekywnych modeli prognosycznych sanowią podsawowy przedmio rozważań zamieszczonych w niniejszym opracowaniu. Celem głównym jes wskazanie przydaności akich modeli w konsrukcji długookresowych prognoz i scenariuszy roz-

30 Konsancja Poradowska woju nowych echnologii. Rozważania eoreyczne zosaną uzupełnione o realne przykłady analizy danych, pozyskanych w badaniu foresigh Zeroemisyjna gospodarka energią w warunkach zrównoważonego rozwoju Polski do 050, realizowanego przez Główny Insyu Górnicwa w Kaowicach. 1. Subiekywne i obiekywne modele prognosyczne Jedną z klasyfikacji meod prognozowania jes ich podział na meody ilościowe i jakościowe. Meody ilościowe są opare na formalnych modelach prognosycznych np. na modelach ekonomerycznych, zbudowanych na podsawie obiekywnych danych o kszałowaniu się zmiennej prognozowanej i zmiennych objaśniających w przeszłości. Przedsawienie zależności pomiędzy poszczególnymi zmiennymi w posaci maemaycznego równania umożliwia rozważenie różnych scenariuszy rozwoju przyszłości. Takie modele uwzględniają jednak wyłącznie prawidłowości wysępujące w danych prognosycznych, sąd pozwalają osiągnąć dobre rezulay, jeżeli w horyzoncie prognozy nie zajdą isone zmiany w czynnikach wpływających na prognozowane zjawisko i w sposobie ich oddziaływania, a więc głównie w przypadku prognozowania krókookresowego. Zdarzenia, kóre nie zosały zaobserwowane w przeszłości, lecz są oczekiwane w okresie prognozy mogą być uwzględnione poprzez zasosowanie jakościowych meod prognozowania. Meody jakościowe są opare na subiekywnych sądach eksperckich, czyli na modelach myślowych nieformalnych, kórych nie da się przedsawić w sformalizowanym języku maemayki. Prakyka pokazuje, że eksperci bywają częso zbynimi opymisami, dlaego prognozy powsałe wyłącznie na podsawie modeli myślowych mogą wykazywać endencję do obciążoności * [1; 3; 8]. Rozważając wady i zaley obu rodzajów meod prognosycznych można dojść do wniosku, że aby przy formułowaniu prognozy uwzględnić wszyskie dosępne informacje zachodzi porzeba inegracji ilościowych i jakościowych meod prognozowania. Do procedur akiej inegracji obok kombinacji prognoz oraz ich korygowania [4, s. 190-191] należy prognozowanie na podsawie subiekywnych modeli formalnych modeli formalnych II rodzaju. Warości paramerów akich modeli, w przeciwieńswie do powszechnie sosowanych obiekywnych modeli formalnych, nie są szacowane klasycznymi meodami says- * To znaczy błędy wyznaczonych przez ekspera prognoz bywają jednokierunkowe prognozy są sysemaycznie przeszacowywane lub niedoszacowywane.

Modele subiekywne w konsrukcji prognoz długookresowych 31 ycznymi, lecz określane na podsawie ocen eksperów, a zaem z użyciem mo- deli myślowych. Klasyfikację modeli prognosycznych przyjęą w prezenowa- gdy: nym opracowaniu przedsawiono na rys. 1. Modele subiekywne w konsruowaniu prognoz są szczególnie użyeczne, sądy eksperów wskazują, że zaobserwowane doychczas prawidłowości mogą zaniknąć w przyszłości, prognosa nie dysponuje danymi pozwalającymi na szacowanie paramerów modelu meodami saysycznymi, np. gdy prognoza doyczy zjawiskaa no- wego. MODELE PROGNOSTYCZNE FORMALNE MYŚLOWE OBIEKTYWNE SUBIEKTYWNE Rys. 1. Schema klasyfikacji modeli prognosycznych. Subiekywne modele endencji rozwojowej Znane z lieraury przedmiou subiekywne modele endencji rozwojowej służą do opisu dynamiki sprzedaży nowych produków [4; 5; 14]. Prognosa przyjmuje założenie o posaci funkcyjnej modelu w oparciu o spodziewany kszał krzywej życia produku. Wykorzysywane są w ym celu nasępujące funkcje:

3 Konsancja Poradowska 1 liniowa: Y = α + β 1 wykładnicza: = α 1+ g Y oraz, jeśli dodakowo przyjmuje się założenie o skończonym poencjale rynku: 3 wykładnicza odwronościowa z asympoą poziomą: Y = α βg, g < 1 3 4 logisyczna: Y 1 = α βg 4 gdzie: zmienna czasowa, α, β, g paramery modelu. Oceny paramerów wyznacza się na podsawie sądów ekspera lub grupy eksperów, kóre doyczą: w przypadku funkcji liniowej i wykładniczej warości dwóch zmiennych losowych: wielkości sprzedaży w pierwszym okresie isnienia produku na rynku Y 1 oraz wielkości sprzedaży w jednym z późniejszych okresów, po usabilizowaniu się Y n, w przypadku funkcji wykładniczej odwronościowej i logisycznej warości rzech zmiennych losowych: wielkości sprzedaży w pierwszym okresie isnienia produku na rynku Y 1, wielkości sprzedaży w jednym z późniejszych okresów Y n oraz poziomu nasycenia rynku Y. Formuły pozwalające na wyznaczenie paramerów α, β, g wraz z wykresami odpowiednich funkcji 1- przedsawiono w ab. 1. Prognozę na dowolny okres T > 1 wyznacza się poprzez eksrapolację zbudowanego modelu. * y T

Modele subiekywne w konsrukcji prognoz długookresowych 33 Formuły ocen paramerów wybranych subiekywnych modeli endencji rozwojowej Tabela 1 Liniowa Wykładnicza Posać funkcji rendu α = y 1 Oceny paramerów modelu α β g β y y β = n n 1 y1 yn α = g = n 1 1 1 + g y 1 1 Wykładnicza odwronościowa α = y y β 1 g = n 1 = α g yn α α y 1 Logisyczna = y 1 α α β = g 1 y 1 g n = n 1 1 α y 1 α y 1 Szerszą prezenację zagadnienia prognozowania na podsawie subiekywnych modeli endencji rozwojowej wraz z propozycjami oceny sopnia niepewności prognoz można znaleźć w pracy [10]. 3. Wybrane modele dyfuzji innowacji Pierwszym szeroko rozwinięym eoreycznie modelem dyfuzji jes zaproponowany przez F.M. Bassa model wzrosu nowego produku. Model en sosowano do przewidywania dyfuzji innowacji w handlu dealicznym, echnologii przemysłowej, rolnicwie oraz na rynku dóbr rwałego użyku. Bazuje on na założeniu, że isnieje analogia pomiędzy dyfuzją innowacji a rozprzesrzenianiem się epidemii []. Model Bassa można opisać za pomocą nasępującego równania różniczkowego: dn q = p N [ M N ] d + M 5

34 Konsancja Poradowska kóre ma rozwiązanie posaci: 1 e N = B, M, p, q = M 1 + q e p p+ q p+ q 6 gdzie: dn/d empo zmian w skumulowanej liczbie nabywców, kórzy wdrożyli innowację w czasie, N ogólna liczba nabywców, kórzy wdrożyli innowację w czasie, M poencjał rynkowy, p współczynnik innowacji prawdopodobieńswo pierwszego zakupu przez grupę innowaorów, q współczynnik imiacji. Pierwszy czynnik modelu 5 reprezenuje prawdopodobieńswo wdrożenia innowacji, drugi liczbę poencjalnych nabywców, kórzy jeszcze ego nie dokonali. W modelu przyjmuje się, że na skłonność do przyjęcia innowacji wpływają dwa podsawowe rodzaje środków komunikacji masowa oraz usna. Dzieli się zaem konsumenów na: innowaorów kórzy działają pod wpływem komunikacji masowej oraz imiaorów naśladowców, kórzy działają pod wpływem komunikacji usnej. Przy braku danych empirycznych z przeszłości, paramery p i q modelu Bassa można określić nasępująco [6]: na podsawie danych doyczących produków o analogicznym cyklu życia, przyjąć warości a priori, np. p = 0,003, q = 0,5 *, na podsawie sądów eksperckich wykorzysując np. uogólnioną meodę najmniejszych kwadraów. Swego rodzaju rozwinięcie modelu Bassa sanowi model E.M. Rogersa [11], kóry dodakowo wyjaśnia srukurę komunikacji pomiędzy grupami innowaorów i imiaorów. W modelu Rogersa zakłada się, że w związku z wysępowaniem w procesie dyfuzji relacji inerpersonalnych krzywa adapacji ma rozkład normalny. Wykorzysując paramery rozkładu normalnego Rogers skaegoryzował konsumenów według empa przyjmowania innowacji i podzielił ich na 5 grup: innowaorów, wczesnych naśladowców, wczesną większość, późną większość, maruderów [hp://www.zie.pg.gda.pl/phoo/upd/10011117305 _wykreslisonic_large.jpg]. Model można opisać nasępującym równaniem: * Przyjęcie akich warości proponuje F. Bass na założonej przez siebie sronie inerneowej o emayce modeli Bassa [www.bassbasemen.org]. Lilien i Rangaswamy przyjmują u średnią warość paramerów oszacowanych dla określonej grupy produków.

Modele subiekywne w konsrukcji prognoz długookresowych 35 dn a M e = d a b a [ 1 ] b + e 7 kórego rozwiązaniem jes krzywa logisyczna: gdzie: N M = 8 1 + e L, M, a, b = a b dn/d empo zmian w skumulowanej liczbie nabywców, kórzy wdrożyli innowację w czasie, N ogólna liczba nabywców, kórzy wdrożyli innowację w czasie, M poencjał rynkowy, a, b paramery modelu. Zakładając, że rozwój zjawiska będzie się kszałował zgodnie z modelem Rogersa można ak sformułować pyania do eksperów, aby orzymać informację o punkach szczególnych modelu zob. rys., kóre posłużą do oceny paramerów a i b. W zależności od syuacji można wybrać jeden spośród nasępujących zesawów pyań * [15]: Zesaw I 1. W kórym okresie * rynek innowacji osiągnie połowę poencjału? b.. Ile nowych jednosek w okresie * zaadapuje innowację? a. Paramery modelu wyznacza się u z zależności: dn am max = dla = b 9 d 4 Zesaw II 1. W kórym możliwie krókim przedziale czasowym [ 1, ] najwięcej nowych użykowników wdroży innowację? b.. Jaka o będzie liczba n użykowników? a. Paramery modelu wyznacza się z zależności: * W poszczególnych pyaniach po symbolu podano paramer, kórego warość orzymuje się w wyniku odpowiedzi.

36 Konsancja Poradowska am 1 n 1, = b 10 4 Zesaw III 1. W kórym okresie s zosanie osiągnięe u 100% poencjału?. Jaki czas jes porzebny Δ, licząc od okresu s, aby osiągnąć v 100% poencjału? Znając warości s, Δ, u oraz v, paramery a i b wyznacza się ze wzorów: a 1 1 1 = ln 1 ln 1 Δ u v, 1 ln 1 u b = s + Δ 11 1 1 ln 1 ln 1 u v Należy zauważyć, że model Rogersa pokrywa się z logisycznym modelem endencji rozwojowej, opisanym równaniem 4, a na podsawie odpowiedzi na zesaw pyań III można również orzymać wielkości służące do oceny paramerów modelu zob. ab. 1. Jeżeli prognosa decyduje się na wykorzysanie subiekywnego modelu logisycznego można w zależności od syuacji wybrać aki sposób oceny paramerów, aby eksperom najławiej było określić wielkości niezbędne do ich wyznaczenia. M N M/ am/4 dn/d 0 b Rys.. Krzywe Rogersa oraz ich punky szczególne

Modele subiekywne w konsrukcji prognoz długookresowych 37 4. Subiekywne modele przyczynowo-skukowe W przypadku modeli przyczynowo-skukowych prognosa na wsępie przyjmuje założenie o posaci funkcji y = f x opisującej wpływ zmiennej objaśniającej X na zmienną prognozowaną Y w czasie. W szczególności może o być funkcja liniowa, wykładnicza, wielomianowa, logarymiczna, logisyczna [6; 13]. Paramery są określane na podsawie odpowiedzi eksperów na odpowiednio sformułowane pyania, np.: 1. Jaka jes akualna/bazowa warość zmiennych X i Y?. Jakiego poziomu Y należałoby oczekiwać, gdyby warość X zosała zredukowana do 0? 3. Jaki maksymalny poziom osiągnie Y przy nieograniczonym X? 4. Ile wyniosłoby Y, gdyby X zwiększono/obniżono o 50%? *. Najlepiej znanym subiekywnym modelem przyczynowo-skukowym jes zw. model ADBUDG Adverising Budge Model, zaproponowany przez Lile a [7] na porzeby problemu decyzyjnego doyczącego usalenia opymalnych wydaków na reklamę. Zależność wielkości sprzedaży Y od wydaków na reklamę X zosała am opisana funkcją logisyczną jako: y x c = f x = a + b a 1 d + x c Paramery a i b można orzymać jako odpowiednie granice funkcji 1 na podsawie odpowiedzi na pyania oraz 3: a = lim f x x 0, b = lim f x x Paramery c i d są rozwiązaniem układu równań: c x0 a + b a = y c 0 d + x0 c 1,5 x0 a + b a d + 1,5 x0 c = y 1 13 14 gdzie: x 0, y 0 o warości bazowe zmiennych X i Y orzymane w wyniku odpowiedzi na pyanie 1, naomias y 1 o warość Y określona w pyaniu 4. * Zamias 50% można zapyać o inną warość, jeżeli w danej syuacji prognosycznej byłaby ona bliższa inuicji eksperów.

38 Konsancja Poradowska 5. Przydaność modeli w badaniach foresigh przykłady Przedsawione modele dyfuzji zosały wykorzysane do konsrukcji prognoz rozwoju nowych echnologii energeycznych na porzeby badania foresigh: Zeroemisyjna gospodarka energią w warunkach zrównoważonego rozwoju Polski do 050, prowadzonego w Głównym Insyucie Górnicwa w Kaowicach *. Poniżej przedsawiono wybrane wyniki doyczące rozwoju echnologii OZE. We wcześniejszych eapach badania foresigh panele eksperów dosarczyły ocen: wielkości produkcji energii z OZE w Polsce w laach 010, 00, 050, rynkowego poencjału energeycznego M dla poszczególnych źródeł energii do 050 r. Na podsawie ych informacji dla rozwoju poszczególnych echnologii OZE zosały wyznaczone wykładnicze odwronościowe modele endencji rozwojowej oraz modele dyfuzji: Rogersa ** i Bassa. Opinie eksperów oraz orzymane oceny paramerów modeli przedsawiono w ab.. Opinie eksperów doyczące rozwoju echnologii OZE oraz wyznaczone na ich podsawie oceny paramerów modeli dyfuzji Technologia OZE Opinie eksperów Model wykładniczy odwronościowy Model Rogersa Tabela Model Bassa 010 r. 00 r. 050 r. M β g a b p q 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Kolekory słoneczne płaskie/próżniowe 66 350 4000 5500 5738,53 0,95 0,41 11,71 0,04 0 Foowolaika 1,3 450 1000 4000 4046,58 0,99 0,60 14,46 0,01 1E-14 Energeyka wodna klasyczna i szczyowa 00 800 10000 1500 1036,00 0,99 0,03 5,5 0,0 0,03 Energeyka wiarowa wielkiej skali 1400 14000 000 5000 547,05 0,93 0,31 10,1 0,07 1E-09 Pompy ciepła i geoermia 30 700 5000 50000 4931,54 0,99 0, 4,1 0,01 0,1 * Nr POIG.01.01.01-00-007/08. ** Warości eoreyczne orzymane na podsawie modelu Rogersa pokrywają się z warościami eoreycznymi logisycznego modelu endencji rozwojowej 4.

Modele subiekywne w konsrukcji prognoz długookresowych 39 cd. abeli 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mikrogeneracja na bazie biomasy 0,001 10 5 50 51,13 0,98 0,94 1,47 0,0 1E-11 Mikroenergeyka wiarowa 0,001 1 10 0 0,10 0,99 0,70 15,3 0,01 1E-08 Wielkości dla mikrogeneracji na bazie biomasy zosały określone w MWh, dla pozosałych echnologii w GWh. Paramery modelu wykładniczego odwronościowego wyznaczono na podsawie formuł zawarych w ab. 1. Jako y 1 przyjęo wielkości produkcji energii określone przez eksperów dla 010 r., jako y n n = 11 wielkości określone dla 00 r., naomias y o odpowiednie poencjały M. Do oceny paramerów modelu Rogersa wykorzysano zesaw pyań III. Warości określone przez eksperów zosały ak przeliczone, aby za okres s, wysępujący w pierwszym pyaniu przyjęo 010 r. Nasępnie dla każdej echnologii obliczono, jaką część poencjału rynkowego sanowi warość określona dla 010 r., orzymując w en sposób warość u. Podobnie posąpiono z warością dla 00 r., orzymując w en sposób warość v oraz przedział Δ, wynoszący 10 la. Paramery a i b obliczono z formuł 11. Paramery modelu Bassa oceniono na podsawie wszyskich czerech warości określonych przez eksperów dla poszczególnych echnologii. Wsępnie przyjęo p = 0,003, q = 0,5. Po wyznaczeniu warości eoreycznych na laa 010-050 wielkości p i q zosały ak skorygowane, aby zminimalizować średnią ważoną kwadraów odchyleń: gdzie: y yˆ + 0,3 y yˆ + 0, y α = 0,5 y 15 010 010 00 00 050 ˆ050 y010, y00, y050 warości określone przez eksperów odpowiednio na laa 010, 00, 050, yˆ 010, yˆ 00, yˆ 050 warości eoreyczne orzymane na podsawie wsępnie oszacowanego modelu. Wagi nadane poszczególnym odchyleniom przyjęo arbiralnie, chcąc w en sposób nadać większe znaczenie ocenom eksperów formułowanym na okresy bliższe eraźniejszości. Prognozy rozwoju echnologii OZE na laa 010-050, orzymane na podsawie zbudowanych modeli przedsawiono na rys. 3.