Kaarzya Zeug-Żebro WPŁYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO MEODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WAROŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA Wprowazee W aalze szeregów czasowych zakłaa sę, że w aych moża wyorębć skłak eermsyczy oraz szum losowy, j. zaburzea, kóre uruają eyfkację srukury zjawska. Źrółem szumu mogą być błęy wykające z pomaru lub zaokrągleń powsałe poczas baań. Może o róweż reprezeować czyk egzogecze wpływające a yamkę ukłau lub być kosekwecją saysyczego charakeru zjawsk. Wększość echk aalzy szeregów czasowych wąże sę z pewym formam flrowaa szumu w celu uwoczea częśc eermsyczej. Jeą z ch jes meoa ajblższych sąsaów. Choć powsała oa z myślą o progozowau, moża ją róweż zasosować o flracj aych. Celem arykułu bęze ocea zasosowaa reukcj pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów oraz wpływu ej flracj a warość ajwększego wykłaka Lapuowa. W baaach wykorzysao szereg uworzoe z ce zamkęca WIG WIG2 wóch spółek oowaych a Gełze Paperów Waroścowych w Warszawe: Byom Żywec oraz wóch kursów walu: fraka szwajcarskego olara amerykańskego. Dae obejmują okres o..995 o 4..2. Oblczea przeprowazoo z użycem programów apsaych przez auorkę w języku programowaa Delph, pakeu Mcrosof Ecel oraz ISEAN.. Rekosrukcja przesrze saów meoa opóźeń Meoa opóźeń jes jeą z meo rekosrukcj przesrze saów ukłau yamczego, kóra powsała a posawe werzea F. akesa * o zaurzau [7]. Służy oa o wyobywaa pewych formacj zawarych w cha-
Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 6 oyczych szeregach czasowych. W ym celu wykorzysuje sę wekory opóźeń zwae róweż -hsoram. Wekory e przyjmują posać: ˆ ( ) =, + τ,..., + ( ) τ, () gze jes wymarem zaurzea, τ jes pewą lczbą auralą azwaą opóźeem czasowym, aomas zmea przyjmuje = N ( )τ warośc (N jes ługoścą szeregu czasowego). Z baań akesa wyka, że la 2 m +, gze m jes wymarem arakora, a jes wymarem zaurzea, przesrzeń saów rozpęa przez zbór zmeych bęze opologcze rówoważa z orygalą przesrzeą *. 2. Reukcja pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów Zaaem meoy ajblższych sąsaów [3] jes pozał szeregu czasowego a część eermsyczą sochasyczą ξ : = + ξ, (2) gze ξ posaa szybko malejącą fukcję auokorelacj jes eskorelowaa z. W celu wyzaczea l, la usaloego l, ależy rozważyć wekor opóźeń w przypaku, gy czas opóźeń przyjmuje warość jee, τ = : ˆ =, +,..., + ( ), ( ) kórego jeą ze śrokowych współrzęych jes flrowaa obserwacja l, p. wekor w posac: ˆ la parzysej warośc wymaru zaurzea, l 2 ˆ + l 2 la eparzysej warośc. Usala sę k ajblższych sąsaów wekora ˆ l 2 : ˆ ˆ,,..., v v2 vk 2 2 2 ˆ. (3) Operając sę a wyzaczoych ajblższych sąsaach, warość eermsyczą l ależy wyzaczyć ze wzoru: * W sese werzea akesa o zaurzeu.
62 Kaarzya Zeug-Żebro l = k k = v. (4) 2.. Mara NRL Isoym zagaeem oyczącym reukcj szumu jes możlwość ocey jej skueczośc. Jeym z paramerów merzących efekywość flracj szeregu jes współczyk pozomu reukcj szumu NRL [4]. Baa o zależość pomęzy słą szumu oawaego o ukłau a srukurą geomeryczą jego arakora. Zależość a polega a pogrubau arakora oalau sę blskch sobe saów w sopu proporcjoalym o sły szumu. Współczyk e wyraża sę wzorem: gze m NRL ( ) = m = = M, (5) M ozaczają oległośc o -ego sau (-hsor) o jego ajblższego ajalszego sąsaa. Korzysając z powyższego kryerum, ależy wybrać spośró orzymaych szeregów ak, la kórego współczyk NRL przyjmuje ajmejszą warość. 3. Wykłak Lapuowa Wykłak Lapuowa są marą wrażlwośc ukłau yamczego a zmaę waruków począkowych. Określają oe śree empo oalaa lub zblżaa sę wóch począkowo blskch sobe saów w kolejych eracjach. Doaa warość wykłaka merzy rozcągae sę przesrze saów, a zaem opsuje, w jak sposób progoza opara a eokłaym szacuku aych wyjścowych bęze obegać o realego rozwoju ukłau. Jeżel wykłak e przyjmuje ujemą warość, merzy zbeżość puków przesrze saów, czyl opsuje, le czasu porzebuje ukła a powró o sau perwoego po wcześejszym zaburzeu. m-wymarowy ukła yamczy posaa m wykłaków Lapuowa, kóre formują o zmae oległośc męzy blskm saam wzglęem opoweego keruku w przesrze saów. Defcja Mówmy, że ukła yamczy ( X, f ) jes wrażlwy a zmaę waruków począkowych, jeżel seje ε > ake, że la każego X oraz każego ooczea U puku seją y U oraz ake, że:
Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 63 f ( ) f ( y) > ε Przeaalzujmy ukła yamczy w posac: gze ( ). (6) + = f, =,,..., (7) m, X, X R ozaczają sa sysemu w chwlach +, f jes + owzorowaem przesrze saów w sebe z warukem począkowym X. Defcja Wykłak Lapuowa określa wzór: λ =, =,2,..., m, m, (8) ( ) lm l μ ( ), gze μ ( ) są waroścam własym macerzy Jacobego Df ( ) owzorowaa Df, f : Df gze ( ) ( ) ( ) Df ( ) Df ( ) ) Df... ( =, (9) f =,, j =,2,..., m, f są skłaowym owzorowaa f. j W szczególośc la m = wykłak Lapuowa przyjmuje posać: λ. () ' = ( ) = lm l f ( ) Najbarzej soy z puku eyfkacj chaosu jes ajwększy wykłak λ. Uowooo asępującą zależość: δ λ δ e, () gze δ jes śreą oległoścą pomęzy owolym woma położoym blsko sebe saam przesrze X, zaś δ jes oległoścą męzy ch obrazam w -ej eracj [8].
64 Kaarzya Zeug-Żebro 3.. Najwększy wykłak Lapuowa W 993 roku Rosese [6, s. 7-34], a rok późej Kaz [2, s. 77-87] zapropoowal algorym wyzaczaa ajwększego wykłaka Lapuowa. Algorym e esuje see wykłaczej wrażlwośc ukłau, przez co wskazuje celowość prowazea alszych baań. Przebega o weług asępujących kroków: Krok. Wyzaczamy zbory ( ) ˆ j weko- rów opóźeń ˆ =, +,..., + ( ) Z złożoe z k ajblższych sąsaów τ τ, spełających waruek j >, gze jes usaloą lczbą auralą. Doay waruek zwększa prawopoobeńswo, że zalezoy sąsa e bęze ależał o rajekor wekora ˆ. Krok 2. Oblczamy: k () = j ˆ Z + + j, =,2,..., ; =,,..., ma, (2) gze ma jes usaloą lczbą auralą określającą lczbę eracj. Krok 3. Wyzaczamy śreą z ( ) po wszyskch -hsorach: = = (). (3) Krok 4. Najwększy wykłak Lapuowa jes współczykem regresj: l ( ) l( ) + λ =. (4) Waro zauważyć, że warość ajwększego wykłaka Lapuowa w użej merze zależy o przyjęej meryk, warośc paramerów zrekosruowaej przesrze saów oraz lczby ajblższych sąsaów k. 4. Przemo przebeg baaa Ieresujące rezulay orzymao la szeregów fasowych pochozących z ryków paperów waroścowych oraz waluowych. Ich ługość pozwala a orzymae warygoych rezulaów. Baau poao szereg fasowe * uworzoe z ce zamkęca WIG, WIG2, wóch spółek oowaych a GPW w Warszawe, j. Byom, Żywec oraz zeych kursów fraka szwajcarskego * Dae pochozą z archwum plków programu Omega osępych a sroe ereowej www.bossa.pl.
Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 65 olara amerykańskego. Przeaalzowao obserwacje, kóre były zeym logarymczym sopam zwrou: gze P jes ceą zamkęca. R = l P l P, (5) Ops baaych szeregów czasowych Szereg Przezał czasowy Lczba obserwacj WIG 995..2-2..4 429 WIG2 995..2-2..4 429 Byom 995..5-2..4 46 Żywec 995..2-2..4 42 CHF 995..-2..4 4244 USD 995..-2..4 4244 abela Aalza wymeoych wyżej szeregów czasowych bęze przebegała w asępujących eapach:. Rekosrukcja przesrze saów meoa opóźeń. 2. Reukcja szumu meoą ajblższych sąsaów. 3. Oblczee współczyka pozomu reukcj szumu NRL. 4. Oszacowae ajwększego wykłaka Lapuowa. Przeprowazoe baaa emprycze pozwolły za pomocą meoy opóźeń zrekosruować przesrzeń saów. Sosując meoę oparą a aalze fukcj auokorelacj ACF [5], oszacowao czas opóźeń τ. Nasępe za pomocą meoy ajblższego pozorego sąsaa MNPS [, s. 344-34], oblczoo wymar zaurzea. W kolejym kroku baań zasosowao reukcję pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów *. Aby okoać flracj, usaloo warość czasu opóźea, τ = oraz warośc wóch paramerów: wymar zaurzea = 2,3, 4,5,8,,5, 2, promeń ooczea ρ =,;,;,. W celu ocey reukcj pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów wykorzysao marę NRL() ** la = 2,3,...,. abela 2 zawera ajmejszą warość współczyka NRL oblczoą la wybraych szeregów fasowych * Reukcję szumu przeprowazoo z wykorzysaem armowego programu ISEAN auorswa H. Kaza. Schrebera. ** W celu oblczea współczyka NRL posłużoo sę programem auora apsaym w języku programowaa Delph.
66 Kaarzya Zeug-Żebro oraz warośc wymaru zaurzea promea ooczea, la kórych warość NRL była ajższa. Nazwa szeregu Warośc mary NRL la szeregów przeflrowaych Paramery flracj ρ Mara NRL WIG 2,,42 WIG2 2,,629 Byom 2,,925 Żywec 2,,744 CHF 4,,253 USD 3,,36 abela 2 Moża zauważyć, że prawe we wszyskch przypakach warośc wymaru zaurzea promea ooczea były ake same. Zmaa wysąpła ylko w przypaku kursów walu. Do oszacowaa ajwększego wykłaka Lapuowa posłużoo sę algorymem Kaza Rosesea. W oblczeach przyjęo lczbę sąsaów k = warość =. Nasępe zasosowao regresję lową o przyblżaa lą prosą wykresu zależośc warośc l o umeru eracj. W celu porówaa wyków baae przeprowazoo wukroe la szeregów prze po flracj (z. la szeregów orzymaych la paramerów ρ zameszczoych w abel 2). W obywu przypakach przyjęo e same paramery rekosrukcj przesrze saów, j. czas opóźea wymar zaurzea. W abel 3 przesawoo wyzaczoe warośc paramerów rekosrukcj przesrze saów oraz wyk szacowaa wykłaka Lapuowa * la aalzowaych szeregów czasowych. abela 3 Wyk szacowaa wykłaka Lapuowa la fasowych szeregów czasowych Szereg Przyjęe paramery Rówae regresj Wykłak Lapuowa 2 3 4 Byom y =,399 3,4842 τ = 5, = R² =,623 Byom_re y =,849 4,992 τ = 5, = R² =,553,849 * Oblczea przeprowazoo z wykorzysaem programu własego auora apsaego w języku programowaa Delph.
Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 67 2 3 4 Żywec y =,43 4,8367 τ = 3, = R² =,53954,43 Żywec_re y =,84 7,7597 τ = 3, = R² =,76 - WIG y =,3 4,878 τ = 2, = 8 R² =,6894,3 WIG_re y =,45,562 τ = 2, = 8 R² =,3597,45 WIG2 y =,9 4,322 τ = 3, = 8 R² =,39843,9 WIG2_re y =,72 8,8689 τ = 3, = 8 R² =,658,72 CHF y =,8 5,4643 τ = 2, = R² =,35259,8 CHF_re y =,48 5,3543 τ = 2, = R² =,3378,48 USD y =,36 5,629 τ = 2, = 6 R² =,33685,36 USD_re y =,563 2,2383 τ = 2, = 6 R² =,38567,563 c. abel 3 Moża zauważyć, że prawe wszyske objęe baaem fasowe szereg czasowe są wrażlwe a zmaę waruków począkowych. Jeak szereg przeflrowae w wększym sopu wykazały cechy chaoycze. Warośc wykłaka Lapuowa orzymae la ych szeregów zacze wzrosły. Najbarzej wrażlwa a zmaę waruków począkowych okazała sę spółka Byom. Co cekawe, prze zasosowaem meoy reukcj pozomu szumu właśe la ej spółk e moża było oszacować warośc wykłaka Lapuowa. W przypaku szeregów eprzeflrowaych ajwyższe warośc wykłaka Lapuowa uzyskao la szeregów czasowych uworzoych z zeych kursów walu. Posumowae Na posawe wyków baaa empryczego ależy swerzć, że eyfkacj chaosu w rzeczywsych szeregach czasowych waro poawać róweż szereg, w kórych zasosowao reukcję szumu. Wyzaczoe warośc ajwększego wykłaka Lapuowa la szeregów przeflrowaych zacze przewyższały warośc ego wykłaka prze zasosowaem flracj. Jeak mmo zaowalających rezulaów e ależy rakować reukcj pozomu szumu bezkryycze, gyż jej zasosowae może spowoować zeformowae aalzowaego sygału, a co za ym ze błęą erpreację wyków.
68 Kaarzya Zeug-Żebro Leraura. Abarbael H.D., Brow R., Keel M.B.: Deermg Embeg Dmeso for Phase Space Recosruco Usg a Geomercal Cosruco. Physcal Revew A 992, Vol. 45(6), s. 344-34. 2. Kaz H.: A Robus Meho o Esmae he Mamal Lyapuov Epoe of a me Seres. Physcal Leers A 994, Vol. 85(), s. 77-87. 3. Kaz H., Schreber.: Nolear me Seres Aalyss. Cambrge Uversy Press, Cambrge 997. 4. Orzeszko W.: Ieyfkacja progozowae chaosu eermsyczego w ekoomczych szeregach czasowych. Polske owarzyswo Ekoomcze, Warszawa 25. 5. Ramsey J.B., Sayers C.L., Rohma P.: he Sascal Properes of Dmeso Calculaos Usg Small Daa Ses: Some Ecoomc Applcaos. Ieraoal Ecoomc Revew 99, Vol. 3, No. 4. 6. Rosese M.., Colls J.J., De Luca C.J.: A Praccal Meho for Calculag Larges Lyapuov Epoes from Small Daa Ses. Physca D 993, Vol. 65, s. 7-34. 7. akes F.: Deecg Srage Aracors urbulece. W: Lecure Noes Mahemacs. Re. D.A. Ra, L.S. Youg. Sprger, Berl 98, s. 366-38. 8. Zawazk H.: Chaoycze sysemy yamcze. Akaema Ekoomcza, Kaowce 996. EFFEC OF REDUCION OF RANDOM NOISE BY MEHOD OF HE NEARES NEIGHBORS ON HE VALUE OF HE LARGES LYAPUNOV EXPONEN Summary Sce he presece of ose he aa ca sgfcaly affec he characerscs of yamc sysems, he am of he arcle wll be o evaluae effec of reuco of raom ose by meho of he eares eghbors o he value of he larges Lyapuov epoe. he es wll be couce o he bass of he ecoomc me seres, whch coss of closg prces of compaes lse o he Warsaw Sock Echage a he aly echage raes.