Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych. Andrzej Szczepański

Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych Andrzej Szczepański

2

Spis treści 1 Poj ecia wst epne 6 2 Twierdzenia Bieberbacha 16 3 Metody klasyfikacji 31 4 Grupy automorfizmów zewn etrznych 48 5 Spin struktury i operator Diraca 64 6 P laskie rozmaitości ze struktura zespolona 79 Dodatek 82 Bibliografia 85 Indeks 89

4 Spis treści

Niech R n bedzie przestrzenia euklidesowa. Dyskretna podgrupe Γ grupy izometrii Izom(R n ) = E(n) = O(n) R n o zwartym obszarze fundamentalnym nazywamy grupa krystalograficzna. Z twierdzeń Bieberbacha podgrupa translacji grupy Γ jest podgrupa normalna o skończonym indeksie. Innymi s lowy, istnieje krótki ciag dok ladny grup 1 Z n Γ G 1, ze skończona grupa G. W poniższym tekście opisano, w sposób maksymalnie zwiez ly, w lasności grup krystalograficznych. Wykorzystano do tego celu teorie reprezentacji i kohomologii grup skończonych. Jeżeli Γ jest beztorsyjna, to jest grupa podstawowa rozmaitości M n = R n /Γ. Okazuje sie, że M n jest rozmaitościa Riemanna o krzywiźnie sekcyjnej zero, tak zwana rozmaitościa p laska. W pracy opisano wiele interesujacych zwiazków pomiedzy w lasnościami Γ i M n. W pierwszych dwóch rozdzia lach wprowadzono podstawowe pojecia oraz dowiedziono twierdzeń Bieberbacha. W nastepnych omówiono, najważniejsze wed lug autora, rezultaty z ostatnich lat. Wiele watków, jak na przyk lad zwiazki z geometria algebraiczna, nie zosta lo podjetych i autor ma nadzieje na rozszerzenie niniejszego opracowania w przysz lości. Przedstawiany tekst jest zapisem rocznego wyk ladu monograficznego, jaki autor prowadzi l na Uniwersytecie Gdańskim w roku akademickim 2004 i 2005. S luchaczami byli studenci czwartego i piatego roku matematyki. Do zrozumienia materia lu wystarczy podstawowa znajomość algebry i topologii z pierwszych lat studiów matematycznych. Pomocne powinny okazać sie zamieszczone ćwiczenia, choć niektóre sa trudne. Autor bardzo dziekuje Panu prof. Czes lawowi Bagińskiemu za bardzo wnikliwa recenzje. Dzieki niej unikna l wielu b l edów merytorycznych i tekst zosta l dużo lepiej zaprezentowany. Dziekuje ponadto Pani dr Aleksandrze Nowel i Pani redaktor Dorocie Zgaińskiej za przeczytanie maszynopisu i zrobienie licznych uwag. Cz eść pracy by la wykonana w czasie pobytu w IHES we Francji i dofinansowana przez Euro-Programme 2 (RITA-CT-2004-505493).

1. Poj ecia wst epne Niech R n oznacza n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze standardowym iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem x, y = Σ n i=1 x iy i, gdzie x = (x 1, x 2,..., x n ) R n i y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. Iloczyn ten pozwala zdefiniować norme wektorów x = x, y = Σ n i=1 x2 i i naturalna metryke d(x, y) = x y = Σ n i=1 (x i y i ) 2. Definicja 1.1 Odwzorowanie f : R n R n nazywamy izometria, jeżeli dla dowolnych x, y R n mamy d(x, y) = d(f(x), f(y)). Poniższe stwierdzenie jest bezpośrednia konsekwencja definicji i jego dowód zostawiamy czytelnikowi. Stwierdzenie 1.1 Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni R n wraz z operacja sk ladania przekszta lceń jest grupa. Grupe wszystkich izometrii przestrzeni R n bedziemy oznaczać symbolem E(n). W celu opisu jej podstawowych w lasności przypomnijmy definicje dwóch typów przekszta lceń: translacji i przekszta lcenia ortogonalnego. Definicja 1.2 Niech a bedzie ustalonym elementem przestrzeni R n. Translacja przestrzeni R n o element a nazywamy przekszta lcenie t a : R n R n określone wzorem t a (x) = a + x.

Poj ecia wst epne 7 Stwierdzenie 1.2 Zbiór wszystkich translacji przestrzeni R n jest podgrupa normalna grupy E(n). Przyporzadkowanie a t a jest izomorfizmem addytywnej grupy R n na grupe wszystkich translacji przestrzeni R n. Grup e wszystkich translacji przestrzeni R n b edziemy oznaczać symbolem R n. Definicja 1.3 Przekszta lcenie liniowe A przestrzeni euklidesowej R n w R n nazywamy ortogonalnym, jeśli dla dowolnych x, y R n, zachodzi równość x, y = A(x), A(y). Stwierdzenie 1.3 Przekszta lcenie liniowe A przestrzeni euklidesowej R n jest ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje norm e dowolnego wektora, tzn. dla dowolnego x R n, x = A(x). Dowód: Implikacja wynika bezpośrednio z definicji przekszta lcenia ortogonalnego. W celu dowodu implikacji w strone przeciwna za lóżmy, że A jest przekszta lceniem liniowym, takim że x = A(x), dla dowolnego x R n. Wtedy oczywiście A zachowuje forme kwadratowa Q, zdefiniowana wzorem Q(x) = x 2, a to z kolei oznacza, że A zachowuje forme dwuliniowa f, zdefiniowana wzorem f(x, y) = 1 (Q(x + y) Q(x) Q(y)). Bezpośredni 2 rachunek dowodzi, że f jest identyczna z iloczynem skalarnym przestrzeni R n. Stwierdzenie 1.4 Zbiór wszystkich przekszta lceń ortogonalnych przestrzeni R n wraz z operacja sk ladania przekszta lceń jest grupa. Grupe opisana w powyższym stwierdzeniu nazywamy grupa ortogonalna przestrzeni R n i oznaczamy symbolem O(n). W przysz lości elementy tej grupy bedziemy traktowali jako macierze, a także jako odwzorowania liniowe przestrzeni R n i C n.

8 Rozdzia l 1 Rozważmy ortonormalna baze e 1, e 2,..., e n przestrzeni R n. Z podstawowego wyk ladu algebry liniowej wynika, że macierz A dowolnego przekszta lcenia ortogonalnego w tej bazie jest ortogonalna, tzn. A 1 = A T, gdzie A T jest macierza transponowana do A. Przyporzadkowanie, które każdemu przekszta lceniu ortogonalnemu przypisuje jego macierz w tej ustalonej bazie, jest izomorfizmem grupy ortogonalnej na grupe macierzy ortogonalnych (z operacja mnożenia macierzy). Ze wzgledu na ten izomorfizm, pod pojeciem grupy ortogonalnej O(n) bedziemy rozumieć te w laśnie grupe macierzy ortogonalnych. Stwierdzenie 1.5 Każda izometria przestrzeni R n jest superpozycja przekszta lcenia ortogonalnego i translacji. Innymi s lowy, jeżeli f : R n R n jest izometria przestrzeni R n, to istnieje translacja t a i przekszta lcenie ortogonalne A tej przestrzeni, takie że f = A t a. Dowód: Niech a = f(0) i A = f t a. Wtedy oczywiście A jest izometria i A(0) = 0. W myśl stwierdzenia 1.3, do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że A jest przekszta lceniem liniowym. Niech x, y R n bed a dowolnymi wektorami i C p laszczyzna rozpiet a na tych wektorach. Ponieważ A jest izometria, wiec obrazem równoleg loboku o bokach x, y i przekatnej x + y jest równoleg lobok o bokach f(x), f(y) i przekatnej f(x) + f(y). Obrazem przekatnej równoleg loboku jest przekatna obrazu, wiec f(x + y) = f(x) + f(y). To dowodzi liniowości A. Zatem A jest przekszta lceniem ortogonalnym i f = A f a. Wprowadzimy teraz bardzo ważne poj ecie z teorii grup. Definicja 1.4 Niech H i K bed a dowolnymi grupami z operacjami, odpowiednio, i. Za lóżmy ponadto, że H jest podgrupa grupy automorfizmów grupy K. Produktem pó lprostym grup H i K nazywamy grupe H K, której elementami sa wszystkie uporzadkowane pary (h, k), h H, k K, z operacja (h 1, k 1 )(h 2, k 2 ) = (h 1 h 2, h 1 (k 2 ) k 1 ). Przyk lad 1.1 Na mocy stwierdzenia 1.5 b edziemy przyjmować, że E(n) = O(n) R n.

Poj ecia wst epne 9 Jest to zbiór wszystkich par (A, t a ) = (A, a) O(n) R n z dzia laniem danym wzorem (A, a)(b, b) = (AB, Ab + a), gdzie (B, b) O(n) R n. W powyższym przyk ladzie pierwsza wspó lrzedna nazywana jest obrotem, a druga translacja. Symbol oznacza produkt pó lprosty grupy R n, z dzia laniem dodawania, i grupy ortogonalnej O(n). Przyk lad 1.2 Grupa A(n) = GL(n, R) R n. Jest to produkt pó lprosty grupy R n z grupa GL(n, R). Stwierdzenie 1.6 Mamy nastepuj acy ciag podgrup E(n) A(n) GL(n + 1, R). Dowód: Niech (A, a) E(n). Wówczas jest to także element grupy [ A(n). ] A a Ponadto, jeżeli zapiszemy go jako macierz (n+1) (n+1) w postaci, 0 1 jest on elementem grupy GL(n + 1, R). Ostatnie stwierdzenie pozwala nam określić topologie na grupie E(n) jako indukowana z R (n+1)2. Definicja 1.5 Podzbiór X przestrzeni euklidesowej jest dyskretny, jeżeli każdy jego punkt x ma otoczenie otwarte U x, takie że cześci a wspólna zbioru U x i X jest tylko punkt x. Definicja 1.6 Niech Γ bedzie podgrupa grupy izometrii przestrzeni euklidesowej R n. Nazywamy ja podgrupa dyskretna, jeżeli jako podzbiór przestrzeni euklidesowej R (n+1)2 jest dyskretna. Mówimy, że Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n, jeśli dla każdego x R n istnieje takie jego otoczenie otwarte U x, że zbiór {γ Γ γu x U x } jest skończony. Ponadto b edziemy mówili, że Γ dzia la wolno, jeśli dla każdego x R n zbiór {γ Γ γx = x} zawiera tylko element neutralny (I, 0) grupy Γ.

10 Rozdzia l 1 Lemat 1.1 Jeżeli Γ jest dyskretna podgrupa grupy E(n) i V 0 R n jest kula otwarta o środku w punkcie 0 i promieniu r, to {γ Γ γv 0 V 0 } Γ (O(n) V 0), gdzie V 0 jest kul a o środku w punkcie 0 i promieniu 2r. (Tutaj O(n) V 0 jest rozumiany jako podzbiór grupy E(n).) Dowód: Niech γ = (A, a) Γ bedzie takim elementem, że γv 0 V 0. Wówczas istnieja x, x V 0, takie że γx = Ax + a = x. Stad na mocy nierówności trójkata a = x Ax x + Ax 2r. Zatem γ O(n) V 0. Stwierdzenie 1.7 Niech Γ E(n) bedzie podgrupa grupy E(n). Nastepuj ace warunki sa równoważne: (i) Γ dzia la w laściwie dyskretnie na przestrzeni R n, (ii) Γx nie ma punktu skupienia dla każdego x R n, (iii) Γ jest dyskretna podgrupa grupy E(n). Dowód: Za lóżmy, że grupa Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n. Udowodnimy, że jest ona dyskretna. Niech ciag elementów {γ n } n=1 n= grupy Γ bedzie zbieżny do identyczności. Rozpatrzmy otoczenie 0 U 0 R n i zbiór {γ i U 0 γ i U 0 }, który z definicji dzia lania jest skończony. Stad γ i = (I, 0) od pewnego n i grupa Γ jest dyskretna. Aby udowodnić wynikanie przeciwne, wykorzystamy lemat 1.1. Niech x R n bedzie dowolnym punktem, V x kula o środku w x i promieniu r, a t x translacja o x. Wówczas z definicji dzia lania w laściwie dyskretnego i lematu 1.1 mamy {γ Γ γv x V x } = {γ Γ t x γt x V 0 V 0 } t x Γt x (O(n) V 0 ). Ponieważ grupa Γ jest dyskretna, wi ec powyższy zbiór jest skończony i grupa Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n. Udowodniliśmy równoważność (i) oraz (iii). Za lóżmy warunek (i). Udowodnimy, że dla każdego x R n zbiór Γx nie ma punktu skupienia. Przypuśćmy przeciwnie, że taki punkt y R n istnieje. To znaczy, że istnieje ciag elementów {γ i x = A i x+a i } i=1 i= zbieżny do punktu

Poj ecia wst epne 11 y. Ponieważ grupa O(n) jest zwarta, wiec możemy za lożyć, że ciag {A i } i= i=1 jest zbieżny do pewnego A O(n). Stad ciag elementów {a i } i= i=1 jest zbieżny do punktu Ax + y. Istotnie wyrażenie a i + Ax y a i + A i x y + A i x Ax może być dowolnie ma le dla dostatecznie dużego i. Pokazaliśmy zatem, że ciag izometrii {γ i } i= i=1 jest zbieżny do γ = (A, Ax + y) w grupie E(n). St ad ciag izometrii {γ i γi+1 1 }i= i=1 jest zbieżny do identyczności. A to jest sprzeczne z dyskretnościa grupy Γ. Odwrotnie zak ladajac, że dla każdego x R n zbiór Γx nie ma punktów skupienia, udowodnimy, że Γ dzia la w laściwie dyskretnie. Niech x 0 R n bedzie taki, że dla każdej kuli U x0 o środku w x 0 zbiór {γ Γ γu x0 U x0 } jest nieskończony. A to oznacza, że zbiór Γx 0 ma punkt skupienia. Dostaliśmy sprzeczność. Stwierdzenie 1.8 Dyskretna podgrupa grupy E(n) dzia la wolno na R n wtedy i tylko wtedy, gdy jest beztorsyjna (nie ma elementów skończonego rz edu). Dowód: Jeżeli grupa Γ ma element γ skończonego rzedu k, to dla każdego x R n punkt x + γx + γ 2 x + + γ k 1 x nie zmienia sie, gdy dzia lamy na nim elementem γ. To oznacza, że dzia lanie grupy izometrii Γ nie jest wolne. W przeciwna strone stwierdzenie wynika z nastepuj acej równości zbiorów {γ Γ γa = a} = Γ t a (O(n) 0)t a, gdzie a R n, a t a oznacza translacj e o a. Ponieważ grupa O(n) jest zwarta, a grupa Γ dyskretna, wi ec zbiór po prawej stronie jest zawsze skończony. Kolejna definicja dotyczy bardzo ważnego poj ecia. Definicja 1.7 Przestrzeń topologiczna Hausdorffa M nazywamy rozmaitościa odpowiedniej klasy, jeżeli spe lnione sa poniższe warunki:

12 Rozdzia l 1 1. Istnieje pokrycie M rodzina zbiorów otwartych U i, i I, z których każdy jest odwzorowywany za pomoca homeomorfizmu ϕ i na otwarty podzbiór R n. 2. Jeżeli U i U j 0, to odwzorowanie (tzw. funkcja przejścia) jest odpowiedniej klasy. ϕ j ϕ 1 i : ϕ i (U i U j ) ϕ j (U i U j ) Para (U i, ϕ i ) jest nazywana mapa rozmaitości M, a zbiór wszystkich map jej atlasem. Przyk lad 1.3 Przestrzenie liniowe R n, C n oraz ich przestrzenie rzutowe RP n i CP n sa rozmaitościami. n-wymiarowa sfera oraz n-wymiarowy torus S n = {x R n+1 x = 1} T n = S 1 S 1 S 1 = R n /Z n sa rozmaitościami. Pokazanie tego jest prostym ćwiczeniem [60]. Definicja 1.8 Grupa Liego G nazywamy rozmaitość różniczkowa, która jest jednocześnie grupa. Ponadto dzia lania mnożenia G G G i brania elementu odwrotnego G G sa odwzorowaniami różniczkowalnymi rozmaitości. Przyk lad 1.4 Sfera S 1 C z dzia laniem mnożenia liczb zespolonych jest abelowa grupa Liego. Iloczyn kartezjański grup S 1, tzn. n-wymiarowy torus T n = (S 1 ) n, jest grupa Liego. Grupy macierzy U(n), O(n), SL(n, R), SL(n, C) a grupami Liego. s Zaczniemy od obserwacji, która bedziemy wykorzystywać wielokrotnie i w wielu innych miejscach. Lemat 1.2 [11, lemat 8.4, s. 98] Niech G bedzie grupa Liego, a Γ jej podgrupa. Jeżeli istnieje otwarte otoczenie U elementu neutralnego e, takie że U Γ = {e}, to Γ jest przeliczalnym, domknietym, dyskretnym podzbiorem grupy G.

Poj ecia wst epne 13 Dowód: Niech e V bedzie otwartym otoczeniem elementu neutralnego, takim że V V 1 U. Jego istnienie wynika z ciag lości odwzorowania G G G, opisanego wzorem (g 1, g 2 ) g 1 g2 1, i tego, że w tym odwzorowaniu obrazem pary (e, e) jest e. Jeżeli ciag elementów {h n } grupy Γ jest zbieżny do h, to z definicji wynika, że istnieje liczba naturalna N, taka że n > N, h n V g. Zbiór V g jest otoczeniem otwartym punktu g. Niech h n = v n g i h m = v m g dla pewnych v n, v m V. Mamy h n h 1 m = v nvm 1 U. Ponieważ U Γ = {e}, wiec h n h 1 m = e i h n = h m, n, m > N i g = h N Γ. Ponadto dla każdego h Γ, hu jest otwartym otoczeniem h, którego przeciecie z Γ jest równe h. To dowodzi dyskretności zbioru Γ. W końcu rodzina zbiorów {hv h Γ} jest indeksowana rodzina parami roz l acznych podzbiorów grupy Γ. Istotnie, jeżeli h 1 V h 2 V, to h 1 v 1 = h 2 v 2 dla pewnych v 1, v 2 V i h 1 2 h 1 = v 2 v1 1 V V 1 U. Stad h 1 = h 2 i gdyby Γ nie by la przeliczalna, to oznacza loby nieistnienie przeliczalnej bazy zbiorów otwartych. Lemat 1.3 Jeżeli Γ jest podgrupa grupy E(n), to odwzorowania π 1 : E(n) E(n)/Γ rzutowania na grupe ilorazowa oraz π 2 : R n R n /Γ rzutowania na przestrzeń orbit dzia lania grupy izometrii Γ na R n sa otwarte i domkniete. Dowód: Jest to bezpośrednia konsekwencja definicji topologii na przestrzeniach ilorazowych (zob. np. [23]). Stwierdzenie 1.9 Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Wówczas przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń warstw E(n)/Γ jest zwarta. Dowód: Na podstawie lematu 1.3, rzutowanie π : E(n) R n na druga wspó lrzedn a indukuje ciag le i domkniete odwzorowanie φ : E(n)/Γ R n /Γ, określone wzorem φ((a, r)γ) = Γr. Z ćwiczenia 1.3 wynika, że jest to poprawna definicja. Stad zwartość przestrzeni E(n)/Γ indukuje zwartość przestrzeni R n /Γ. W druga strone zauważmy, że dla każdego punktu r R n /Γ, φ 1 (r) = (O(n) r)/γ jest zbiorem zwartym. Stad i z za lożenia o zwartości przestrzeni orbit R n /Γ

14 Rozdzia l 1 oraz domkni etości odwzorowania φ wynika zwartość przestrzeni E(n)/Γ (zob. ćwiczenie 1.6). Drugi dowód stwierdzenia 1.9 opiera si e na poniższym lemacie. Lemat 1.4 Przestrzeń E(n)/Γ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zwarty podzbiór D E(n), taki że E(n) = γ Γ γd = ΓD. Dowód: Grupe E(n), jako podzbiór R (n+1)2, można pokryć nieskończonym zbiorem zbiorów otwartych U k E(n), gdzie U k jest kula otwarta o środku w zerze i promieniu k. Ich obrazy π 1 (U k E(n)) w naturalnym epimorfizmie π 1 : E(n) E(n)/Γ tworza otwarte pokrycie przestrzeni zwartej E(n)/Γ. Stad istnieje k 0, takie że π 1 (U k0 E(n)) = E(n)/Γ. Niech D bedzie domknieciem zbioru (U k0 E(n)), tzn. D = (U k0 E(n)). Jest teraz oczywiste, że E(n) = γ Γ γd = ΓD. Dowód lematu w odwrotna strone wynika z definicji. Lemat pozostaje prawdziwy, z analogicznym dowodem, jeśli E(n) zastapimy przestrzenia R n. Możemy teraz zakończyć drugi dowód stwierdzenia 1.9. Wystarczy zauważyć, że istnienie zwartego obszaru z lematu 1.4 dla przestrzeni R n i E(n) jest równoważne. Niech D bedzie takim zbiorem dla E(n). Z definicji mamy E(n) = ΓD. Ponieważ E(n)(0) = R n, wiec ΓD(0) = R n i D(0) staje sie zwartym podzbiorem z lematu 1.4 dla przestrzeni R n. Odwrotnie, niech D bedzie zbiorem z lematu 1.4 dla grupy Γ i przestrzeni R n. Wówczas zbiór C = {x E(n) x(0) D} = O(n) D jest tym zbiorem dla E(n), gdyż ΓC = E(n) i C R n = D. Definicja 1.9 Podgrup e Γ grupy E(n) nazywamy kozwart a, jeżeli przestrzeń ilorazowa E(n)/Γ jest zwarta.

Poj ecia wst epne 15 Definicja 1.10 Niech X b edzie G zbiorem. Domkni ety podzbiór F X nazywamy obszarem fundamentalnym dzia lania grupy G na zbór X, jeżeli X = g G gf i gf g F =, dla g g G. Uwaga: Rozważany powyżej zbiór D nie zawsze jest obszarem fundamentalnym. Przyk lady obszarów fundamentalnych sa rozważane w rozdziale 3. Ćwiczenie 1.1 Opisać wszystkie izometrie przestrzeni R 2. Ćwiczenie 1.2 Przeprowadzić brakujace powyżej dowody stwierdzeń i lematów. Ćwiczenie 1.3 Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Niech γ 1 = (A 1, r 1 ), γ 2 = (A 2, r 2 ) bed a takimi elementami grupy E(n), że γ 1 Γ = γ 2 Γ. Udowodnić, że istnieje γ Γ, takie że γr 1 = r 2. Ćwiczenie 1.4 Niech f : R n R n b edzie odwzorowaniem liniowym, a g O(n). Udowodnić, że wówczas gf = f = fg. Ćwiczenie 1.5 Niech G bedzie grupa Liego. Udowodnić, że w G istnieje przeliczalna baza zbiorów otwartych. Ćwiczenie 1.6 Niech f : X Y bedzie ciag lym i domknietym odwzorowaniem przestrzeni topologicznej X na przestrzeń topologiczna Y. Za lóźmy ponadto, że dla dowolnego y Y, f 1 (y) jest przestrzenia zwarta. Udowodnić, że przetrzeń X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Y jest zwarta. Wskazówka [23, s. 50]: Pokazać, że f jest domkniete wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu y Y i zbioru otwartego U, zawierajacego przeciwobraz f 1 (y) punktu y, istnieje otoczenie V punktu y Y, takie że f 1 (V ) U.

2. Twierdzenia Bieberbacha Definicja 2.1 Dyskretna i kozwarta podgrupe grupy E(n) nazywamy grupa krystalograficzna wymiaru n. Uwaga: Pierwsza cześć 18 problemu Hilberta dotyczy la opisania dyskretnych grup izometrii R n, majacych zwarty obszar fundamentalny, a zatem n-wymiarowych grup krystalograficznych. Przyk lad ( 2.1 Jeśli ) (B, t (1/2,0) ) i (I, t (0,1) ) sa elementami grupy E(2), gdzie 1 0 B =, to najmniejsza podgrupa Γ grupy E(2), zawierajaca 0 1 te elementy, jest grupa krystalograficzna wymiaru dwa, a przestrzeń orbit R 2 /Γ jest butelka Kleina. Cześć problemu Hilberta, dotyczaca grup krystalograficznych, zosta la rozwia- zana przez matematyka niemieckiego L. Bieberbacha. Twierdzenie 2.1 (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n) jest grupa krystalograficzna, to jej zbiór translacji Γ (I R n ) jest maksymalna i normalna podgrupa abelowa o skończonym indeksie. 2. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy sa sprzeżone w grupie A(n). Uwaga: Oryginalny dowód Bieberbacha pochodzi z roku 1910 (zob. [9] i [10]). W nastepnych latach pojawi ly sie inne dowody: w roku 1911 G. Frobeniusa [27], w roku 1938 H. Zassenhausa [61]. Wspomnijmy także o późniejszych dowodach: L. Auslandera [3] (1960, 1961), J. Wolfa [60] (1970), M. Gromowa [29] (1978). Dowód Gromowa dotyczy grup wirtualnie nilpotentnych, a na użytek grup krystalograficznych zosta l opracowany przez P. Busera i H. Karchera [13-15] (zob. dodatek). W cytowanych tutaj pracach Busera i Karchera można znaleźć także omówienia, porównania niektórych z tych dowodów. Dowód: Na dowód sk lada si e seria lematów. Dowód, w dużej cz eści, bazuje na [60].

Twierdzenia Bieberbacha 17 Lemat 2.1 W grupie ortogonalnej O(n) istnieje otoczenie U elementu neutralnego I, takie że dla dowolnych g, h U spe lniony jest warunek: jeżeli g jest przemienne z komutatorem [g, h] = ghg 1 h 1, to g jest przemienne z h. Dowód: Niech λ 1, λ 2,..., λ r bed a wartościami w lasnymi odwzorowania g : C n C n, a C n = V 1 V 2 V r odpowiadajacym im rozk ladem na podprzestrzenie niezmiennicze. Ponieważ g[g, h] = [g, h]g, wiec ghg 1 h 1 = hg 1 h 1 g. Ponadto dla i = 1, 2,..., r oraz x V i mamy gx = λ i x. Stad ghg 1 h 1 x = hg 1 h 1 gx = hg 1 h 1 λ i x = λ i hg 1 h 1 x i hg 1 h 1 V i V i. Ponieważ h i g sa izomorfizmami, wiec h 1 V i = g 1 h 1 V i. Mamy h 1 V i = (h 1 V i V 1 ) (h 1 V i V 2 )... (h 1 V i V r ), gdzie h 1 V i V j = {x h 1 V i gx = λ j x}. Niech x, v C n sa takie, że x = v = 1 i x v. Stad mamy z definicji x v = 2. Ponadto niech h 1 I < ɛ = 2 1, i j oraz x (h 1 V i V j ). (Jeżeli x 0, to możemy przyjać, że ma norme jeden.) Inaczej mówiac, istnieje y V i, takie że h 1 y = x. Ale x V j, a to oznacza, że < x y >= 0. Mamy zatem sprzeczność, gdyż 2 = x y = h 1 y y h 1 y + y = 1+ h 1 < 2. Stad h 1 V i V j = 0, dla i j, h 1 V i = V i, dla i = 1, 2,..., r, i macierze odwzorowań g, h obciete do V i sa przemienne, gdyż macierz odwzorowania g jest diagonalna. Ponieważ każdy element przestrzeni C n jest suma elementów z podprzestrzeni V i, wiec g i h sa przemienne. Jako szukane otoczenie przyjmijmy U = {h O(n) I h 1 < ɛ}. Lemat 2.2 Dla pewnego otoczenia U elementu neutralnego w grupie ortogonalnej O(n) i dowolnych jego elementów g, h ciag [g, h], [g, [g, h]], [g, [g, [g, h]]],... Korzystamy z faktu, że wektory w lasne różnych wartości w lasnych sa prostopad le. Istotnie λ i x y = Ax y = x A T y = λ 1 j x y. Stad λ i λj = 1. Ponieważ i, λ i λi = 1, wiec λ i = λ j, co jest sprzeczne z za lożeniem, i x, y = 0.

18 Rozdzia l 2 jest ciagiem, elementów z U, zbieżnym do identyczności. Dowód: Niech U b edzie otoczeniem otwartym identyczności o promieniu ɛ < 1/4. Z definicji (por. ćwiczenie 1.4) mamy [g, h] I = gh hg = gh g h + I hg + h + g I = (g I)(h I) (h I)(g I) 2 g I h I < i g, h U. Stad [g, h] U i z indukcji h I 2 [g, [g, [g,..., [g, h]... ]]] I }{{} n h I 2 n. Definicja 2.2 Otoczeniem stabilnym elementu neutralnego grupy O(n) nazywamy otoczenie spe lniajace warunki powyższych lematów. Niech G bedzie grupa topologiczna, to znaczy przestrzena topologiczna z taka struktura grupy, że wszystkie dzia lania sa odwzorowaniami ciag lymi. Przez G 0 bedziemy oznaczać jej sk ladowa spójności identyczności. Lemat 2.3 1. W grupie ortogonalnej O(n) istnieje otoczenie V elementu neutralnego, takie że g O(n), gv g 1 = V. 2. Jeżeli G jest dowolna grupa topologiczna, to G 0 jest jej podgrupa normalna. 3. Jeżeli G O(n) jest spójna podgrupa, a U otwartym otoczeniem identyczności, to grupa generowana przez zbiór G U jest tożsama z G. Dowód: 1. Niech ɛ bedzie dowolna liczba dodatnia i niech V bedzie kula otwarta B(I, ɛ). g O(n) i h V z definicji (por. ćwiczenie 1.4) mamy ghg 1 I = g(h I)g 1 = h I < ɛ. I odwrotnie, jeżeli h = gh 1 g 1 gv g 1, to mamy h I = gh 1 g 1 I = h 1 I < ɛ.

Twierdzenia Bieberbacha 19 2. Niech f : G 0 G bedzie funkcja określona wzorem f(g) = g 1. Ponieważ f jest ciag la, wiec f(g 0 ) jest spójna i wobec tego, że f(i) = I, mamy f(g 0 ) G 0. Analogicznie, jeżeli f h : G 0 G jest funkcja zdefiniowana wzorem f h (g) = gh, g G 0, to oczywiście f h jest ciag la, a dla h G 0 mamy h 1 G 0 i dlatego z równości f h (h 1 ) = I G 0 dostajemy f h (G 0 ) G 0. Podsumowujac otrzymujemy, że G 0 jest podgrupa grupy G. Podobne argumenty zastosowane do funkcji f h, określonej wzorem f h (g) = hgh 1, h G, g G 0, pokazuja, że f h (G 0) G 0 dla dowolnego h G. Zatem G 0 jest podgrupa normalna grupy G. 3. Niech < G U > oznacza podgrupe generowana przez zbiór G U. Zawieranie < G U > G jest oczywiste. Udowadniajac inkluzje w strone przeciwna, pokażemy najpierw, że < G U > jest zbiorem otwartym. Niech x < G U > i niech B(x, ɛ) bedzie dowolna kula otwarta o środku w punkcie x i promieniu ɛ zawarta w U. Wówczas dla dowolnego y B(x, ɛ) G mamy ( ) yx 1 I = yx 1 xx 1 = y x < ɛ. Stad yx 1 B(I, ɛ) G U G i y = yx 1 x < U G >. W konsekwencji zbiór S = G\ < G U > jest domkniety. Ponadto jeśli y S, to mamy zawieranie zbiorów B(y, ɛ) G G\ < U G >= S. W przeciwnym wypadku, dla x B(y, ɛ) G, x < U G > i z ( ), mielibyśmy y < U G >, co jest niemożliwe. Podsumowujac otrzymujemy, że zbiory S i < U G > sa jednocześnie otwarte i domkniete. Ponieważ U jest niepusty, a G spójny, wiec S =. Lemat 2.4 Niech Γ bedzie grupa krystalograficzna. Niech Ψ : E(n) O(n) bedzie rzutowaniem na pierwsza wspó lrzedn a. Wówczas Ψ(Γ) 0 jest grupa abelowa. Dowód: Niech U = B(I, ɛ), gdzie ɛ < 1/4, i γ 1 = (A 1, a 1 ), γ 2 = (A 2, a 2 ) (Ψ 1 (U) Γ). Zdefiniujmy rekurencyjnie ciag dla i 2 γ i+1 = [γ 1, γ i ]. Z defincji można zauważyć, że U jest otoczeniem stabilnym.

20 Rozdzia l 2 Mamy γ i+1 = ([A 1, A i ], (1 A 1 A i A 1 1 )a 1 + A 1 (1 A i A 1 1 A 1 i )a i ). Stad A i+1 = [A 1, A i ] oraz a i+1 1 A i a 1 + 1 a 4 i. Z lematu 2.2 mamy lim i A i = I, a stad lim i a i = 0. Ponieważ Γ jest dyskretna, wiec γ i = (I, 0) dla dostatecznie dużych i. Z lematu 2.1 mamy A 1 A 2 = A 2 A 1. Z dowolności wyboru mamy przemienność elementów w zbiorze Ψ(Γ) 0 U, a to na podstawie punktu 3 lematu 2.3 dowodzi przemienności grupy Ψ(Γ) 0. Definicja 2.3 Niech T b edzie torusem. Generatorem T nazywamy taki element g T, że T = < g >. Lemat 2.5 Każdy torus grupy ortogonalnej ma generator. Dowód: Jeżeli T = R n /Z n, to g = (g 1, g 2,..., g n ), gdzie g 1, g 2,..., g n (0, 1) sa liniowo niezależne nad Q i podprzestrzeń rozpieta na nich (nad Q) ma zerowy przekrój ze zbiorem Q. Odpowiadajacym mu generatorem w grupie ortogonalnej jest element z lożony z obrotów o katy 2πg 1, 2πg 2,..., 2πg n dooko la odpowiednich osi. Jako przestrzeń topologiczna grupa E(n) jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych O(n) i R n. Stad O(n) i R n można traktować jako podprzestrzenie przestrzeni E(n), dzieki utożsamieniu pierwszej z nich z O(n) {0}, a drugiej z {I} R n. Niech Γ E(n) bedzie podgrupa i niech ΓR n = {γ(i, r) γ Γ, r R n }. Oznaczmy przez Λ(Γ) zbiór Γ (ΓR n ) 0. Jest jasne, że (ΓR n ) = Ψ(Γ) R n oraz (ΓR n ) 0 = Ψ(Γ) 0 R n. Lemat 2.6 Niech Γ bedzie dyskretna podgrupa grupy E(n). Wówczas: 1. Λ(Γ) jest abelowa podgrupa normalna i grupa ilorazowa Γ/Λ(Γ) jest skończona. 2. Istnieje torus T O(n) i podprzestrzeń W R n, takie że (i) T dzia l a trywialnie na W, (ii) Λ(Γ) T W, (iii) Λ(Γ) = A B, gdzie A jest skończona grupa abelowa, a B dyskretna i kozwarta podgrupa W.

Twierdzenia Bieberbacha 21 Dowód: 1. Mamy ΓR n /(ΓR n ) 0 = Ψ(Γ) R n /Ψ(Γ) 0 R n Ψ(Γ)/Ψ(Γ) 0. Ponieważ grupa Ψ(Γ) O(n) jest zwarta, wiec grupa Ψ(Γ)/Ψ(Γ) 0 jest skończona. Wystarczy teraz zauważyć, że grupa Γ/Λ(Γ) jest podgrupa, z dok ladnościa do monomorfizmu, grupy ΓR n /(ΓR n ) 0. Abelowość grupy Λ(Γ) dowodzimy poniżej. 2. Niech U O(n) bedzie otoczeniem stabilnym. Z rozważań poprzedzajacych lemat 2.2 i z lematu 2.3 (3) wnioskujemy, że Ψ(Γ) 0 =< U Ψ(Γ) 0 > jest pewnym torusem T. Niech W = {x R n g T, gx = x}, = Γ R n. Twierdzimy, że W. Niech δ. Ponieważ Λ(Γ) Γ, wiec [Γ, δ] Γ. Ponadto dla każdego γ Γ i a R n mamy [γt a, δ] = [γ, δ]. Stad [ΓR n, δ] [Γ, δ]. Po domknieciu mamy zawieranie [T, δ] [Γ, δ]. Ponieważ zbiór [T, δ] jest jednocześnie dyskretny i spójny, wiec [T, δ] = id. Stad dla każdego g T, gδ = δg i po ewaluacji w zerze gδ(0) = δ(0). Otrzymaliśmy zawieranie W. Kontynuujac, oznaczmy przez g generator torusa T. Ponadto niech W bedzie ortogonalnym dope lnieniem przestrzeni W w R n. Oczywiście odwzorowanie (g I) jest injekcja na przestrzeni W. Ponieważ zbiór odwzorowań różnowartościowych jest otwarty w zbiorze wszystkich odwzorowań liniowych, wiec istnieje element h Ψ(Γ), taki że h W = id W. Niech γ 0 = (h, x) Λ(Γ) jest takie, że x W (tzn. h(x) = x). Przypuśćmy, że dla każdego (h, y) Λ(Γ), y W. Pokażemy, że istnieje b R n, takie że (I, b)(h, y)(i, b) = (h, y+b hb) i h(y+b hb) = y+b hb. Proste wyliczenie pokazuje, że b = (h I) 1 (y). Stad, ewentualnie po sprzeżeniu przez odpowiednia translacje, istnieje element γ 0. Bedzie on wykorzystany do pokazania, że γ = (A, a) Λ(Γ), a W. Przypuśćmy, że element a nie należy do podprzestrzeni W. Wówczas [γ 0, γ] = (id, ha a) Γ R n = W. Ponieważ (ha a) W, wiec otrzymaliśmy sprzeczność. Stad Λ(Γ) T W. Jeżeli (h I)a W, to (h I) 2 a = 0. Ale z wyboru (h I) jest różnowartościowe, otrzymujemy wi ec sprzeczność.

22 Rozdzia l 2 W dowodzie punktu 2(iii), niech Φ : T W W oznacza rzutowanie na druga wspó lrzedn a. Z definicji Φ(Λ(Γ)) = Γ R n jest grupa dyskretna i Λ(Γ) A Z n. Tutaj A = Λ(Γ) T. Zakończymy teraz dowód pierwszego twierdzenia Bieberbacha. Z lematu 2.6 (2), zastosowanego do grupy krystalograficznej Γ, wystarczy udowodnić, że W = R n. Wykorzystamy w tym celu za lożenie o zwartości przestrzeni orbit R n /Γ. Ponieważ [Γ : Λ(Γ)] <, wiec także przestrzeń R n /Λ(Γ) jest zwarta. Stad istnieje zwarty obszar fundamentalny 0 F R n, taki że Λ(Γ)(F ) = R n. Z definicji oznacza to, że x R n, γ x Λ(Γ), takie że γ x (x) F. W szczególności x R n, m N, takie że γ x (x) < m. Niech 0 x W. Możemy za lożyć, że x = 2m. Niech γ x = (A, a) Λ(Γ). Z za lożenia < a, x >= 0. Ponadto γ x (x) 2 = γ x (x), γ x (x) = = Ax + a, Ax + a = ( x, x + a, a ) > x. Otrzymaliśmy sprzeczność. Stad W = R n, T = {I} i Λ(Γ) = Γ R n. Zanim udowodnimy drugie i trzecie twierdzenie Bieberbacha, przedstawmy ważny rezultat H. Zassenhausa z roku 1947. Twierdzenie 2.2 (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupa krystalograficzna wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalna wolna i maksymalna podgrupe abelowa Z n skończonego indeksu. Dowód: Jeżeli Γ jest grupa krystalograficzna wymiaru n, to trzeba tylko udowodnić, że podgrupa translacji jest maksymalna. Niech dowolny element (A, a) Γ E(n) bedzie przemienny z dowolna translacja grupy Γ. Jest m = sup x,y F x y. T dzia la trywialnie na R n.

Twierdzenia Bieberbacha 23 0 0 0 0 Z n Γ H 0 0 R n Γ H 0 h Γ 0 R n A(n) GL(n, R) 0 Diagram 2.1 oczywiste, że wówczas A = I. Zak ladamy teraz, że mamy dowolna abstrakcyjna grupe Γ, definiujac a krótki ciag dok ladny grup 0 Z n Γ H 0, ze skończona grupa H. Grupe abelowa Z n można rozpatrywać jako podgrupe przestrzeni wektorowej R n. Stad otrzymujemy diagram 2.1, w którym wszystkie pionowe strza lki sa monomorfizmami. Ponadto środkowy poziomy ciag grup jest rozszczepialny. Do definicji środkowego pionowego ciagu grup, Γ Γ A(n) = GL(n, R) R n, wykorzystujemy w lasności grupy Γ, które definiuja reprezentacje holonomii h Γ : H GL(n, Z) GL(n, R). g H, h Γ (g)(e i ) = ge i g 1. Tutaj e i Z n jest baza standardowa, a g oznacza dowolny element grupy Γ odwzorowywany na g. Ponieważ podgrupa abelowa Z n jest maksymalna, wiec reprezentacja holonomii jest monomorfizmem. Do zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że dowolna skończona grupa macierzy kwadratowych rzeczywistych wymiaru n, w odpowiedniej bazie, jest grupa macierzy ortogonalnych. Definicja 2.4 Grupe H z powyższego twierdzenia nazywamy grupa holonomii grupy krystalograficznej Γ. H 2 (H, R n ) = 0.

24 Rozdzia l 2 Przedstawimy teraz dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha. Z twierdzenia Zassenhausa-Jordana (zob. [21]) wynika, że dla dowolnej grupy skończonej H, istnieje skończona liczba parami nieizomorficznych H-modu lów Z n. Udowodnimy silniejszy rezultat. Twierdzenie 2.3 Dla danego n, istnieje skończona liczba klas sprz eżoności skończonych podgrup grupy GL(n, Z). Dowód ([17, cz. 6, rozdz. I, s. 37-39]): Niech ρ : Z n Z n Z bedzie forma dwuliniowa, symetryczna, niezdegenerowana i dodatnio określona, o macierzy B w pewnej bazie. Niech G ρ = {g GL(n, Z) B = gbg T }, gdzie, przypomnijmy, g T oznacza macierz transponowana macierzy g. Nietrudno zauważyć, że podgrupa G grupy GL(n, Z) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna dwuliniowa, symetryczna, niezdegenerowana i dodatnio określona forma α na Z n, taka że G G α. Dwuliniowa forme definiujemy jako Σ g G g T g. Z drugiej strony, dyskretna podgrupa grupy ortogonalnej, która jest zbiorem odwzorowań liniowych zachowujacych dodatnia, symetryczna i niezdegenerowana forme kwadratowa, jest skończona (zob. [17, stwierdzenie 6.2, s. 37]). Niech L R n bedzie kozwarta, dyskretna podgrupa (krata), generowana przez elementy b 1, b 2,..., b n, i niech P = {Σ i=n i=1 r ib i 0 r i 1}. Z definicji vol(p ) = dx P 1dx 2... dx n = vol(l). Ponadto z algebry liniowej mamy vol(l) = det(b 1, b 2,..., b n ) = det( b i, b j ). Można pokazać, że każda pare (Z n, ρ), gdzie ρ jest odpowiednia forma, możemy traktować jak krate w R n o objetości jeden, a ρ jako iloczyn skalarny, w R n Z n R n. Potrzebny nam bedzie fakt, którego dowód bedzie konsekwencja poniższego lematu, nazywanego w literaturze twierdzeniem Minkowskiego. Lemat 2.7 Niech K R n bedzie wypuk lym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, takim że jeżeli x K, to x K. Niech L bedzie dowolna krata w R n. Wówczas, jeżeli vol(k) > 2 n vol(l),

Twierdzenia Bieberbacha 25 to K zawiera niezerowy punkt kraty L. Dowód: Rozważmy rzutowanie p : R n R n /L. Niech K/2 = {(x/2) x K}. Ponieważ vol(k/2) = 1 2 n vol(k), wi ec z za lożenia mamy vol(k/2) > vol(l). Stad obciecie p do K/2 nie jest odwzorowaniem różnowartościowym. Oznacza to istnienie elementów (x/2), (y/2) K/2, takich że p(x/2) = p(y/2). W konsekwencji 0 (x/2) (y/2) L. Jednocześnie punkt (x/2 y/2) jest środkiem odcinka l acz acego punkt x z punktem y i, co wynika z w lasności zbioru K, jego elementem. To kończy dowód lematu. Oznaczmy przez B(r) domkniet a kule o promieniu r. Niech ω n = vol(b(r)) r n. Z ostatniego lematu mamy, że dla r n > 2n ω n i kraty L o objetości jeden, zbiór B(r) L jest niepusty. Stad dla c n określonego równościa ma miejsce poniższy fakt. c n = 4 (ω n ) 2 n Fakt: Istnieje liczba c n, taka że każda krata L R n o objetości jeden zawiera punkt x 0 0, spe lniajacy nierówność < x 0, x 0 > c n. Do sformu lowania nast epnego lematu b edzie nam potrzebna definicja. Definicja 2.5 Niech ρ, ρ : Z n Z n Z oznaczaja symetryczne odwzorowania dwuliniowe (formy kwadratowe). Mówimy, że ρ i ρ sa izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm grup f : Z n Z n, taki że m, n Z n, ρ(m, n) = ρ (f(m), f(n)).

26 Rozdzia l 2 Lemat 2.8 (twierdzenie Eisensteina, Hermite, Jordana) Istnieje tylko skończenie wiele, z dok ladnościa do izomorfizmu, symetrycznych, niezdegenerowanych i dodatnio określonych odwzorowań dwuliniowych z Z n Z n do Z. Dowód: B edziemy stosować indukcj e. Dla n = 1 dowód jest oczywisty. Ponadto, z tego co powiedzieliśmy powyżej, wystarczy udowodnić nasz lemat dla krat o objetości jeden. Za lóżmy, że lemat jest prawdziwy dla wymiarów < n. Niech L R n bedzie dowolna krata o objetości jeden i L 0 = {y L x 0, y 0mod x 0, x 0 }, gdzie x 0 jest elementem z powyższego faktu. Dla y L 0, mamy y, x 0 / x 0, x 0 Z. Stad element y ( y, x 0 / x 0, x 0 )x 0 należy do L 0 i jest ortogonalny do x 0. Zatem L 0 jest ortogonalna suma prosta podprzestrzeni X = gen< x 0 > i X = {x L 0 x, x 0 = 0} = X 1. Tutaj gen< x 0 > oznacza podprzestrzeń generowana przez element x 0. Z za lożenia indukcyjnego wynika, że lemat jest prawdziwy dla X i X 1. Stad jest tylko skończona ilość izomorficznych form kwadratowych na L 0. Ponieważ indeks L : L 0 spe lnia nierówność L : L 0 x 0, x 0 < c n, wi ec liczba form kwadratowych na kracie L jest także ograniczona. Aby zakończyć dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha, zauważmy, że dla danego H modu lu Z n ilość krótkich ciagów dok ladnych 0 Z n Γ H 0 jest ograniczona (zob. [5, wniosek 10.12, s. 373]) liczba elementów grupy skończonej H 2 (H, Z n ). To kończy dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha. W celu przeprowadzenia dowodu trzeciego twierdzenia Bieberbacha za lóżmy, że mamy izomorfizm h : Γ Γ dwóch grup krystalograficznych wymiaru n.

Twierdzenia Bieberbacha 27 Obci ecie h (Γ R n ) tego izomorfizmu do podgrupy translacji jednoznacznie wyznacza odwzorowanie liniowe reprezentowane przez macierz A GL(n, R). Niech (γ, a) Γ. Po lóżmy h(γ, a) = (r, c) Γ. Mamy h((γ, a)(i, e i )(γ 1, γ 1 a)) = (I, Aγ(e i )). Z definicji raγ(e i ) = Aγ(e i ), dla i = 1, 2,..., n. Stad r = AγA 1. Sprzegaj ac izomorfizm h, przez odpowiednia macierz z grupy GL(n, R), możemy przyjać, że macierz A jest identycznościa. Niech h(γ, a) = (γ, a ) Γ. Zwykle a a. Po lóżmy γ = (γ, a a ). Latwo udowodnić, że odwzorowanie h : Γ A(n), zdefiniowane wzorem h(γ, a) = γ, jest homomorfizmem i kerh = Γ R n. Stwierdzenie 1.8 zapewnia istnienie punktu sta lego x 0 R n, dzia lania skończonej grupy liniowej h(γ) na przestrzeni R n. Mamy x 0 = γ (x 0 ) = γ(x 0 ) + a a. Stad a = γ(x 0 ) + a + x 0, dla wszystkich γ Γ. W końcu, dla dowolnego x R n, otrzymujemy (I, x 0 )(γ, a )(I, x 0 )x = (I, x 0 )(γ(x x 0 ) + a ) = γ(x) γ(x 0 ) + a + x 0 = (γ, a)x. Zatem (I, x 0 )Γ (I, x 0 ) = Γ (por. [62, s. 123]). Stad izomorfizm h ma adane w lasności, tzn. jest sprzeżeniem w grupie A(n). ż Jako dodatek do twierdzeń Bieberbacha, udowodnimy dwa stwierdzenia o w lasnościach skończonych grup macierzowych. Chociaż drugie jest latwym wnioskiem z lematów w dowodzie drugiego twierdzenia Bieberbacha, przytaczamy je ze wzgledu na interesujacy dowód. Stwierdzenie 2.1 (twierdzenie Jordana) Istnieje liczba ν(n), taka że dowolna podgrupa skończona F grupy ortogonalnej O(n) ma normalna podgrupe abelowa A(F ) indeksu mniejszego od ν(n). Dowód: Niech U = B(I, ɛ) bedzie stabilnym otoczeniem identyczności grupy O(n) i U = B(I, ɛ ). Po lóżmy ν(n) tak, aby µ(u ) > 1. Tutaj µ() oznacza 2 ν(n) miare Haara na O(n). Ponadto niech A(F ) =< U F >. Z lematu 2.3(1) wynika, że podgrupa A(F ) jest normalna, a z lematu 2.4 że jest także abelowa. Z za lożenia F/A(F ) = {[f 1 ], [f 2 ],..., [f m ]}, gdzie [f] oznacza klase

28 Rozdzia l 2 abstrakcji elementu f F. Z definicji, jeżeli [f i ] [f j ], to f i U f j U = 0. Stad mµ(u ) = Σ m i=1µ(f i U ) 1 i F/A(F ) = m 1 µ(u ) < ν(n). Stwierdzenie 2.2 Istnieje tylko skończona liczba parami nieizomorficznych, skończonych podgrup grupy GL(n, Z). Dowód [24]: Niech p oznacza nieparzysta liczbe pierwsza. Udowodnimy, że adro naturalnego homomorfizmu j φ : GL(n, Z) GL(n, Z/pZ) jest beztorsyjne. Niech macierz A I należy do kerφ. Mamy A = I + pb, gdzie B M(n, Z). Przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza q, taka że ( ) q A q = (I + pb) q = I + pqb + p 2 B 2 + + p q B q = I. 2 Po redukcji otrzymujemy ( ) q qb + pb 2 + 2 ( ) q p 2 B 3 + + p q 1 B q = 0. 3 Niech α bedzie maksymalna liczba o takiej w lasności, że p α dzieli wszystkie wspó lczynniki macierzy B. Ponieważ każdy wyraz macierzy pb 2 jest podzielny przez p 2α+1, wiec elementy macierzy qb sa podzielne przez p 2α+1. Stad jeżeli p q, to z maksymalności α mamy 2α + 1 α, co jest niemożliwe. Jeżeli natomiast p = q, to 2α α i α = 0. Ponadto mamy ( ) ( ) p p B + B 2 + pb 3 + + p p 2 B p = 0. 2 3 Ponieważ liczba pierwsza p jest nieparzysta, wiec p ( p 2) i p dzieli pozosta le sk ladniki ostatniej sumy. Stad p dzieli wyrazy macierzy B i α 1. Otrzymana sprzeczność dowodzi beztorsyjności jadra kerφ. W szczególności, każda skończona podgrupa grupy GL(n, Z) ma trywialny przekrój z jadrem φ i jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy skończonej GL(n, Z 3 ). M(n, Z) oznacza zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach ca lkowitych.

Twierdzenia Bieberbacha 29 Przyk lad 2.2 Niech Γ E(n) bedzie beztorsyjna grupa krystalograficzna. Przestrzeń orbit R n /Γ jest rozmaitościa. Jeżeli pominiemy za lożenie beztorsyjności, to przestrzeń orbit R n /Γ nazywamy orbifoldem. Rozmaitości (orbifoldy)zdefiniowane w powyższym przyk ladzie nazywaja sie p laskimi. Nazwa ma zwiazek z geometria Riemanna, w której przestrzeń euklidesowa R n ma krzywizne sekcyjna zero, co potocznie nazywa sie p laskościa (zob. [60]). W algebrze liniowej orientacja przestrzeni wektorowej nazywamy wybór bazy. Dwie orientacje sa zgodne, jeśli macierz przejścia z jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Definicja 2.6 Rozmaitość nazywamy orientowalna, jeżeli istnieje atlas, w którym wszystkie funkcje przejścia zachowuja wybrana orientacje przestrzeni R n. Rozma- Przyk lad 2.3 Rozmaitości R n, C n, CP n, S n, T n sa orientowalne. itość RP n oraz butelka Kleina nie sa orientowalne. Kończac te cześć wprowadźmy jeszcze jedno kluczowe określenie. Definicja 2.7 Beztorsyjna grupe krystalograficzna nazywamy grupa Bieberbacha. Ćwiczenie 2.1 Udowodnić, że jeżeli ciag le odwzorowanie f : X Y pomiedzy przestrzeniami topologicznymi jest domkniete i na, to X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zwarta. Ćwiczenie 2.2 Udowodnić, że jeżeli Γ jest beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru n, to odwzorowanie rzutowania (ilorazowe) R n R n /Γ jest nakryciem. Ponadto przestrzeń orbit R n /Γ jest rozmaitościa. Ćwiczenie 2.3 1. Udowodnić, że jeśli G O(n) jest podgrup a, to jej domkni ecie G jest także podgrup a grupy O(n). 2 (por. ćwiczenie 2.4 (5)). Opisać dyskretne podgrupy grupy R n. Kiedy taka podgrupa jest kozwarta?

30 Rozdzia l 2 Ćwiczenie 2.4 1. Udowodnić, że maksymalna spójna abelowa podgrupa grupy O(n) jest torusem, tzn. (S 1 ) k, dla pewnego k N. 2. Udowodnić, że jeżeli G jest domkniet a podgrupa grupy ortogonalnej O(n), to G 0 jest jej dzielnikiem normalnym o skończonym indeksie (por. [1, twierdzenie 2.26-7]). 3. Niech Γ E(n) bedzie podgrupa grupy izometrii przestrzeni R n. Udowodnić, że (ΓR n ) = Ψ(Γ) R n, gdzie Ψ : E(n) O(n), jest rzutowaniem na pierwsza wspó lrzedn a. 4. Udowodnić, że dla dowolnego elementu (A, a) E(n) istnieje b R n, takie że t b (A, a)t b = (A, c) i A(c) = c. 5. Udowodnić, że dyskretna i kozwarta podgrupa R n jest izomorficzna z Z n. Ćwiczenie 2.5 1. Niech G 1 G E(n) bedzie ciagiem podgrup. Udowodnić, że jeżeli G jest kozwarta, G 1 G o skończonym indeksie, to G 1 jest kozwarta podgrupa grupy E(n). 2. Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Udowodnić, że funkcja F : R n /Γ R, zdefiniowana wzorem F ([x]) = inf γ Γ { γx }, jest dobrze zdefiniowana i ciag la. Ćwiczenie 2.6 Udowodnić, że w twierdzeniu Zassenhausa maksymalność podgrupy Z n w grupie Γ jest równoważna wierności reprezentacji holonomii h Γ, zdefiniowanej w dowodzie twierdzenia. Ćwiczenie 2.7 [17, ćwiczenie 6.7, s. 38] Pokazać, że każda pare (Z n, ρ), gdzie ρ jest odpowiednia forma, możemy traktować jak krate w R n o objetości jeden, a ρ jako iloczyn skalarny, w R n. Ćwiczenie 2.8 [17, ćwiczenie 6.8, s. 38] Niech L i L 0 bed a kratami z lematu 2.8, a x 0 punktem z L zdefiniowanym przed definicja 2.5. Pokazać, że L : L 0 < x 0, x 0. Ćwiczenie 2.9 Udowodnić, że powyżej (w dowodzie trzeciego twierdzenia Bieberbacha) zdefiniowane odwzorowanie h : Γ A(n) jest homomorfizmem i ker h = Γ R n. Ćwiczenie 2.10 Uzupe lnić dowód twierdzenia Jordana.

3. Metody klasyfikacji Opiszemy teraz beztorsyjne grupy krystalograficzne, wymiaru dwa i trzy. Sa tylko dwie dwuwymiarowe p laskie rozmaitości torus i butelka Kleina (zob. przyk lad 2.1). W wymiarze trzy mamy dziesieć p laskich rozmaitości. Bedziemy opisywać je kolejno. Jest sześć grup Bieberbacha wymiaru trzy z cyklicznymi grupami holonomii (zob. na przyk lad [60, s. 125]) trzy (jedna orientowalna) z grupa holonomii Z 2 i po jednej (wszystkie orientowalne) z grupa holonomii, odpowiednio, Z 3, Z 4, Z 6. Ponadto mamy orientowalny torus i trzy grupy Bieberbacha wymiaru trzy z grupa holonomii Z 2 Z 2 (jedna orientowalna). 1 0 0 Niech A 1 = 0 1 0. Definiujemy 0 0 1 Γ 1 =< (A 1, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 1, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany dicosm (zob. [22]). Odpowiada on rozmaitości oznaczonej G 1 w [60]. Niech A 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Definiujemy Γ 2 =< (A 2, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 2, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany first amphicosm ([22]; B 1 w [60]). Niech A 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0. Definiujemy Γ 3 =< (A 3, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Wed lug J. Conwaya [22], nasz wszechświat (cosmos) zbudowany jest z 3-rozmaitości p laskich, tzw. platycosms.

32 Rozdzia l 3 Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 3, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany second amphicosm ([22]; B 2 w [60]). Niech C 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, C 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Definiujemy Γ 4 =< (C 1, (1/2, 0, 0)), (C 2, (0, 0, 1/2)), (I, (0, 1, 0)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 4, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany first amphidicosm ([22]; B 3 w [60]). Niech D 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, D 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Definiujemy Γ 5 =< (D 1, (1/2, 1/2, 0)), (D 2, (0, 0, 1/2)), (I, (0, 1, 0)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 5, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany second amphidicosm ([22]; B 4 w [60]). Niech A 6 = 1 0 0 0 1 1 0 1 0. Definiujemy Γ 6 =< (A 6, (1/3, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 6, z grupa holonomii Z 3, jest nazywany tricosm ([22]; G 3 w [60]). Niech A 7 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0. Definiujemy Γ 7 =< (A 7, (1/4, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 7, z grup a holonomii Z 4, jest nazywany tetracosm ([22]; G 4 w [60]).

Metody klasyfikacji 33 Niech A 8 = 1 0 0 0 1 1 0 1 0. Definiujemy Γ 8 =< (A 8, (1/6, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 8, z grupa holonomii Z 6, jest nazywany hexacosm ([22]; G 5 w [60]). Niech B 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, B 2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. Definiujemy Γ 9 =< (B 1, (1/2, 1/2, 0)), (B 2, (0, 1/2, 1/2)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 9, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany didicosm ([22]; G 6 w [60]). Niech Γ 10 = Z 3. R 3 /Γ 10 jest torusem nazywanym cubical torocosm [22]. Wprowadzimy teraz pojecie pierwszej grupy kohomologii. Niech G bedzie dowolna grupa, M zaś G-modu lem. Zdefiniujmy grupe HS(G, M) homomorfizmów skrzyżowanych jako zbiór {f : G M g 1, g 2 G, f(g 1 g 2 ) = g 1 f(g 2 ) + f(g 1 )}, z dzia laniem dodawania. skrzyżowanych g lównych Ma ona podgrup e HSG(G, M) homomorfizmów {f : G M a M, g G, f(g) = ga a}. Definiujemy H 1 (G, M) = HS(G, M)/HSG(G, M). Z d lugiego ciagu dok ladnego dla kohomologii, który pochodzi od krótkiego ciagu dok ladnego G-modu lów 0 Z n R n R n /Z n 0, mamy izomorfizm H 1 (G, R n /Z n ) H 2 (G, Z n ) (zob. [5, s. 364]).

34 Rozdzia l 3 Przypomnijmy, że z dowolna grupa krystalograficzna Γ jest zwiazany krótki ciag dok ladny grup (zob. twierdzenie 2.2) 0 Z n Γ p G 0, gdzie podgrupa Z n jest maksymalna podgrupa abelowa, a G skończona. Powyższy ciag definiuje tak zwana reprezentacje holonomii Jest ona dana wzorem h Γ : G GL(n, Z). g G, h Γ (g)(e i ) = ge i g 1, gdzie e i Z n, i = 1, 2,..., n, jest standardowa baza, a p(g) = g, dla g Γ. Stwierdzenie 3.1 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomi edzy grupami krystalogarficznymi wymiaru n, o danej reprezentacji holonomii grupy skończonej G, a elementami grupy kohomologii H 1 (G, R n /Z n ). Dowód ([5, s. 338, twierdzenie 10.7]): Niech Γ E(n) bedzie grupa krystalograficzna wymiaru n, rozważana powyżej. Latwo zobaczyć, że jest ona zbiorem par {(A, s(a) + t)}, gdzie A Ψ(Γ), a t Γ R n. Z twierdzenia 2.2, z dok ladnościa do sprzeżenia w grupie GL(n, R), Ψ(Γ) możemy utożsamić z obrazem reprezentacji holonomii h Γ. Ponadto s(a) {(a 1, a 2,..., a n ) Q n i {1, 2,..., n}, 0 a i < 1}. Stad grupie Γ przyporzadkowaliśmy element [s()] H 1 (G, R n /Z n ). I odwrotnie, każdy element [s()] H 1 (G, R n /Z n ) definiuje zbiór elementów Π = {(A, s(a) + z)} E(n), gdzie z Z n. Udowodnienie, że Π jest grupa krystalograficzna pozostawiamy jako ćwiczenie. Podamy teraz bardzo proste kryterium beztorsyjności grupy krystalograficznej. Twierdzenie 3.1 Niech Γ bedzie n-wymiarowa grupa krystalograficzna, a α H 2 (G, Z n ) kocyklem odpowiadajacym grupie Γ. Wówczas Γ jest grupa beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej grupy cyklicznej rzedu pierwszego p, Z p G, wartość homomorfizmu obciecia res G Z p (α) H 2 (Z p, Z n ) jest różna od zera.

Metody klasyfikacji 35 Dowód: Homomorfizm res G Z p : H 1 (G, R n /Z n ) H 1 (Z p, R n /Z n ) oznacza homomorfizm obciecia. Klasie kocyklu przyporzadkowujemy klase rozpatrywana tylko na podgrupie Z p G. Wykorzystujemy tutaj utożsamienie H 1 (G, R n /Z n ) H 2 (G, Z n ). Niech Γ bedzie grupa beztorsyjna. Przypuśćmy, że istnieje element g G, rzedu pierwszego p, taki że res G <g>(α) = 0. Jest to równoważne temu, że nastepuj acy krótki ciag dok ladny grup 0 Z n p 1 (< g >) < g > Z p 0 si e rozszczepia. Z definicji oznacza to istnienie homomorfizmu grup h :< g > Z p p 1 (< g >), takiego że ph = id (<g> Zp), gdzie < g > G jest podgrupe cykliczna rzedu p generowana przez element g. Stad grupa Γ jest torsyjna. Otrzymaliśmy sprzeczność. Dowód w przeciwna strone jest podobny. Niech n oznacza liczbe naturalna. Z drugiego twierdzenia Bieberbacha wiemy, że istnieje tylko skończona liczba n-wymiarowych grup krystalograficznych, z dok ladnościa do izomorfizmu. Stad problem klasyfikacji ma sens. Przedstawimy teraz trzy metody klasyfikacji i ich kolejne kroki. Pierwsza metoda klasyfikacji algorytm Zassenhausa [60]: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy grupy GL(n, Z). 2. Opisać wszystkie G-modu ly wierne Z n. 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, R n /Z n ) dla wszystkich grup skończonych G z punktu 1 i G-modu lów Z n z punktu 2. 4. Określić, które grupy krystalograficzne z punktu 3, zdefiniowane przez elementy z grupy kohomologii, sa izomorficzne. Druga metoda klasyfikacji metoda indukcyjna Calabiego [60], dla grup beztorsyjnych: 1. Sklasyfikować wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne wymiaru < n. 2. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n, których abelianizacja Γ/[Γ, Γ] jest skończona. Modu l nazywamy wiernym, jeśli odpowiadajaca mu reprezentacja grupy G GL(n, Z) jest wierna, czyli różnowartościowa.

36 Rozdzia l 3 3. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n, zdefiniowane przez krótki ciag dok ladny grup 0 Γ n 1 Γ Z 0, gdzie Γ n 1 jest dowolna beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru (n 1). Trzecia metoda klasyfikacji metoda niezmiennika Vasqueza [51], dla grup beztorsyjnych, z dana skończona grupa holonomii G: 1. Wyznaczyć wartość niezmiennika Vasqueza n(g) i zwiazanych z nim grup(y) Bieberbacha Γ G wymiaru n(g). 2. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n n(g), wystepuj ace w ciagu dok ladnym grup 0 Z (n n(g)) Γ Γ G 0. 3. Sklasyfikować wszystkie grupy Bieberbacha wymiaru n(g) z grupa holonomii G. Jeśli chodzi o pierwsza metode, to jest ona w pewnym sensie najbardziej efektywna. Stosujac ja, sklasyfikowano grupy krystalograficzne wymiaru mniejszego lub równego 5 (zob. [18]). Jeśli chodzi o wyższe wymiary, to znana jest (zob. [18]) lista grup beztorsyjnych wymiaru 6. Wiadomo (zob. [41, s. 16]), że grupa kohomologii H 2 (G, Z 6 ) może mieć rzad 2 30 = 1073741824, dla pewnej podgrupy skończonej, grupy GL(6, Z). Stad już w wymiarze 6 ilość grup krystalograficznych jest tak duża, że ich klasyfikacja nie jest możliwa bez pomocy komputera. W istocie pierwsza metoda jest pewnym algorytmem. Jej punkt 1 jest realizowalny w wymiarach mniejszych niż 30. Jeśli chodzi o punkt 3, to znany jest algorytm na wyznaczenie drugiej grupy kohomologii. W programie GAP [28] istnieje pakiet Carat, bazujacy na algorytmie Zassenhausa, który pozwala znaleźć liste grup krystalograficznych, ma lych wymiarów, z dana grupa holonomii. Dok ladniejsze omówienie tej metody można znaleźć w pracy W. Pleskena [43] (zob. także [18]). Druga metoda klasyfikacji ma swoje źród lo w poniższym stwierdzeniu E. Calabiego. Korzystajac z niej uda lo mu sie opisać wszystkie p laskie rozmaitości wymiaru cztery (por. [16] i [31]). Stwierdzenie 3.2 (Calabiego) Niech Γ bedzie beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru n. Ponadto niech bedzie dany epimorfizm f : Γ Z.