FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki



Podobne dokumenty
FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

c n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume

Funkcje analityczne. Wykład 12

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Grupy i cia la, liczby zespolone

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

1 Relacje i odwzorowania

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0

Rozdział 2. Liczby zespolone

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Wersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

OSOBNO ANALITYCZNYCH

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Normy wektorów i macierzy

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Funkcje Analityczne Grupa 3, jesień 2008

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Wyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Układy równań i równania wyższych rzędów

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Funkcje dwóch zmiennych

Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

Zadania o liczbach zespolonych

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Funkcje dwóch zmiennych

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

Wersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

Transkrypt:

FUNKCJE ANALITYCZNE WYK LADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007 Zbigniew B locki Typeset by AMS-TEX

2 ZBIGNIEW B LOCKI Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 1 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych 4 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych 8 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego 10 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego 13 6. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych 15 7. Szeregi potegowe 17 8. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd. 19 9. Funkcje analityczne 21 10. Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego 22 11. Szeregi Laurenta 29 12. Osobliwości funkcji holomorficznych 31 13. Twierdzenie o residuach 34 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych 35 14. Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych 39 15. Iloczyny nieskończone 41 16. Funkcja Γ Eulera 47 17. Funkcja ζ Riemanna 49 18. Twierdzenie o liczbach pierwszych 52 19. Aproksymacja funkcji holomorficznych 55 20. Odwzorowania konforemne 59 21. Geometria hiperboliczna ko la 63 22. Funkcje harmoniczne 65 23. Funkcje subharmoniczne 71 24. Nakrycia 74 25. Powierzchnie Riemanna 78 26. Problem Dirichleta, metoda Perrona 81 27. Funkcja Greena 86 28. Ca lkowanie przez cześci 88 29. Powierzchnie nie-g-hiperboliczne 92 30. Pewne zastosowania 98 31. Elementy geometrii riemannowskiej 99 32. Zespolone metryki zupe lne o sta lej krzywiźnie 106 33. Iteracja funkcji wymiernych 111 Literatura 115

FUNKCJE ANALITYCZNE 1 Wyk lad 1, 26.02.2007 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych Liczba zespolona nazywamy pare liczb rzeczywistych, zbiór liczb zespolonych C to zatem dok ladnie zbiór R 2. Element z = (x, y) C zapisujemy w postaci x + iy. Na zbiorze C wprowadzamy mnożenie (zgodnie z regu l a i 2 = 1): (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 2 y 1 + x 1 y 2 ). Można latwo pokazać Ćwiczenie, że C z dodawaniem wektorowym w R 2 oraz tak wprowadzonym mnożeniem jest cia lem. Jeżeli z = x + iy, to x nazywamy cześci a rzeczywista, natomiast y cześci a urojona liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z. Każda liczbe zespolona z możemy rówież zapisać przy pomocy wspó lrzednych biegunowych: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = z = x 2 + y 2, zaś ϕ jest katem pomiedzy odcinkami [0, 1] i [0, z] (gdy z 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywiście nierówność trójkata z + w z + w, z, w C, można również latwo pokazać Ćwiczenie, że zw = z w, z, w C. Chcemy teraz zdefiniować zespolona funkcje wyk ladnicza exp : C C. Dla z = x + iy C oczekujemy, że e z = e x e iy, czyli wystarczy określić e it dla t R. Chcemy by funkcja ta spe lnia la d dt eit = ie it, e 0 = 1, a wiec (oznaczajac e it = A + ib) A = B, B = A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwiazaniem tego uk ladu sa funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcje wyk ladnicza definiujemy zatem nastepuj aco: e z := e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Można latwo pokazać Ćwiczenie jej nastepuj ace w lasności e z+w = e z e w, z, w C, d dt etz = ze tz, t R, z C. Z faktu, że e z = e x oraz dzieki temu, że y jest argumentem liczby e z wynika, że funkcja wyk ladnicza proste pionowe x = x 0 odwzorowuje na okregi o promieniu e x 0, natomiast proste poziome y = y 0 na pó lproste otwarte o poczatku w 0 o argumencie y 0.

2 ZBIGNIEW B LOCKI Wracajac do wspó lrzednych biegunowych, możemy je teraz zapisać w postaci z = re iϕ. Dla z 0 przez arg z oznaczamy zbiór argumentów liczby z, tzn. arg z := {ϕ R : z = z e iϕ }. Ponieważ e i(ϕ+2π) = e iϕ, dla dowolnego ϕ 0 arg z mamy arg z = {ϕ 0 + 2kπ : k Z}. Dla każdego z C (:= C \ {0}) znajdziemy dok ladnie jeden element arg z należacy do przedzia lu [ π, π). Nazywamy go argumentem g lównym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg, określona na C, jest nieciag la na pó lprostej (, 0). Możemy teraz podać geometryczna interpretacje mnożenia w C: jeżeli z = re iϕ, w = ρe iψ, to zw = rρe i(ϕ+ψ) ; czyli mnożymy d lugości, a dodajemy argumenty. Możemy stad również wywnioskować wzór de Moivre a: z tego, że (e iϕ ) n = e inϕ otrzymamy (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ R, n N. Dla danego z C oraz n N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbiór n z := {w C : w n = z}. Zapisujac z i w we wspó lrzednych biegunowych: otrzymamy warunki z = re iϕ, w = ρe iψ, ρ = r 1/n, ψ = ϕ + 2kπ, k Z. n Ponieważ e iψ = e i(ψ+2π), dla k = 0, 1,..., n 1 otrzymamy wszystkie rozwiazania. Zatem n z = { z 1/n e i(ϕ+2kπ)/n : k = 0, 1,..., n 1}. W szczególności, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym. Ćwiczenie Udowodnić, że rozwiazaniem równania kwadratowego w C: gdzie a C, b, c C, jest az 2 + bz + c = 0, z = b +, 2a gdzie = b 2 4ac, przy czym jest zbiorem dwuelementowym jeżeli 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwiazania (jedno jeżeli = 0). W przypadku wielomianów dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie 1.1. Każdy niesta ly wielomian zespolony ma pierwiastek.

FUNKCJE ANALITYCZNE 3 Powyższy rezultat można udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawiera l luk e). Lemat 1.2. Za lóżmy, że P jest niesta lym wielomianem zespolonym oraz, że dla pewnego z 0 C mamy P (z 0 ) 0. Wtedy dla każdego otoczenia U punktu z 0 znajdziemy z U takie, że P (z) < P (z 0 ). Dowód. (Argand, 1806) Niech Wtedy P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n. P (z 0 + h) = a 0 + a 1 (z 0 + h) + + a n (z 0 + h) n = P (z 0 ) + A 1 h + + A n h n, gdzie wspó lczynniki A j zależa tylko od P i z 0. Któryś z nich na pewno nie znika, gdyż w przeciwnym wypadku wielomian P by lby sta ly. Niech j bedzie najmniejszym indeksem, dla którego A j 0. Mamy zatem gdzie P (z 0 + h) = P (z 0 ) + A j h j + R(h), R(h) < A j h j, gdy h jest odp. ma le, h 0. Możemy znaleźć h o dowolnie ma lym h, dla którego A j h j ma argument przeciwny do argumentu P (z 0 ). Wtedy P (z 0 + h) P (z 0 ) + A j h j + R(h) = P (z 0 ) A j h j + R(h) < P (z 0 ). Dowód Twierdzenia 1.1. Oznaczajac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zak ladajac, że a n 0, mamy P (z) a n z n a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 a n z n a 0 a 1 z a n 1 z n 1. Możemy w szczególności znaleźć R > 0 takie, że P (z) > P (0), gdy z = R. Funkcja P jest ciag la na C (bo oczywiste jest, że mnożenie jest odwzorowaniem ciag lym), znajdziemy zatem z 0 K(0, R) takie, że P (z 0 ) = min P. K(0,R) Jeżeli P (z 0 ) 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z K(0, R) takie, że P (z) < P (z 0 ) - sprzeczność. Dla z C definiujemy log z := {w C : e w = z} (dla z = 0 ten zbiór jest oczywiście pusty). Jeżeli zapiszemy w = η + iξ, z = re iϕ, to otrzymamy równanie e η e iξ = re iϕ. Zatem η = log r = log z, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k Z. Ostatecznie log z = log z + iarg z.

4 ZBIGNIEW B LOCKI Liczb e Log z := log z + iarg z nazywamy logarytmem g lównym z. Przy pomocy logarytmu możemy zdefiniować pot egi zespolone: dla z C, w C k ladziemy z w = e w log z. Zauważmy, że z 1/n = e 1 n (log z +iarg z) = z 1/n e i arg z n, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka. Ćwiczenie Obliczyć i i. Przypomnijmy, że e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. Zespolone funkcje trygonometryczne można latwo wyprowadzić ze wzorów Eulera: Stad e iz = cos z + i sin z, e iz = cos z i sin z. Mamy również cos z := eiz + e iz, 2 sin z := eiz e iz. 2i cosh z := cos(iz) = ez + e z, 2 sinh z := i sin(iz) = ez e z. 2 Ćwiczenie Pokazać, że arccos z = i log(z + z 2 1). Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz eżenie: z := x iy. Natychmiast otrzymujemy, że z 2 = zz. Ćwiczenie Pokazać, że (zw) = z w oraz e z = e z. 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych Oczywiście każde odwzorowanie liniowe C C jest postaci (2.1) C z az C dla pewnego a C. Ponieważ C = R 2, możemy również rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - bed a one postaci C = R 2 z Az R 2 = C,

gdzie ( p q (2.2) A = s t FUNKCJE ANALITYCZNE 5 ), p, q, s, t R. Takie odwzorowania C C bedziemy nazywać R-liniowymi, natomiast odwzorowania postaci (2.1) C-liniowymi. Można latwo sprawdzić, że każde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci ( α β A = β α gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = s w (2.2) ( Ćwiczenie ). Niech f bedzie funkcja o wartościach zespolonych określona w pewnym otoczeniu punktu z 0 C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, że f jest C-różniczkowalna w punkcie z 0, jeżeli istnieje granica ), f(z) f(z 0 ) lim C. z z 0 z z 0 Granice te nazywamy pochodna zespolona funkcji f w z 0 i oznaczamy przez f (z 0 ). Jest oczywiste, że każda funkcja C-różniczkowalna w z 0 jest w ciag la w z 0. W podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych w lasności funkcji C-różniczkowalnych. Propozycja 2.1. Jeżeli funkcje f, g sa C-różniczkowalne w z 0, to funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g(z 0 ) 0) sa C-różniczkowalne w z 0 oraz w z 0 mamy (f ± g) = f ± g, (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g 2. Propozycja 2.2. Jeżeli f jest C-różniczkowalna w z 0, zaś g jest C-różniczkowalna w f(z 0 ), to g f jest C-różniczkowalna w z 0 oraz (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). Przypomnijmy, że funkcja zespolona f jest różniczkowalna w z 0 w klasycznym sensie (b edziemy wtedy mówić, że jest ona R-różniczkowalna), jeżeli istnieje odwzorowanie R-liniowe A takie, że f(z) f(z 0 ) A(z z 0 ) lim = 0. z z 0 z z 0 Jeżeli f = u + iv, gdzie u, v sa funkcjami rzeczywistymi, to ( ) ux (z A = 0 ) u y (z 0 ) v x (z 0 ) v y (z 0 )

6 ZBIGNIEW B LOCKI (ozn. u x = u/ x, u y = u/ y). Zauważmy, że każda funkcja C-różniczkowalna jest R-różniczkowalna, przy czym A = ( ) Re f (z 0 ) Im f (z 0 ) Im f (z 0 ) Re f. (z 0 ) Przyk lad. Funkcja f(z) = z, z C, jest R-różniczkowalna w każdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-różniczkowalna: zauważmy, że dla t R mamy { z z 0 1, jeżeli z = z0 + t, = z z 0 1, jeżeli z = z 0 + it, czyli odpowiednia granica nie istnieje. Za lóżmy, że f = u + iv jest R-różniczkowalna w z 0. Oznaczajac f x = u x + iv x, f y = u y + iv y mamy Ponieważ f(z) = f(z 0 ) + f x (z 0 )(x x 0 ) + f y (z 0 )(y y 0 ) + o( z z 0 ). (2.3) x = z + z 2, y = z z, 2i otrzymamy f(z) = f(z 0 ) + f x(z 0 ) if y (z 0 ) 2 (z z 0 ) + f x(z 0 ) + if y (z 0 ) (z z 0 ) + o( z z 0 ). 2 Dla funkcji R-różniczkowalnej definiujemy pochodne formalne (2.4) f z (= f z) := 1 ( f 2 f z (= f z) := 1 2 ) x i f, y ( ) f x + i f. y Wyk lad 2, 5.03.2007 Pochodne czastkowe / z i / z prowadzić możemy również przy pomocy formy df: mamy a stad f x dx + f y dy = df = f z dz + f z dz = f z (dx + idy) + f z (dx idy), (2.5) { fx = f z + f z, f y = i(f z f z ), skad latwo dostaniemy (2.4).

FUNKCJE ANALITYCZNE 7 Ćwiczenie Pokazać, że dla dowolnej funkcji R-różniczkowalnej f mamy ( ) f = f z z, ( ) f = f z z. Ćwiczenie Obliczyć f z oraz f z, gdzie f(z) = z 2 Re (z 8 ). Dla funkcji R-różniczkowalnej w z 0 mamy wi ec oraz, dla z z 0, f(z) = f(z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) f(z) f(z 0 ) z z 0 = f z (z 0 ) + f z (z 0 ) z z 0 z z 0 + o( z z 0 ) z z 0. Wspólnie z ostatnim przyk ladem daje to nastepuj ac a charakteryzacje funkcji C- różniczkowalnych. Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-różniczkowalna w punkcie z o wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-różniczkowalna w z 0 oraz f z (z 0 ) = 0, tzn. w z 0 spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna: W takiej sytuacji f (z 0 ) = f z (z 0 ). { ux = v y, u y = v x. Powiemy, że funkcja f : Ω C, gdzie Ω jest zbiorem otwartym w C, jest holomorficzna, jeżeli jest ona C-różniczkowalna w każdym punkcie. Zbiór wszystkich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O (Ω) zbiór nigdzie nieznikajacych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika, że suma, iloczyn, iloraz i z lożenie funkcji holomorficznych sa funkcjami holomorficznymi. Jeżeli f = u + iv jest R-różniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna. Ćwiczenie Pokazać, że e z jest jedyna funkcja z O(C) taka, że f = f oraz f(0) = 1. Ćwiczenie Pokazać, że cos, sin, cosh, sinh O(C) oraz obliczyć pochodne zespolone tych funkcji. Propozycja 2.4. Za lóżmy, że f jest holomorficzna i klasy C 1 w pewnym otoczeniu z 0 C oraz f (z 0 ) 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z 0 oraz V - otwarte otoczenie f(z 0 ), t.że f : U V jest bijekcja, f 1 jest holomorficzna oraz (2.6) (f 1 ) (f(z)) = 1 f (z), z U. Dowód. Jeżeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista różniczka f ma postać ( ) ( ) ux u A := y ux u = y v x v y u y u x

8 ZBIGNIEW B LOCKI dzi eki równaniom Cauchy ego-riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C- różniczkowalności f = f x = u x iu y. Mamy wi ec det A = u 2 x + u 2 y = f 2. Dzieki temu, że f (z 0 ) 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, że istnieja odp. otoczenia U i V, t.że f : U V jest bijekcja klasy C 1 oraz f 1 jest również klasy C 1. Zapiszmy f 1 = α + iβ. Różniczka f 1 jest równa ( ) ( ) αx α y = A 1 1 ux u = y β x β y u 2 x + u 2. y u y u x W szczególności α x = β y, α y = β x, czyli f 1 jest holomorficzna. Formu l e (2.6) dostaniemy różniczkujac wzór f 1 (f(z)) = z, z U. Ćwiczenie Pokazać, że Log z O(C \ (, 0]) oraz (Log z) = 1/z. Podamy teraz formu l e na różniczkowanie z lożenia funkcji zespolonej z krzywa. Za lóżmy, że funkcje f : Ω C oraz γ = (γ 1, γ 2 ) : (a, b) Ω sa różniczkowalne (w klasycznym sensie). Wtedy, korzystajac z (rzeczywistej) formu ly na pochodna z lożenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy (2.7) d dt f(γ(t)) = f x(γ(t)) γ 1(t) + f y (γ(t)) γ 2(t) = f z (γ(t)) γ (t) + f z (γ(t))γ (t). 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych Niech a, b R, a < b. Funkcje γ : [a, b] C nazywamy droga, jeżeli γ jest ciag la oraz γ jest kawa lkami klasy C 1, tzn. istnieja a = t 0 < t 1 < < t n = b takie, że γ C 1 ([t j, t j+1 ]), j = 0, 1,..., n 1. Punkt γ(a) nazywamy poczatkiem zaś γ(b) końcem drogi γ. Obraz γ bedziemy oznaczać γ. Jeżeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy droga zamkniet a. Za lóżmy, że f : γ([a, b]) C jest funkcja ciag l a. Definiujemy b f(z)dz := f(γ(t))γ (t)dt. γ a (Powyższa definicje otrzymamy także rozpatrujac cześć rzeczywista i urojona formy różniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauważmy, że funkcja pod ca lka jest ca lkowalna w sensie Riemanna niezależnie od tego jakie wartości przyjmuje w punktach t j. Ponadto, jeżeli ϕ : [c, d] [a, b] jest dyfeomorfizmem, to γ := γ ϕ jest droga taka, że γ = γ oraz { d f(z)dz = f(γ(ϕ(s)))γ (ϕ(s))ϕ γ (s)ds = f(z)dz, jeżeli ϕ > 0; γ f(z)dz, jeżeli ϕ < 0. γ c

FUNKCJE ANALITYCZNE 9 Zatem, jeżeli γ (a,b) jest iniekcja, to f(z)dz zależy tylko od obrazu γ oraz od γ kierunku, w którym ca lkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji bedziemy czesto utożsamiać drogi z ich obrazem oraz odpowiednia orientacja. W szczególności, jeżeli D jest obszarem, którego brzeg można iniektywnie sparametryzować droga zamkniet a, to możemy mówić o dodatniej orientacji D - bedzie nia dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Ca lka f(z)dz ma wówczas sens, gdyż nie zależy od wyboru takiej parametryzacji (i jest ona zgodna z ca lka D z formy po krzywej g ladkiej). Bedziemy używać tego oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest ko lem lub wnetrzem trójkata. Jeżeli f jest określone w pewnym otoczeniu obrazu drogi γ i ma tam funkcje pierwotna, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, że F = f, to z (2.7) otrzymamy (3.1) γ f(z)dz = b a d F (γ(t)) dt = F (γ(b)) F (γ(a)). dt W szczególności, jeżeli γ jest droga zamkniet a, to f(z)dz = 0. γ Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f = u + iv ma pierwotna, to pole wektorowe (v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = χ dla pewnej funkcji χ. Przyk lad. Dla n Z, z 0 C oraz r > 0 obliczymy K(z 0,r) (z z 0 ) n dz. Odpowiednia parametryzacja tego okregu bedzie Wtedy γ (t) = rie it oraz γ(t) = z 0 + re it, 0 t 2π. (3.2) (z z 0 ) n dz = 2π K(z 0,r) 0 { 0, jeżeli n 1; r n+1 ie (n+1)it dt = 2πi, jeżeli n = 1. Zauważmy, że dla n 1 wynika to również z (3.1), gdyż wtedy funkcja (z z 0 ) n ma pierwotna określona w otoczeniu K(z 0, r). Pokazuje to także, że funkcja 1/(z z 0 ) nie ma pierwotnej w żadnym pierścieniu o środku w z 0. Jeżeli z, w C, to przez [z, w] oznaczamy droge dana przez parametryzacje γ(t) = (1 t)z + tw, t [0, 1]. Ćwiczenie Obliczyć Log z dz. Ćwiczenie Pokazać, że trzema sposobami: [1,i] K(z 0,r) dζ ζ z = 2πi, z K(z 0, r),

10 ZBIGNIEW B LOCKI i) wprost z definicji, korzystajac z faktu, że sinus jest funkcja nieparzysta, a cosinus parzysta, wyprowadzić dζ π ζ z = 2i 1 + a cos t 1 + 2a cos t + a 2 dt, K(z 0,r) 0 gdzie a = z z 0 /r < 1 i obliczyć odp. ca lke nieoznaczona; ii) udowodnić, że dla każdej pó lprostej P o poczatku w z funkcja ζ 1/(ζ z) ma pierwotna w C \ P oraz użyć (3.1), (3.2); iii) pokazać, że 1 ζ z = (z z 0 ) n (ζ z 0 ) n+1, z K(z 0, r), ζ K(z 0, r), n=0 przy czym zbieżność jest jednostajna dla ζ K(z 0, r), i użyć (3.2). Zauważmy, że b (3.3) f(z)dz f(γ(t)) γ (t) dt l(γ) max f, γ gdzie jest d lugościa γ. γ a l(γ) := b a γ (t) dt Wyk lad 3, 12.03.2007 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Podstawowa w lasnościa geometryczna funkcji holomorficznych jest twierdzenie ca lkowe Cauchy ego. Latwo wynika ono ze wzoru Greena w nastepuj acym przypadku (Cauchy, 1825): za lóżmy, że f jest funkcja holomorficzna klasy C 1 w obszarze Ω, natomiast γ jest droga zamkniet a w Ω, która parametryzuje brzeg klasy C 1 obszaru D Ω. Wtedy f(z)dz = d(fdz) = f z dz dz = 0. γ D G lównym problemem w uogólnieniu tego faktu jest pozbycie sie za lożenia, że f jest klasy C 1. Zosta lo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie ogólnej wersji twierdzenia ca lkowego Cauchy ego by lo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu trójkata (sam Goursat rozpatrywa l czworokaty, jak jednak wkrótce zauważy l Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata by ly trójkaty). Twierdzenie 4.1. Za lóżmy, że f O(Ω \ {z 0 }) C(Ω), gdzie Ω jest otwartym podzbiorem C, zaś z 0 Ω. Wtedy dla dowolnego trójkata T Ω (czyli otoczki wypuk lej trzech niewspó lliniowych punktów) mamy f(z)dz = 0. T D

FUNKCJE ANALITYCZNE 11 Dowód. Za lóżmy najpierw, że z 0 / T. Przez z 1, z 2, z 3 oznaczmy wierzcho lki T. Rozpatrujac punkty (z j + z k )/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy trójkat T na cztery trójkaty T 1,..., T 4. Mamy wtedy f(z)dz = 4 T j=1 T j f(z)dz. Wybierajac jako T 1 odpowiedni z trójkatów T 1,..., T 4 otrzymamy f(z)dz T 4 f(z)dz. 1 T Zauważmy także, że l( T 1 ) = l( T )/2. W ten sam sposób wybieramy indukcyjnie trójkaty T n, n = 1, 2,..., tak, że f(z)dz T n 1 4 f(z)dz T n oraz l( T n ) = l( T n 1 )/2. Otrzymaliśmy zatem zstepuj acy ciag trójkatów T n taki, że (4.1) f(z)dz T 4n f(z)dz n oraz T (4.2) diam(t n ) l( T n) 2 Z twierdzenia Cantora wynika, że = l( T ) 2 n+1. T n = { z} n=1 dla pewnego z T. Z C-różniczkowalności f w z mamy gdzie f(z) = f( z) + ( f ( z) + ε(z) ) (z z), lim ε(z) = 0. z z Ponieważ funkcja f( z) + f ( z)(z z) ma pierwotna, z (3.1) i (3.3) wynika, że f(z)dz = ε(z)(z z)dz T n T l( T n)diam(t n ) max ε. T n n Korzystajac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla każdego n T f(z)dz (l( T ))2 2 max ε, T n

12 ZBIGNIEW B LOCKI czyli twierdzenie zachodzi przy za lożeniu, że z 0 / T. Jeżeli z 0 T, to dzielac T na trzy (lub dwa) mniejsze trójkaty, których wierzcho lkiem jest z 0 widzimy, że bez straty ogólności możemy za lożyć, że z 0 jest jednym z wierzcho lków T. Jeżeli teraz podzielimy T na trójkat T n o wierzcho lku w z 0 oraz czworokat Q n tak, że l(t n) daży do 0, to z poprzedniej cześci wnioskujemy, że f(z)dz = 0, Q n zatem T f(z)dz = T n f(z)dz l(t n) max f. T Przyk lady. i) Niech f(z) = e z2 i dla R > 0 niech T R bedzie trójkatem o wierzcho lkach 0, R, R + ir. Z Twierdzenia 4.1 mamy f(z)dz = 0. T R Ćwiczenie Wywnioskować stad, że 0 cos t 2 dt = 0 sin t 2 dt = π 8. ii) Ćwiczenie Ca lkujac funkcje e z2 po brzegu prostokata o wierzcho lkach 0, R, R + λi, λi (ponieważ każdy wielokat możemy podzielić na skończona liczbe trójkatów, jest jasne, że Twierdzenie 4.1 zachodzi w przypadku, gdy T jest dowolnym wielokatem) pokazać, że 0 e x2 cos(2λx)dx = π 2 2 e λ, λ R. Nastepnym krokiem jest pokazanie zwiazku twierdzenia ca lkowego Cauchy ego z istnieniem funkcji pierwotnej. Twierdzenie 4.2. Niech Ω bedzie obszarem w C, natomiast f funkcja ciag l a w Ω. Wtedy nastepuj ace warunki sa równoważne i) Istnieje F O(Ω) takie, że F = f; ii) f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamknietej γ w Ω. γ Jeżeli Ω jest obszarem gwiaździstym, to powyższe warunki sa równoważne nastepu- jacej w lasności iii) f(z)dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. T Dowód. Implikacja i) ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z 0 Ω. Dla z Ω niech γ bedzie dowolna droga l acz ac a z 0 oraz z. K ladziemy F (z) := f(ζ)dζ. γ

FUNKCJE ANALITYCZNE 13 Dzieki i) widać, że definicja F nie zależy od wyboru γ. Dla odp. ma lych h mamy (4.3) F (z + h) F (z) = f(ζ)dζ, a stad, dzieki (3.3), F (z + h) F (z) f(z) h = 1 h [z,z+h] [z,z+h] (f(ζ) f(z))dζ sup f(ζ) f(z). ζ [z,z+h] Z ciag lości f w z wynika, że ostatnie wyrażenie daży do 0. Otrzymaliśmy zatem, że F O(Ω) oraz F = f. Jeżeli Ω jest gwiaździsty, to implikacja ii) iii) jest trywialna, natomiast, zak ladajac, że zachodzi iii) i że Ω jest gwiaździsty wzgledem z 0, k ladziemy F (z) := f(z)dz, z Ω. [z 0,z] Z iii) wynika, że zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, że F = f. Z Twierdzeń 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy ego dla zbiorów gwiaździstych. Wniosek 4.3. Jeżeli obszar Ω jest gwiaździsty i f O(Ω\{z 0 }) C(Ω) dla pewnego z 0 Ω, to f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamkni etej γ w Ω. γ 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowa w lasnościa funkcji holomorficznych jest wzór ca lkowy Cauchy ego (1831), który odtwarza dana funkcje wewnatrz ko la z jej wartości na brzegu. Twierdzenie 5.1. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to (5.1) f(z) = 1 f(ζ) 2πi ζ z dζ, z K(z 0, r). K(z 0,r) Co wiecej, f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi (ζ z) n+1 dζ, z K(z 0, r), n = 1, 2,... K(z 0,r) Dowód. Niech Ω bedzie gwiaździstym otoczeniem K(z 0, r), w którym funkcja f jest określona. Dla ζ Ω zdefiniujmy f(ζ) f(z), ζ z, g(ζ) := ζ z f (z), ζ = z.

14 ZBIGNIEW B LOCKI Wtedy g O(Ω \ {z}) C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, że 0 = K(z 0,r) g(ζ)dζ = K(z 0,r) f(ζ) dζ 2πif(z). ζ z Otrzymaliśmy zatem (5.1). Druga cześć tezy wynika z faktu, że możemy teraz różniczkować pod znakiem ca lki, zauważmy, że ( ) n ( ) 1 =0, z ζ z ( ) n ( ) 1 1 = z ζ z (ζ z) n+1. Druga cz eść Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem ogólnego rezulatu o holomorficzności funkcji danej wzorem ca lkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych). Lemat 5.2. Za lóżmy, że γ jest dowolna droga w C, natomiast g funkcja ciag l a na γ. Po lóżmy g(ζ) f(z) := ζ z dζ, z C \ γ. γ Wtedy f O(C \ γ ), f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz dla n = 1, 2,... mamy Ćwiczenie f (n) (z) = n! γ Obliczyć K(0,2) g(ζ) (ζ z) n+1 dζ, z C \ γ. e z (z + 1) 2 dz. Jeżeli rozpatrzymy wzór Cauchy ego dla z = z 0 oraz parametryzacj e ζ = z 0 +re it, 0 t 2π, otrzymamy twierdzenie o wartości średniej. Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re it )dt. 2π 0 Bezpośrednia konsekwecja wzoru Cauchy ego jest także nierówność Cauchy ego (1835). Twierdzenie 5.4. Niech f O(K(z 0, r)) bedzie taka, że f M dla pewnej sta lej M. Wtedy f (n) (z 0 ) n! M, n = 1, 2,... rn Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy ego w kole K(z 0, ρ) dla ρ < r oraz (3.3), a nast epnie skorzystać z dowolności ρ.

FUNKCJE ANALITYCZNE 15 6. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Udowodnimy teraz szereg w lasności funkcji holomorficznych wynikajacych ze wzoru Cauchy ego. Pokazaliśmy, że każda funkcja holomorficzna jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy. W szczególności, każda funkcja, która lokalnie ma pierwotna jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny do twierdzenia ca lkowego Cauchy ego. Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) Za lóżmy, że funkcja f C(Ω) (Ω otwarty w C) spe lnia f(z) dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. Wtedy f O(Ω). Ćwiczenie T Pokazać, że jeżeli f C(C) O(C \ R), to f O(C). Przypomnimy teraz regularyzacje funkcji przez splot, która jest przydatna w rozwiazaniu nastepnego ćwiczenia. Niech ρ C (C) bedzie takie, że supp ρ = (ozn. := K(0, 1)), ρ 0, ρ(z) zależy tylko od z oraz ρ dλ = 1. Dla ε > 0 C po lóżmy ρ ε (z) := ε 2 ρ(z/ε), wtedy supp ρ ε = K(0, ε) oraz C ρ ε dλ = 1. Dla f L 1 loc (Ω) i w Ω ε := {z Ω : K(z, ε) Ω} k ladziemy f ε (w) := (f ρ ε )(w) = K(w,ε) f(z)ρ ε (w z)dλ(z) = f(w εz)ρ(z)dλ(z). Wtedy f ε C (Ω ε ) (przy czym D α f ε = f D α ρ ε ), f ε f w L 1 loc (Ω), gdy ε 0, natomiast jeżeli f jest ciag le, to zbieżność jest lokalnie jednostajna. Ćwiczenie Udowodnić twierdzenie Morery dla kó l: jeżeli dla f C(Ω) zachodzi K(z 0,r) f(z) dz = 0 dla każdego ko la K(z 0, r) Ω, to f O(Ω). Funkcje holomorficzna określona na C nazywamy ca lkowita. Twierdzenie 6.2. (Liouville, 1847, Cauchy, 1844) Każda ograniczona funkcja ca lkowita jest sta la. Dowód. Jeżeli f M na C, to z nierówności Cauchy ego wynika, że f (z) M/r dla każdego z C i r > 0. Jeżeli wiec r, to dostaniemy, że f = 0 na C. Ale to oznacza, że również pochodna rzeczywista f wszedzie znika. Wyk lad 4, 19.03.2007 Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f O(C) jest taka, że Re f M dla pewnej sta lej M, to f jest sta la. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja ca lkowita f spe lnia f(z) C z n, gdy z R, dla pewnych C, R > 0, to f musi być wielomianem stopnia n.

16 ZBIGNIEW B LOCKI Z twierdzenia Liouville a w latwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. Bo jeżeli niesta ly wielomian P nie mia lby pierwiastka, to f := 1/P by loby funkcja ca lkowita. Co wiecej lim f(z) = 0. z W szczególności, f by laby funkcja ograniczona, a wiec na mocy twierdzenia Liouville a otrzymalibyśmy, że P jest sta ly. Nastepnym rezulatem jest zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Twierdzenie 6.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum w Ω, to f jest sta la. Dowód. Dla K(z 0, r) Ω z twierdzenia o wartości średniej wynika, że f(z 0 ) 1 2π 2π 0 f(z 0 + re it ) dt. Jeśli zatem f f(z 0 ) na K(z 0, r), to z ciag lości f wynika, że f = f(z 0 ) na K(z 0, r), a wobec dowolności r, także w K(z 0, r). Twierdzimy, że jeżeli f = f(z 0 ) w K(z 0, r), to wtedy f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli f(z 0 ) = 0, to jest to oczywiste, możemy wiec za lożyć, że f 0 w K(z 0, r). Mamy 0 = ( f 2 ) z = f z f + (f z )f = f f, a zatem f = 0, wi ec f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Pokazaliśmy wi ec, że jeżeli f(z 0 ), to f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli teraz f osiaga maksimum w z 0 Ω, to k ladziemy Ω := {z Ω : f(z) = f(z 0 )}. max f = K(z 0,r) Zbiór ten jest oczywiście domkniety, natomiast z pierwszej cześci dowodu wynika, że jest on również otwarty, co oznacza, że Ω = Ω. Twierdzenie 6.3 to s laba zasada maksimum (zak ladamy, że maksimum jest globalne), nied lugo pokażemy wzmocnienie Twierdzenia 6.3 (przy za lożeniu, że maksimum jest lokalne). Ćwiczenie Niech wielomian P (z) = a 0 +a 1 z+ +a n z n b edzie taki, że P (z) 1, gdy z = 1. Pokazać, że a j 1, j = 1,..., n. Ćwiczenie Niech f bedzie funkcja holomorficzna w otoczeniu pierścienia {1 z 3} taka, że f 1, gdy z = 1 oraz f 9, gdy z = 3. Pokazać, że f(z) 4, gdy z = 2. Przy pomocy wzoru Cauchy ego możemy też latwo udowodnić dwa twierdzenia dotyczace ciagów funkcji holomorficznych. Twierdzenie 6.4. (Weierstrass, 1841) Jeżeli f n jest ciagiem funkcji holomorficznych w Ω zbieżnym lokalnie jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcja holomorficzna oraz dla każdego k = 1, 2,... mamy lokalnie jednostajna zbieżność f n (k) f (k). Dowód. Niech K(z 0, r) Ω. Funkcje f n spe lniaja wzór Cauchy ego (3.6), zatem spe lnia go również f. Z Lematu 4.2 wynika, że f jest holomorficzna w K(z 0, r). Co wiecej, z nierówności Cauchy ego dostaniemy max f n (k) f (k) k! K(z 0,r/2) (r/2) k max f n f. K(z 0,r/2)

FUNKCJE ANALITYCZNE 17 Twierdzenie 6.5. (Montel, 1911) Jeżeli f n jest lokalnie jednostajnie ograniczonym ciagiem funkcji holomorficznych na obszarze Ω w C, to istnieje podciag f nk zbieżny lokalnie jednostajnie w Ω. Dowód. Jeżeli K(z 0, r) Ω, to z wzoru Cauchy ego mamy z z 0 f n (ζ) f n (z) f n (z 0 ) = 2πi (ζ z)(ζ z 0 ) dζ K(z 0,r) Mδ r(r δ), gdzie z z 0 δ oraz f n M w K(z 0, r). Wynika stad, że rodzina {f n } jest jednakowo ciag la, tzn. z 0 Ω ε > 0 δ > 0 n : z z 0 δ f n (z) f n (z 0 ) ε. Teza twierdzenia wynika teraz z twierdzenia Arzeli-Ascoliego. Ćwiczenie Korzystajac z twierdzenia Baire a pokazać, że jeżeli f n O(Ω) jest ciagiem zbieżnym punktowo w Ω, to istnieje otwarty, gesty podzbiów Ω w Ω, gdzie ciag f n jest lokalnie jednostajnie ograniczony, skad wynika, że lim f n O(Ω ). 7. Szeregi pot egowe Wyrażenie (7.1) a n (z z 0 ) n, n=0 z C nazywamy szeregiem potegowym o środku w z 0 C i wspó lczynnikach a n C, n = 0, 1,.... Przyk lad. Szereg geometryczny z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z < 1. Wynika to ze wzoru Możemy zatem zapisać n=0 1 + z + + z n = 1 zn+1, z 1. 1 z (7.2) n=0 z n = 1, z < 1. 1 z Twierdzenie 7.1. (Cauchy, 1821, Hadamard, 1892) Po lóżmy (7.3) R := 1 n lim sup an. n Wtedy szereg (7.1) jest bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie zbieżny w kole K(z 0, R) oraz rozbieżny dla każdego z C \ K(z 0, R).

18 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. Dla z K(z 0, R) niech r i λ bed a takie, że z z 0 r < R oraz r/r < λ < 1. Wtedy dla n odp. dużego mamy n a n λ/r, zatem N 2 N2 a n (z z 0 ) n a n (z z 0 ) n n=n 1 n=n 1 n=n 1 λ n = λn1 1 λ 0, gdy N 1. Z warunku Cauchy ego zbieżności otrzymaliśmy zatem bezwzgledn a i jednostajna zbieżność szeregu na K(z 0, r). Z drugiej strony, jeżeli z z 0 > R, to istnieje podciag a nk taki, że k n ank 1/ z z 0, co oznacza, że a nk (z z 0 ) n k 1, nie jest zatem spe lniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Ko lo K(z 0, R) z Twierdzenia 7.1 nazywamy ko lem zbieżności, zaś R promieniem zbieżności szeregu (7.1). Formu la (7.3) na promień zbieżności szeregu potegowego nosi nazwe wzoru Cauchy ego-hadamarda. Zauważmy, że promień zbieżności szeregu (7.1) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje M > 0 takie, że dla n odp. dużego mamy a n M n - wtedy R 1/M. Twierdzenie 7.1 nie rozstrzyga zbieżności szeregu potegowego na brzegu ko la zbieżności. Przyk lady. Ko lem zbieżności każdego z szeregów z n, n=0 z n n, n=1 n=1 z n jest K(0, 1). n2 i) Szereg z n jest rozbieżny we wszystkich punktach z brzegu ko la zbieżności. ii) Szereg z n /n 2 jest zbieżny bezwzgl ednie na brzegu. iii) Szereg z n /n jest rozbieżny w 1 i zbieżny warunkowo na K(0, 1) \ {1} ( Ćwiczenie ). iv) Ćwiczenie Pokazać, że istnieje rosnacy ciag liczb naturalnych p n oraz geste podzbiory A +, A K(0, 1) takie, że z p n = ±1 dla z A ±. Stad szereg z np n /n jest rozbieżny w A + i zbieżny warunkowo w A. Istotna w lasnościa szeregów potegowych jest jednoznaczność ich wspó lczynników. Propozycja 7.2. Za lóżmy, że szeregi potegowe a n (z z 0 ) n oraz b n (z z 0 ) n sa zbieżne do tych samych wartości na zbiorze A takim, że z 0 jest punktem skupienia A. Wtedy a n = b n dla wszystkich n. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0 dla wszystkich n. Przypuśćmy, że a m 0 dla pewnego m i wybierzmy najmniejsze takie m. Wtedy a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) m n=0 n=0 a n+m (z z 0 ) n, z z 0. Szereg n=0 a n+m(z z 0 ) n, zbieżny do pewnej funkcji ciag lej w otoczeniu z 0 (dzieki Twierdzeniu 7.1), znika dla z A, zatem znika również w z 0, czyli a m = 0 - sprzeczność. Przyk lad. Rozpatrzmy ciag Fibonacciego (1202): a 0 = 0, a 1 = 1, a n = a n 2 + a n 1, n = 2, 3,...